专题05 重要的几何模型之中点模型（二）（几何模型讲义）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学讲义通过知识框架系统梳理中点模型知识体系，将直角三角形斜边中点、中位线、中点四边形三类模型按“模型来源-性质证明-应用场景”递进组织，用对比表格呈现中点四边形与原四边形对角线的关系，清晰呈现重难点内在联系。 讲义亮点是分层练习设计与方法口诀指导，如A组基础题巩固斜中模型应用，C组压轴题结合菱形动态问题提升推理能力，“等菱垂矩正方全”口诀帮助学生快速判断中点四边形类型，培养模型意识，教师可据此实施分层教学，学生自主复习时能明确易错点与解题步骤。

专题05 重要的几何模型之中点模型（二） 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.直角三角形斜边中线模型 2 模型2.中位线模型 6 模型3.中点四边形模型 10 易错点与方法总结 16 模型运用 17 A组（基础题） 17 B组（能力提升题） 22 C组（综合压轴题） 27 直角三角形斜边中线模型的核心定理最早可能隐含于毕达哥拉斯学派对直角三角形的研究中，但未明确提出“斜边中点模型”的完整概念‌。《周髀算经》记载了勾股定理特例，虽未直接描述斜边中线性质，但为模型构建奠定基础‌。直到20世纪教材体系化过程中，该定理被明确表述为：“直角三角形斜边中线等于斜边一半”。模型历经古希腊的演绎证明与中国实用几何传统结合，形成今日标准化教学模型。‌因直角三角形斜边中线模型常与中位线、三线合一结合使用，戏称其为“三兄弟模型”。 20世纪初，德国数学家克莱因在《初等几何学》中首次将“连接三角形两边中点的线段”定义为“中位线”（Median Line），并严格证明其性质：‌平行于第三边且长度为第三边的一半。中位线模型从古典几何的隐性规律发展为现代数学教育的高效工具，体现了数学抽象性与应用性的深度统一。 20世纪60年代，教育工作者将三角形中位线性质迁移至四边形场景，发现‌任意四边形的中点连线必形成平行四边形。这一规律被命名为“中点四边形稳定性定理”。 1）线段中点定义、中位线性质； 2）直角三角形角度性质、斜边中线性质、等腰三角形判定； 3）平行线判定与性质； 4）平行四边形、菱形、矩形、正方形判定定理； 5）三角形全等基础。 模型1.直角三角形斜边中点模型 【模型提炼与证明】 1）直角三角形斜边中线模型（单中线模型） 条件：如图，若AD为斜边上的中线； 结论：（1）；（2），为等腰三角形；（3），． 证明：取AC的中点E，连接DE，∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD=， ∵E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//AB，∴∠DEC=∠BAC=90°，∴DE垂直平分AC， ∴AD=CD，∴；∴，为等腰三角形； ∵AD=CD，∴，∵，∴，同理：． 2）直角三角形斜边中线模型（双中线模型） 条件：如图，在由两个直角三角形组成的图中，M为BC边的中点，（直角在BC的同侧和异侧两类） 结论：（1）；（2）． 证明：∵，M为BC边的中点，∴，，∴ ∴，∵，∴，同理： ∴，∴．（同侧和异侧证明一致） 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）如图，公路与互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则，两点间的距离为______________． 【答案】1.2 【详解】解：∵公路与互相垂直，即，∴是直角三角形， ∵点是的中点，的长为，∴，即，两点间的距离为． 【典例2】（2026·广东广州·中考真题）如图，在中，，是的角平分线，，垂足为，点是的中点．已知，的周长为12，则长为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】解：是的角平分线，， ∴， 又，∴，， ， ， 点是的中点， ， 的周长为， ， ， ， ∵在中，， ． 【典例3】（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）在正方形中，，分别是，上的点，，相交于点．若，，，则的长为__________． 【答案】 【详解】解：四边形是正方形，， ，，， 在和中，，， ，， ，， ，是的中点，即在中，是斜边上的中线， ， 在中，， ，． 【典例4】（2025广东·模拟预测）如图，四边形中，，，，以，为邻边作，连接，则线段长为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【详解】解：连接交于点，取的中点，连接，，， ∵，，∴， ∵，∴，，∴是的中位线，∴， ∵，，∴， ∴，∴，故选：A． 【典例5】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，，，相交于点，点，分别是，的中点，若，那么＝ 度．    【答案】10 【详解】解：连接，， 在四边形中，，是的中点，． 点是的中点，是线段的垂直平分线，． ，，．故答案为：10．    模型2.中位线模型 【模型提炼与证明】 1）三角形的中位线模型： 条件：如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E， 结论：（1）DE//BC且，（2）△ADE∽△ABC。 证明：如图1，过点C作交延长于点F，∴， ∵是的中位线，∴，∴，∴， ∴，又∵，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴，； ∵，∴，，∴△ADE∽△ABC。 图1 图2 2）梯形的中位线模型： 条件：如图2，在梯形中，，、分别是两腰、的中点， 结论：（1），； （2）梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高。 证明：连接并延长，交延长线于点，，． 是的中点，．，． ，．点是的中点，又点是的中点， 是的中位线，，．． ，，．，． ∵梯形的面积=，∴梯形的面积==中位线的长×高。（为梯形的高） 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·山西大同·期末）如图，在边长为4的正方形中，，分别为，的中点，连接，，，，分别为，的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在边长为4的正方形中，，分别为，的中点，，， 在中，, 点，分别是和的中点，是的中位线，． 【典例2】（25-26八年级下·贵州安顺·期末）如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【详解】解：四边形是矩形，， 是矩形的对角线的中点，， 是边的中点，是矩形的对角线的中点， ，，， ，，． 【典例3】（2025·浙江杭州·二模）是的边的中点，平分于点，且，则的周长等于 ． 【答案】35 【详解】解：延长线段交于，∵平分，∴， 在和中，，∴，∴， 又∵是的边的中点，∴， ∴的周长是．故答案为：35． 【典例4】（26-27九年级上·四川达州·开学考试）如图，在菱形中，M，N分别是边，上的动点，连接，，P，Q分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为 ____ ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵，分别为，的中点，， 当有最小值时，有最小值，当时，有最小值， 四边形是菱形，，，当时，， 的最小值，的最小值为． 【典例5】（2026·山东枣庄·模拟预测）如图是一个面积为S的三角形，现分别连接这个三角形三边的中点得到一个新的三角形图①， 再连接这个三角形的三条边的中点，又得到一个小的三角形图②，再连接这个三角形的三条边的中点，又得到一个小的三角形图③，…，如此下去，第n个图中小三角形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，由题意，，，为的中位线，∴， ∴四边形和四边形为平行四边形，同理，四边形为平行四边形， ∴，即中点三角形的面积为大三角形面积的， ∴第②个图中的小的三角形的面积为， 第③个图中的小的三角形的面积为，依次类推，第n个图中小三角形的面积为. 模型3.中点四边形模型 【模型提炼与证明】 1）顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形． 条件：如图1，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，结论：四边形MNPQ为平行四边形。 证明：∵点M、N是AC、AB的中点，∴，， 同理：，，∴MN=PQ，，∴四边形是平行四边形， 图1 图2 2）顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形） 条件：如图2，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC⊥DB，结论：四边形MNPQ为矩形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC⊥DB，∴MN⊥MQ，∴四边形MNPQ为矩形。 3）顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形） 条件：如图3，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，结论：四边形MNPQ为菱形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC=DB，∴MN=MQ，∴四边形MNPQ为菱形。 图3 图4 4）顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形． 条件：如图4，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，AC⊥DB， 结论：四边形MNPQ为正方形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴，，， ∵AC=DB，AC⊥DB，∴MN=MQ，MN⊥MQ，，∴四边形MNPQ为正方形。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·上海虹口·期末）定义：将顺次连接四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形．如果中点四边形是正方形，那么原四边形的两条对角线一定满足（     ） A．两条对角线互相平分且相等 B．两条对角线互相垂直且相等 C．两条对角线互相平分且垂直 D．两条对角线互相垂直且不等 【答案】B 【详解】解：根据题意画出图形如下： ∵E、F、G、H分别是四边形 各边、 、、的中点， ∴，，∴，， ∵四边形是正方形，，， ∴，，即两条对角线互相垂直且相等． 【典例2】（25-26八年级下·北京·期中）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是边的中点若四边形为菱形，则对角线，应满足的条件是（    ） A． B． C．与相互平分 D．不确定 【答案】B 【详解】解：∵四边形中，E，F，G，H分别是边的中点， ∴在中，为的中位线，∴且； 同理：且；，， ∴且，∴四边形为平行四边形， ∵四边形为菱形，∴应满足条件，即，∴． 【典例3】（25-26八年级下·山东滨州·期中）如图，点E、F、G、H分别是四边形边的中点．则下列说法：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵点分别是四边形边的中点， ∴，，，∴四边形是平行四边形， ①若，则，即，∴四边形为矩形，即①正确； ②若，则，∴四边形为菱形，即②正确； ③与是否互相平分均能得到四边形是平行四边形，即③错误； ④若四边形是正方形，则，， ∴，，即与互相垂直且相等，故④正确，故正确的个数是3个． 【典例4】（2025·四川德阳·中考真题）如图：点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【详解】如图：连接，交于点O，因为、、、分别是四边形边的中点， ∴，；，；，；， ． ∵，∴，∴四边形是菱形． ∴，，∴， ∵四边形面积为，，∴，解得 ．∴ 在中 ．故选：B． 【典例5】（25-26八年级下·福建泉州·期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】：(1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 【性质探究】：(2)如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形的对角线，的关系； 【拓展应用】：如图2，已知四边形是“中方四边形”，、分别是、的中点． (3)试探索与的数量关系，并说明理由．(4)若，求的最小值． 【详解】（1）解：中点四边形是个正方形，中点四边形四条边相等，且四个角是直角， 四边形各边中点连线得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”， 由三角形中位线定理可得，原四边形的对角线互相垂直且相等，只有正方形满足条件； （2）解：四边形是“中方四边形”，四边形是正方形， ，，， 点、、、分别是、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，， ，； (3)，理由如下：如图，记、的中点分别为、， 四边形是“中方四边形”，、分别是、的中点， 四边形是正方形， ，，， 、分别是、的中点，是的中位线，，； （4）解：如图，连接交于，连接、， 当点在上（即、、共线）时，最小，最小值为的长， 的最小值，由性质探究（2）知：， 又、分别是、的中点，，， 的最小值，由拓展应用（3）知：； 又，的最小值为． 模型常见易错点 1）斜中模型乱用条件 错误：任意三角形都用“中线等于边的一半”。 解决方案：只有直角三角形斜边中点才有此结论，普通三角形不成立。 2）逆定理不会用 错误：看见中线是边长一半，不会判定直角。解决方案：大题可直接用逆定理判定直角，快速破题。 3）中位线找错边 错误：单中点、非两边中点乱套中位线。 解决方案：必须是两条边的中点连线，才是中位线；单点中点优先倍长中线。 4）中点四边形规律记反 错误：原图形决定新图形，忽略对角线本质。 解决方案：不看原图形，只看原对角线：等菱、垂矩、垂等正方。 5）大题直接默写结论扣分 解决方案：选填可秒杀，解答题需简单说明中位线/斜中性质来源。 解题方法总结 斜中模型解题步骤 1）识别：直角三角形 + 斜边中点；2）套用性质：斜边中线等于斜边一半，得到三条线段相等； 3）转化等腰三角形，倒角、求边长、证角度；4）结合勾股、三角函数求解最终结果。 中位线解题步骤 1）找三角形两边中点；2）连接中位线，得到平行+半长关系；3）转移角度、缩放边长； 4）代入数值计算或证明平行、全等。 中点四边形解题步骤 1）观察原四边形对角线：是否相等、是否垂直；2）无特殊 → 平行四边形； 3）只相等 → 菱形；只垂直 → 矩形；4）既垂直又相等 → 正方形。 终极口诀：直角斜边取中点，三线等长等腰显；两边中点连中位，平行半长缩放现；中点四边形看对角，等菱垂矩正方全。 1．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在中，，垂足为B，点D是的中点，连接，若，则的长为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】解：∵，∴是直角三角形， ∵点D是的中点，，∴． 2．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分，与交于点M，于点D，于点E，与交于点F，若，则为（     ） A．2.5 B．2 C．3 D．3.5 【答案】A 【详解】解：取的中点G，连接， 设，，可得， ∵，，∴，∴， ∵点G是的中点，∵，∴， ∵是斜边上的中线，∴， ∴，，∴， ∵平分，∴，∵，∴，∴， 又，∴，∴，∴． 3．（2026·内蒙古赤峰·三模）如图，O是矩形的对角线的中点，M是边的中点，若，则四边形的周长为（     ） A．20 B．34 C．17 D．22 【答案】A 【详解】解：∵O是矩形的对角线的中点，， ∴，，，， ∴，∴， ∵M是边的中点，∴是的中位线，，∴， ∴四边形的周长为：． 4．（26-27九年级上·江苏常州·开学考试）如果点、、、分别是菱形四边、、、上的中点，那么四边形是（     ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】B 【详解】解：如图，连接、相交于点； 四边形为菱形，． 点，，，分别是菱形四边的中点， ，；同理可证：，，， ，，四边形为平行四边形； ，，，，四边形为矩形． 5．（25-26八年级下·云南红河·期末）如图，已知点，分别为的边，的中点，平分且交于，，则的长为（     ） A．12 B．14 C．16 D．20 【答案】B 【详解】解：∵，∴，∵点，分别为的边，的中点， ∴，，，∴， ∵平分，∴，∴， ∴，∴，∴． 6．（25-26八年级下·北京门头沟·期末）顺次连接四边形各边中点形成的四边形叫做中点四边形，有关中点四边形的描述如下：①任意四边形的中点四边形一定是平行四边形；②矩形的中点四边形一定是矩形； ③正方形的中点四边形一定是正方形；④非正方形的中点四边形一定不是正方形． 其中所有正确推断的序号是（     ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】解：根据三角形中位线定理可知，任意四边形中点四边形的对边分别平行于原四边形的对角线，且长度等于原对角线长度的一半，对边平行且相等， ①任意四边形的中点四边形对边平行且相等，因此一定是平行四边形，故①正确； ②矩形的对角线相等，因此矩形中点四边形的四条边长度相等，是菱形，不是矩形，故②错误； ③正方形的对角线相等且互相垂直，因此中点四边形四条边相等，邻边互相垂直，一定是正方形，故③正确；④只要原四边形的对角线相等且互相垂直，无论原四边形是不是正方形，中点四边形都是正方形，因此非正方形也可以得到正方形的中点四边形，故④错误． 7．（26-27九年级上·北京西城·开学考试）如图，四边形中，，，平分，取中点，中点，连接，，则________． 【答案】 【详解】解：，平分，， ，是的中点，，， 是的外角，， 是的中点，是的中点，，， ∴． 8．（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）如图，菱形的面积为30，对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的长为_____________． 【答案】 【详解】解：∵菱形的对角线，相交于点O，∴，， ∵菱形的面积为30，∴，∴， ∵，∴． 9．（26-27九年级上·陕西宝鸡·开学考试）如图，在锐角三角形中，、分别是边，上的高，、分别是线段，的中点． (1)求证：；(2)连接，，若°，求的度数． 【答案】(1)证明：连接和，如图， ∵、分别是边，上的高，∴， ∵是线段的中点，∴，∴为等腰三角形， ∵是线段的中点，∴； （2）解：∵°，∴，由（1）知，， ∵线段的中点，∴， ∴，∴，， ∵ ． ∴的度数是． 1．（24-25八年级下·四川南充·期中）如图，在中，，分别是，边上的中点，在上，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，分别是，边上的中点， 是的中位线，，，是直角三角形， 是的中点，，． 2．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，正方形中，对角线与相交于点，为边上一点，，为的中点，若的周长为，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵正方形中，对角线与相交于点，∴，，， ∵为的中点，∴， ∵的周长为，，∴，∴，∴， ∴，∴， ∵，，∴． 3．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是的中点，连接，若，，则的长为（     ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】B 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，∴， ∵平分， ∴，∴， ∴，∴， ∵是的中点，， ∴是的中位线，∴． 4．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，D，E是的边，上的点，连接，F，G，H分别是的中点，连接，若，，，则的长为（     ） A．7 B．6 C． D．5 【答案】D 【详解】解：F，G，H分别是的中点，，，，， ，； 5．（25-26九年级下·湖南邵阳·阶段检测）如图，点，，，分别是四边形边，，，的中点，如果，，则四边形的面积为（     ） A．20 B．24 C．32 D．48 【答案】B 【详解】解：，，，分别是四边形边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∵，，∴四边形为菱形， 连接，交于点O，如图所示：∴， ∵，∴，∴， 四边形的面积为：． 6．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，是边上一点，，分别是，的中点，连接，，．若，，，则与之间的距离是______． 【答案】 【详解】解：四边形是矩形，，， 或的长即为与之间的距离．，分别是，的中点， ，，是的中位线，． ，即，为直角三角形，且， 的面积为，， 即与之间的距离是． 7．（25-26八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，在边长为4的正方形中，点E，F分别是边的中点，连接，点G，H分别是的中点，连接，则的长度为______． 【答案】 【详解】解：连接并延长交于点，连接， 四边形是正方形，，，， ，分别是边，的中点，，， ，，点是的中点，， ，，，， ，在中，， 点是的中点，. 8．（25-26八年级下·重庆秀山·期末）如图，在菱形中，对角线和相交于点，，，点为的中点，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为______． 【答案】 【详解】解： 四边形是菱形 ，，，， 点为的中点 ，，取的中点，连接，如图所示， 点为的中点，点为的中点，是的中位线， ，， ，，，点为的中点， ，， 点在线段上，，， 在中，． 1．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，在Rt中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为（     ） A．5 B．4.8 C．4 D．5.2 【答案】A 【详解】解：如图，过点作，连接并延长交于点，连接，∴， ∵点是的中点，∴， 又∵，∴，∴，， ∵，，∴，∵，∴， ∵，点是的中点，∴是中位线，∴． 2．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在四边形中，，，，，点、、、分别为、、、边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形，当四边形为菱形时，的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，过点作过点作的延长线，如图所示： ∵点、、分别为、、边的中点，∴， ∵四边形为菱形，∴，∴， ∵，，∴在中，，∴， ∴，∴在中，， ∴，∵，∴， ∵过点作的延长线，在中，， 则，在中，， ∵，∴，∴， 则 解得或（舍去）． 3．（26-27九年级上·四川绵阳·开学考试）如图，在中， ，，D是外一点，且，G是中点，连接，则的最大值为_______ ． 【答案】 【详解】解：如图：取的中点O，连接， ，O为中点 ， ．取的中点K，连接，, ∵ G是中点，K是中点，是的中位线 ， ， ∵，∴的最大值为．过点B作于点H，设，则， 在和中，由勾股定理得： ， ∴ ，解得： ，， ∵K是的中点，， ， ， 在中， ， 在中， ，的最大值为． 4．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，交于点，点在边上，连接交于点，且，若，则的长为___________． 【答案】 【详解】解：如图，连接交于点O，连接，令交于点M， ∵，∴，又∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴是的中位线，∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，，设，， ∴，，∴，∴， 在中，， 在中，，∴，解得：（已舍弃负值）， ∴． 5．（25-26八年级下·山西大同·期末）如图，在矩形中，，，的平分线交于点，于点．点为的中点，连接，则的长为________． 【答案】 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，，∴， ∵，∴，∵的平分线交于点，∴， ∵，∴，∴，，∴， 设，则，∵，∴，解得：，∴， 如图：取的中点H，连接,则， ∵点为的中点，∴，，∴， 如图：过G作于I，则，∴四边形是矩形， ∴，，∴，∴． 6．（25-26八年级下·广东汕头·期末）顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形称为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过探究发现，中点四边形的形状由原四边形对角线的数量关系和位置关系决定． 【探究】(1)如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边的中点．求证：中点四边形是平行四边形． 【猜想】(2)当时，中点四边形是_____________； (3)当______________时，中点四边形是矩形； (4)当______________时，中点四边形是正方形． 【答案】(1)证明：连接，如图 ∵E、F是的中点∴且， 又∵H、G是的中点，∴且， ∴且∴中点四边形是平行四边形； （2）解：连接，如图：∵E、H分别是边的中点，∴， ∵，，∴， ∵中点四边形是平行四边形，∴中点四边形是菱形； （3）解：当时，中点四边形是矩形；理由如下：如图 ∵E、H分别是边的中点，∴，∵，∴， ∵，∴，∴， ∵中点四边形是平行四边形，∴中点四边形是矩形； （4）解：当且时，中点四边形是正方形．理由如下：如图 由（2）可知，当时，中点四边形是菱形， 由（3）可知，当时，，∴菱形是正方形，即中点四边形是正方形． 7．（25-26八年级下·山西晋中·期末）阅读下面的“数学活动报告”，并完成相应的学习任务． 课堂上学习完三角形的中位线后，小丽总结可以通过旋转、剪拼发现三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，并进行了证明验．以下是小丽整理的证明过程： 已知：如图1所示：是的中位线．求证：，．    证明：延长至，使，连接， 在与中，，，， ，，，， ，，∴四边形是平行四边形（依据1）， （依据2），，，． 根据材料，完成下列任务：    (1)任务一：填空，依据1 、依据2 ． (2)任务二：除上述证法外，小丽在整理的过程中发现了另外两种证法： 图2的辅助线作法：延长到，使，连接，得到四边形 图3的辅助线作法：过点作，过点作，与交于点 请选择其中一种辅助线的作法证明， (3)任务三：如图4，在四边形中，，，，分别为，，，的中点，顺次连接，，，得到四边形，已知则四边形的周长为 ． 【答案】(1)一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；平行四边形的对边相等 (2)选择图2：延长到，使，连接，， 根据题意得：点E为的中点，点D为的中点，∴，， ∴四边形为平行四边形，∴，∴， ∴四边形为平行四边形，∴，∴，； 选择图3：过点作，过点作，与交于点， ∵，，∴四边形为平行四边形，∴， 根据题意得：点E为的中点，点D为的中点，∴，， ∵，∴，∴， ∴，，∴，，∴， ∵，∴四边形为平行四边形，∴，∴，； （3）解：如图，连接， ∵，，，分别为，，，的中点，∴， ∴四边形的周长为， ∵，∴四边形的周长为26． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 重要的几何模型之中点模型（二） 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.直角三角形斜边中线模型 2 模型2.中位线模型 6 模型3.中点四边形模型 10 易错点与方法总结 16 模型运用 17 A组（基础题） 17 B组（能力提升题） 22 C组（综合压轴题） 27 直角三角形斜边中线模型的核心定理最早可能隐含于毕达哥拉斯学派对直角三角形的研究中，但未明确提出“斜边中点模型”的完整概念‌。《周髀算经》记载了勾股定理特例，虽未直接描述斜边中线性质，但为模型构建奠定基础‌。直到20世纪教材体系化过程中，该定理被明确表述为：“直角三角形斜边中线等于斜边一半”。模型历经古希腊的演绎证明与中国实用几何传统结合，形成今日标准化教学模型。‌因直角三角形斜边中线模型常与中位线、三线合一结合使用，戏称其为“三兄弟模型”。 20世纪初，德国数学家克莱因在《初等几何学》中首次将“连接三角形两边中点的线段”定义为“中位线”（Median Line），并严格证明其性质：‌平行于第三边且长度为第三边的一半。中位线模型从古典几何的隐性规律发展为现代数学教育的高效工具，体现了数学抽象性与应用性的深度统一。 20世纪60年代，教育工作者将三角形中位线性质迁移至四边形场景，发现‌任意四边形的中点连线必形成平行四边形。这一规律被命名为“中点四边形稳定性定理”。 1）线段中点定义、中位线性质； 2）直角三角形角度性质、斜边中线性质、等腰三角形判定； 3）平行线判定与性质； 4）平行四边形、菱形、矩形、正方形判定定理； 5）三角形全等基础。 模型1.直角三角形斜边中点模型 【模型提炼与证明】 1）直角三角形斜边中线模型（单中线模型） 条件：如图，若AD为斜边上的中线； 结论：（1）；（2），为等腰三角形；（3），． 证明：取AC的中点E，连接DE，∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD=， ∵E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//AB，∴∠DEC=∠BAC=90°，∴DE垂直平分AC， ∴AD=CD，∴；∴，为等腰三角形； ∵AD=CD，∴，∵，∴，同理：． 2）直角三角形斜边中线模型（双中线模型） 条件：如图，在由两个直角三角形组成的图中，M为BC边的中点，（直角在BC的同侧和异侧两类） 结论：（1）；（2）． 证明：∵，M为BC边的中点，∴，，∴ ∴，∵，∴，同理： ∴，∴．（同侧和异侧证明一致） 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）如图，公路与互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则，两点间的距离为______________． 【典例2】（2026·广东广州·中考真题）如图，在中，，是的角平分线，，垂足为，点是的中点．已知，的周长为12，则长为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【典例3】（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）在正方形中，，分别是，上的点，，相交于点．若，，，则的长为__________． 【典例4】（2025广东·模拟预测）如图，四边形中，，，，以，为邻边作，连接，则线段长为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【典例5】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，，，相交于点，点，分别是，的中点，若，那么＝ 度．    模型2.中位线模型 【模型提炼与证明】 条件：如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E， 结论：（1）DE//BC且，（2）△ADE∽△ABC。 证明：如图1，过点C作交延长于点F，∴， ∵是的中位线，∴，∴，∴， ∴，又∵，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴，； ∵，∴，，∴△ADE∽△ABC。 图1 图2 2）梯形的中位线模型： 条件：如图2，在梯形中，，、分别是两腰、的中点， 结论：（1），； （2）梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高。 证明：连接并延长，交延长线于点，，． 是的中点，．，． ，．点是的中点，又点是的中点， 是的中位线，，．． ，，．，． ∵梯形的面积=，∴梯形的面积==中位线的长×高。（为梯形的高） 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·山西大同·期末）如图，在边长为4的正方形中，，分别为，的中点，连接，，，，分别为，的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级下·贵州安顺·期末）如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【典例3】（2025·浙江杭州·二模）是的边的中点，平分于点，且，则的周长等于 ． 【典例4】（26-27九年级上·四川达州·开学考试）如图，在菱形中，M，N分别是边，上的动点，连接，，P，Q分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为 ____ ． 【典例5】（2026·山东枣庄·模拟预测）如图是一个面积为S的三角形，现分别连接这个三角形三边的中点得到一个新的三角形图①， 再连接这个三角形的三条边的中点，又得到一个小的三角形图②，再连接这个三角形的三条边的中点，又得到一个小的三角形图③，…，如此下去，第n个图中小三角形的面积为（     ） A． B． C． D． 模型3.中点四边形模型 【模型提炼与证明】 1）顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形． 条件：如图1，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，结论：四边形MNPQ为平行四边形。 证明：∵点M、N是AC、AB的中点，∴，， 同理：，，∴MN=PQ，，∴四边形是平行四边形， 图1 图2 2）顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形） 条件：如图2，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC⊥DB，结论：四边形MNPQ为矩形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC⊥DB，∴MN⊥MQ，∴四边形MNPQ为矩形。 3）顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形） 条件：如图3，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，结论：四边形MNPQ为菱形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC=DB，∴MN=MQ，∴四边形MNPQ为菱形。 图3 图4 4）顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形． 条件：如图4，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，AC⊥DB， 结论：四边形MNPQ为正方形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴，，， ∵AC=DB，AC⊥DB，∴MN=MQ，MN⊥MQ，，∴四边形MNPQ为正方形。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·上海虹口·期末）定义：将顺次连接四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形．如果中点四边形是正方形，那么原四边形的两条对角线一定满足（     ） A．两条对角线互相平分且相等 B．两条对角线互相垂直且相等 C．两条对角线互相平分且垂直 D．两条对角线互相垂直且不等 【典例2】（25-26八年级下·北京·期中）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是边的中点若四边形为菱形，则对角线，应满足的条件是（    ） A． B． C．与相互平分 D．不确定 【典例3】（25-26八年级下·山东滨州·期中）如图，点E、F、G、H分别是四边形边的中点．则下列说法：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例4】（2025·四川德阳·中考真题）如图：点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 【典例5】（25-26八年级下·福建泉州·期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】：(1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 【性质探究】：(2)如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形的对角线，的关系； 【拓展应用】：如图2，已知四边形是“中方四边形”，、分别是、的中点． (3)试探索与的数量关系，并说明理由．(4)若，求的最小值． 模型常见易错点 1）斜中模型乱用条件 错误：任意三角形都用“中线等于边的一半”。 解决方案：只有直角三角形斜边中点才有此结论，普通三角形不成立。 2）逆定理不会用 错误：看见中线是边长一半，不会判定直角。解决方案：大题可直接用逆定理判定直角，快速破题。 3）中位线找错边 错误：单中点、非两边中点乱套中位线。 解决方案：必须是两条边的中点连线，才是中位线；单点中点优先倍长中线。 4）中点四边形规律记反 错误：原图形决定新图形，忽略对角线本质。 解决方案：不看原图形，只看原对角线：等菱、垂矩、垂等正方。 5）大题直接默写结论扣分 解决方案：选填可秒杀，解答题需简单说明中位线/斜中性质来源。 解题方法总结 斜中模型解题步骤 1）识别：直角三角形 + 斜边中点；2）套用性质：斜边中线等于斜边一半，得到三条线段相等； 3）转化等腰三角形，倒角、求边长、证角度；4）结合勾股、三角函数求解最终结果。 中位线解题步骤 1）找三角形两边中点；2）连接中位线，得到平行+半长关系；3）转移角度、缩放边长； 4）代入数值计算或证明平行、全等。 中点四边形解题步骤 1）观察原四边形对角线：是否相等、是否垂直；2）无特殊 → 平行四边形； 3）只相等 → 菱形；只垂直 → 矩形；4）既垂直又相等 → 正方形。 终极口诀：直角斜边取中点，三线等长等腰显；两边中点连中位，平行半长缩放现；中点四边形看对角，等菱垂矩正方全。 1．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在中，，垂足为B，点D是的中点，连接，若，则的长为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分，与交于点M，于点D，于点E，与交于点F，若，则为（     ） A．2.5 B．2 C．3 D．3.5 3．（2026·内蒙古赤峰·三模）如图，O是矩形的对角线的中点，M是边的中点，若，则四边形的周长为（     ） A．20 B．34 C．17 D．22 4．（26-27九年级上·江苏常州·开学考试）如果点、、、分别是菱形四边、、、上的中点，那么四边形是（     ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．平行四边形 5．（25-26八年级下·云南红河·期末）如图，已知点，分别为的边，的中点，平分且交于，，则的长为（     ） A．12 B．14 C．16 D．20 6．（25-26八年级下·北京门头沟·期末）顺次连接四边形各边中点形成的四边形叫做中点四边形，有关中点四边形的描述如下：①任意四边形的中点四边形一定是平行四边形；②矩形的中点四边形一定是矩形； ③正方形的中点四边形一定是正方形；④非正方形的中点四边形一定不是正方形． 其中所有正确推断的序号是（     ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 7．（26-27九年级上·北京西城·开学考试）如图，四边形中，，，平分，取中点，中点，连接，，则________． 8．（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）如图，菱形的面积为30，对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的长为_____________． 9．（26-27九年级·陕西·开学考试）如图，在锐角三角形中，、分别是边，上的高，、分别是线段，的中点．(1)求证：；(2)连接，，若°，求的度数． 1．（24-25八年级下·四川南充·期中）如图，在中，，分别是，边上的中点，在上，，，，则（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，正方形中，对角线与相交于点，为边上一点，，为的中点，若的周长为，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是的中点，连接，若，，则的长为（     ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 4．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，D，E是的边，上的点，连接，F，G，H分别是的中点，连接，若，，，则的长为（     ） A．7 B．6 C． D．5 5．（25-26九年级下·湖南邵阳·阶段检测）如图，点，，，分别是四边形边，，，的中点，如果，，则四边形的面积为（     ） A．20 B．24 C．32 D．48 6．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，是边上一点，，分别是，的中点，连接，，．若，，，则与之间的距离是______． 7．（25-26八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，在边长为4的正方形中，点E，F分别是边的中点，连接，点G，H分别是的中点，连接，则的长度为______． 8．（25-26八年级下·重庆秀山·期末）如图，在菱形中，对角线和相交于点，，，点为的中点，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为______． 1．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，在Rt中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为（     ） A．5 B．4.8 C．4 D．5.2 ∴，2．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在四边形中，，，，，点、、、分别为、、、边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形，当四边形为菱形时，的长是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·四川绵阳·开学考试）如图，在中， ，，D是外一点，且，G是中点，连接，则的最大值为_______ ． 4．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，交于点，点在边上，连接交于点，且，若，则的长为___________． 5．（25-26八年级下·山西大同·期末）如图，在矩形中，，，的平分线交于点，于点．点为的中点，连接，则的长为________． 6．（25-26八年级下·广东汕头·期末）顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形称为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过探究发现，中点四边形的形状由原四边形对角线的数量关系和位置关系决定． 【探究】(1)如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边的中点．求证：中点四边形是平行四边形． 【猜想】(2)当时，中点四边形是_____________； (3)当______________时，中点四边形是矩形； (4)当______________时，中点四边形是正方形． 7．（25-26八年级下·山西晋中·期末）阅读下面的“数学活动报告”，并完成相应的学习任务． 课堂上学习完三角形的中位线后，小丽总结可以通过旋转、剪拼发现三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，并进行了证明验．以下是小丽整理的证明过程： 已知：如图1所示：是的中位线．求证：，．    证明：延长至，使，连接， 在与中，，，， ，，，， ，，∴四边形是平行四边形（依据1）， （依据2），，，． 根据材料，完成下列任务：    (1)任务一：填空，依据1 、依据2 ． (2)任务二：除上述证法外，小丽在整理的过程中发现了另外两种证法： 图2的辅助线作法：延长到，使，连接，得到四边形 图3的辅助线作法：过点作，过点作，与交于点 请选择其中一种辅助线的作法证明， (3)任务三：如图4，在四边形中，，，，分别为，，，的中点，顺次连接，，，得到四边形，已知则四边形的周长为 ． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $