专题06 相似三角形重要模型之A字型与（双）8字型（几何模型讲义）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学相似三角形专题复习讲义通过模型框架图系统构建知识体系，梳理A字型、8字型、AX字模型的基础形态与双模型组合，明确各模型的条件、结论及证明逻辑，呈现从单一模型到嵌套组合的递进关系，突出相似判定与比例应用的重难点。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导创新，A组基础题巩固模型识别，B组提升题训练比例传递，C组压轴题融合多模型嵌套，如内接矩形问题培养几何直观与推理能力。方法总结口诀帮助学生规范解题步骤，支持不同层次学生自主复习，助力教师实施精准分层教学。

专题06 相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型 A字型、8字型是相似三角形的基石模型。平行触发基础A、8字；公共角、对顶角加一组等角触发反A、反8；双A双8用于比例传递。学习重点不在于背诵图形，而在于能够从复杂图形中将基础图形剥离，书写相似时严格对齐对应顶点，防止比例写错。大量相似压轴题本质就是多个A、8字型的组合嵌套。 相似三角形是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.“A”字模型 6 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 9 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 14 易错点与方法总结 17 模型运用 18 A组（基础题） 18 B组（能力提升题） 18 C组（综合压轴题） 24 “(双)A字型”与“(双)8字型”作为相似三角形的重要模型，并没有明确的起源时间或历史背景。这些模型是数学教育者和研究者为了解决特定几何问题而创造的，主要用于帮助学生理解和应用相似三角形的性质和判定方法。这些模型在数学教育中被广泛使用，特别是在中学几何教学中，帮助学生在解决复杂几何问题时提供直观的思路和工具。 1）相似三角形AA判定定理；相似对应边成比例。 2）平行线性质：同位角、内错角相等。 3）对顶角相等、公共角识别。 4）平行线分线段成比例定理。 5）比例的性质：合比、等比简单运算。 模型1.“A”字模型 【模型提炼与证明】 “A”字模型：（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 【模型运用】 【典例1】（2025·四川宜宾·中考真题）如图，一张锐角三角形纸片，点、分别在边、上，，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：如图所示，过点D作交于点F，∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴设，， ∵沿将剪成面积相等的两部分，∴，∴， ∴，∴．故选：C． 【典例2】（25-26九年级上·江苏淮安·开学考试）如图所示，在中，、分别在、上，且，，则________． 【答案】2.5 【详解】解：∵，， ∴，∴， ∵，∴． 【典例3】（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）如图是一块三角形钢材，其中边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，则这个正方形零件的边长是______cm 【答案】 【详解】解：是的高，， 在正方形中，， ，四边形是矩形， 令厘米，则厘米， ，解得．这个零件的边长为厘米．故答案为：． 【典例4】（2026·湖南·模拟预测）如图：中，，，，把边长分别为，，，…的n个正方形依次放在中；第一个正方形的顶点分别放在的各边上；第二个正方形的顶点分别放在的各边上，其他正方形依次放入，则第2024个正方形的边长为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，∴， ∴，即，∴，∴， 同理可证， ∴，即，∴，同理可求得， ∴可以推出第n个正方形的边长为，∴第2024个正方形的边长为，故答案为：． 【典例5】（2023·山东烟台·中考真题）如图，点为线段上一点，分别以为等腰三角形的底边，在的同侧作等腰和等腰，且．在线段上取一点，使，连接．    (1)如图1，求证：；(2)如图2，若的延长线恰好经过的中点，求的长． 【答案】(1)见解析(2)． 【详解】（1）证明：∵等腰和等腰，∴，，， ∵，∴，∴，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴； （2）解：取的中点H，连接，    ∵点是的中点，∴是的中位线，∴，， 设，则，∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，即，整理得，解得（负值已舍）， 经检验是所列方程的解，且符合题意，∴． 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 【模型提炼与证明】 “X”字模型（“8”字模型）：图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 【模型运用】 【典例1】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，已知在中，是上一点，且的面积与的面积比是，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【详解】四边形是平行四边形，， ，， ，，，，， 和分别以为底，它们高相同，，， 四边形是平行四边形，，， ，四边形的面积为：，故答案为：． 【典例2】（2025·山东临沂·一模）如图，已知在菱形中，E，F分别是菱形的边的中点，连结与交于点G，的面积为1，则菱形的面积为 ． 【答案】20 【详解】解：如图，延长交延长线于点，点是边的中点，， 四边形是菱形，，，， 在和中，，，， ，，又点是中点， ，，， 的面积为1，的面积为5，菱形的面积为20，故答案为：20． 【典例3】（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，在中，，点在边上，连接，过点作交于点，的延长线交于点，若，，，求的值（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】如图，过点作，延长交于点， 在中，，，，， ，，，，， ，，，， ，，，，故选：A． 【典例4】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，与交于点O，过点O，交于点E，交于点，．（1）求证：．（2）若，求． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】证明：（1）．， ． （2） 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 【模型提炼与证明】 “AX”字模型（“A8”字模型） ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 【模型运用】 【典例1】（2026·河南·二模）如图，在中，，于，点为直角边的中点，过、作直线交的延长线于．若，，则的长度为_______． 【答案】 【详解】解：如图，过点作交于点， ，，，，，， ，∴，∴，， ，，，即，解得，， 为中点，，∵，∴， ∴，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴． 【典例2】（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，，，，． ，，，，． 点是的中点，是的中位线，． ，，，． ，，，，，故选C． 【典例3】（2026·湖北武汉·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；    小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】（1）证明：∵，∴，∴．同理可得：， ∴，两边同时除以，得． （2）证明：∵，，，，∴，， ∵，∴，∴，同理，， ∴，∴， 两边同时除以得，，∴； （3）解：由（1）可知，，， ∴，解得，，∴，解得，，∴． 【典例5】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．(1)特例感知：如图一，已知边长为3的等边的重心为点O，求与的面积； (2)性质探究：如图二，已知的重心为点O，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由； (3)性质应用：如图三，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M． 若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；若，求正方形ABCD的面积    【答案】(1)(2)是定值；是定值；详见解析(3)①；② 【详解】（1）解：如图，连接    由题意可知：为的中位线∴∴ ∴ 由题意得：∴∴ ，； （2）解：由（1）同理可得，是定值； ∵∴故点到的距离和点到的距离之比也为 的底相等 故，是定值； （3）解：四边形ABCD是正方形，，，，， 为CD的中点，，，，，即； ，且，，，， ，，正方形ABCD的面积为：． 模型常见易错点 1）相似对应顶点写错，比例式写反 错误：△ADE∽△ABC，随意乱写对应字母，比例颠倒。 解决方案：写相似符号时，严格按照相等角顺序书写顶点；相等角顶点一一对应，再抄比例。 2）把反A字型当成普通A字型套用比例 错误：图形长得像A，没有平行就直接套用平行A字比例。 解决方案：平行→基础A字；无平行找角度，是反A，对应顶点改变，比例必须重新推导。 3）混淆反A字型与母子型（共边共角） 错误：看见共角就套母子型等积式。 解决方案：母子型：小三角形一个顶点落在大三角形边上，并且一条边落在大三角形边上，产出公共边平方等积式；反A字型两个小顶点都落在两条边上，输出普通比例，没有公共边平方。 4）8字型分不清谁比谁，AO写成OC 解决方案：相似三角形，同一个三角形内部线段放分子，另一个三角形对应线段放分母；不要交叉乱取。 5）双A、双8多组相似比例混乱 解决方案：把每组相似单独圈画出来；不要把不同相似三角形线段混写同一个等式。 解题方法总结 平行A/8字型解题步骤 1）识别：出现平行线，观察A字形或者8字形结构；2）由平行得到两组同位角/内错角相等；3）AA证△XXX∽△XXX，顶点严格按等角顺序书写；4）列出对应边比例式；5）代入已知线段，求解未知量。 反A/反8字型（无平行）解题步骤 1）找条件：公共角（反A）/对顶角（反8）；再找一组题目给出或推导的等角；2）AA证明三角形相似。 3）核对对应顶点，书写正确比例式；4）代数计算线段。 双A/双8字型解题步骤： 1）将复杂图形拆解成两组独立A/8基本图；2）分别写出每一组相似和比；3）通过公共比值完成比例传递；4）分步计算，不要一步写多个等式。 终极统一口诀：A八相似看平行，平行直接出比例；若无平行找等角，反A反8要记牢；顶点顺序不能乱，双组相似拆开来。 1．（2026·云南大理·模拟预测）如图，四边形中，P为对角线上一点，过点P作，交于点E，过点P作，交于点F，则下列所给的结论中，不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，故D选项正确，不符合题意，A选项错误，符合题意； ∵，∴，∵，∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵，∴，故C选项正确，不符合题意． 2．（2025·山东威海·中考真题）如图，的中线交于点F，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵的中线交于点F，∴， ∴，，故D选项结论正确；∴，， ∴，，，故A、C选项结论正确，B选项结论错误； 故选：B. 3．（2025·安徽亳州·三模）如图，中，E为对角线上一点，过点E的直线分别交边，于点F，G，交射线，于点M，N．若，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 【答案】C 【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴， ∴，，∴，∵，，∴，∴．故选：C 4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，在矩形中，，，若，则线段的长为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【详解】解：∵在矩形中，，，，∴，∴， ∵ ，，∴， ∴，即，∴，故选：B． 5．（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，在中，点分别是上的点，连接，，，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．2 【答案】C 【详解】解：∵，，∴， 又∵，∴，∴，∵，∴，故选：C． 6．（26-27九年级上·成都 ·单元复习）如图，矩形的四个顶点都在的边上，且边落在上，．若，，，那么的长为_______________． 【答案】 【详解】解：如图：设交于点M． ∵四边形是矩形，，，， 设，则有，，，解得：，∴． 7．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，垂足为，，垂足为，与相交于点，(1)判断与是相似三角形吗？请说明理由；(2)连接，求证：； (3)若，，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析；(2)证明见解析；(3)． 【详解】（1），理由如下，∵ ，，∴ ， ∵ ，，∴ ； （2）由（）得，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； （3）∵，，∴，∴，∴，由（）得， ∵，∴，∵，∴，∴． 7.（25-26安徽·九年级期末）如图，在三角形中，点D、E分别在边、上，，，，．(1)求证：；(2)若的平分线交于点F，交于点G，求．    【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，．∴，，∴， 又∵，∴，∴． （2）由（1）可得，∴， 又∵平分，∴，∴，∴，∴． 1．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，中，D、E分别是、边上的点，与交于点F，且，，若，则的长为（ ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【详解】解：如图，过E作交于H，则， 在和中，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，则，∴，∴，故选：C． 2．（2026·四川眉山·中考真题）如图，矩形中，点在线段上，连接，平分交于点 ，过点 作，垂足为点，交于点．若，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设，∵四边形是矩形，∴，， ∵，∴，∴， ∵平分，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴， ∵，，∴， ∴，∴，， ∵，∴，解得，∴， ∵，，∴， ∴，即，∴，∴． 3.（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似． 【答案】3或 【详解】解：当时，∵，∴，∴， 当时，∵，∴，∴， 综上，或，故答案为：3或． 4．（2026·吉林长春·三模）如图，在中，点、为边的三等分点，点、在边上，，交于点．若，则的长为 ． 【答案】 【详解】点，为边的三等分点，， ，，，， 点，为边的三等分点，，点，为边的三等分点，， ，，，．故答案为： 5．（2026·山东东营·中考真题）如图，在中，D，E分别为，的中点，于点，，交的延长线于点．若，，，则的长为__________． 【答案】 【详解】解：过点A作于点H，如图所示： ∵D，E分别为，的中点，∴是的中位线，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴四边形是矩形，∴， 在中，，，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴，， ∴，∴． 6．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且． 【模型建立】（1）求证：；【模型应用】（2）若，，，求的长； 【模型迁移】（3）如图2，若矩形是正方形，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】解：（1）∵矩形，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）延长交于点，∵矩形，∴， ∴，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴，∴； （3）设正方形的边长为，则：，延长交于点， ∵正方形，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴． 7．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）综合与实践：如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做“垂对三等分平行四边形”，垂足叫做“垂三等分点” (1)理解应用：如图，在中，于点，交于点，若为的三等分点，则是垂对三等分平行四边形，是垂三等分点．若，，，则_____，_____． (2)拓展延伸：如图，已知四边形是矩形，过点作于点，交于点，，当四边形是垂对三等分平行四边形时，直接写出的长度． 【答案】(1)；(2)的长为或 【详解】（1）解：，，， 四边形是平行四边形，，， ，，即，． ，在中，， 在中，．故答案为：；． （2）解：分两种情况讨论：如图，若，则， 四边形是矩形，，，，， 设，则，，，， ，，，即，，解得或（舍去）， ，在中，． 如图，若，则， 四边形是矩形，，，，， 设，则，，，， ，，，即，， 解得或（舍去），， 在中，．综上所述，的长为或． 1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在矩形中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点E，交的延长线于点F；④连接交于点G．若，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由作图可知，为的角平分线，∴， ∵矩形，∴，∴， ∴，故A正确，不符合题意；∴， ∴，∵，∴， ∴，∴，∴，故B正确，不符合题意； ∵，∴，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，选项C正确，不符合题意； 无法证明，选项D错误，符合题意；故选：D． 2．（25-26八年级下·上海普陀·期末）已知：如图，，与交于点，，，那么 ．    【答案】 【详解】解：，∴，， ，，∴，∴， ∴，解得：，故答案为：． 3.（2024·山东淄博·中考真题）如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为 ． 【答案】96 【详解】解：作交于点H，则， ∵四边形是边长为10的菱形，对角线相交于点O， ∴，，，， ∴，，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∵四边形是菱形，且， ∴，∴， ∴， ∴， ∴，，∴，故答案为：96． 4．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，在矩形中，E，F分别为边的中点，与分别交于点M，N．已知，则的长为_____． 【答案】 【详解】解：如图1，四边形是矩形，，延长交于Q， ∴，∵F为中点，∴， 在中，由勾股定理得：， ∵，∴，∵E为的中点，，∴， 在和中，∴，∴，∴， ∵，∴，∴∵，∴， 如图2，延长和，交于W，同理， ∵，∴，∴∴ 解得：（经检验，是分式方程的根，且符合题意），∴ 5．（2026·山西·校考一模）如图，是斜边上的中线，，点是中点，连接并延长交于点，连接．若，，则的长为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，分别过点D，点E作，垂足分别为， ，，， 点是上的中点，， ，，，， ，点是中点，，，， ，， ，， ，，故答案为：． 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图1，平行四边形中，点分别是边上的点． (1)若，，则___________ (2)若是中点：①如图1，若，求证：； ②如图2，若，连接交于，求的值； (3)如图3，若，，，，求的长． 【详解】（1）解：分别延长、交于点G，如图， ∵，∴，∴，∴； ∵四边形平行四边形，∴，即，∴， ∴，即，故答案为：； (2)①证明：如图所示，延长，交于H， ∵四边形是平行四边形，∴，∴，， ∵E是边中点，∴，∴，∴，， ∵，∴，∴，∴； ②解：如图所示，延长，交于M， ∵四边形是平行四边形，∴，， ∴，，∴，， ∵，∴∴，， ∵E是边中点，∴，设，则， ∴，∴，，∴， ∴，，设，则，， ∴，∴； （3）解：如图所示，延长，交于M， ∵四边形是平行四边形，∴，，∴， ∵，∴，又∵，∴， ∵，， ∴，∴，∵，∴，∴， ∵，∴，设，， ∵，∴，即，∴，， ∵，即，∴，，∴， ∵，∴，即， ∴，解得或（舍去），∴． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型 A字型、8字型是相似三角形的基石模型。平行触发基础A、8字；公共角、对顶角加一组等角触发反A、反8；双A双8用于比例传递。学习重点不在于背诵图形，而在于能够从复杂图形中将基础图形剥离，书写相似时严格对齐对应顶点，防止比例写错。大量相似压轴题本质就是多个A、8字型的组合嵌套。 相似三角形是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.“A”字模型 6 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 9 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 14 易错点与方法总结 17 模型运用 18 A组（基础题） 18 B组（能力提升题） 18 C组（综合压轴题） 24 “(双)A字型”与“(双)8字型”作为相似三角形的重要模型，并没有明确的起源时间或历史背景。这些模型是数学教育者和研究者为了解决特定几何问题而创造的，主要用于帮助学生理解和应用相似三角形的性质和判定方法。这些模型在数学教育中被广泛使用，特别是在中学几何教学中，帮助学生在解决复杂几何问题时提供直观的思路和工具。 1）相似三角形AA判定定理；相似对应边成比例。 2）平行线性质：同位角、内错角相等。 3）对顶角相等、公共角识别。 4）平行线分线段成比例定理。 5）比例的性质：合比、等比简单运算。 模型1.“A”字模型 【模型提炼与证明】 “A”字模型：（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 【模型运用】 【典例1】（2025·四川宜宾·中考真题）如图，一张锐角三角形纸片，点、分别在边、上，，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】（25-26九年级上·江苏淮安·开学考试）如图所示，在中，、分别在、上，且，，则________． 【典例3】（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）如图是一块三角形钢材，其中边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，则这个正方形零件的边长是______cm 【典例4】（2026·湖南·模拟预测）如图：中，，，，把边长分别为，，，…的n个正方形依次放在中；第一个正方形的顶点分别放在的各边上；第二个正方形的顶点分别放在的各边上，其他正方形依次放入，则第2024个正方形的边长为 ． 【典例5】（2023·山东烟台·中考真题）如图，点为线段上一点，分别以为等腰三角形的底边，在的同侧作等腰和等腰，且．在线段上取一点，使，连接．    (1)如图1，求证：；(2)如图2，若的延长线恰好经过的中点，求的长． 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 【模型提炼与证明】 “X”字模型（“8”字模型）：图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 【模型运用】 【典例1】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，已知在中，是上一点，且的面积与的面积比是，，则四边形的面积为 ． 【典例2】（2025·山东临沂·一模）如图，已知在菱形中，E，F分别是菱形的边的中点，连结与交于点G，的面积为1，则菱形的面积为 ． 【典例3】（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，在中，，点在边上，连接，过点作交于点，的延长线交于点，若，，，求的值（    ） A． B． C． D．2 【典例4】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，与交于点O，过点O，交于点E，交于点，．（1）求证：．（2）若，求． 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 【模型提炼与证明】 “AX”字模型（“A8”字模型） ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 【模型运用】 【典例1】（2026·河南·二模）如图，在中，，于，点为直角边的中点，过、作直线交的延长线于．若，，则的长度为_______． 【典例2】（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2026·湖北武汉·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；    小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长． 【典例5】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．(1)特例感知：如图一，已知边长为3的等边的重心为点O，求与的面积； (2)性质探究：如图二，已知的重心为点O，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由； (3)性质应用：如图三，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M． 若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；若，求正方形ABCD的面积    模型常见易错点 1）相似对应顶点写错，比例式写反 错误：△ADE∽△ABC，随意乱写对应字母，比例颠倒。 解决方案：写相似符号时，严格按照相等角顺序书写顶点；相等角顶点一一对应，再抄比例。 2）把反A字型当成普通A字型套用比例 错误：图形长得像A，没有平行就直接套用平行A字比例。 解决方案：平行→基础A字；无平行找角度，是反A，对应顶点改变，比例必须重新推导。 3）混淆反A字型与母子型（共边共角） 错误：看见共角就套母子型等积式。 解决方案：母子型：小三角形一个顶点落在大三角形边上，并且一条边落在大三角形边上，产出公共边平方等积式；反A字型两个小顶点都落在两条边上，输出普通比例，没有公共边平方。 4）8字型分不清谁比谁，AO写成OC 解决方案：相似三角形，同一个三角形内部线段放分子，另一个三角形对应线段放分母；不要交叉乱取。 5）双A、双8多组相似比例混乱 解决方案：把每组相似单独圈画出来；不要把不同相似三角形线段混写同一个等式。 解题方法总结 平行A/8字型解题步骤 1）识别：出现平行线，观察A字形或者8字形结构；2）由平行得到两组同位角/内错角相等；3）AA证△XXX∽△XXX，顶点严格按等角顺序书写；4）列出对应边比例式；5）代入已知线段，求解未知量。 反A/反8字型（无平行）解题步骤 1）找条件：公共角（反A）/对顶角（反8）；再找一组题目给出或推导的等角；2）AA证明三角形相似。 3）核对对应顶点，书写正确比例式；4）代数计算线段。 双A/双8字型解题步骤： 1）将复杂图形拆解成两组独立A/8基本图；2）分别写出每一组相似和比；3）通过公共比值完成比例传递；4）分步计算，不要一步写多个等式。 终极统一口诀：A八相似看平行，平行直接出比例；若无平行找等角，反A反8要记牢；顶点顺序不能乱，双组相似拆开来。 1．（2026·云南大理·模拟预测）如图，四边形中，P为对角线上一点，过点P作，交于点E，过点P作，交于点F，则下列所给的结论中，不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·山东威海·中考真题）如图，的中线交于点F，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·安徽亳州·三模）如图，中，E为对角线上一点，过点E的直线分别交边，于点F，G，交射线，于点M，N．若，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，在矩形中，，，若，则线段的长为（    ） A． B．3 C． D．4 5．（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，在中，点分别是上的点，连接，，，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．2 6．（26-27九年级上·成都 ·单元复习）如图，矩形的四个顶点都在的边上，且边落在上，．若，，，那么的长为_______________． 7．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，垂足为，，垂足为，与相交于点，(1)判断与是相似三角形吗？请说明理由；(2)连接，求证：； (3)若，，，求的长． 8.（25-26安徽·九年级期末）如图，在三角形中，点D、E分别在边、上，，，，．(1)求证：；(2)若的平分线交于点F，交于点G，求．    1．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，中，D、E分别是、边上的点，与交于点F，且，，若，则的长为（ ） A．12 B．14 C．16 D．18 2．（2026·四川眉山·中考真题）如图，矩形中，点在线段上，连接，平分交于点 ，过点 作，垂足为点，交于点．若，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 3.（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似． 4．（2026·吉林长春·三模）如图，在中，点、为边的三等分点，点、在边上，，交于点．若，则的长为 ． 5．（2026·山东东营·中考真题）如图，在中，D，E分别为，的中点，于点，，交的延长线于点．若，，，则的长为__________． 6．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且． 【模型建立】（1）求证：；【模型应用】（2）若，，，求的长； 【模型迁移】（3）如图2，若矩形是正方形，，求的值． 7．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）综合与实践：如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做“垂对三等分平行四边形”，垂足叫做“垂三等分点” (1)理解应用：如图，在中，于点，交于点，若为的三等分点，则是垂对三等分平行四边形，是垂三等分点．若，，，则_____，_____． (2)拓展延伸：如图，已知四边形是矩形，过点作于点，交于点，，当四边形是垂对三等分平行四边形时，直接写出的长度． 1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在矩形中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点E，交的延长线于点F；④连接交于点G．若，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·上海普陀·期末）已知：如图，，与交于点，，，那么 ．    3.（2024·山东淄博·中考真题）如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为 ． 4．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，在矩形中，E，F分别为边的中点，与分别交于点M，N．已知，则的长为_____． 5．（2026·山西·校考一模）如图，是斜边上的中线，，点是中点，连接并延长交于点，连接．若，，则的长为 ． 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图1，平行四边形中，点分别是边上的点． (1)若，，则___________ (2)若是中点：①如图1，若，求证：； ②如图2，若，连接交于，求的值； (3)如图3，若，，，，求的长． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $