专题07 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型）（几何模型讲义）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学讲义以“母子型相似三角形”为核心，通过历史脉络梳理、知识储备整合、模型分类图示构建知识体系，用证明步骤框架图呈现普通母子型、双垂直模型等四类模型的条件与结论，突出公共角+等角的识别和等积式转化的重难点。 讲义亮点在于分层练习设计（A组基础题至C组压轴题）和“易错点口诀+解题步骤”指导，如通过典例3射影定理证明培养推理意识，用复杂图形剥离法提升几何直观，助力不同层次学生掌握模型应用，为教师精准教学提供系统支持。

专题07 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型） 母子型（共边共角）是相似三角形最核心工具模型，在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率。普通母子型依靠公共角+一组等角建立线段平方乘积关系；射影定理是直角条件下特殊母子组合。该模型最大价值就是把分散线段转化等积式；学习重点不在于背诵公式，而在于复杂图形中识别“公共角+一组等角”结构，大题规范书写相似证明过程，避免步骤失分。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 2 易错点与方法总结 11 模型运用 12 A组（基础题） 12 B组（能力提升题） 17 C组（综合压轴题） 22 相似三角形的比例性质源于欧几里得《几何原本》，但未明确形成“母子模型”的命名。其核心原理（如共角共边的三角形相似性）已蕴含其中。后来在直角三角形中，斜边上的高将原三角形分割为两个小直角三角形，三者互为相似形，由此衍生出‌射影定理‌，构成母子模型的数学内核。此时尚未出现“母子”的拟人化命名。 直到20世纪80年代现代教学归纳出‌形象化命名“母子模型”。‌后来该模型被纳入初中数学教材，作为相似三角形证明的核心模型之一。其核心价值在于简化比例证明，例如通过母子关系直接推导线段比例式。 1）相似三角形判定定理：“AA”（两角对应相等，两三角形相似），“SAS”，“SSS”；重点掌握“AA”判定； 2）相似三角形对应边成比例，比例式转化等积式； 3）直角三角形两锐角互余，同角的余角相等； 4）勾股定理基础计算。 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 【模型提炼与证明】 “母子型”模型（共边共角模型）：（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级下·上海宝山·阶段练习）如图，在中，点是的黄金分割点，如果，，则 ． 【答案】 【详解】解：点是的黄金分割点，， ，，，，， ， ，故答案为：． 【典例2】（2025·辽宁抚顺·三模）如图，在中，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点．以下结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，，平分， ∵在中，，，∴ ∵平分，∴，故A正确； ∵平分，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴，故B正确； ∵，∴，∴， 设，则，∴，∴，解得， ∴，，∴，故C错误； 过点E作于G，于H，    ∵平分，，，∴ ∴，故D正确；故选：C． 【典例3】（2023·湖南·中考真题）在中，是斜边上的高． (1)证明：；(2)若，求的长．    【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵是斜边上的高．∴， ∴，∴ 又∵∴， （2）∵∴，又∴． 【典例4】（2026·广西南宁·三模）阅读与思考，完成后面的问题． 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．如图，在中，，是斜边上的高，则有如下结论： ①；②；③．下面是该定理的证明过程（部分）： ∵是斜边上的高，∴．∵，， ∴．∴（依据）．∴．即． (1)材料中的“依据”是指　　　　；(2)选择②或③其中一个结论加以证明； (3)应用：中，，，，点A在y轴上，求顶点A的坐标． 【答案】(1)两角分别对应相等的两个三角形相似(2)见解析(3)顶点A的坐标为或 【详解】（1）解：“依据”是：两角分别对应相等的两个三角形相似， 故答案为：两角分别对应相等的两个三角形相似； （2）证明：②，理由如下：∵，，∴， ∵，∴，∴∴； ③，理由如下：∵，，∴， ∵，∴，∴∴； （3）解：如图，根据题意以为坐标原点建立平面直角坐标系，∵，，∴，， ∵，，∴，∴，∴顶点A的坐标为或． 【典例5】（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，等边的边长为4，点在同一直线上，．(1)求证：；(2)直接写出的长为_________． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴， ∴，∴，∵，∴； （2）解：∵等边的边长为4，∴， ∵，∴，即，∴，∴， ∵，，∴， ∴，即，∴（负值舍去）． 【典例6】（24-25九年级下·安徽宣城·校考期中）如图，在中，，是高，平分，分别与相交于点。(1)求证：；(2)求证：； (3)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：，， 为边上的高，，，， 是的平分线，， （2）证明：，，， ，，，，， （3）解：如图，作于，， ，， ， ，，，， ，，， 得，∴，∴， 由（2）知，即，又∵， ∴，∴（负值舍去），，∵平分，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∵，，∴ ∴，∴． 【典例7】（2026·河南校考一模）三角形的布洛卡点（Brocardpoint）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．LCrelle1780-1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard1845-1922）重新发现，并用他的名字命名．如图1，若内一点P满足，则点P是的布洛卡点，是布洛卡角． （1）如图2，点P为等边三角形ABC的布洛卡点，则布洛卡角的度数是______；PA、PB、PC的数量关系是______； （2）如图3，点P为等腰直角三角形ABC（其中）的布洛卡点，且． ①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明；②若的面积为，求的面积． 【答案】（1）30°，；（2）①，证明见解析；（3）． 【详解】解：（1）由题意知：， 为等边三角形，，AB=BC=AC, ，，， ，，同理可证得出：， ，故答案是：30°，． （2）① 证明：∵是等腰直角三角形∴，即， ∵，∴，又∵，∴. （3）∵是等腰直角三角形，∴，∴. ∵，∴，∴，，，∴. ∵，∴. 在中，∵，，由勾股定理得，， ∴，∴∴． 【典例8】（2025·河南·模拟预测）我校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，发现直角三角形斜边上的高分得的两个三角形与原三角形都相似，从而进行了深入研究． （一）拓展探究如图1，在中，，，垂足为， （1）兴趣小组的同学得出了三个结论：①，②，③．请选择其中一个进行证明．（2）如图2，为线段延长线上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用（3）如图3，是直角三角形，，，，平面内一点，满足，，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）是直角三角形；理由见解析；（3） 【详解】解：（1）选①证明：，，， ，，，； 选②证明：，，， ，，，； 选③证明：，，， ，， ，，； （2）是直角三角形；理由如下： ，，， ，，，，， ，，， ，，，是直角三角形； （3）线段的长为．理由如下：是直角三角形，，，，如图，过作交的延长线于，过作交于，过作交于，， ，，，， ，，，，，， ，，， ，，， ，，，，解得：， 是定值，且是定值， 在直线上运动，当时，取得最小值，此时与重合，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 故当线段的长度取得最小值时，线段的长为． 模型常见易错点 1）等积式写反，线段匹配出错 解决方案：口诀：公共边做平方项；先找哪条边是两个三角形公共边，公共边放在等式左边平方。不要死背公式，考场临时写相似比例再交叉相乘。 2）解答大题直接写射影定理等式，不证相似 错误：大题直接“由射影定理得xxx”，造成步骤扣分。 解决方案：选填直接用；解答题先写两组角相等，证明相似，再列出比例式，交叉相乘得到等积式。 3）强行套母子模型，没有公共角/没有一组等角 错误：图形看着像，角度条件不足直接套用乘积公式。 解决方案：母子相似前提：公共角 + 另外一组角相等，两个条件缺一不可；条件不足不能使用。 4）复杂图形找不到母子基本图 错误：图形里面有圆、四边形干扰，识别不出共边共角小三角形。 解决方案：圈出公共角，再寻找一组相等角；用笔把两个相似小三角形描出来，剥离背景图形。 5）分不清普通母子和射影母子条件 解决方案：射影定理必须同时满足两个条件：直角三角形 + 斜边作高；普通母子只需要公共角+一组等角。 解题方法总结 普通母子型（共边共角）解题步骤 1）识图：找到两个三角形的公共角；寻找给出或者推导出来的另一组相等角；2）判定相似：利用AA证明相似；3）写出对应边比例式，确认公共边位置；4）交叉相乘得到等积式；5）代入已知线段数值求解未知边长。 直角射影母子解题步骤 1）标记直角，垂直条件，推导两组角相等（同角的余角相等）；2） AA证明两组三角形相似；3）列比例，交叉相乘写出等积等式；4）结合勾股定理完成计算。 口诀：母子共角找公边，一组等角证相似；公边平方等积现，射影直角加高现；选填可速算，大题证相似。 1.（2025·湖南·模拟预测）如图，D是的边上一点，，，．若的面积为6，则的面积为（    ） A．6 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：∵，，∴， ∵，，∴，∴，∴，故选：B． 2．（25-26·山西晋中·九年级统考阶段练习）如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、由，满足两组对角相等，可判断，故此选项不符合题意； B、由，满足两组对角相等，可判断，故此选项不符合题意； C、由，但夹角不相等，不能判断，故此选项符合题意； D、由，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故此选项不符合题意，故选：C． 3．（25-26九年级上·陕西汉中·期中）如图，点、在线段上，且是等腰直角的底边．当时（与、与分别为对应顶点）， ．    【答案】 【详解】解：∵是等腰直角三角形，且为底边， ∴，∴， ∵，∴， ∴，故答案为：． 4．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明． 【答案】见解析． 【详解】解：若选①， 证明：∵，∴，，∴， ∵，∴，∴，又，∴． 选择②，不能证明． 若选③， 证明：∵，∴，∴， 又∵，∴． 5．（25-26·福建福州·八年级校考期末）已知：如图，在中，为边的中点，连接，，，求的长．    【答案】 【详解】解：∵，，， 为AB边的中点，，∴，，∴，，（负根舍去）． 6．（24-25·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，，平分，连接交于.(1)求证：；(2)若，，求的长. 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：∵平分，∴， 又∵，∴，∴，即． （2）解：在中，，，则， 又∵，∴． 7．（24-25九年级下·浙江宁波·期末）【证明体验】 （1）如图1，在中，是边上的点，连结，若，求证：． 【思考探究】（2）如图2，在中，，，，是边上的点，连结，是的中点，连结．若，求的长． 【答案】（1）证明见解答；（2）的长为2 【详解】（1）证明：，， ，； （2）解：如图，延长至，使，连接，则为的中点， ∵为中点，∴是的中位线，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴， 在中，，则， ∴， 设，则，， ，解得：， ，∴（不符合题意，舍去），∴的长为2． 8.（24-25九年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，，，垂足为D． (1)求证：．(2)若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴，， ∴，∴； （2）解：∵，∴， ∵，，∴，解得． 9.（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，是上的点，已知是等边三角形，，，．(1)证明：；(2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：是等边三角形，，， ， ，，，，， 又，； （2）解：，， ，，． 1．（24-25·山东威海·九年级校联考期中）如图，中，点在上，，若，，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，延长到，使，连接，∴ ∵，，∴， ∴，∴，即，解得：，故答案为：． 2．（25-26广东·九年级专题练习）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 【答案】(1)为的理想点,理由见解析(2)或 【解析】（1）解：点是的“理想点”，理由如下： 是中点，，，， ，，，， ，，，点是的“理想点”； （2）①在上时，如图： 是的“理想点”，或， 当时，，， ，即是边上的高， 当时，同理可证，即是边上的高， 在中，，，，， ，， ②，，有， “理想点” 不可能在边上， ③在边上时，如图：是的“理想点”，， 又，，，即，， 综上所述，点是的“理想点”， 的长为或． 3．（2025·广东深圳·三模）实践探究． 【定义】在中，是边上一点，若，则称点是边关于边的“白银点”． 【概念理解】（1）如图（a），请你利用尺规作图在中作出边关于边的“白银点”．（不要求写作法，保留作图痕迹） 【性质应用】（2）如图（b），在中，若，，，点是边关于边的“白银点”，请你求出的值． 【拓展提升】（3）①如图（c），在中，若，，，请你求出的值． ②如图（d），在中，若，，，请你求出的值． 【答案】（1）见解析；（2）3；（3）①5；② 【详解】解：（1）如图，点即为所作； （2）∵点是边关于边的“白银点”，∴，即 又，∴，∴， 又，，∴，∴； （3）①如图，作的角平分线交于点D，∴， 又∵，∴，∴，∵，∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ②过点作于点，如图，∴， ∵，∴，∴； 作的平分线交于点，∴，∴， 又，∴∴， 又，，∴，，；∴； 又,，∴， ∴，∴，解得：． 4．（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）如图，是直角三角形，于是上的点，的延长线与的延长线交于点，且． (1)求证：；(2)若，求的长． 【答案】(1)证明：，，， ，，， ，，． 又，，，． （2）解：，．由（1）可知，，． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，点D，E在的边上，点F在边上，连接，，，且，，， (1)求证：；(2)若， 时，求的长． 【答案】(1)证明：∵，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴； （2）解：∵，，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 解得（负值舍去），∴． 6．（26-27九年级上·成都·单元复习）有这样一道练习题： 找出图中所有的相似三角形，并说明理由． (1)数学兴趣小组的同学对本题进行深入研究得出．理由如下： ，，，， ，（依据②）， ，． 请完成填空：①______________；②依据是________________________；③___________________． (2)如上图，若以所在直线为轴，所在直线为轴，点为坐标原点，当，时，则点的坐标为______________． (3)如图，在中，，，垂足为，为线段上一点，连结并延长至点，连结．若，，，求的长． 【答案】(1)；两角分别相等的两个三角形相似；(2)(3) （2）解：由题意，得，，， 由（1）可得，， ，点的坐标为； （3）解：，，， ，， 由（1）可知，， ，，，， ，． 1．（2026·宁夏银川·一模）如图，在中，，，以点C为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．有以下结论个结论：①，②，③，④其中正确的有几个（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵，，∴， 由作图可知：，为的角平分线，∴，故①正确， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴，故②正确， ∵，，∴，∴，即， 整理得：，∴，∵，∴，故③错误， 如图，过点作于，于， ∵，∴，∴， ∵，∴，整理得：，解得：， ∴（负值舍去），即，故④正确， 综上所述：正确的结论为①②④，共个，故选：C． 2．（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，点为边上一点，若为“反直角三角形”，则的长为______． 【答案】或11 【详解】解：，， ，，， 若为“反直角三角形”，①当时，过点作于点， ，，，， ，， ，，，，，； ②当时，过点作交于点， ，，， ，，，，， 设，则，，，， ，，； ③当时，如图，在上截取，连接，过点作于，过点作于，则，，又，，， ，，，，，， ，即，，， 同理可得：，，即，， 又，，，即点在的延长线上，不符合题意； ④当时， 当点与点重合时，最小，此时，同③理可证，此种情况不存在； 综上可知，的长为或，故答案为：或． 3．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）数学实验能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图①）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点D为边上一点，连接． 【初步探究】(1)如图①，在中，，，则 ． (2)如图②，若，求证：； 【尝试应用】(3)如图③，在（2）的条件下，若点D为的中点，，求的长； 【创新提升】(4)如图④，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长为 ． 【详解】（1）解：∵，，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴； (2)证明：∵，，∴，∴，∴； （3）解：由（2）可知，，，∴， 又∵点D为的中点，即，∴，∴，即， ∵，∴，∴； （4）解：如图，取的中点，连接， ∵点为的中点，∴是的中位线，∴，，∴， ∵，∴，，∴，， 又∵，∴，∴， ∵，，∴，，∴， ∴，∴，∴， 在中，，，即， ∴（负值已舍），∴． 4．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． 【理解】（1）如图1，若四边形是以为“相似对角线”的四边形，，，，求出的长度． （2）如图2，在四边形中，，，对角线平分，．请问是四边形的“相似对角线”吗？请说明理由； 【运用】 （3）如图3，已知是四边形的“相似对角线”，．连接，若的面积为，求的长 【详解】解：（1）四边形是以为“相似对角线”的四边形，∴或， ∵，，，由勾股定理得，， 当时，∴，∴，∴， 当时，∴，∴，∴，综上：或； （2）是四边形的“相似对角线”， 理由如下：，平分，，， ，， ，∴是四边形的“相似对角线”； （3）如图3，∵是四边形的“相似对角线”，∴与相似． 又，，∴，， 过点E作垂足为Q，可得， ∵，∴， ，，∴． 5．（25-26九年级上·福建漳州·期中）【知识探究】如图，在中，，若，垂足为点D，则有，请完成证明； 【结论应用】如图，在菱形中，过点C作交的延长线于点E，过点E作交边于点F，当时，求的值； 【拓展提升】如图，在菱形中，，点E在上，且，点F为上一点，连接，过点E作交于点G，，求的值． 【答案】知识探究：证明：在中，，，， ，，，； 结论应用：，， 在菱形中，，，，， ，设，则， ，，，； 拓展提升：连接，延长交于点M，作于点H， 在菱形中，，，， ，，， ，，，， ，，，，， ，，， ，即，解得：或，，或． 6．（2025·广东·一模）【探究发现】 （1）如图①所示，在等腰直角中，点D，O分别为边，上一点，且，延长交射线于点E，则有下列命题：①；②；③； 请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程； 【类比迁移】（2）如图②所示，在等腰中，，，点D，O分别为边，上一点，且，延长交射线于点E，若，求的值； 【拓展应用】（3）在等腰中，，，，点D，O分别为射线，上一点，且，延长交射线于点E，当为等腰三角形时，请直接写出的长（用a，b表示）． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或或． 【详解】解：（1）选择①，是真命题． 证明：∵为等腰直角，∴，， 又∵，∴，∴， ∵，∴．②③都是真命题．同理可证②，③． （2）如图②，∵，，∴， ∴，，∴，，∵，∴， 又∵，∴，∴， 设，则，，代入得：，解得：，∴． （3）或或． 解：（Ⅰ）如图③，当点D在线段上时， ∵，∴∵∴∴ ∵∴，∴，即， 所以设，，，∵， ∴为等腰三角形时，只有这种情况， 即，解得：∴ （Ⅱ）如图④，当点D在线段延长线上时， 同（Ⅰ）可证，∴，即， 所以设，，， ∴（i）若时，即有，解得：，∴ （ii）若时，， 同（Ⅰ）可证：，即有， 解得：，由得：，解得：∴ （iii）若时，即O在线段的中垂线上，又因为O已在的中垂线上，，所以矛盾，不存在这种情形．综上：或或． 7．（24-25浙江绍兴·九年级期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形． （1）如果与互为母子三角形，则的值可能为（    ） A．2     B．     C．2或 （2）已知：如图1，中，是的角平分线，． 求证：与互为母子三角形． （3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形．求的值． 【答案】（1）C；（2）见解析；（3）或3． 【详解】（1）∵与互为母子三角形，∴或2故选：C （2）是的角平分线，，，． 又，与互为母子三角形．        （3）如图，当分别在线段上时， 与互为母子三角形，，， 是中线，，又，． ，，． 如图，当分别在射线上时， 与互为母子三角形，，， 是中线，，又，． ，，．综上所述，或3 8.（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．在中，点为边上一点，连接． (1)初步探究：如图2，若，求证：； (2)尝试应用：如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； (3)创新提升：如图4，点为中点，连接，若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：∵，，∴，∴，∴； （2）解：∵点为中点，∴设，由（1）知， ∴，∴， ∴与的相似比为，∴，∵∴； （3）解：过点作的平行线交的延长线于点，过作，如图1所示： ∵点为中点，∴设， ∵，∴，， 在中，，则由勾股定理可得，过点作于点，如图2所示： ∴，∴，∴，∴，，∴，∴， ∵，点为中点，∴，，， 又∵，∴，， ∴，又∵，∴，， ∴，即，∴，∴． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型） 母子型（共边共角）是相似三角形最核心工具模型，在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率。普通母子型依靠公共角+一组等角建立线段平方乘积关系；射影定理是直角条件下特殊母子组合。该模型最大价值就是把分散线段转化等积式；学习重点不在于背诵公式，而在于复杂图形中识别“公共角+一组等角”结构，大题规范书写相似证明过程，避免步骤失分。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 2 易错点与方法总结 11 模型运用 12 A组（基础题） 12 B组（能力提升题） 17 C组（综合压轴题） 22 相似三角形的比例性质源于欧几里得《几何原本》，但未明确形成“母子模型”的命名。其核心原理（如共角共边的三角形相似性）已蕴含其中。后来在直角三角形中，斜边上的高将原三角形分割为两个小直角三角形，三者互为相似形，由此衍生出‌射影定理‌，构成母子模型的数学内核。此时尚未出现“母子”的拟人化命名。 直到20世纪80年代现代教学归纳出‌形象化命名“母子模型”。‌后来该模型被纳入初中数学教材，作为相似三角形证明的核心模型之一。其核心价值在于简化比例证明，例如通过母子关系直接推导线段比例式。 1）相似三角形判定定理：“AA”（两角对应相等，两三角形相似），“SAS”，“SSS”；重点掌握“AA”判定； 2）相似三角形对应边成比例，比例式转化等积式； 3）直角三角形两锐角互余，同角的余角相等； 4）勾股定理基础计算。 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 【模型提炼与证明】 “母子型”模型（共边共角模型）：（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级下·上海宝山·阶段练习）如图，在中，点是的黄金分割点，如果，，则 ． 【典例2】（2025·辽宁抚顺·三模）如图，在中，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点．以下结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2023·湖南·中考真题）在中，是斜边上的高． (1)证明：；(2)若，求的长．    【典例4】（2026·广西南宁·三模）阅读与思考，完成后面的问题． 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．如图，在中，，是斜边上的高，则有如下结论： ①；②；③．下面是该定理的证明过程（部分）： ∵是斜边上的高，∴．∵，， ∴．∴（依据）．∴．即． (1)材料中的“依据”是指　　　　；(2)选择②或③其中一个结论加以证明； (3)应用：中，，，，点A在y轴上，求顶点A的坐标． 【典例5】（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，等边的边长为4，点在同一直线上，．(1)求证：；(2)直接写出的长为_________． 【典例6】（24-25九年级下·安徽宣城·校考期中）如图，在中，，是高，平分，分别与相交于点。(1)求证：；(2)求证：； (3)若，，，求的长． 【典例7】（2026·河南校考一模）三角形的布洛卡点（Brocardpoint）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．LCrelle1780-1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard1845-1922）重新发现，并用他的名字命名．如图1，若内一点P满足，则点P是的布洛卡点，是布洛卡角． （1）如图2，点P为等边三角形ABC的布洛卡点，则布洛卡角的度数是______；PA、PB、PC的数量关系是______； （2）如图3，点P为等腰直角三角形ABC（其中）的布洛卡点，且． ①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明；②若的面积为，求的面积． 【典例8】（2025·河南·模拟预测）我校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，发现直角三角形斜边上的高分得的两个三角形与原三角形都相似，从而进行了深入研究． （一）拓展探究如图1，在中，，，垂足为， （1）兴趣小组的同学得出了三个结论：①，②，③．请选择其中一个进行证明．（2）如图2，为线段延长线上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用（3）如图3，是直角三角形，，，，平面内一点，满足，，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，请直接写出线段的长． 模型常见易错点 1）等积式写反，线段匹配出错 解决方案：口诀：公共边做平方项；先找哪条边是两个三角形公共边，公共边放在等式左边平方。不要死背公式，考场临时写相似比例再交叉相乘。 2）解答大题直接写射影定理等式，不证相似 错误：大题直接“由射影定理得xxx”，造成步骤扣分。 解决方案：选填直接用；解答题先写两组角相等，证明相似，再列出比例式，交叉相乘得到等积式。 3）强行套母子模型，没有公共角/没有一组等角 错误：图形看着像，角度条件不足直接套用乘积公式。 解决方案：母子相似前提：公共角 + 另外一组角相等，两个条件缺一不可；条件不足不能使用。 4）复杂图形找不到母子基本图 错误：图形里面有圆、四边形干扰，识别不出共边共角小三角形。 解决方案：圈出公共角，再寻找一组相等角；用笔把两个相似小三角形描出来，剥离背景图形。 5）分不清普通母子和射影母子条件 解决方案：射影定理必须同时满足两个条件：直角三角形 + 斜边作高；普通母子只需要公共角+一组等角。 解题方法总结 普通母子型（共边共角）解题步骤 1）识图：找到两个三角形的公共角；寻找给出或者推导出来的另一组相等角；2）判定相似：利用AA证明相似；3）写出对应边比例式，确认公共边位置；4）交叉相乘得到等积式；5）代入已知线段数值求解未知边长。 直角射影母子解题步骤 1）标记直角，垂直条件，推导两组角相等（同角的余角相等）；2） AA证明两组三角形相似；3）列比例，交叉相乘写出等积等式；4）结合勾股定理完成计算。 口诀：母子共角找公边，一组等角证相似；公边平方等积现，射影直角加高现；选填可速算，大题证相似。 1.（2025·湖南·模拟预测）如图，D是的边上一点，，，．若的面积为6，则的面积为（    ） A．6 B．2 C．3 D．4 2．（25-26·山西晋中·九年级统考阶段练习）如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（    ）    A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·陕西汉中·期中）如图，点、在线段上，且是等腰直角的底边．当时（与、与分别为对应顶点）， ．    4．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明． 5．（25-26·福建福州·八年级校考期末）已知：如图，在中，为边的中点，连接，，，求的长．    6．（24-25·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，，平分，连接交于.(1)求证：；(2)若，，求的长. 7．（24-25九年级下·浙江宁波·期末）【证明体验】 （1）如图1，在中，是边上的点，连结，若，求证：． 【思考探究】（2）如图2，在中，，，，是边上的点，连结，是的中点，连结．若，求的长． 8.（24-25九年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，，，垂足为D． (1)求证：．(2)若，，求的值． 9.（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，是上的点，已知是等边三角形，，，．(1)证明：；(2)求的度数． 1．（24-25·山东威海·九年级校联考期中）如图，中，点在上，，若，，则线段的长为 ． 2．（25-26广东·九年级专题练习）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 3．（2025·广东深圳·三模）实践探究． 【定义】在中，是边上一点，若，则称点是边关于边的“白银点”． 【概念理解】（1）如图（a），请你利用尺规作图在中作出边关于边的“白银点”．（不要求写作法，保留作图痕迹） 【性质应用】（2）如图（b），在中，若，，，点是边关于边的“白银点”，请你求出的值． 【拓展提升】（3）①如图（c），在中，若，，，请你求出的值． ②如图（d），在中，若，，，请你求出的值． 4．（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）如图，是直角三角形，于是上的点，的延长线与的延长线交于点，且． (1)求证：；(2)若，求的长． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，点D，E在的边上，点F在边上，连接，，，且，，， (1)求证：；(2)若， 时，求的长． 6．（26-27九年级上·成都·单元复习）有这样一道练习题： 找出图中所有的相似三角形，并说明理由． (1)数学兴趣小组的同学对本题进行深入研究得出．理由如下： ，，，， ，（依据②）， ，． 请完成填空：①______________；②依据是________________________；③___________________． (2)如上图，若以所在直线为轴，所在直线为轴，点为坐标原点，当，时，则点的坐标为______________． (3)如图，在中，，，垂足为，为线段上一点，连结并延长至点，连结．若，，，求的长． 1．（2026·宁夏银川·一模）如图，在中，，，以点C为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．有以下结论个结论：①，②，③，④其中正确的有几个（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，点为边上一点，若为“反直角三角形”，则的长为______． 3．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）数学实验能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图①）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点D为边上一点，连接． 【初步探究】(1)如图①，在中，，，则 ． (2)如图②，若，求证：； 【尝试应用】(3)如图③，在（2）的条件下，若点D为的中点，，求的长； 【创新提升】(4)如图④，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长为 ． 4．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． 【理解】（1）如图1，若四边形是以为“相似对角线”的四边形，，，，求出的长度． （2）如图2，在四边形中，，，对角线平分，．请问是四边形的“相似对角线”吗？请说明理由； 【运用】 （3）如图3，已知是四边形的“相似对角线”，．连接，若的面积为，求的长 5．（25-26九年级上·福建漳州·期中）【知识探究】如图，在中，，若，垂足为点D，则有，请完成证明； 【结论应用】如图，在菱形中，过点C作交的延长线于点E，过点E作交边于点F，当时，求的值； 【拓展提升】如图，在菱形中，，点E在上，且，点F为上一点，连接，过点E作交于点G，，求的值． 6．（2025·广东·一模）【探究发现】 （1）如图①所示，在等腰直角中，点D，O分别为边，上一点，且，延长交射线于点E，则有下列命题：①；②；③； 请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程； 【类比迁移】（2）如图②所示，在等腰中，，，点D，O分别为边，上一点，且，延长交射线于点E，若，求的值； 【拓展应用】（3）在等腰中，，，，点D，O分别为射线，上一点，且，延长交射线于点E，当为等腰三角形时，请直接写出的长（用a，b表示）． 7．（24-25浙江绍兴·九年级期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形． （1）如果与互为母子三角形，则的值可能为（    ） A．2     B．     C．2或 （2）已知：如图1，中，是的角平分线，． 求证：与互为母子三角形． （3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形．求的值． 8.（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．在中，点为边上一点，连接． (1)初步探究：如图2，若，求证：； (2)尝试应用：如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； (3)创新提升：如图4，点为中点，连接，若，，，求的长． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $