专题09 相似三角形重要模型之一线三等角模型（几何模型讲义）数学新教材北师大版九年级上册

专题09 相似三角形重要模型之一线三等角模型 一线三等角（K字型）模型是相似最重要应用模型之一，分为锐角、钝角、直角三种子类；直角K字型在坐标系几何价值极高。模型核心不是记住图形，而是会利用内角和、外角定理、同角余角相等完成角度推导；大题禁止直接口头引用模型名称，需要写出完整角度推导再证相似。 命题特点：很多压轴题经常隐藏模型，不画出完整三等角，需要学生主动添加辅助线，构造出一线三等角结构来破题。动点在直线上运动，角度不变；直角三垂直常用来求坐标、求线段；锐角、钝角一线三等角多出现在最后一问探究。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.一线三等角模型（相似模型） 2 易错点与方法总结 9 模型运用 10 A组（基础题） 10 B组（能力提升题） 13 C组（综合压轴题） 18 动态旋转起源‌：该模型最初源于几何图形的动态构造，这种旋转过程揭示了模型从一般位置到特殊位置（如中点型、同侧型、异侧型等）的自然演变。‌“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定理也可），从而得到两个三角形相似。 因模型在不同视角下呈现“K”或“M”形轮廓，各地教学中衍生出‌K型图‌（如华东地区）与‌M型图‌（如华北地区）的昵称差异。这种命名差异体现了模型视觉表现力的多样性。 1）相似三角形AA判定定理；相似三角形的对应边成比例； 2）三角形外角定理，内角和定理； 3）同角的余角相等（直角三垂直推导核心）； 4）全等三角形AAS判定（特殊情况）； 5）平面直角坐标系点坐标，勾股定理。 模型1.一线三等角模型（相似模型） 【模型提炼与证明】 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等）， ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3，∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵E为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·四川巴中·期中）如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且．(1)求证：；(2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明：∵为等边三角形，∴，∴， ∵，∴，∴； （2）解：∵为等边三角形，∴，由（1）可得，∴， ∵，∴，∴，∴． 【典例2】（25-26浙江·九年级专题练习）如图，，点是线段上的一点，且．已知．(1)证明：．(2)求线段的长．    【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）∵，∴，∵，∴，解得：． 【典例3】（2026·北京·校考一模）已知梯形中，∥，且，，． ⑴如图，P为上的一点，满足∠BPC=∠A，求AP的长； ⑵如果点P在边上移动（点P与点不重合），且满足∠BPE=∠A，交直线于点E，同时交直线DC于点．①当点在线段DC的延长线上时，设，CQ=y，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②写CE=1时，写出AP的长（不必写解答过程） 【答案】⑴的长1或4;⑵① ;②或3- 【详解】解：⑴，，， 又梯形中，，，，， 设，，，解得，，的长1或4; ⑵①由⑴易得（如图），，即， ②当CE=1时，∵△PDQ∽△ECQ，∴,或， ，解得：AP=2或3−. 【典例4】（2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴，∴； （2）∵，， ∴，∴． （3）∵，， ∴，∴．∴， ∵点E是的中点，∴，∴， ∵，∴，∴，∴． 【典例5】（25-26九年级上·成都·阶段练习）在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC所在直线上运动，作∠ADE=45°(A、D、E按逆时针方向)．(1)如图1，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E． ①求证：△ABD ∽△DCE；②当△ADE是等腰三角形时，求AE的长． (2)①如图2，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点E'，是否存在点D，使△ADE'是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置：若不存在，请简要说明理由． ②如图3，若点D在BC的反向延长线上运动，是否存在点D，使△ADE是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由． 【答案】(1)①见解析；②2或或1 (2)①存在，当DC=2时，为等腰三角形；②不存在，理由见解析 【详解】（1）①证明：∵，AB=AC∴∴ ∵∴∴∴△ABD ∽△DCE； ②分三种情况：（i）：当AD=AE时，∴ 所以此时D、E与B、C重合，； （ii）：当AD=DE时，由①知，△ABD ∽△DCE ∵AD=DE∴△ABD≌△DCE∴， ∵，AB=AC=2∴， ∴∴∴； （iii）：当AE=DE时，，∴ ∵∴∴DE=CE∴AE=DE=CE∴综上所述，2或或1； （2）①存在．∵，∴所以只有当时，为等腰三角形， ∵∴∵∴ ∴∴∴ ∵∴∴当DC=2时，为等腰三角形； ②不存在．∵D和B不重合，∴，， ∴同理所以不存在点D，使得为等腰三角形． 【典例6】（2026安徽校考一模）如图，在中，，，是线段上的一点，连接，过点作，分别交，于点，，与过点A且垂直于的直线相交于点，连接。(1)求证：(2)若是的中点，求的值．(3)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)的值为12 【详解】（1）证明：∵， ∴，∴，∴，∵，∴， （2）∵，∴， ∵，∴，∴， ∵是的中点，∴，∴，∴， ∵∴，∴． （3）∵，∴， ∵，∴，∴， 若，∴，即 ∵∴，∴∴；∴． 【典例7】（25-26江苏·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（AB＞AE）．(1)求证：△AEF∽△DCE；(2)△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；(3)设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)相似，证明见解析(3)存在， 【详解】（1）证明：∵EF⊥EC，∴∠FEC＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90°， ∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠DEC＝∠AFE，又∵∠A＝∠EDC＝90°，∴△AEF∽△DCE； （2）解：△AEF∽△ECF．理由：∵E为AD的中点，∴AE＝DE， ∵∠AEF＝∠DEG，∠A＝∠EDG，∴△AEF≌△DEG(ASA)， ∴EF＝EG，∠AFE＝∠EGC．又∵EF⊥CE，∴CE垂直平分FG， ∴△CGF是等腰三角形．∴∠AFE＝∠EGC＝∠EFC． 又∵∠A＝∠FEC＝90°，∴△AEF∽△ECF； （3）解：存在使得△AEF与△BFC相似．理由：假设△AEF与△BFC相似，存在两种情况： ①当∠AFE＝∠BCF，则有∠AFE与∠BFC互余，于是∠EFC＝90°，因此此种情况不成立； ②当∠AFE＝∠BFC，使得△AEF与△BFC相似，设BC＝a，则AB＝ka， ∵△AEF∽△BCF，∴，∴AF＝，BF＝， ∵△AEF∽△DCE，∴，即， 解得，．∴存在使得△AEF与△BFC相似． 模型常见易错点 1）对应顶点书写错误，比例式颠倒 错误：顶点乱序，线段比例写反。解决方案：相等角一一对应写顶点；写完成相似符号再列比例。 2）不会做角度推导，直接默写一线三等角得相似 错误：大题直接写“由一线三等角得△XXX∽△XXX”，缺少角度推导扣分。 解决方案：选填可以直接识别模型提速；解答大题，必须写：同角的余角相等（直角型）或者外角定理，证明两组内角相等，再AA证相似。 3）分不清什么时候是相似、什么时候是全等 错误：看见K字型一律当成全等。 解决方案：只有中间那个角的两条夹边相等才是全等；其余情况只是相似。 4）模型隐藏，不会自己作辅助线构造一线三等角 错误：坐标系出现直角，没有现成直线，识别不出模型。 解决方案：过直角顶点向坐标轴做水平、竖直垂线，主动造出“一条直线上三个直角”，构造K字三垂直。 5）点在直线延长线上（外侧型）直接套用内侧比例 解决方案：无论点在线段上还是延长线，先重新推导角度，重新写相似，不要直接照搬内侧图形的比例。 解题方法总结 直角三垂直（K字型）解答步骤 1）识图：确认同一直线上存在三个直角；或者主动做水平竖直辅助线构造三垂直；2）利用同角的余角相等，推导出一组锐角相等；3）AA证明三角形相似；夹边相等则证明ASA或AAS全等；4）写出对应边成比例；坐标系中转化横纵坐标差；5）列方程求解线段长度或者点坐标。 通用（锐角/钝角）一线三等角 1）找到共线三点，确认直线上三个角度大小相等；2）利用三角形内角和或者外角定理推导得到第二组等角；3）AA证明两个三角形相似；4）严格按照对应顶点列出比例式，代数计算。 终极口诀 一线之上三等角，内角外角找等角；直角优先余角等，AA相似马上成； 夹边相等变全等，坐标构造K字形；大题莫要直接写，角度推导不能省。 1．（2025陕西中考真题）如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】C 【详解】解：∵四边形为正方形， ∵为的中点，，∴， ∵，∴，又，∴，， ∴，即，∴，∴的面积．故选：C． 2．（24-25·安徽滁州·九年级校联考期末）在等边中，为上一点，为上一点，且，，，则的边长为 ．      【答案】 【详解】解：是等边三角形，，，， ， ， ，，；， ，，，，的边长为．故答案为：． 3．（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图，在中，，，点D，E分别是，上的点，且，求证：.    【答案】见解析 【详解】证明：∵，，∴， ∵是的一个外角，∴，又∵，，∴， 在和中，，∴ 4．（25-26·上海·九年级校考阶段练习）如图，梯形中，，点是边上一点，点在边上，射线交的延长线于点，且．(1)求证：；(2)若，求的长．    【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵梯形中，，∴， 又∵∴ ∴，∴∴∴即； （2）解：∵∴ ∵∴，∴则 ∵∴，∴ 5．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，已知是的角平分线，点E在边上，且，连接．(1)求证：；(2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵是的角平分线，∴． ∵，∴，∴； （2）解：∵，，， ∴，即，解得，∴． 6．（2026·内蒙古锡林郭勒·模拟预测）如图，在四边形中，，，点为的中点．(1)求证：；(2)求证：；(3)若，，求线段． 【答案】(1)证明：∵，∴，∴， ∵，∴，∴，又∵，∴； (2)证明：∵，∴，∵点E为的中点，∴．∴， 又∵，∴，∴，∴； （3）解：由（1）可得，∴， ∵点E为的中点，∴．∵，，∴，∴（负值不符合，舍去）， ∴，，∴． 1．（2025·安徽淮北·三模）如图，E是上一点，，，，连接．若，则下列结论中错误的是（   ） A．平分 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，过点E作于点F ∵，∴∴， ∵∴∴平分，故A正确； 又∵∴，故D正确； ∵，，∴∴∴ ∵∴∵，∴ ∵平分∴∴，故C正确；∴ ∵，∴∴ ∴，即∴，故B错误；故选：B． 2．（2026·江苏苏州·二模）如图，将平行四边形绕点A逆时针旋转得到平行四边形 ，使点E落在边 上， 且点 D 巧合是的中点， 若 则 的值为 ． 【答案】 【详解】解：在平行四边形中，，， ∵平行四边形绕点A逆时针旋转得到平行四边形 ， ∴，，，设，则， ∵ D 是的中点，∴，∵，，， ∴，，∴，∴，即，解得， ∴，∴，故答案为：． 3．（2025·山西吕梁·模拟预测）如图，在中，，是的中位线，为上一点，连接，将沿折叠得到，点的对应点落在线段上，若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：是的中位线，．，，∴， ，． 如图，过点作，交的延长线于点．∴， 又∵，，∴，， ．由折叠的性质可知，， 在中，由勾股定理得． ，．， ，，， ，即，解得，故答案为：． 4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是 ． 【答案】 【详解】如图，过作轴于点，则， 由平移性质可知：，，∴四边形是平行四边形， ∵，∴四边形是矩形， ∴，，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴，，，∴， 设，则，，∴，解得：， ∴，，∴， ∵点在第四象限，∴，故答案为：． 5.（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）如图，在中，，，点是边上一动点（不与，重合），，交于点，则的最大值为________． 【答案】2 【详解】解：设的长为，，， ，，，； 由勾股定理得：， 点是边上一动点（不与点重合），， 垂线段最短，当时，取得最小值，，， ，，，， ，，即，的最大值为2，故答案为：2． 6．（24-25·广东深圳·九年级校考阶段练习）【基础巩固】（1）如图1，在中，，，D是边上一点，F是边上一点，．求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形ABFC中，点D是边的中点，，若，，求线段的长． 【拓展提高】（3）在中．，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上．若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）5；（3）10 【详解】（1）证明：，，， ，∴，， ，，； （2）解：如图2中，延长交的延长线于点． ，，，，， ，，，，， ，，，，； （3）解：如图，过点作与交于点，使， ，，，， ，，， ，，，， ，，，，，． 1.（2026·浙江·校考一模）如图，在中，．点是的中点，连结，过点作，分别交于点，与过点且垂直于的直线相交于点，连结．给出以下四个结论：①；②点是的中点；③；④，其中正确的个数是(   ) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：由题意知，△ABC是等腰直角三角形，设AB＝BC＝2，则AC＝2， ∵点D是AB的中点，∴AD＝BD＝1，在Rt△DBC中，DC＝，（勾股定理） ∵BG⊥CD，∴∠DEB＝∠ABC＝90°，又∵∠CDB＝∠BDE，∴△CDB∽△BDE， ∴∠DBE＝∠DCB， ,即∴DE＝ ，BE＝, 在△GAB和△DBC中，∴△GAB≌△DBC(ASA)∴AG＝DB＝1，BG＝CD＝， ∵∠GAB+∠ABC＝180°，∴AG∥BC，∴△AGF∽△CBF， ∴，且有AB＝BC，故①正确， ∵GB＝，AC＝2，∴AF＝＝，故③正确， GF＝，FE＝BG﹣GF﹣BE＝，故②错误， S△ABC＝AB•AC＝2，S△BDF＝BF•DE＝××＝，故④正确．故选B． 2．（2026·江苏泰州·三模）如图，在等边中，点F为边上的中点，以F为顶点作一个的角交边于D、E两点，连接，则知道下列哪个条件就可以计算的周长（　　） A．的周长 B．的周长 C．的周长 D．的周长 【答案】D 【详解】解：取的中点G，连接，在截取，连接， ∵是等边三角形，∴，， ∴，∴，∴，∴， ∵点F为边上的中点，∴，则，即，又， ∴，∴，又，， ∴，∴，，则， ∵点F为边上的中点，点G是的中点，∴，又， ∴是等边三角形，∴，， ∴，，又，∴，∴， ∴， 则，故知道的周长就可以计算的周长．故选：D． 3．（25-26浙江九年级专题练习）如图，为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，，将沿直线DE翻折得到，当点F落在边BC上，且时，的值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作△ABC的高AL，作△BDF的高DH， ∵△ABC为等边三角形，△ADE与△FDE关于DE成轴对称，∴∠DFE=∠DAE= 60°，AD = DF， ∴∠CFE+∠FEC=∠CFE+∠DFB= 120°，∴∠DFB= ∠CEF， 又∠B=∠C= 60°，∴△BDF∽△CFE，∴ ，即 ，设CF= x(x > 0)， ∵BF=4CF，∴BF= 4x，∵BD=3，∴， ∵，∴，， ∵△BDF∽△CFE，∴，∴解得：x=2， ∴CF=4，∴BC=5x=10，∵在Rt△ABL中，∠B=60°， ∴AL=ABsin60°=10×=5，∴S△ABC=， ∵在Rt△BHD中，BD=3，∠B=60°，∴DH=BDsin60°=， ∴S△BDF=， ∵△BDF∽△CFE，∴，∵S△BDF=，∴S△CEF=， 又∵AF为轴对称图形对应点的连线,DE为对称轴，∴AD=DF，△ADF为等腰三角形，DE⊥AF， ∴S四边形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF=， ∴．故答案为:． 4．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图1，点是线段上与点，点不重合的任意一点，在的同侧分别以，，为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点为等联点，线段为等联线． (1)如图2，在个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图3，在中，，，延长至点，使，作的等联角和．将沿折叠，使点落在点处，得到，再延长交的延长线于，连接并延长交的延长线于，连接．①确定的形状，并说明理由； ②若，，求等联线和线段的长（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析(2)①等腰直角三角形，见解析；②； 【详解】（1）解：如图所示（方法不唯一） （2）①是等腰直角三角形．理由为：如图，过点作交的延长线于． 由折叠得，， ，，四边形为正方形 又，；，而， 是等腰直角三角形． ②过点作于，交的延长线于，则． ，，由是等腰直角三角形知：，， ，，而，，在中，，， ，，， 由，，∴四边形为正方形，， 由，得：，∴， ，而，即，解得：， 由①知：，，． 5．（25-26九年级上·山西太原·期中）如图，在矩形中，，点是线段上一点，连接，过点作，交于点． 【一般化感知】如图①，易证：； 【特殊化探究】（1）如图②，连接交于点．若，求的长； 【拓展性延伸】（2）如图③，连接，过点作，交的延长线于点．若点是的中点，直接写出的长． 【答案】（一般化感知）证明：∵四边形是矩形， ，，，， ，，． （1）解：由（一般化感知）可得，则， ，四边形是矩形，， ，，， 如图，过点作，∵四边形是矩形，， ，，，，， ，，，即，，． （2）解：如图，过点H作，交的延长线于点N． ，，， ，，， ，，，即， ，设，则，∴由勾股定理可得：， ∵点是的中点，，，，， ，，， ，∴， ，即，解得，． 6.（24-25九年级下·浙江杭州·开学考试）在中，已知，于，，，求的长． (1)如图，当时，小党同学灵活运用一线三等角构造相似三角形知识，他作出，利用三角形相似求出的长，请你帮助他证明：；(2)当时．①如图，求的长．②如图，，为直线上两点（在点左侧，在点右侧），在中，，，，设，，请求出，之间的关系式． 【答案】(1)见解析(2)①6；② 【详解】（1）证明：如图1，作，交于，， ，，，， ，，，； （2）解：①如图2，作，交于，， ，，， ，，，， ，，， ，，， ，，，（舍去），即的长为6； ②在中，，，，， ，，， 如图，作关于对称的，在上截取，连接，并延长交于， ，，，，，， ，，， 又，，，，， ，，，， 又，，，，，，， ，，． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 相似三角形重要模型之一线三等角模型 一线三等角（K字型）模型是相似最重要应用模型之一，分为锐角、钝角、直角三种子类；直角K字型在坐标系几何价值极高。模型核心不是记住图形，而是会利用内角和、外角定理、同角余角相等完成角度推导；大题禁止直接口头引用模型名称，需要写出完整角度推导再证相似。 命题特点：很多压轴题经常隐藏模型，不画出完整三等角，需要学生主动添加辅助线，构造出一线三等角结构来破题。动点在直线上运动，角度不变；直角三垂直常用来求坐标、求线段；锐角、钝角一线三等角多出现在最后一问探究。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.一线三等角模型（相似模型） 2 易错点与方法总结 9 模型运用 10 A组（基础题） 10 B组（能力提升题） 13 C组（综合压轴题） 18 动态旋转起源‌：该模型最初源于几何图形的动态构造，这种旋转过程揭示了模型从一般位置到特殊位置（如中点型、同侧型、异侧型等）的自然演变。‌“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定理也可），从而得到两个三角形相似。 因模型在不同视角下呈现“K”或“M”形轮廓，各地教学中衍生出‌K型图‌（如华东地区）与‌M型图‌（如华北地区）的昵称差异。这种命名差异体现了模型视觉表现力的多样性。 1）相似三角形AA判定定理；相似三角形的对应边成比例； 2）三角形外角定理，内角和定理； 3）同角的余角相等（直角三垂直推导核心）； 4）全等三角形AAS判定（特殊情况）； 5）平面直角坐标系点坐标，勾股定理。 模型1.一线三等角模型（相似模型） 【模型提炼与证明】 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等）， ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3，∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵E为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·四川巴中·期中）如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且．(1)求证：；(2)若，，求的长度． 【典例2】（25-26浙江·九年级专题练习）如图，，点是线段上的一点，且．已知．(1)证明：．(2)求线段的长．    【典例3】（2026·北京·校考一模）已知梯形中，∥，且，，． ⑴如图，P为上的一点，满足∠BPC=∠A，求AP的长； ⑵如果点P在边上移动（点P与点不重合），且满足∠BPE=∠A，交直线于点E，同时交直线DC于点．①当点在线段DC的延长线上时，设，CQ=y，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②写CE=1时，写出AP的长（不必写解答过程） 【典例4】（2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 【典例5】（25-26九年级上·成都·阶段练习）在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC所在直线上运动，作∠ADE=45°(A、D、E按逆时针方向)．(1)如图1，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E． ①求证：△ABD ∽△DCE；②当△ADE是等腰三角形时，求AE的长． (2)①如图2，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点E'，是否存在点D，使△ADE'是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置：若不存在，请简要说明理由． ②如图3，若点D在BC的反向延长线上运动，是否存在点D，使△ADE是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由． 【典例6】（2026安徽校考一模）如图，在中，，，是线段上的一点，连接，过点作，分别交，于点，，与过点A且垂直于的直线相交于点，连接。(1)求证：(2)若是的中点，求的值．(3)若，求的值． 【典例7】（25-26江苏·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（AB＞AE）．(1)求证：△AEF∽△DCE；(2)△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；(3)设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由． 模型常见易错点 1）对应顶点书写错误，比例式颠倒 错误：顶点乱序，线段比例写反。解决方案：相等角一一对应写顶点；写完成相似符号再列比例。 2）不会做角度推导，直接默写一线三等角得相似 错误：大题直接写“由一线三等角得△XXX∽△XXX”，缺少角度推导扣分。 解决方案：选填可以直接识别模型提速；解答大题，必须写：同角的余角相等（直角型）或者外角定理，证明两组内角相等，再AA证相似。 3）分不清什么时候是相似、什么时候是全等 错误：看见K字型一律当成全等。 解决方案：只有中间那个角的两条夹边相等才是全等；其余情况只是相似。 4）模型隐藏，不会自己作辅助线构造一线三等角 错误：坐标系出现直角，没有现成直线，识别不出模型。 解决方案：过直角顶点向坐标轴做水平、竖直垂线，主动造出“一条直线上三个直角”，构造K字三垂直。 5）点在直线延长线上（外侧型）直接套用内侧比例 解决方案：无论点在线段上还是延长线，先重新推导角度，重新写相似，不要直接照搬内侧图形的比例。 解题方法总结 直角三垂直（K字型）解答步骤 1）识图：确认同一直线上存在三个直角；或者主动做水平竖直辅助线构造三垂直；2）利用同角的余角相等，推导出一组锐角相等；3）AA证明三角形相似；夹边相等则证明ASA或AAS全等；4）写出对应边成比例；坐标系中转化横纵坐标差；5）列方程求解线段长度或者点坐标。 通用（锐角/钝角）一线三等角 1）找到共线三点，确认直线上三个角度大小相等；2）利用三角形内角和或者外角定理推导得到第二组等角；3）AA证明两个三角形相似；4）严格按照对应顶点列出比例式，代数计算。 终极口诀 一线之上三等角，内角外角找等角；直角优先余角等，AA相似马上成； 夹边相等变全等，坐标构造K字形；大题莫要直接写，角度推导不能省。 1．（2025陕西中考真题）如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 2．（24-25·安徽滁州·九年级校联考期末）在等边中，为上一点，为上一点，且，，，则的边长为 ．      3．（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图，在中，，，点D，E分别是，上的点，且，求证：.    4．（25-26·上海·九年级校考阶段练习）如图，梯形中，，点是边上一点，点在边上，射线交的延长线于点，且．(1)求证：；(2)若，求的长．    5．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，已知是的角平分线，点E在边上，且，连接．(1)求证：；(2)若，，，求的长． 6．（2026·内蒙古锡林郭勒·模拟预测）如图，在四边形中，，，点为的中点．(1)求证：；(2)求证：；(3)若，，求线段． 1．（2025·安徽淮北·三模）如图，E是上一点，，，，连接．若，则下列结论中错误的是（   ） A．平分 B． C． D． 2．（2026·江苏苏州·二模）如图，将平行四边形绕点A逆时针旋转得到平行四边形 ，使点E落在边 上， 且点 D 巧合是的中点， 若 则 的值为 ． 3．（2025·山西吕梁·模拟预测）如图，在中，，是的中位线，为上一点，连接，将沿折叠得到，点的对应点落在线段上，若，则的长为 ． 4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是 ． 5.（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）如图，在中，，，点是边上一动点（不与，重合），，交于点，则的最大值为________． 6．（24-25·广东深圳·九年级校考阶段练习）【基础巩固】（1）如图1，在中，，，D是边上一点，F是边上一点，．求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形ABFC中，点D是边的中点，，若，，求线段的长． 【拓展提高】（3）在中．，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上．若，求的长． 1.（2026·浙江·校考一模）如图，在中，．点是的中点，连结，过点作，分别交于点，与过点且垂直于的直线相交于点，连结．给出以下四个结论：①；②点是的中点；③；④，其中正确的个数是(   ) A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2026·江苏泰州·三模）如图，在等边中，点F为边上的中点，以F为顶点作一个的角交边于D、E两点，连接，则知道下列哪个条件就可以计算的周长（　　） A．的周长 B．的周长 C．的周长 D．的周长 3．（25-26浙江九年级专题练习）如图，为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，，将沿直线DE翻折得到，当点F落在边BC上，且时，的值为 ． 4．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图1，点是线段上与点，点不重合的任意一点，在的同侧分别以，，为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点为等联点，线段为等联线． (1)如图2，在个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图3，在中，，，延长至点，使，作的等联角和．将沿折叠，使点落在点处，得到，再延长交的延长线于，连接并延长交的延长线于，连接．①确定的形状，并说明理由； ②若，，求等联线和线段的长（用含的式子表示）． 5．（25-26九年级上·山西太原·期中）如图，在矩形中，，点是线段上一点，连接，过点作，交于点． 【一般化感知】如图①，易证：； 【特殊化探究】（1）如图②，连接交于点．若，求的长； 【拓展性延伸】（2）如图③，连接，过点作，交的延长线于点．若点是的中点，直接写出的长． 6.（24-25九年级下·浙江杭州·开学考试）在中，已知，于，，，求的长． (1)如图，当时，小党同学灵活运用一线三等角构造相似三角形知识，他作出，利用三角形相似求出的长，请你帮助他证明：；(2)当时．①如图，求的长．②如图，，为直线上两点（在点左侧，在点右侧），在中，，，，设，，请求出，之间的关系式． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $