广西南宁市武鸣高级中学2027届高三上学期9月学情诊断检测数学试题

武鸣高中2027届九月学情诊断检测数学参考答案 1.A【详解】首先将7个最高气温数据按从小到大排序：30,31,31,32,33,34,34. 计算第一四分位数对应的位置：i=7×25%=1.75， ,i不是整数，根据百分位数的计算规则，取大于i的最小整数2对应的数值，即排序后第2个数据31， 因此这组数据的第-一四分位数为31 2。D【详解对z0+=2-两边同时除以+，得z 化6：名02-出号-号 1 2分2而>0，-<0，可知点z位于第四象限，故D正 2 3.C【详解】当x≤0时，x+x=-x+x=0,因此命题p:x∈R,d+x≤0是真命题： 取xe0+o,得上-2>，因光命题9：xe@m,x是假命感，9是真命题， 2 所以p和9都是真命题. 4.A【详解】不等式x-<2可化为-2<x-1<2,即-1<x<3. 若-1<x<3成立，一定满足x<3,因此充分性成立；若x满足x<3,不一定满足-1<x<3,因此，必要 性不成立.故“x-<2”是“x<3”的充分不必要条件. 5.C【详解】数学课相邻，采用捆绑法将其看为一个整体，将数学课整体与物理课全排列，共有A=2种， 且排列后形成3个空隙，语文课与英语课要求不相邻，从三个空隙中选两个排入，共有A4好=3×2=6种， 根据分步乘法计数原理，不同排列方法共有2×6=12种， 1 1 6.D【详解】因为sina 2oSP,所以有2=1,即n=2 sinc+)=+-号，代入=号得cosi 111 2 =32=-61 则有sin(a-p)=sinacosB-cosasinB= 1(1)2 2(6厂3 7.B【详解】如图，这是该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的 内切圆，设圆O与梯形的腰AD相切于点E,与上、下底面分别相切于点O,O2, 则DE=DO1,AE=AO2,因为OD与OA分别为∠EOO,∠EOO,的平分线， 02 因此∠40D=90°，从而A40,0-A0,D,敢5=去，所以5=3，又因为5=3，所以5-3,1=1，故 5√3 D=4,放图台的高为，6-B-=23,故圆合的体积为”02+3+作x39x25=26,3 3 答案第1页（共8页） 8.D【详解】先涂底面，有4种涂法，再涂4个侧面，如果4个侧面用2种颜色，则不同的涂法有C×2=6 种；如果4个侧面用3种颜色，则不同的涂法有2×A=12;故相邻（有一条公共边）的两面不同色，共有 4×(6+12)=72种不同的涂法若相邻（有一条公共边）的两面不同色，则恰有两个面涂了红色， 则这两个面只能是平面PBC、平面PAD或平面PAB、平面PCD.则此时不同的涂法有2×3×2×2=24种， 设E为随机事件哈有两个面涂了红色？，则P()-会号 9.ACD 【详解因为正实数mn所议+山V+mm+冯+四+222 mn2mn 2m n 当且仅当”=”且m+=2,即m=1时取等号，此时取得最小值2，A正确 m n 由均值不等式，2”+2”≥2V2m.2”=22m"=24=4,当且仅当m=n=1时取等，B错误； 由m≤(m+马-1，当且仅当m==1时，m取得最大值1，C正确； 2 m2+n2=m+m2-2mm=4-2mn≥4-2xm+乃？=2，当且仅当m=n=1时取等号，此处取得最小值2， 2 故D正确。 故选：ACD 10.ABD 【详解】因为O0=OA+OP,所以P0=O0-OP=OA,即PO11OA,故A正确； 设2(x,y),P(x,%),由已知00=0A+OP且0A=(3,4), 所以 x=+3=x-3 =%+4今%=y-4 又点P(,%)在圆C:(x-12+(y-2}=9上，得(-1)+(-2)2=9， 所以(x-4)}2+(y-6)}2=9,故2点轨迹为以(4,6)为圆心，半径r=3的圆，故B正确； 因为圆心(4,6)到直线1：3x+4y-12=0距离为d-Bx4+4×6-12_24 V32+42 5 以点2到直线1：3x+4y-12=0距离的最小值为d-,-243=号，故C错误 9 5 所设Q(4+3cos0,6+3sin0),所以00=(4+3cos0,6+3sin0), 又0B=(2,0),所以00.0B=8+6cos0∈[2,14]，故D正确： 答案第2页（共8页） 11.ABD 【详解】由已知∫'(x)=3x2-6x=3x(x-2), 令f'(x)=0,解得x=0或x=2,x<0时，f'(x)>0,函数f(x)单调递增： 0<x<2时，f'(x)<0,函数(x)单调递减；x>2时，'(x)>0,函数∫(x)单调递增： 又函数f(x)=x3-3x2-m(m∈R)有三个不同的零点a,b,c, [f(x)报大=f(0)=-m>0 ()=了2)=4-m<0'解得me(4,）,故A正确， 由题可知：f(x)=x3-3x2-m=(x-a)(x-b)(x-c)=x3-(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x-abc, 若a,b,c成等差数列，且a<b<c, a+b+c=3 a=1-5 abc=m =1 b+ac+bc=0'解得 =1+5’放B正确； a+c=2b m=-2 易得b∈(0,2)，则a+2b+c=3+b∈(3,5)，故C错误； 由a+b+c=3,ab+ac+bc=0,则a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+ac+bc)=9,故D正确. 12.{x|-2≤x<-1}或[-2，-1) 【详解】由题意x2+x-2≤0白(x-1)(x+2)≤0台-2≤x≤1， X=221⊙3≥0⊙x<-1,则AnB=x1-2≤x<- x+1 x+1 13.-15 【详解】(x+1)(x-2)=x(x+1)-2(x+1)°，其中(x+1)的通项为T=Cx+.1'=Cx， 当r=4时，I=Cx=5x,乘以x,得到x2的系数为5； 当r=3时，T,=Cx2=10x2,乘以-2，得到x2的系数为-20； 所以(x+1)(x-2)的展开式中x2的系数为5+(-20)=-15. 故答案为：-15. 14.e=1+V5 【详解】双曲线的左、右焦点为耳，F2,点P在双曲线的右支上，P-PF=2a; P?⊥PF,△PFF的内切圆半径为a, 答案第3页（共8页） aP5+P3,IPRl+PJ-2a+=2a+2e. 2 .PF =2a+c,PF =c. .PE+PF=EFP,(2a+c)2+c2=(2c)2; c2-2ac-2a2=0,即e2-2e-2=0,解得e=1+√5或e=1-√5； 由e>1,得e=1+5. 15.【详解】(1)由题意a2=b,可得1+d=g2，--1分 由a3+b2=9,可得：1+2d+q=9,---2分 5 1+d=q2 9= 2 联立 1+2d+g=9'解得： 9=2 (a3或/ 31 --4分 0=4 因为9>0，所以等差数列公差d=3,等比数列公比9=2；6分 (2)由（1)可得an=3n-2,bn=2-,故cn=(3n-2）24-,-7分 Sn=1×2°+4×2+7×22+…+(3n-2)×2,--8分 2Sn=1×2+4×22+7×23+…+(3-5)×2-+(3n-2)×2",--9分 两式相减得：-10分 -Sn=2°+3×2+3×22+…+3×2"--（3n-2)×2”,--11分 有-3.=1+3x20-2）-Bm-2x2=-6m-5列-2-5，--12分 1-2 所以Sn=(3n-5)2”+5,--13分 16.【详解】(I)因为PC⊥平面ABCD,ADc平面ABCD,则PC⊥AD,-1分 又因为ABIIDC且AD⊥AB,则AD⊥CD,---2分 且PCOCD=C,且PC、CDC平面PCD,则AD⊥平面PCD,-3分 又因为ADC平面PAD,所以平面PAD⊥平面PCD.--4分 (2)设AD=CD=1,则AB=2,设PC=h,h>0, 以A为坐标原点，分别以AD、AC的方向为x轴、y轴正方向， 过A平行于PC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-9z,5分 则A(0,0,0),D(1,0,0)，C(1,1,0),B(0,2,0),P(1,1,h), 答案第4页（共8页） 可得AP=(1,1,),AD=（1,0,0),-6分 设平面PAD的法向量为斤=(x,,)， 则而-5=0 P=名+以+2=0'令名=1，则=0，另=-h,可得月=(0，九：一7分 平面ABCD的法向量可取i。=(0,0,1)-8分 设平面PAD与平面ABCD所成的锐二面角为9∈0， 则n0=1,可知0-子，-9分 可得cos0=kos<mmF 1 ,解得h=1,--10分 Vh2+1 2 (用几何法说明0=严和求出=1给到对应的分数) A 可得P,1,且点E是PB的中点，则222) 131 可得0原-01，C=0,正-（传》 ----11分 设平面ACE的法向量为m=(x,y,z), [m·AC=x+y=0 则 22=0”令x1，则y=1,2=2,可得m=L-12)；-12分 设直线PD与平面ACE所成角为p,则sinp=cos<DP,m> DP.m 1 D2xV6=6, -14分 所以直线PD与平面ACE所成角的正弦值为 ---15分 6 17.【详解】(1)记事件A为“智能客服的回答被采纳”，事件B为“输入的问题表达清晰”，则五为“输入的 问题表达不清断”由思意得：P心列-行，所以P心)-1-P可-号 1分 又P=专PA周=2分 由全概率公式得P(A)=P(B)P(AB)+P(B)P(AB)--3分 =4×2+1×1=281=7184 Γ585240101010105 4分 所以智能客服的回答被采纳的概率为 4 .-5分 、4 (2)由(1)知每次回答被采纳的概率p=5，且各次是否被采纳相互独立，故测试3个问题中被采纳的 次数x服从二项分布，即XB3, 4 ----6分 X的可能取值为0,1,2,3.---7分 x-0=(周x-w-c(g--2-c) 125 答案第5页（共8页） x-c 64 =1 -10分 则X的分布列为： X 0 1 2 3 1 12 48 64 125 125 125 125 412 期望E(X)=p=3× 5 -12分 (3)抽取10个问题， 设被采纳的次数为5，则5~40引 --12分 总得分7-15.由期望的性质得：B0们=200)-108（份=10x个10×号）=60一14分 因为80≥75，满足推广条件，所以该系统会得到推广---15分 18.【详解】1)由题意可得2a=4,得到a=2,-1分又e=分得到c=1,-2分 则6=-C=5,3分所以椭圆方程为兰+上-14分 43 (2)若直线1斜率为0，此时y=1,解得MN两点丝标为号6，此时PP=-9 Γ3=31 -5分若直线斜率不为0，不妨设直线l:x=y+t,M(y),N(x2,2),-6分 3x2+4y2=12 由 消x整理得到(3m2+4y2+6my+3t2-12=0,-7分 x=my+t 则△=36m2-46m2+4)2-120，%+4=3m+4'4-3m2+41 -6mt 32-12 ，-8分 又直线1过点P(4,1),故4=m+t,--9分 此时PMHPNI=V1+m2以-1+m22-,易知点P(4,1)在椭圆外，则乃-1，h-1正负号一致， spgp( 401+m）_40<40 3m2+4 1 3+ <号，一-10分综上所述，PMPN的最大值为9.-1分 m2+1 国)利拥精圆的第三定义可知，如m=子得长r如音一2分 此时rkx=、上。五」 3 x-2x-2(m刚+t-2)(m2+t-2)8' yy2 3 即 -6mt 32-12代入， +mt-206+为+-2可8，-13分将%+%=3m+4,%3m+4 答案第6页（共8页） 3t2-12 3 得 3m2+4 m2×32 -14分 -6mt 3m2+ +m-2刘*3n平4+-2y F2 B 整理化简可得3-41-4=0，解得1=2或-号 -15分 当t=2时，直线1经过点B,不符合要求，舍去；-16分 所以t= 3， 2 即直线1恒过定点 30 且定点 0在椭圆内部，直线1与椭圆恒有两个交点，经检 验成立.-17分 19.【详解】(1)f(x)的定义域为(-1，+o,f()=2x+1- +1’-1分 因为x=2是函数了似的授值点，所以了包)=4a+1-写0，解得a=名-2分 当a=后时，f)=+1-2, x+13在+1)，-3分 因为0<x<2,f'(x)>0;x>2时，f'(x)<0,4分 所以f(x)在(0,2)上单调递增，在(2，+∞)上单调递减，所以x=2是f(x)的极大值点-5分 (2)f()=2ax+1-1=2ax+1+2a）】 x+1x+1 当a20时，2ax+1+2a=2a(x+1)+1>0,f'(0)=0,--6分 -1<x<0时，'(x)<0；x>0时，f'(x)>0, f(x)在(-1,0)上单调递减，在(0，+o)上单调递增，所以x>0时，f(x)>f(0)=0,不合题意.-7分 当a<0时，由2a+1+20-0特=1-六1，当-1立0，即a5号时，了心0对x>0限立， 所以f(x)在(0，+∞)上单调递减，所以x>0时，f(x)<f(0)=0合题意；-8分 当-六>0，即a<0时，了心>0对0<<1六成立，所以在0-1 上单调递增， 所以当0<x-1六时，了)小f0)=-0,不合宽意-9分 1 综上，a的取值范围是-m,2一-l0分 e倒证明：因为1儿_吗+5h(名=心--a6+5+1伍+6+山 X2-x X2一 x2-X1 1 -11分 所以要证 ,1++）%可R立 X2-X1 答案第7页（共8页） 只要证血+小-血5+) 1 x2一X1 G+10+万成立，一12分 因为x2>x>-1,所以只要证血(x2+1)-血(x+1)< X2-X1 V名++可成立，-13分 因为血(+)-ln(s+1)=h+凸 名-x=+-(+型压+1+ +1’+10(x+x+1(x+1x+1Vx+1' 所以只要证n+l 3+1名+1 成立.--14分 +1V+1 Vx2+1 记g)=1nt-+任 别0-2- ≤0，对t>0成立，-15分 2t 所以g(t)在(0，∞)上单调递减， 当>1时，8Kg0=0,所以f- ，--16分 取t=支+1 +i,由为>%>-1知+1>劣+1>0，从而出>1， x+1 所以m+1 x2+1 x+1Vx+1Vx2+11 成立，故原不等式成立.17分 答案第8页（共8页）武鸣高中2027届九月学情诊断检测 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合 题目要求的。 1.某市一周内的最高气温（单位：℃）分别为34,31,32,30,31,34,33，则这组数据的第一四分位数为() A.31 B.32 C:33 D.34 2.已知复数z满足：z(1+i)=2-i,则复数z在复平面中对应的点z位于（) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知命题P:3x∈R,+x≤0；命题g:x∈(0，+o),1≤x,则() A.P和9都是真命题 B.P和9都是真命题 C.p和一g都是真命题 D.一P和一9都是真命题 4.x-1<2”是“x<3”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.某班上午有5节课，现需安排数学课2节，语文课、英语课、物理课各1节，要求两节数学课相邻， 语文课和英语课不相邻，则不同的排课方法共有() A.6种 B.8种 C.12种 D.24种 1 6,已知sim(a+)=,且sima 2cosB’ 则sin(a-B)=( A君 B c 7.已知半径为√5的球O内切于圆台（即球O与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），圆台的上、下底 面半径分别为，2，且2=3r,则圆台的体积为（) A. 28π B.26V3元 D. 28V3元 3 3 C.123π 3 8.现有红、黄、蓝、白4种颜色的颜料可供使用，给四棱锥P-ABCD(如图)的各侧面及底面涂上颜色， 要求相邻（有一条公共边）的两面不同色，则恰有两个面涂了红色的概率为(） A·12 B. 1-6 C. 试卷第1页（共4页） 二、选择题：共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目的，选 对部分选项得部分分，有选错的得0分。 9.设正实数m、n满足m+n=2,则下列说法正确的是（) A.L+上的最小值为2 B.2"+2”的最小值为2 m n C.mn的最大值为1 D.m2+n2的最小值为2 10.已知点A(3,4),B(2,0),圆C:(x-1)2+(y-2)2=9,点P在圆C上运动，点2满足00-OA+OP,其 中O为坐标原点.则下列说法正确的是() A.PO/IOA B.点2的轨迹方程为(x-4)2+(y-6)2=9 c.点Q到直线1：3x+4y-12=0距离的最小值为 4 D.00.0B的取值范围是2,14 11.已知函数f(x)=x3-3x2-m(m∈R)有三个不同的零点a,b,c,其中a<b<c,则() A.m的取值范围为(-4,0) B.存在实数m,使得a,b,c成等差数列 C.a+2b+c的取值范围为(3,4 D.a2+b2+c2=9 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分。 2.已知集合A=x1r+x-2s0,B三x22l,则40B日 x+1 13.（x+1)(x-2)的展开式中x2的系数为 14已知双腊线号卡=1e>0b>D)的左右焦点为6，月，点P在双酯线的右支上，且PR⊥P5,APR行 的内切圆半径为a,则双曲线的离心率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知等差数列{an}的首项a,=1,等比数列{b,}的首项6=1，公比q>0,且a2=b,a,+b2=9. (1)求等差数列{an}的公差d和等比数列{b,}的公比9； (2)若cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Sm· 试卷第2页（共4页) 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，PC⊥平面ABCD,AD⊥AB,ABI/DC, AB=2AD=2CD,点E是PB的中点. (I)证明：平面PAD⊥平面PCD: (2)若平面PAD与平面ABCD所成锐二面角的正切值为1，求直线PD与平面ACE所成角的正弦值， 17.某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为 。：当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；，已知输入的问题表达不清晰的概率 为}、每次但答是谷被采纳相互独立。 (1)求智能客服的回答被采纳的概率： (2)在某次测试中输入了3个问题，设X表示智能客服的回答被采纳的次数，求X的分布列及期望： (3)公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不 采纳则不计分，记被采纳的回答数的总得分为Y,若E()≥75，则推广该系统.试推断该系统是否会得 到推广，请说明理由、 试卷第4页‘（共4页） 圆C:+Q>b>0的左、右顶点分别为么B,4, (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l与椭圆C交于M,N两点. ①若I过点P(4,1),求PMPW的最大值； ②设直线AM,BW的斜率分别为k,k2,且k=2k2,问直线l是否过定点？若是，求出该定点的坐标： 若不是，请说明理由 19.已知函数f(x)=ax2+x-ln(x+1),a∈R. (1)若x=2是f(x)的极值点，求a的值并说明x=2是极大值点还是极小值点； (2)若x≥0时，f(x)≤0，求a的取值范围： 1 @对因的定义球内的任意G<,正明：>+a+中 2一1 试卷第4页（共4页）