辽宁沈阳市东北育才学校双语校区2026-2027学年高三上学期第一次模拟测试数学试题

东北育才学校双语校区2026-2027学年度上学期 高三年级数学学科第一次模拟测试试题 一、单选题（每题5分，共40分，只有一项符合题目要求） 1．已知全集，，则（ ） A． B． C． D． 2．设为正项等差数列的前n项和．若，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 3．已知随机变量，且，且，则（ ） A． B． C． D． 4．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为，已知，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为（ ） A．10% B．20% C．30% D．40% 5．已知函数在（）上的最大值与最小值分别为M和m，则函数，函数图像的对称中心是（ ） A． B． C． D． 6．某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选A种菜的学生，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的学生，下星期一会有30%改选A种菜．用，分别表示在第n个星期的星期一选A种菜和选B种菜的学生人数，则与的关系可以表示为（ ） A． B． C． D． 7．已知定义在上的函数在上是减函数，若是奇函数，且，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 8．对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若函数的图像恰好有2对“隐对称点”，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分共18分；全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．下列有关函数的命题正确的是（ ） A．偶函数的定义域为，则 B．已知，则“”的必要不充分条件是“为奇函数” C．满足对任意的都有成立，则 D．若的定义域是，则的定义域为 10．已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A．当时，函数在上单调递增 B．当时，若存在，使不等式成立，则实数m的最小值为0 C．若函数存在两个极值，则实数a的最大值为 D．当时，若（），则的最小值为 11．假设在一定的环境下，某种电子元件的寿命（单位：年）是一个取值为正整数的随机变量X，且满足如下统计规律：对任意正整数n，寿命恰好为n的元件在所有寿命不小于n的元件中的占比为10%．记事件，事件，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．设，则 D．设，则 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知数列满足，且．设，则数列的前n项和______． 13．若函数与（其中）的图象有两条公共切线，则实数a的取值范围是______． 14．2026年春节，甲，乙等5个人在一个遂宁东辰校友微信群里发红包（每次发的红包只有1个人能抢到）．甲先发了一个红包，规定抢到红包的人必须立即再发一个新红包，且自己不能领，群里另外4个人等可能地领到．记第n次发出红包的人是乙的概率为．则______，______． 四、解答题（解答题5道，共77分） 15．（13分）已知数列的前n项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和． 16．（15分）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）若在上有解，求实数a的取值范围． 17．（15分）某空军基地进行发射炮弹演习训练，分成甲乙两队进行对抗训练，已知无障碍时甲、乙两队发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为，甲、乙两队空中拦截对方炮弹成功的概率分别为，，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗训练．经过数轮对抗训练后，当一方比另一方多击中对方目标两次时，演习训练结束．假定各轮结果相互独立．记在1轮对抗中，甲队击中乙队目标为事件A，乙队击中甲队目标为事件B． （1）求概率、； （2）设随机变量X表示经过1轮对抗后甲队与乙队击中对方目标次数之差，求X的分布列和数学期望； （3）求恰好经过3轮对抗后训练结束的条件下，甲队多击中乙队目标两次的概率． 18．（17分）已知函数，． （1）当时，求的单调区间． （2）函数，且． （ⅰ）证明：有唯一的极值点，且． （ⅱ）若为的零点，为的极值点，且，证明：． 19．（17分）为评估卫星导航系统在复杂电磁环境下的定位稳定性，科研团队进行了一项模拟测试．测试中一颗卫星向地面特定区域持续发送信号．已知该区域有n（）个相互独立的瞬时强干扰源，每个干扰源在任意一个单位测试时段内被激活的概率均为．当i（，1，2，…，n）个干扰源被激活时会导致卫星信号在该时段内发生i次随机误差，反之亦然．设X为该时段内被激活的干扰源数量． （1）若，且某个时段至少发生了2次信号误差，求该时段内恰好发生2次信号误差的概率； （2）若，连续进行多个时段的测试，直到出现下列两种情况之一停止测试：①某个时段内被激活的干扰源为3个；②连续3个时段内被激活的干扰源数量都是2个，求连续测试3个时段后停止测试的概率； （3）在测试中每次信号误差会产生一个误差值．记Y为单个干扰源激活时所产生的信号误差值，且Y的分布列为（，2，3），定义该时段内信号误差值Z为所有单个干扰源激活时所产生的信号误差值的和．若，求Z的分布列与期望． 学科网（北京）股份有限公司 $