5.3.1 函数的单调性（第一课时）课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦“函数的单调性与导数的关系”，通过复习必修函数单调性定义及导数概念，以“能否用导数精确研究函数性质”设问衔接新旧知识，搭建学习支架帮助学生构建知识脉络。 其亮点是结合高台跳水函数图像、f(x)=x³等实例引导观察，培养直观想象与数学抽象素养，通过导数几何意义推理关系，体现数学思维。教学步骤清晰，助力学生掌握方法，教师使用可提升教学效率。

5.3.1 函数的单调性（第一课时） 第五章 一元函数的导数及应用 教学目标 一课程标准要求 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间。 2.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系. 3.会利用导数解决一些实际生活中的优化问题. 二学习目标 1.通过观察函数图像，引导学生发现函数单调性与导数的关系,培养学生数学抽象与直观想象核心素养. 2.理解掌握函数的单调性与导数的关系,发展数学运算素养. 3.通过例题讲解和练习，掌握利用导数判断函数单调性的方法,体会数形结合思想，发展直观想象素养. 三重难点 重点：利用导数判断函数单调性的方法。 难点：理解函数单调性与导数的关系。 为什么钱学森弹道导弹拦截不了？ 新课引入 必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等性质. 在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化．能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢？ 本节我们就来讨论这个问题. 复习回顾 导数定义？ 导数f ′(x0)的几何意义？ 曲线 y＝f (x)在点P0(x0, f (x0))处切线的斜率k0 x y O 1 2 1 2 3 4 P0 T 函数的单调性的定义？ 由函数单调性的定义的变形形式，即用平均变化率来表示函数的单调性吗？ 如果,当时，都有,那么就称函数在区间 上单调递增. 如果,当时，都有,那么就称函数在区间 上单调递减. 函数的单调性定义的变形形式： 1. ,那么在区间D上单调递增； 2. ,那么在区间D上单调递减. 看书预习P84-87 看书预习不懂问题？ 讨论这些问题 函数的单调性与导数的正负的关系? 图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象，图(2)是跳水运动员的速度v 随时间t变化的函数v(t)=h′(t)=-9.8t+4.8的图象,b是函数h(t)的零点. t O (1) t O (2) 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？ x= x= b x=x0 b x=x0 t O b x=x0 (1) 反过来，我们能否由的正负来判断函数的单调性呢? t O b x=x0 (2) 这种情况是否具有一般性呢？ 当t∈(0,a)时，h′(t)>0，函数h(t)的图像是上升的，函数h(t)在(0,a)内单调递增； 当t∈(a,b)时，h′(t)<0，函数h(t)的图像是下降的，函数h(t)在(a,b)内单调递减； x= x= 观察下列函数图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系. x∈(-∞,0)时，f '(x)=2x<0 f(x)在R上单调递增 f(x)在(-∞,0)上单调递减 x∈R时，f '(x)=1>0 x∈(0,+∞)时，f '(x)=2x>0 f(x)在(0,+∞)上单调递增 x y O f (x)＝x x y O f (x) ＝x2 x y O f (x) ＝x3 x∈(-∞,0)时，f '(x)=3x2>0 f(x)在(-∞,0)上单调递增 x∈(0,+∞)时，f '(x)=3x2>0 f(x)在(0,+∞)上单调递增 观察下列函数图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系. x∈(-∞,0)时，f '(x)=<0 f(x)在(-∞,0)上单调递减 x∈(0,+∞)时，f '(x)=<0 x y O f(x)在(0,+∞)上单调递减 由函数单调性的定义，你能利用平均变化率来表示函数的单调性吗? x y O 1 2 1 2 3 4 P P0 T 函数的单调性定义的变形形式： 1. 那么在区间上单调D递增； 2. 那么在区间上单调递减. 一般地，函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间是有关系？ 能否从导数的几何意义来探讨导数值的正负与函数单调性的关系? 微积分中重要的思想方法——以直代曲 在x=x1处，f′（x)<0, 切线是“左上右下”的下降式，函数f(x)的图像是下降的， 函数f(x)在x=x1处附近单调递减。 在x=x0处，f′（x)>0, 切线是“左下右上”的上升式，函数f(x)的图像是上升的， 函数f(x)在x=x1处附近单调递增。 函数的单调性与导数的关系： 一般地，函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系: 在某个区间(a, b)上, 如果f′(x)>0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递增; 在某个区间(a, b)上, 如果f'(x)<0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递减. a b y=f(x) x o y y=f(x) x o y a b f ′(x)>0 f ′(x)<0 如果在某个区间上恒有f ′(x)=0，那么函数f(x)有什么特性? 函数y=f(x)在这个区间上是常数函数. 存在有限个点使得f'(x)=0, 其余点都恒有f ′(x)>0, 则f(x)有什么特性? f(x)仍为增函数. 例如: 对于函数y=x3，y′=3x2. 当x=0时，y′=0，当x>0时，y′>0， 而函数y=x3在R上单调递增. x y O f ′(x)>0是f (x)单调递增的充分不必要条件. 函数的单调性与导数的关系： 一般地，函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系: 在某个区间(a, b)上, 如果f′(x)>0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递增; 在某个区间(a, b)上, 如果f'(x)<0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递减. 例1(教材86页例1） 利用导数判断下列函数的单调性: (1)f(x)=x3+3x; (2)f(x)=sinx-x; (3)f(x)= 导数法判断函数单调性的步骤 1求出函数的定义域； 2求出函数的导数f (x)； 3判定导数f (x)的符号； 4确定函数f(x)的单调性. 用导数法判断函数单调性的步骤？ 解：由 得 ，函数定义域为(0,+ )， 所以当x∈(0,1）时，f’(x)>0 ,函数y=f(x)单调递增； 当x∈(1,+ ）时，f’(x)<0，函数y=f(x)单调递减。 所以的单调递增区间为(0,1），单调递减区间为(1,+ ）. 例2 已知函数f(x)=x-xlnx+1,求函数f(x)的单调区间。 x y o 1 2 x y o 1 2 x y o 1 2 x y o 1 2 x y o 2 (A) (B) (C) (D) C 练习（选做）：设 f’(x) 是函数 f(x) 的导函数，y=f(x)的图象如右图所示，则 y=f(x) 的图象最有可能的是( ) 练习（选做）(教材86页例2）已知导函数的下列信息： 当时； 当，或时； 当，或时. 试画出函数图象的大致形状。 2.导数法判定函数单调性的步骤： (1)求出函数的定义域； (2)求出函数的导数f (x)； (3)判定导数f (x)的符号； (4)确定函数f(x)的单调性. 课堂小结 1. 函数单调性与导数符号的关系是： 在某个区间(a, b)上, 如果f′(x)>0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递增; 在某个区间(a, b)上, 如果f′(x)<0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递减. 3.判断函数单调性的方法有哪些? 作业： 1.P书87练习1题；P书97习题1题。 2.已知函数f(x)=x2-3lnx,求函数f(x)的单调区间。 小书P143A. $