5.3.1 函数的单调性（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

第五章 一元函数的导数及其应用 5．3　导数在研究函数中的应用 5．3．1　函数的单调性 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 目录 contents Part 01 Part 02 课时作业（十八） Part 03 课前预习 课堂互动 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 课 前 预 习 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 增 减 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 课 堂 互 动 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 课时作业 (十八) 点击进入word 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 谢谢观看 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 学习目标 素养要求 1．理解导数与函数的单调性的关系． 2．掌握利用导数判断函数单调性的方法． 3．会用导数求函数的单调区间． 1．通过函数的单调性与其导数正负关系的学习，培养逻辑推理、直观想象的核心素养． 2．借助利用导数研究函数的单调性问题，提升数学运算、逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点　函数的单调性与导数 已知函数y1＝x，y2＝x2，y3＝eq \f(1,x)的图象如下图所示． [问题3]　结合问题1、问题2，探讨函数的单调性与其导函数正负有什么关系． 答：当f′(x)>0时，f(x)为增函数；当f′(x)<0时，f(x)为减函数． [问题1]　试结合图象指出以上三个函数的单调性． 答：函数y1＝x在R上为增函数；y2＝x2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数；y3＝eq \f(1,x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数． [问题2]　判断它们的导数在其单调区间上的正、负． 答：y1′＝1在R上为正；y2′＝2x在(－∞，0)上为负，在(0，＋∞)上为正； y3′＝－eq \f(1,x2)在(－∞，0)及(0，＋∞)上均为负． ►知识填空 1．在区间(a，b)内函数f(x)的导数与单调性有如下关系： 导数 函数的单调性 f′(x)>0 单调递___ f′(x)<0 单调递__ f′(x)＝0 常函数 2．导数绝对值的大小与函数图象的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化的较慢，函数图象就比较“平缓”． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．(　　) (2)若函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0．(　　) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．函数f(x)＝x－sin x在(－∞，＋∞)上是(　　) A．增函数　　　　　 B．减函数 C．先增后减 D．不确定 解析：选A　∵f(x)＝x－sin x，∴f′(x)＝1－cos x≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， ∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数． 3．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间为________． 解析：∵f(x)＝ex－x，∴f′(x)＝ex－1． 由f′(x)＞0得ex－1＞0，即x＞0． ∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞) 4．函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2－3x＋2的单调增区间是______． 解析：f′(x)＝x2－2x－3，令f′(x)>0，解得x<－1或x>3，故f(x)的单调增区间是(－∞，－1)，(3，＋∞)． 答案：(－∞，－1)，(3，＋∞) 题型一　单调性与导数的关系 [例 1]　(1)(多选)函数y＝f(x)的图象如图所示，下列选项中正确的是(　　) A．函数y＝f(x)的定义域是[－1，5] B．函数y＝f(x)的值域是(－∞，0]∪[2，4] C．函数y＝f(x)在定义域内是增函数 D．函数y＝f(x)在定义域内的导数f′(x)>0 (2)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为(　　) 解析：(1)由图象可知，函数的定义域为[－1，5]，值域为(－∞，0]∪[2，4]，故A、B正确，选A、B． (2)由函数的图象可知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D． 答案：(1)AB　(2)D 研究函数与导函数图象之间关系的方法 函数图象的单调性可以通过导数的正负来分析判断，即符号为正，图象上升；符号为负，图象下降．看导函数图象时，主要是看图象在x轴上方还是下方，即关心导数值的正负，而不是其单调性．解决问题时，一定要分清是函数图象还是其导函数图象． 在同一坐标系中作出三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)及其导函数的图象，下列一定不正确的序号是(　　) A．①②　　 B．①③　　　 C．③④　　　 D．①④ 解析：选C　当f′(x)>0时，y＝f(x)是递增的；当f′(x)<0时，y＝f(x)是递减的．故可得①②中函数图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的；而③中导函数为负的区间内相应的函数不减少，故错误；④中导函数为负的区间内相应的函数不减少，故错误． 题型二　利用导数求函数的单调区间 [例 2]　求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x2－ln x； (2)f(x)＝eq \f(ex,x－2)． 解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝2x－eq \f(1,x)＝eq \f(（\r(2)x－1）（\r(2)x＋1）,x)． 因为x>0，所以eq \r(2)x＋1>0， 令f′(x)>0，解得x>eq \f(\r(2),2)，所以函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞))； 令f′(x)<0，解得x<eq \f(\r(2),2)，又x∈(0，＋∞)， 所以函数f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))． (2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f′(x)＝eq \f(ex（x－2）－ex,（x－2）2)＝eq \f(ex（x－3）,（x－2）2)． 因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以ex>0，(x－2)2>0． 令f′(x)>0，解得x>3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)； 令f′(x)<0，解得x<3，又x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2，3)． 求函数y＝f(x)单调区间的步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域． (2)求导数y′＝f′(x)． (3)解不等式f′(x)>0，函数在解集所表示的定义域内为增函数． (4)解不等式f′(x)<0，函数在解集所表示的定义域内为减函数． [提醒]　如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开． 　　 1．(变条件)若将函数变为f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间． 解：f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a． 若a≤0，则f′(x)＞0， 所以f(x)在(－∞， ＋∞)上单调递增． 若a＞0，则当x∈(－∞，ln a)时， f′(x)＜0； 当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0． 所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减， 在(ln a，＋∞)上单调递增． 综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a＞0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增． 2．求函数f(x)＝x＋eq \f(a,x)(a≠0)的单调区间． 解：f(x)＝x＋eq \f(a,x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)， f′(x)＝1－eq \f(a,x2)．当a>0时， 令f′(x)＝1－eq \f(a,x2)>0，解得x>eq \r(a)或x<－eq \r(a)； 令f′(x)＝1－eq \f(a,x2)<0，解得－eq \r(a)<x<0或0<x<eq \r(a)． 当a<0时，f′(x)＝1－eq \f(a,x2)>0恒成立， 所以当a>0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－eq \r(a))和(eq \r(a)，＋∞)，单调递减区间为(－eq \r(a)，0)和(0，eq \r(a))； 当a<0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． 题型三　利用导数确定参数的取值范围 [例 3]　已知关于x的函数f(x)＝x3－ax＋b． (1)若函数f(x)在(1，＋∞)内是增函数，求a的取值范围； (2)若函数f(x)的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求a的值． 解：f′(x)＝3x2－a． (1)若函数f(x)＝x3－ax＋b在区间(1，＋∞)内是增函数． 则f′(x)＝3x2－a≥0在x∈(1，＋∞)时恒成立， 即a≤3x2在x∈(1，＋∞)时恒成立， 则a≤(3x2)min． 因为x>1，所以3x2>3． 所以a≤3，即a的取值范围是(－∞，3]． (2)令f′(x)>0，得x2>eq \f(a,3)． 若a≤0，则x2>eq \f(a,3)恒成立，即f′(x)>0恒成立， 此时，函数f(x)＝x3－ax＋b在R上是增函数，与题意不符． 若a>0，令f′(x)>0，得x>eq \r(\f(a,3))或x<－eq \r(\f(a,3))． 因为(1，＋∞)是函数的一个单调递增区间， 所以eq \r(\f(a,3))＝1，即a＝3． 已知f(x)在区间(a，b)上的单调性， 求参数范围的方法 (1)利用集合的包含关系：f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则区间(a，b)是相应单调区间的子集； (2)利用不等式的恒成立原理：f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．　　 1．已知函数f(x)＝eq \f(ln x＋（x－b）2,2)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是(　　) A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,4)))　　　　 B．(－∞，3) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2))) D．(－∞，eq \r(2)) 解析：选A　易得f′(x)＝eq \f(1,2x)＋x－b＝eq \f(2x2－2bx＋1,2x)． 根据题意，得f′(x)>0在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上有解． 令h(x)＝2x2－2bx＋1， 因为h(0)＝1>0， 所以只需h(2)>0或heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))>0， 解得b<eq \f(9,4)，故选A． 2．已知函数f(x)＝x3－ax－1为单调递增函数，求实数a的取值范围． 解：由已知得f′(x)＝3x2－a， 因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数， 所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0． 又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0， 即f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0． [课堂小结] 1．求函数f(x)的单调区间时，先确定函数的定义域，在定义域内通过解f′(x)>0或 f′(x)<0得到两个单调性相同的区间，不能用并集符号连接． 2．已知函数f(x)在某个区间上的单调性求参数的取值范围时，可转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立问题，并注意验证等号成立时是否符合题意． $$