专题08 相似三角形重要模型之手拉手模型（几何模型讲义）数学新教材北师大版九年级上册

专题08 相似三角形重要模型之手拉手模型 相似手拉手是旋转相似代表模型；全等手拉手只是相似比k=1特例。核心两步：①通过角的加减得到新一组相等夹角；②SAS证明拉手小三角形相似。该模型两大产出：拉手线段比值、拉手线夹角度数。学习重点不是死记结论，而是掌握SAS相似证明+8字型倒角这套完整推导链条；旋转无论转到哪个位置，模型本质不变。 命题偏好：同一个模型可以静态摆放，也可以动态旋转；旋转到不同位置结论仍然成立，可以设置多小问探究，非常适合做几何压轴。 目录 模型来源 2 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.“手拉手”模型（旋转模型） 2 易错总结 15 模型运用 16 A组（基础题） 16 B组（能力提升题） 20 C组（综合压轴题） 26 “手拉手”模型名称源于几何图形的动态特征：当两个具有‌公共顶点‌的相似三角形通过旋转或缩放后，连接对应顶点形成的图形如同两人“手拉手”。民间数学爱好者根据此特征命名，使其成为几何解题中的通用术语。虽模型归类为现代教学成果，但其数学思想早有体现：7世纪印度数学家‌婆罗摩笈多‌研究的圆内接四边形定理中，对角线交点与边的垂足关系隐含手拉手结构。 “手拉手”模型有以下特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个三角形可以重合；3）图形是任意三角形(只要这两个三角形是相似的)。 1）相似三角形SAS判定：两边对应成比例且夹角相等；AA判定； 2）等式性质：等量加等量、等量减等量，推导夹角相等； 3）三角形外角定理、对顶角； 4）旋转的性质：旋转不改变图形形状大小； 5）全等手拉手基础（作为特殊情况）。 模型1.“手拉手”模型（旋转模型） 【模型提炼与证明】 1.手拉手相似模型（任意三角形） 图1 图2 条件:如图1，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC. 证明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC， ∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE， ∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=， 2.手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图2，，； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 证明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD， ∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD， ∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴. 3.手拉手相似模型（特殊的等边三角形与等腰直角三角形） 图3 图4 条件:M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点； 结论：△BME∽△CMF；. 证明：∵M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点，∴，∠BMC=∠EMF=90°， ∴∠BMC-∠EMC=∠EMF-∠EMC，∴∠BME=∠CMF，∴△BME∽△CMF，∴， 条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°；. 证明：∵△ABC和ADE是等腰直角三角形，∴，∠BAC=∠DAE=45°， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE， ∴，∠ACE=∠ABD=90° 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级下·重庆·校考期末）综合与探究 【问题背景】我们学习了三角形的中位线定理，借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，如图1，探索小组利用这个基本图形进行了探究活动，探究发现：若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，请你和探索小组一起对此进行研究，如图1，在中，，，分别取，的中点D，E，作． (1)初步发现：如图1，由三角形中位线构造，可知：______． (2)猜想探究：如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，．旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (3)结论应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，则_______． (4)延伸思考：如图4，在中，，，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．分别取，的中点M，N．当绕点B旋转过程中，直接写出当面积最大时，的面积是_______． 【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴，∴， ∵，的中点为，，，∴，， ∴，∴； (2)解：，证明如下，由题可得，和是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴，∴； （3）解：由图1可得，，的中点为，，∴，， ∴，∴，∴如图3，当所在直线过点时，， ∴在中，， 由（2）可得，，∴，解得； （4）解：如图，∵在中，，，，∴， ∵分别取，的中点D，E，∴，，，， ∵分别取，的中点M，N，∴，， ∵N到的距离，∴当时，面积最大，此时． 如图，当N在上方时，由旋转的性质可知， ∴即点E在线段上，此时； 如图，当N在下方时，同理可知即点D在线段上，此时； 综上所述，当面积最大时，的面积是4． 【典例2】（25-26九年级上·山东济南·期末）在直角中，． (1)【基础回顾】在图1中，点D、E分别在边上，且，求的值； (2)【模型建构】图1中保持不动，将绕点A顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，连接，则（1）中的结论是否成立？请说明理由； (3)【综合探究】在图2中，延长交于点F，交于点G，连接，探究与之间的关系，并说明理由． 【详解】（1）解：∵，，∴设，则，∴， ∵，∴； (2)解：，不变，理由如下，在图1中，∵， ∴，，，即， 在图2中，由旋转的性质知，∵，∴，∴； (3)解：，理由如下，∵，∴， ∵，∴，∴，，即， ∵，∴，∴， ∴． 【典例3】（2025·广东东莞·二模）点C为和的公共顶点，将绕点C顺时针旋转，连接， (1)【问题发现】如图1所示，若和均为等边三角形，求证：； (2)【类比探究】如图2所示，若，，其他条件不变，请写出线段与线段的数量关系是______； (3)【拓展应用】如图3所示，若，，，，当点B，D，E三点共线时，求的长． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)或． 【详解】（1）证明：和均为等边三角形， ，，，， 在和中，，，； （2）解：，， ，，，，则， ，，，故答案为：； （3）解：，，， ，，，，， ，∴，， 当点D在线段上时，如图3，，，， 由得，， 则，； 当E在线段上时，如图4，则，， 综上，当点B，D，E三点共线时，的长为或 【典例4】（2025·江西新余·三模）【初步感知】（1）如图1，和相交于点，且，， ①则______（填“＜”“＞”或“＝”）； ②如图2，将图1中的绕点旋转，当点在外部，点在内部时，求证：； 【变式探究】（2）如图3，在与中，，．猜想，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图4，在四边形中，，，若，求，两点间的最大距离．    【答案】（1）①；②见解析；（2），证明见解析；（3）10 【详解】解：（1）①∵∴ ∵∴，∴∴ ∴，即故答案为：； ②证明：由①可知，，，，即，    又，，； （2）；理由如下：，， 又，，； （3）如图，连接，在的上方取点，使，． ，在中，，，， ，，，，， ，，，， 当时，，两点间的距离最大，，两点间的最大距离为10． 【典例5】（2026·山西·模拟预测）综合与实践 问题背景：在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形旋转的探究，已知和均为等边三角形，O是和的中点，将绕点O顺时针旋转． 猜想证明：(1)如图①，在旋转的过程中，当点E恰好在的延长线上时，交于点H，试判断的形状，并说明理由；(2)如图②，在旋转的过程中，当点E恰好落在边上时，连接，试猜想线段与线段的数量关系，并加以证明；(3)如图③，若，连接，设所在直线与所在直线交于点M，在旋转的过程中，当点B，F，E在同一直线上时，在M，O两点中的其中一点恰好是另一点与点C构成的线段的中点，请直接写出此时的长． 【答案】(1)为等腰三角形，理由见详解(2)，证明见详解(3)1或2 【详解】（1）解：为等腰三角形，理由：∵为等边三角形，∴，， ∵O是的中点∴，∵是等边三角形，∴， ∵，∴，∴，∴为等腰三角形； （2）解：， 证明如下：连接，∵均是等边三角形，∴， ∵点O为的中点，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴； （3）解：情况一，如图①，当点在同一直线上，连接， ∵点O为中点，∴，∵，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵点M为的中点，点O为中点，∴，∴，即，解得：； 情况二：∵为等边三角形，∴， ∵点O为中点，，∴，， 如图②，当点O为中点时，， ∵等边边长为2，∴在中，，∴， ∵此时三点共线，∴点B和点E重合， 又∵点M是直线与直线的交点，∴三点重合， ∴此时的长为的长，即，综上所述，此时的长为1或2． 【典例6】（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践 综合实践课上，同学们以矩形的旋转为主题开展探究活动． 已知有公共顶点的矩形和矩形，，，．先将矩形的边，分别落在矩形的边，上，再将矩形绕点顺时针旋转，旋转角为，连接，． (1)【问题初探】如图，当，时，与的数量关系是 ，与的数量关系是 ； (2)【类比推理】如图，当，时，试探究与的数量关系，请写出结论，说明理由； (3)【深入探究】如图，当，时，点为边的中点，直线交线段于点，若，则的长为 ； (4)【拓展延伸】如图，当，时，过点作，垂足为，在线段上取点，使，连接．若的面积为，则的取值范围是 ． 【详解】（1）解：当时，则，∴， ∵四边形和四边形都是矩形，∴， ∴，∴， ∴，∴，； (2)解：，证明如下：∵四边形和四边形都是矩形， ∴，∴，∴， ，，，； （3）解：如图所示，当点E在上方时，连接，过点B作于点T， ∵，∴；∵点M为的中点，∴； ∵四边形是矩形，∴；设，则， 在中，由勾股定理得， ∴，∴，∴，； ∵四边形是矩形，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∵， ∴，∴，∴三点共线，即点E与点T重合； ∴，由（2）得；如图所示，当点E在下方时， ∵四边形是矩形，∴，∴， 同理可得，∴，∴； 如图所示，过点E作交的延长线于点T， ∵四边形是矩形，∴，∴， ∴， ∴，∴； ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴； 综上所述，的长为3或； （4）解：如图4所示，过点P作于点M， ∵，∴，∴， ∵四边形是矩形，∴，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∵， ∴，∴； 在中，由勾股定理得，∴，∴， ∵，∴，又∵，∴． 【典例7】（25-26·山西太原·九年级校考期中）【问题情境】如图1，在中，，点D，E分别是边的中点，连接．如图2，将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为． 【观察发现】如图2，当时，_________． 【方法迁移】如图3，矩形中，点E，F分别是的中点．四边形为矩形，连接．如图4，将矩形绕点A逆时针旋转．旋转角为α，连接．请探究矩形旋转过程中，与的数量关系； 【拓展延伸】如图5，若将上题中的矩形改为“平行四边形”且，矩形改为“平行四边形”，其他条件不变，如图6，在平行四边形旋转过程中，直接写出_________．      【答案】观察发现：；方法迁移：；拓展延伸： 【详解】观察发现：如图1，∵分别是的中点，∴是的中位线， ∴, 由勾股定理得, ∴, 如图2，由旋转得∴即 又∵∴,∴故答案为 方法迁移：理由如下：连接，如图，              ∵，点E，F分别是的中点，∴， 在矩形中， 在中，由勾股定理得，同理可求得 ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴； 拓展延伸：连接过点A作于点H，如图5， ∵，点E，F分别是的中点，四边形分别是平行四边形， ∴∴∴∴ ∴∴ ∴同理可得，； 如图6，连接由旋转得，∴ 又∵∴∴故答案为：． 模型常见易错点 1）混淆全等手拉手与相似手拉手结论 错误：相似手拉手直接写AC=BD；只有k=1全等时拉手线才相等。 解决方案：先看是否OA=OB，OC=OD；边长不等得到的是比值相等，不是线段相等。 2）找错要证相似的两个三角形 错误：看见图形就证△OAB∽△OCD之后直接跳结论，分不清△OAC、△OBD。 解决方案：公共顶点O不动；“OA配OC，OB配OD”组成新三角形△OAC、△OBD；严格按顶点书写。 3）夹角推导时不会使用8字型倒角 错误：直接默写“拉手夹角等于顶角”，大题不给推导。 解决方案：解答大题不能直接默写结论；需要借助相似得到一组等角，再用8字型倒角完成角度证明。选填可以直接用结论提速。 4）角度加减出错，推不出∠AOC=∠BOD 错误：图形旋转重叠后，分不清是加公共角还是减公共角。 解决方案：两顶角同时加上中间角，或者同时减去中间重叠角；等式性质保证夹角相等。画图圈出∠AOB、∠COD，再看公共部分。 5）旋转之后图形位置改变，判定模型失效 解决方案：手拉手只看公共顶点、顶角相等、两边成比例；图形旋转翻转，结论不变。 解题方法总结 相似手拉手解答步骤 1）识图定位：锁定公共顶点O；确认两个三角形顶角相等，对应边成比例； 2）角度处理：利用等式性质（加/减公共角）证明相似；3）整理比例：由已知相似，变形得到比例式； 4）SAS证明三角形相似；5）得到拉手线段比值； 6）（如需证夹角）：由相似得到一组对应角相等；利用8字型倒角证明拉手线夹角等于顶角。 终极口诀： 共顶两三角，顶角要相等；加减公共角，夹角就生成； 两边成比例，SAS证相似；拉手看比值，八字证夹角。 1．（24-25·北京顺义·九年级校考期中）如图，和都是等腰直角三角形，．连接BD，CE．则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，，∴，∴．故选B． 2．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在中，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，满足，过点B作，垂足为E，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：设交于,如图，,, 将绕点按逆时针方向旋转得到,,,, ,, ,,,, ,,,, 设,则,,, ,,,, ,, 故答案为：. 3．（2026·广东深圳·校考一模）如图，在等腰直角中，，D为上一点，E为延长线上一点，且，，则 ． 【答案】 【详解】过点E作，交的延长线于点H， ，，，， ，，，，， ，，，， ，，， ．故答案为：． 4．（2023·湖南常德·中考真题）如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为 ．    【答案】/0.8 【详解】∵在中，，，，∴ ∵∴，∴∴∴ ∵∴∴ ∴∴．故答案为：． 5．（24-25·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图1，与都是等腰直角三角形，，连接．(1)求证：；(2)如图2，当平分，点C在上时，直接写出图中所有与相等的角．    【答案】(1)见详解 (2)，，， 【详解】（1）∵与都是等腰直角三角形∴， ∴,∴ ∴∴ （2）∵平分∴ ∵,∴, ∵∴同理（1）可得： ∴ ∵∴∴与相等的角有：，，， 6．（24-25·安徽滁州·九年级校考阶段练习）如图，点A在线段上，在的同侧作等腰和等腰，与、分别交于点P、M．求证：    (1)；(2)． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）证明：∵等腰和等腰， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， （2）∵，∴，且， ∴，∴，∴． 1．（2025·福建·校考一模）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，且有一个内角为72°，现将其绕点D顺时针旋转得到菱形A'B'C'D，线段AB与线段B'C'交于点P，连接BB'．当五边形A'B'BCD为正五边形时，即长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接BC'，AC'，如图： ∵五边形A'B'BCD为正五边形，∴∠CDA'==108°， ∵菱形ABCD绕点D顺时针旋转得到菱形A'B'C'D，且∠ADC=72°， ∴∠A'DC'=∠ADC=72°，∴∠CDC'=∠ADA'=108°-72°=36°， ∴∠CDC'=∠ADA'=∠ADC'=36°，∴点C'在对角线BD上，∠ABC'=36°， 由旋转的性质知AD=AB= DC'=2，∴∠DC'A=∠DAC'=72°， ∴∠C'AB=36°，∴C'A= C'B，设C'A= C'B=x，则BD= x+2， ∵∠BDA=∠BAC'=36°，∴△BDA∽△BAC'， ∴DA：AC'=BD：BA，即2：x=( x+2)：2， 整理得：x2+2x-4=0，解得x=，(负值已舍) ∵∠C'BP=36°，∠BC'P=72°，∴∠C'PB=72°，∴BP= C'A= C'B=，∴AP=3-， ∴，故选：B． 2．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，的顶点D在上运动，且，F为线段的中点，连接． （1）________．（2）在点D运动过程中，线段长度的最小值为________． 【答案】 2 【详解】解：（1）连接，如图所示：， ∵，，∴， ∴，，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵中，∴， ∴，即，故答案为：90； （2）∵是的中点，∴，∵，即，∴， ∴当时，最短，此时最短， 当时，的面积， ∴，∴，∴，故答案为：2． 3．（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______； (2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 【答案】(1)1(2)(3) 【详解】（1）解：∵，，， ∴、均为等边三角形，∴，，， 即：，∴， 在和中，，∴，∴，即：故答案为： （2）∵，，，∴、均为等腰直角三角形， ∴，，，即：，∴， 在和中，，∴∴即： （3）∵，D为AB的中点，，∴，， ∵，与交于点，∴， 在中，，∴如图5所示， 4．（2026·山东·校考一模）【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN． 【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）∠ABC=∠CAN，理由见解析． 【详解】解：（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形， ∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．∴∠BAM=∠CAN． ∵在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS）．∴∠ABC=∠ACN． （2）结论∠ABC=∠ACN仍成立．理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形， ∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．∴∠BAM=∠CAN． ∵在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC=∠ACN． （3）∠ABC=∠ACN．理由如下：∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN， ∴底角∠BAC=∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴， 又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC， ∴∠BAM=∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC=∠ACN． 5．（26-27九年级上·成都·单元复习）如图，四边形和四边形都是正方形，点C、F、G在一条直线上，连结并延长交边于点M． (1)求证：．(2)若，，求正方形的面积．(3)直接写出的值． 【答案】(1)证明：∵四边形和四边形都是正方形，，． ，． ．； （2）解：∵正方形，∴，∵，∴， 在中， ， ∵，∴，即， ∴，∴， ∵正方形中，， ∴，∴，∴正方形的面积； （3）解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴，，∴，∴． 6．（24-25九年级上·福建三明·期中）如图1，在中，，，，是内一个动点，，位于直线同侧，且，． (1)求证：；(2)已知平分，直线交于点，如图． 证明：当，，三点共线时，；设的中点为，求的最小值． 【答案】(1)证明：在中，，，，， ，，，，； (2)证明：取中点，连接，则，是等边三角形， ．由知，，， 平分，， ，，三点共线，， ． ，，又，， 取的中点，连接，，点是的中点，， ，，， 设，的延长线交于点，的中点为．则点是线段上的动点， 当时，最小，此时，，，则此时， 在中，，，设，则， 在中，，即，解得，即， 是的中点，，则，故，的最小值为． 1.（25-26九年级上·辽宁锦州·期中）旋转是一种基本的几何变换，它在图形的全等和图形的相似中发挥着重要的作用．如图1，与是具有公共顶点的两个等腰三角形，，，若，则有，可得，又因为，易得． 请你借助旋转变换解决下列问题： (1)如图2，点为正方形内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，以，为边构造正方形，连接，，请求出与的数量关系； (2)如图3，四边形中，交于点，若，求证：； (3)如图4，在中，，，，，，求的长． 【详解】（1）解：连接，， 四边形和四边形为正方形，． ．． ．∴ (2)证明：在延长线上取点，连接，使， ， ．．．即． 又，． ． （3）解：作，截取，连接， ，∵，．， ．． 在Rt中，由勾股定理可知． 作于点，则，， ∴，∴，∴，∴ 2．（25-26九年级上·山东·期末）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【问题发现】（1）如图①，在等边中，点P是边上一点，且，连接，以为边作等边，连接．则的长为 ； 【问题提出】（2）如图②，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接．试说明； 【问题解决】（3）如图③，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，点Q是正方形的对称中心，连接．若正方形的边长为8，，求正方形的边长． 【详解】（1）证明：∵与都是等边三角形， ∴，∴，∴， 在和中，，∴，∴；故答案为：； （2）证明：在等腰中，，． 在等腰中，，． ，．．． ，， ，∴，∴； （3）如图③，连接， 四边形是正方形，． 点是正方形的对称中心，． ．． ，．． ，．设，则， 在中，，即，解得． ，．正方形的边长为． 3．（25-26九年级上·四川成都·期中）在中，，，点在过点的直线上运动，连接，在右侧作，使得 ． (1)如图 1，连接，求证：；(2)当，时，连接． ①当 时，直线交于点 F ，当为等腰三角形时，连接 ，求 的长； ②若时，交线段于点，如图2，当时，求的度数． 【答案】(1)证明：，，，， ，，，； （2）解：①建立如图所示的平面直角坐标系， ∵，∴，∵，∴为钝角， ∵为等腰三角形，∴，∴，， ∴，作轴，∴， ∴，∴    ，∴， 设解析式为，代入坐标， 解得解析式为：，由题意， ∵轴，∴，设解析式为，代入坐标， 解得∴解析式为：， 联立，解得，∴； 在中，，， ∵，∴，∴， ∴，，作轴于点， ∵，∴，∴， ，，，，， 作轴，轴交于，由勾股定理得； ②如图，连接，过点作于点， ，，，， 和是等腰直角三角形，，， 由（1）知，，， 点，，共线，设，，， ，， ，，，， ，，， △是等腰直角三角形，， ，，，， ，，． 4.（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）综合与实践 （1）【问题发现】在学习了“特殊平行四边形”后，兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．通过观察图形，直接写出与的数量关系： ． （2）【类比探究】兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．如图2，已知矩形，，E为对角线上一动点，过点C作垂直于的射线，点F在射线上，且，连接．请判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】在（2）的条件下，点E在对角线上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长． 【详解】（1）结论：， 证明：∵四边形是正方形，∴，，， ∵，∴，即， ∴，∵，∴， 又∵，∴，∴，∴， （2），理由如下： ∵四边形是矩形，∴，， ∵，∴， ∴，∴． ∵，∴，∴， ∴，∴，∴． （3）分以下两种情况讨论： ①当四边形关于所在直线对称时，如图，此时交于点H，∴， ∵，， ∴，∴， ∵，， ； ②当四边形为矩形时，如图所示， ∴，，，∴， ，； 综上所述，线段的长为或． 5．（2026·湖北·中考真题）在中，，将绕点顺时针旋转（）得到，使得．(1)如图1，若，与交于点，作，垂足为． ①证明：；②求的值；③若，直接写出的值． (2)如图2，若，直接写出的值． 【答案】(1)①证明：，， ，，由旋转得，， ，； ②∵，，∴，由①得，∴， ∵，∴，，∴，∴，∴； ③由旋转得，，， 由②可得，∴，∵，∴， 设，则，，在中，， 在中，，∴， 解得（负值已舍去），∴； （2）解：过作交直线于， ∵，，∴，∴， ∴，∴，设，， ∴，，∴， 在中，， 在中，，由旋转得，，， ∴，∴，展开整理得， ∴，∴． 6．（24-25·江西抚州·九年级校考期中）将绕点按逆时针方向旋转度，并使各边长变为原来的倍，得，如图①所示，，我们将这种变换记为．    (1)如图①，对作变换得到，则_________；直线与直线所夹的锐角为_________度； (2)如图②，中，，对作变换得到，使点B、C、在同一直线上，连接且，求和的值； (3)如图③，中，，对作变换得到，便点在同一直线上，且，求和的值． 【答案】(1)；；(2)，(3)， 【详解】（1）解：如图，设直线BC与直线的交点为H，交BH于O．    根据题意得：，，， ，∴， ∵ ，，∴，直线与直线所夹的锐角为； （2）∵，则，同理：， ∴，，， ∵共线，∴，而，， ∴，∴ ∵，则，∵四边形是矩形，∴． ∴． 在中，，，∴，∴； （3）∵，∴， 同理可得：，， ∵，∴，而， ∴，，∴，， ∴，，∴四边形 是平行四边形，∴， ∵，∴， ∴，而，∴ ，∴（负根舍）， ∴，∴． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 相似三角形重要模型之手拉手模型 相似手拉手是旋转相似代表模型；全等手拉手只是相似比k=1特例。核心两步：①通过角的加减得到新一组相等夹角；②SAS证明拉手小三角形相似。该模型两大产出：拉手线段比值、拉手线夹角度数。学习重点不是死记结论，而是掌握SAS相似证明+8字型倒角这套完整推导链条；旋转无论转到哪个位置，模型本质不变。 命题偏好：同一个模型可以静态摆放，也可以动态旋转；旋转到不同位置结论仍然成立，可以设置多小问探究，非常适合做几何压轴。 模型来源 2 知识储备 2 例讲模型 3 模型1.“手拉手”模型（旋转模型） 3 易错总结 8 模型运用 9 A组（基础题） 9 B组（能力提升题） 11 C组（综合压轴题） 14 “手拉手”模型名称源于几何图形的动态特征：当两个具有‌公共顶点‌的相似三角形通过旋转或缩放后，连接对应顶点形成的图形如同两人“手拉手”。民间数学爱好者根据此特征命名，使其成为几何解题中的通用术语。虽模型归类为现代教学成果，但其数学思想早有体现：7世纪印度数学家‌婆罗摩笈多‌研究的圆内接四边形定理中，对角线交点与边的垂足关系隐含手拉手结构。 “手拉手”模型有以下特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个三角形可以重合；3）图形是任意三角形(只要这两个三角形是相似的)。 1）相似三角形SAS判定：两边对应成比例且夹角相等；AA判定； 2）等式性质：等量加等量、等量减等量，推导夹角相等； 3）三角形外角定理、对顶角； 4）旋转的性质：旋转不改变图形形状大小； 5）全等手拉手基础（作为特殊情况）。 模型1.“手拉手”模型（旋转模型） 【模型提炼与证明】 1.手拉手相似模型（任意三角形） 图1 图2 条件:如图1，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC. 证明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC， ∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE， ∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=， 2.手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图2，，； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 证明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD， ∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD， ∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴. 3.手拉手相似模型（特殊的等边三角形与等腰直角三角形） 图3 图4 条件:M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点； 结论：△BME∽△CMF；. 证明：∵M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点，∴，∠BMC=∠EMF=90°， ∴∠BMC-∠EMC=∠EMF-∠EMC，∴∠BME=∠CMF，∴△BME∽△CMF，∴， 条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°；. 证明：∵△ABC和ADE是等腰直角三角形，∴，∠BAC=∠DAE=45°， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE， ∴，∠ACE=∠ABD=90° 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级下·重庆·校考期末）综合与探究 【问题背景】我们学习了三角形的中位线定理，借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，如图1，探索小组利用这个基本图形进行了探究活动，探究发现：若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，请你和探索小组一起对此进行研究，如图1，在中，，，分别取，的中点D，E，作． (1)初步发现：如图1，由三角形中位线构造，可知：______． (2)猜想探究：如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，．旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (3)结论应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，则_______． (4)延伸思考：如图4，在中，，，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．分别取，的中点M，N．当绕点B旋转过程中，直接写出当面积最大时，的面积是_______． 【典例2】（25-26九年级上·山东济南·期末）在直角中，． (1)【基础回顾】在图1中，点D、E分别在边上，且，求的值； (2)【模型建构】图1中保持不动，将绕点A顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，连接，则（1）中的结论是否成立？请说明理由； (3)【综合探究】在图2中，延长交于点F，交于点G，连接，探究与之间的关系，并说明理由． 【典例3】（2025·广东东莞·二模）点C为和的公共顶点，将绕点C顺时针旋转，连接， (1)【问题发现】如图1所示，若和均为等边三角形，求证：； (2)【类比探究】如图2所示，若，，其他条件不变，请写出线段与线段的数量关系是______； (3)【拓展应用】如图3所示，若，，，，当点B，D，E三点共线时，求的长． 【典例4】（2025·江西新余·三模）【初步感知】（1）如图1，和相交于点，且，， ①则______（填“＜”“＞”或“＝”）； ②如图2，将图1中的绕点旋转，当点在外部，点在内部时，求证：； 【变式探究】（2）如图3，在与中，，．猜想，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图4，在四边形中，，，若，求，两点间的最大距离．    【典例5】（2026·山西·模拟预测）综合与实践 问题背景：在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形旋转的探究，已知和均为等边三角形，O是和的中点，将绕点O顺时针旋转． 猜想证明：(1)如图①，在旋转的过程中，当点E恰好在的延长线上时，交于点H，试判断的形状，并说明理由；(2)如图②，在旋转的过程中，当点E恰好落在边上时，连接，试猜想线段与线段的数量关系，并加以证明；(3)如图③，若，连接，设所在直线与所在直线交于点M，在旋转的过程中，当点B，F，E在同一直线上时，在M，O两点中的其中一点恰好是另一点与点C构成的线段的中点，请直接写出此时的长． 【典例6】（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践 综合实践课上，同学们以矩形的旋转为主题开展探究活动． 已知有公共顶点的矩形和矩形，，，．先将矩形的边，分别落在矩形的边，上，再将矩形绕点顺时针旋转，旋转角为，连接，． (1)【问题初探】如图，当，时，与的数量关系是 ，与的数量关系是 ； (2)【类比推理】如图，当，时，试探究与的数量关系，请写出结论，说明理由； (3)【深入探究】如图，当，时，点为边的中点，直线交线段于点，若，则的长为 ； (4)【拓展延伸】如图，当，时，过点作，垂足为，在线段上取点，使，连接．若的面积为，则的取值范围是 ． 【典例7】（25-26·山西太原·九年级校考期中）【问题情境】如图1，在中，，点D，E分别是边的中点，连接．如图2，将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为． 【观察发现】如图2，当时，_________． 【方法迁移】如图3，矩形中，点E，F分别是的中点．四边形为矩形，连接．如图4，将矩形绕点A逆时针旋转．旋转角为α，连接．请探究矩形旋转过程中，与的数量关系； 【拓展延伸】如图5，若将上题中的矩形改为“平行四边形”且，矩形改为“平行四边形”，其他条件不变，如图6，在平行四边形旋转过程中，直接写出_________．      模型常见易错点 1）混淆全等手拉手与相似手拉手结论 错误：相似手拉手直接写AC=BD；只有k=1全等时拉手线才相等。 解决方案：先看是否OA=OB，OC=OD；边长不等得到的是比值相等，不是线段相等。 2）找错要证相似的两个三角形 错误：看见图形就证△OAB∽△OCD之后直接跳结论，分不清△OAC、△OBD。 解决方案：公共顶点O不动；“OA配OC，OB配OD”组成新三角形△OAC、△OBD；严格按顶点书写。 3）夹角推导时不会使用8字型倒角 错误：直接默写“拉手夹角等于顶角”，大题不给推导。 解决方案：解答大题不能直接默写结论；需要借助相似得到一组等角，再用8字型倒角完成角度证明。选填可以直接用结论提速。 4）角度加减出错，推不出∠AOC=∠BOD 错误：图形旋转重叠后，分不清是加公共角还是减公共角。 解决方案：两顶角同时加上中间角，或者同时减去中间重叠角；等式性质保证夹角相等。画图圈出∠AOB、∠COD，再看公共部分。 5）旋转之后图形位置改变，判定模型失效 解决方案：手拉手只看公共顶点、顶角相等、两边成比例；图形旋转翻转，结论不变。 解题方法总结 相似手拉手解答步骤 1）识图定位：锁定公共顶点O；确认两个三角形顶角相等，对应边成比例； 2）角度处理：利用等式性质（加/减公共角）证明相似；3）整理比例：由已知相似，变形得到比例式； 4）SAS证明三角形相似；5）得到拉手线段比值； 6）（如需证夹角）：由相似得到一组对应角相等；利用8字型倒角证明拉手线夹角等于顶角。 终极口诀： 共顶两三角，顶角要相等；加减公共角，夹角就生成； 两边成比例，SAS证相似；拉手看比值，八字证夹角。 1．（24-25·北京顺义·九年级校考期中）如图，和都是等腰直角三角形，．连接BD，CE．则的值为（    ） A． B． C． D．2 2．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在中，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，满足，过点B作，垂足为E，连接，若，则的长为 ． 3．（2026·广东深圳·校考一模）如图，在等腰直角中，，D为上一点，E为延长线上一点，且，，则 ． 4．（2023·湖南常德·中考真题）如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为 ．    5．（24-25·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图1，与都是等腰直角三角形，，连接．(1)求证：；(2)如图2，当平分，点C在上时，直接写出图中所有与相等的角．    6．（24-25·安徽滁州·九年级校考阶段练习）如图，点A在线段上，在的同侧作等腰和等腰，与、分别交于点P、M．求证：    (1)；(2)． 1．（2025·福建·校考一模）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，且有一个内角为72°，现将其绕点D顺时针旋转得到菱形A'B'C'D，线段AB与线段B'C'交于点P，连接BB'．当五边形A'B'BCD为正五边形时，即长为（    ） A．1 B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，的顶点D在上运动，且，F为线段的中点，连接． （1）________．（2）在点D运动过程中，线段长度的最小值为________． 3．（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______； (2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 4．（2026·山东·校考一模）【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN． 【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由． 5．（26-27九年级上·成都·单元复习）如图，四边形和四边形都是正方形，点C、F、G在一条直线上，连结并延长交边于点M． (1)求证：．(2)若，，求正方形的面积．(3)直接写出的值． 6．（24-25九年级上·福建三明·期中）如图1，在中，，，，是内一个动点，，位于直线同侧，且，． (1)求证：；(2)已知平分，直线交于点，如图． 证明：当，，三点共线时，；设的中点为，求的最小值． 1.（25-26九年级上·辽宁锦州·期中）旋转是一种基本的几何变换，它在图形的全等和图形的相似中发挥着重要的作用．如图1，与是具有公共顶点的两个等腰三角形，，，若，则有，可得，又因为，易得． 请你借助旋转变换解决下列问题： (1)如图2，点为正方形内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，以，为边构造正方形，连接，，请求出与的数量关系； (2)如图3，四边形中，交于点，若，求证：； (3)如图4，在中，，，，，，求的长． 2．（25-26九年级上·山东·期末）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【问题发现】（1）如图①，在等边中，点P是边上一点，且，连接，以为边作等边，连接．则的长为 ； 【问题提出】（2）如图②，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接．试说明； 【问题解决】（3）如图③，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，点Q是正方形的对称中心，连接．若正方形的边长为8，，求正方形的边长． 3．（25-26九年级上·四川成都·期中）在中，，，点在过点的直线上运动，连接，在右侧作，使得 ． (1)如图 1，连接，求证：；(2)当，时，连接． ①当 时，直线交于点 F ，当为等腰三角形时，连接 ，求 的长； ②若时，交线段于点，如图2，当时，求的度数． 4.（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）综合与实践 （1）【问题发现】在学习了“特殊平行四边形”后，兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．通过观察图形，直接写出与的数量关系： ． （2）【类比探究】兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．如图2，已知矩形，，E为对角线上一动点，过点C作垂直于的射线，点F在射线上，且，连接．请判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】在（2）的条件下，点E在对角线上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长． 5．（2026·湖北·中考真题）在中，，将绕点顺时针旋转（）得到，使得．(1)如图1，若，与交于点，作，垂足为． ①证明：；②求的值；③若，直接写出的值． (2)如图2，若，直接写出的值． 6．（24-25·江西抚州·九年级校考期中）将绕点按逆时针方向旋转度，并使各边长变为原来的倍，得，如图①所示，，我们将这种变换记为．    (1)如图①，对作变换得到，则_________；直线与直线所夹的锐角为_________度； (2)如图②，中，，对作变换得到，使点B、C、在同一直线上，连接且，求和的值； (3)如图③，中，，对作变换得到，便点在同一直线上，且，求和的值． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $