专题05 圆中的重要模型之圆中的全等三角形模型（几何模型讲义）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学讲义通过“切线长、燕尾蝴蝶、手拉手、对角互补”四大模型系统构建圆中全等三角形知识体系，以框架图呈现圆的性质（等弧、等弦、圆周角）与全等判定（SAS/AAS）的内在联系，突出弧-角-弦转化和全等条件寻找的重难点。 讲义亮点在于分层练习设计（A组基础、B组提升、C组压轴）和方法指导（如“弧是中间桥”解题口诀），典例1切线长模型性质判断培养推理意识，典例2手拉手模型证明提升几何直观，助力不同学生进阶，教师可据此实施精准复习教学。

专题05 圆中的重要模型之圆中的全等三角形模型 圆中全等三角形，区别于普通全等，它的相等边角都由圆的性质推导而来：同圆或等圆中，等弧对等弦、等弧对等圆周角、同弧所对圆周角相等、半径全部相等。它是圆综合解答题核心基础模型，圆中证明线段相等、角度相等的常用手段。常和圆周角模型、切线模型、圆翻折模型组合成大题，学会圆内全等的倒角逻辑，能够打通圆板块的证明思路，是从基础圆计算迈向圆综合大题的关键一步。掌握圆中等弧、等弦、圆周角相等的转化关系，能够利用圆的性质找到全等条件（SAS/AAS），快速识别圆内几类全等结构，规范圆内全等证明书写格式。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1、切线长模型 2 模型2、燕尾模型与蝴蝶模型 6 模型3、手拉手（旋转）模型 11 模型4、对角互补模型 16 易错点与方法总结 22 模型运用 23 A组（基础题） 23 B组（能力提升题） 29 C组（综合压轴题） 38 圆中的全等模型在几何学发展史中源远流长，其历史脉络可追溯至古代文明，并在不同时期得到深化与扩展。首先古埃及工程师利用圆的性质进行土地测量与金字塔建造，通过经验发现全等三角形的拼接可形成稳定结构；然后欧几里得‌（约公元前300年）在《几何原本》中首次系统化几何理论：提出全等三角形公设（如SSS判定法），为圆中全等模型奠定逻辑基础；接着阿基米德‌（前212年）在著作中记录弦切角、垂径性质等命题，隐含全等证明思想；最后在近现代数学教育中形成了一些重要的全等模型。圆的全等模型从经验实践到公理体系，历经文明交融与数学革命，至今仍是连接古典几何与现代科技的纽带。 1）同圆半径相等；垂径定理可以平分弧、平分弦，创造相等条件； 2）圆心角、弧、弦三者关系：等圆心角⇔等弧⇔等弦；圆全等的转化关系：弧⇔圆心角⇔圆周角⇔弦； 3）圆周角定理：同弧所对圆周角相等； 4）全等判定：SAS、AAS、ASA； 5）圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。 模型1.切线长模型 【模型提炼与证明】 1-1切线长模型1 条件：如图1，P为外一点，PA，PB是的切线，切点分别为A，B。 结论：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB； 图1 图2 1-2切线长模型2 条件：如图2，AD，CD，BC是的切线，切点分别为A，E，B。 结论：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°； 由于证明过程相对简单，故略去相关证明（主要运用切线长定理和圆中相关性质定理证明即可）。 【模型运用】 【典例1】（25-26·福建·九年级校考期末）如图，已知，是圆的两条切线，，为切点，线段交圆于点．下列说法不正确的是（   ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【详解】∵，是圆的两条切线∴ ∵∴（）∴，故A正确，不符题意； ∴，故C正确，不符题意； ∵∴在中，故B正确，不符题意； 若，连接，∵，∴∴是等边三角形， ∴，显然不一定成立，故D错误，符合题意；故选D 【典例2】（2026·河南·校考二模）阅读下列材料，完成相应任务：古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”，它的完美来自对称，其中切弦（chordofcontact）亦称切点弦，是一条特殊弦，从圆外一点向圆引两条切线，连接这两个切点的弦称为切弦．此时，圆心与已知点的连线垂直平分切弦． (1)任务一：为了说明切弦性质的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：如图1，P是外一点，__________________________________________． 求证：__________________________________________． 证明： (2)任务二：如图2，在任务一的条件下，CD是的直径，连接AD、BC，若，，，求OP的长． 【答案】(1)见解析(2) 【解析】(1)任务一：已知：如图①，P是⊙O外一点，PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，连接AB、OP， 求证：OP垂直平分AB． 证明：连接OA、OB， ∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，∴， ∵OA＝OB，OP＝OP，∴，∴， ∵OA＝OB，∴OP垂直平分AB； (2)任务二：连接OA、OB， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，由（1）得，， ∵，，∴． 【典例3】（2025·湖北校考模拟预测）如图所示，AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，CD与⊙O有公共点E，且AD＝DE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝12，BC＝4，求AD的长．    【答案】（1）见解析；（2）9 【详解】（1）证明：连接OD，OE，∵AD切⊙O于A点，AB是⊙O的直径，∴∠DAB＝90°，    ∵AD＝DE，OA＝OE，OD＝OD，∵△ADO≌△EDO（SSS），∴∠OED＝∠OAD＝90°，∴CD是⊙O的切线； （2）过C作CH⊥AD于H，∵AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点， ∴∠DAB＝∠ABC＝∠CHA＝90°，∴四边形ABCH是矩形，∴CH＝AB＝12，AH＝BC＝4， ∵CD是⊙O的切线，∴AD＝DE，CE＝BC，∴DH＝AD﹣BC＝AD﹣4，CD＝AD+4， ∵CH2+DH2＝CD2，∴122+（AD﹣4）2＝（AD+4）2，∴AD＝9． 【典例4】（2025·湖北·一模）如图，，分别与相切于E，F两点，点G是圆上一点，直线过点G，且，交于C点，且．(1)求证：是的切线；(2)若，，求图中阴影部分的面积（保留根号和）． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：连接， ，是的切线，，，， ，，． 在和中，，，，， 是的半径，是的切线； （2）解：，是的切线，平分，平分， ，，， ．，，． 在中，，在中，， ，． 模型2.燕尾模型与蝴蝶模型 【模型提炼与证明】 1）.燕尾模型 条件：如图1，OA，OB是的半径，OC=OD。 结论：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC； 图1 图2 2）蝴蝶模型 条件：如图2，OA，OE是的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB； 由于证明过程比较简单，故略去相关证明。 【模型运用】 【典例1】（24-25九年级上·江苏泰州·期中）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设是已知点，小圆为已知圆．具体作法是：以为圆心，为半径作大圆，连接交小圆于点，过作，交大圆于点，连接，交小圆于点，连接，则是小圆的切线．(1)为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程； 已知：如图，点，和点，分别在以为圆心的同心圆上，______．求证：______．证明：______ (2)如图1，长不变，改变小圆的半径，延长交大圆于点，延长线交大圆于点，当经过圆心时，求的值；(3)在（2）中，若改变小圆的半径时，与小圆相切，直接写出的度数．       【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上， 求证：是小圆O的切线 证明：∵点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，∴． 在和中，∴，∴， ∵，∴，∴，∴是小圆O的切线． （2）由（1）得：，，， ∴，，∴， ∵，∴，∴，∴AO==2∴=． （3）如图，∵，，都为小圆O的切线，记与小圆O的切点为H，    ∴，， ∵，，， ∴，，∴，而， ∴∴． 【典例2】（2025·安徽合肥·模拟预测）在中，为弦，为直径，于于．(1)如图1，若过圆心，求的度数；(2)如图2，若与相交于，求的半径． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图，连接，，为直径，，， ， ，过圆心，，，，为等边三角形，； （2）解：如图，连接，，，， ，， ，，， 设的半径为，则，，， ，，根据勾股定理可得， 即，解得（负值舍去），所以的半径为． 【典例3】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的半径，分别交小圆于点，，连接，，交点为，连接并延长，交于点，交大圆于点． (1)求证：；(2)与有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)，理由见解析 【详解】（1）证明：，为以点为圆心的大圆半径， ，为等腰三角形，； （2），为以点为圆心的大圆半径，，为以点为圆心的小圆半径， ，，，即， 在与中，，， ，，即， 在与中，，，， 在与中，，，， 又为等腰三角形，． 【典例4】（25-26九年级下·江西赣州·期中）已知线段、为的弦，且，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【详解】解：如图，连接，，，，， 在和中，，，． 【典例5】（24-25九年级上·重庆巴南·阶段练习）在学习了圆这一章后，小明对“在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对圆心角相等”产生了浓厚兴趣，进行了拓展性的研究，有了新的发现，在中，A、B、C、D是圆上四点，且，过圆心O作，垂足为E点，他猜想圆心O到弦、弦的距离相等．他的解决思路是证明对应垂线段所在三角形全等从而得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空：(1)用直尺和圆规，过点O作，垂足为F点，（只保留作图痕迹） (2)已知：如图，在中，A、B、C、D是圆上四点，且，于点E，于点F．求证：． 证明：∵在中，A、B是圆上两点，于点E，∴，同理可证：． ∵∴①_________________． ∵于E点，于点F∴②_________________ 在与中∴．∴． 通过小明研究发现，在等圆中也有此结论．请你依照题意完成下面命题： 在同圆或等圆中，④__________________________________________． 【答案】(1)图见解析(2)①；②；③；④如果两弦相等，则圆心到等弦的距离相等 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：∵在中，A、B是圆上两点，于点E，∴，同理可证：． ∵∴．∵于E点，于点F∴ 在与中，∴．∴． ∴在同圆或等圆中，如果两弦相等，则圆心到等弦的距离相等． 【典例6】（2026·山西吕梁·二模）阅读与思考 下面是小宜同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 弦心距【概念理解】弦心距是从圆心到圆内某条弦的垂线段的长度，即圆心到弦的最短距离．如图1，是的一条弦，，垂足为，那么的长度即弦的弦心距． 【性质探究】 在同圆或等圆内，如果弦心距相等，那么它们所对的弦相等 如图2，，是的两条弦，于点，于点．如果，那么． 证明思路：连接和，易证，可得到；再由圆的轴对称性得，，因此．    【问题解决】如图3，是的一条弦，，垂足为，点是圆内一点，且．请过点作弦，使． 如图4，具体作法：第一步：以为圆心，的长为半径画弧，与交于点；第二步：以为圆心，的长为半径画弧；以为圆心，的长为半径画弧；两弧交于点； 第三步：作直线，与交于点和点，弦即为所求．      任务：(1)在同圆或等圆内，如果弦心距相等，那么它们所对的弦相等，弦所对的 也相等． (2)请推理说明图4中小宜作法的正确性． (3)如图5，是的一条弦，，垂足为，点是圆外一点，请在图5中过点作弦，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【详解】（1）解：连接，，如图所示： ∵，，，∴，， ∵，，∴， ∴，∴，∴， ∴在同圆或等圆内，如果弦心距相等，那么它们所对的弦相等，弦所对的圆心角也相等； ∵同圆或等圆中，圆的半径相等，∴根据弧长公式可得，相等的圆心角所对的弧也相等； 综上，在同圆或等圆内，如果弦心距相等，那么它们所对的弦相等，弦所对的圆心角、弧也相等； (2)证明：连接，， ∵，∴，，根据作图可得：，，， ∴，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴； (3)如图，弦即为所求． 证明：如图，连接，， ∵，∴，，根据作图可得：，，， ∴，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴． 模型3.手拉手（旋转）模型 【模型提炼与证明】 条件：如图，是△ABD的外接圆，且AD=BD，∠ADB=，C为圆O上一点。 结论：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形； 特别地，当=60°时，CD=CA+CB； 当=90°时，CD=CA+CB； 【模型运用】 【典例1】（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在圆内接四边形中， ，为直径，若四边形的面积是S，的长是x，则S与x之间的数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，延长到E，使，连接， 四边形是圆内接四边形，∴，， 在和中，∴，， ∴， 即，∴，故选：C． 【典例2】（2025·山东·校考一模）如图1，在⊙O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以A为公共点的三条弦BA，CA，DA构成的图形称为圆中“爪形A”，弦BA，CA，DA称为“爪形A”的爪． （1）如图2，四边形ABCD内接于圆，AB＝BC，①证明：圆中存在“爪形D”；②若∠ADC＝120°，求证：AD＋CD＝BD；（2）如图3，四边形ABCD内接于圆，其中BA＝BC，连接BD．若AD⊥DC，此时“爪形D”的爪之间满足怎样的数量关系，请直接写出结果． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）AD＋CD＝BD 【详解】（1）①证：∵AB＝BC，∴∠ADB＝∠CDB，∴DB平分圆周角∠ADC，∴圆中存在“爪形D”； ②延长DC至点E，使得CE＝AD，连接BE， ∵∠A＋∠DCB＝180° ∠ECB＋∠DCB＝180°∴∠A＝∠ECB ∵CE＝AD，AB＝BC∴△BAD≌△BCE∴∠E＝∠ADB ∵∠ADC＝120°，∴∠E＝∠ADB＝60°，∴△BDE为等边三角形，∴DE＝BD，即AD＋CD＝BD （2）AD＋CD＝BD ，理由如下：延长DC至点E，使得CE＝AD，连接BE， ∵∠A＋∠DCB＝180° ∠ECB＋∠DCB＝180°∴∠A＝∠ECB ∵CE＝AD，AB＝BC∴△BAD≌△BCE∴∠E＝∠ADB，BD=BE ∵AD⊥DC，∴∠E＝∠ADB＝45°，∴△BDE为等腰直角三角形，∠DBE＝90°， ∴DE＝BD ，即AD＋CD＝BD． 【典例3】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． (1)如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数． (2)在（1）的条件下，若的半径为8．①求的长．②如图2，在四边形中，若平分，试求四边形面积的最大值．(3)在（1）的条件下，如图3，若是的直径，请用等式表示线段、之间的数量关系______．（直接写答案） 【答案】(1)(2)①；②(3) 【详解】（1）解： 四边形是圆美四边形，， 四边形是圆的内接四边形，，，． （2）①作直径．连接，如图， 为圆的直径，，由（1）知：，， 的半径为8，．． ②延长至点，使，连接，如图， 由（1）知：，， 平分，．，， 四边形是圆的内接四边形，， ，． 在△和△中，，， ，，为等边三角形． ，，． 的面积最大时，四边形面积最大． 当取得最大值时，的面积最大，当为圆的直径时，四边形面积最大． 即时，四边形面积取得最大值的面积的最大值， 四边形面积的最大值． （3）．理由：延长交的延长线于点，如图， 是的直径，，． 由（1）知：，，，． ，，．故答案为：． 【典例4】（2025·广东广州·模拟预测）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为_________；②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】（2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？ 【答案】（1）①；②；（2） 【详解】解：（1）①∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴，∴，解得，故答案为：60． ②作圆的直径，连接，则 ∵圆的半径为5，∴，∵，∴.∴． （2）如图，延长到点M，使得，连接， ∵四边形是圆美四边形，是美角，∴， ∴，解得，∴， ∵平分，∴，∴是等边三角形， ∴，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴．∵是的一条弦， ∴当是直径时，取最大值，即的最大值是． 模型4.对角互补模型 【模型提炼与证明】 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB。结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC。 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC。 【模型运用】 【典例1】（2025九年级下·广东深圳·学业考试）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，D为劣弧的中点，过点D作的切线交的延长线于点E，连接．若，则的半径为（   ） A．5 B． C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：如图，连接，∵为的切线，． ∵D为的中点，．，．，． ，；如图，过点D作于点F， ，．， ，．∵D为的中点，，． ∵在和中，，，． ，，， ∴的半径为，故选：B． 【典例2】（2025·湖南·模拟预测）【感知】如图①，为等边三角形的外接圆．为的直径，线段与交于点，探究线段，，的数量关系． 小明同学的做法：过点作的垂线交延长线于点，连接．易证．进而得出，．则线段，，的数量关系是； 【探究】如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，为弧上一点，于点，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； 【应用】如图③，是的外接圆，是直径，．点在上，且点与点位于线段两侧，过点作线段的垂线，交线段于点，若点为的三等分点，则的值为 ． 【答案】【探究】成立，见解析；【应用】 【详解】解：【探究】成立，证明：过点作的垂线交延长线于点，连接，如图所示： ∵，∴，∵，∴， ∵，∴在和中，， ∴，∴，， ∴在和中，，∴， ∴，∴； 【应用】过点作的垂线交延长线于点，如图所示： ∵是直径，，∴，∴四边形是矩形， ∵四边形是的内接四边形，∴， ∵，∴，∵， ∴在和中，，∴， ∴，，∴四边形是正方形，∴， ∵点为的三等分点，点与点位于线段两侧，∴， 设，则，∴，， ∴． 【典例3】（2025九年级下·江苏南京·专题练习）小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大． 【从特殊验证】已知四边形的各边长依次为7，15，20，24，它的面积S何时最大？ 小敏的演算纸 综上所述，s的最大值为…… （1）探索情形Ⅰ：①求证：点A，B，C，D在同一个圆上．②S的值为______． （2）探索情形Ⅱ：说明此时S的值小于情形Ⅰ中S的值． 【向一般进发】（3）已知四边形的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积S的最大值． 【答案】（1）①证明见解析；②234；（2）见解析；（3） 【详解】解：（1）①证明：连接，取的中点O，连接， ，， 又，，， 为的中点，，点A，B，C，D在同一个圆上； ②解：， 故答案为：234； （2）解：，，， 在中，，在中，，，即； （3）解：由题意可知，当四边形四顶点共圆时，它的面积最大， 连接，过点C分别作于点E，于点F， ，，， ，，，，， 同理可证，，，， ∵，，，， ，， 即四边形面积S的最大值为 模型常见易错点 1）跳过弧，直接默认角相等 错误：直接写两角相等，没有用 “同弧所对圆周角相等” 作为依据，逻辑断裂，扣分。 正解：圆内证角相等，必须以弧为过渡条件。 2）混淆 “弦相等” 与 “圆周角相等”，乱用逆命题 只有同圆 / 等圆中，等弧才能推等角，任意两条弦相等，不能直接推出圆周角相等。 3）把圆周角当成圆心角，角度条件用错 审题看清角的顶点在圆心还是圆周，选用对应定理。 4）全等对应顶点书写顺序混乱，对应边找错 圆内三角形顶点都在圆上，字母较多，书写全等时顶点顺序必须一一对应。 5）忽略 “同圆或等圆” 大前提 不同圆中，弧相等不能推出弦相等，不可随意套用性质。 解题方法总结 1）观察图形，找出相等的弧（已知条件或垂径 / 折叠得到）； 2）由等弧转化为相等的圆周角 / 圆心角，得到一组等角； 3）利用半径相等或者等弧对等弦，得到一组等边； 4）补齐第二个角或者第二条边，凑齐 SAS/AAS； 5）写出全等，推导对应边、对应角相等。 终极原理总结 圆中证全等，弧是中间桥；弧等角也等，半径自带边；凑齐边角条件，全等自然出现。 1.（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，已知，是圆的两条切线，，为切点，线段交圆于点．下列说法不正确的是（   ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【详解】∵，是圆的两条切线∴ ∵∴（）∴，故A正确，不符题意； ∴，故C正确，不符题意； ∵∴在中，故B正确，不符题意； 若，连接，∵，∴∴是等边三角形， ∴，显然不一定成立，故D错误，符合题意；故选D 2.（25-26九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，四边形圆内接四边形，已知，，若，则四边形的面积为多少 ． 【答案】32 【详解】解：延长到点E，使得，连接， ∵是圆内接四边形，∴，， 又∵，∴，又∵，∴， ∴，，∴， ∴，故答案为：． 3.（2025·河北唐山·二模）如图，将半径为10的扇形，绕点逆时针旋转得到扇形． (1)求证：；(2)当为直径时，，求的值及优弧的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：由题意可得：，， 由旋转的性质可知，，．由旋转的性质可知，，， ，即，，． 在与中，，． （2）解：当为直径时，，∵，∴， ∵，∴，∴， ∵为直径，∴，即， ∴，∴优弧的长度为． 4．（24-25·江苏南京·九年级统考期中）如图，和分别是⊙上的两条弦，圆心到它们的距离分别是和．如果，求证：． 【答案】证明见解析. 【详解】证明：如图，连接OC、OA，则OC=OA．∵圆心O到它们的距离分别是OM和ON， ∴∠ONC=∠OMA=90°，CD=2CN，AB=2AM，∵AB=CD，∴CN=AM， 在Rt△ONC和Rt△OMA中，∵OC=OA，CN=AM，∴Rt△ONC≌Rt△OMA（HL），∴OM=ON． 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的弦，分别以点为圆心，同样长度为半径画圆弧交圆内于点，连接并延长交于点，连接，． (1)求证：；(2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：如图，连接， 以点为圆心，同样长度为半径画圆弧， 又，． （2）解：，，∴， ∵，∴，解得：， ∵，∴为等腰直角三角形．∵，∴，∴， ∵，∴． 6．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦，与小圆相切于点D．求证：与小圆相切． 【答案】见解析 【详解】连接，过点O作于E，∴， ∵与小圆相切于点D，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴是小圆的半径，∴与小圆相切． 1．（2026·山东潍坊·校考一模）如图，内切于四边形，，分别连接．下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．A，O，C三点共线 【答案】BCD 【详解】解：连接、，、，设切点分别为E、F、G、H，    ∵为的切线，∴，， ∵，，∴，∴， ∴是线段的垂直平分线，∵，，∴， 由切线长定理知，，∴， ∵，∴也是线段的垂直平分线， ∴A，O，C三点共线，，故选项B、C、D正确； 的大小是变化的，故选项A错误，故选：BCD． 2.（2025·广东·校考一模）如图，为的切线，A为切点，过点A作，垂足为点C，交于点B，延长与的延长线交于点D． (1)求证：是的切线；(2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)10 【详解】（1）证明：连接，，，，是的切线，， 在与中，，， ，，是半径，是的切线； （2）解：，，在中，， 、为的切线，， 在中，，即， 解得，． 3．（2026·浙江·模拟预测）已知是圆的内接四边形的两条对角线，相交于点，且．(1)如图，求证：．(2)在图中找出一组全等的三角形，并给出证明． (3)如图，圆的半径为，弦于点，当的面积为时，求的长． 【答案】(1)证明见解析；(2)，证明见解析；(3)． 【详解】（1）证明：∵，∴，∴，即， ∴，即，∴； （2）解：．证明：由（）得，， 在和中，，∴； （3）解：如图，连接， ∵，∴，同理（）可得，∴为等腰直角三角形， ∴，∴， ∴，设，， 在中，由勾股定理得，∴， 又∵的面积为，∴，∴，∴， ∴，∴． 4.（2025·河南·校考一模）小倩用橡皮泥做了一个不倒翁如图所示，小倩从正面看发现、分别切于点、，直径所在的直线经过点，连接．    (1)小倩发现垂直平分，请说明理由；(2)若的半径为，①当______时，四边形为菱形；②当______时，四边形为正方形． 【答案】(1)见解析(2)①；② 【详解】（1）解：、分别切于点、，， 在和中，，．， ， 垂直半分； （2）解：当时，四边形为菱形，理由如下：如图，连接，，    的半径为，，切于点，， ，，，，， ，，， ，，，垂直平分，，， ，四边形为菱形，故答案为：； 当时，四边形为正方形，理由如下： 的半径为，，切于点，， ，，， 垂直半分，，，四边形为菱形， ，四边形为正方形，故答案为：． 5.（24-25·浙江绍兴·九年级校考期中）如图1，在中，弦平分圆周角，我们将圆中以A为公共点的三条弦构成的图形称为圆中“爪形A”，如图2，四边形内接于圆，， (1)证明：圆中存在“爪形D”；(2)若，求证： 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）证明：∵，∴ ∴，∴平分圆周角，∴圆中存在“爪形D” ． （2）证明：如图：延长至点E，使得，连接， ∵ ， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵，∴，∴为等边三角形，∴，即． 6．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知：为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角．知识回顾（1）如图①，中，位于直线异侧，． ①求的度数；②若的半径为5，，求的长； 逆向思考（2）如图②，P为圆内一点，且．求证：P为该圆的圆心； 拓展应用（3）如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．在上找一点D，使点D满足，请证明． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3）见解析 【详解】（1）解：①，，，． ②连接，过作，垂足为， ，，是等腰直角三角形，且， ，，是等腰直角三角形，， 在直角三角形中，，； （2）证明：延长交圆于点，连接，则， ，，，，， ，，为该圆的圆心； （3）证明：过作的垂线交的延长线于点，连接，延长交圆于点D，连接，， ，，是等腰直角三角形，， ，，，是直径，， ，，，， ，. 1.（24-25九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，是圆的直径，为圆的弦，且平分，若，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，作交的延长线于，作交于，则， ， 平分，，，， 四边形是圆的内接四边形，， ，， 在和中，，，， 是圆的直径，，平分，， 、是等腰直角三角形， ，，， ，，，， ，故选：D． 2.（24-25·河南许昌·九年级校考期末）已知，点、、、是圆上的四个点， (1)如图1，如果，判断的形状，并证明．(2)如果是等边三角形，点在圆上运动，连接、、，请直接写出这三条线段的数量关系．(3)如图2，如果是等边三角形，圆半径为2，当点在弧上运动时，四边形周长最大值为______． 【答案】(1)等边三角形，证明见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）解：等边三角形，理由是：∵，∴，， ∴，，∴是等边三角形； （2）当点在劣弧上时，如图，延长到点，使， 为等边三角形，，， ，，， 在和中，，， ，，，为等边三角形，，； 同理：当点在劣弧上时，；当点在劣弧上时，； （3）由（2）可得：当点在弧上运动时，， ∴四边形周长为， 由于固定不变，则当最大时，即为直径时，周长最大， 连接并延长，交于E，则， ∵是等边三角形，∴， ∴， ∴，∴， 则四边形周长的最大值为． 3．（24-25·江苏盐城·九年级统考期中）（1）如图所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、，求证：． （2）[初步探索]小明同学思考如下：将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题：根据小明的思路，请你完成证明．若圆的半径为，则的最大值为______． （3）类比迁移：如图所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与、重合），连接、、，若圆的半径为，试求周长的最大值． （4）拓展延伸：如图所示，等腰，点A、在圆上，，圆的半径为连接，试求的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）8；（3）；（4） 【详解】（1）证明：由旋转得，，，， ，， 、、三点在同一条直线上，， 是等边三角形，， ，是等边三角形，， ； （2）是的弦，且的半径为， 当经过圆心，即是的直径时，，此时的值最大， 的最大值是，故答案为：． （3）类比迁移解：如图，，， 是的直径，且圆心在上，，， 将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，则，，， ，，、、三点在同一条直线上， ，， 当经过圆心，即是的直径时，，此时的值最大， ，的最大值是， ，周长的最大值是． （4）拓展延伸解：如图，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接， ，，， 连接、，，， ，，， ，，，的最小值为． 4．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）【问题背景】小初同学在学习圆周角时了解到：圆内接四边形的对角互补．如图①，点、、、均为上的点，，则有______°； 【问题探究】爱思考的小初同学发现：如图②，点，，，均为上的点，若，点为弧上任意一点（点不与点、重合），若点在运动的过程中始终保持，则的度数恒为． 下面是小初的证明过程： 证明：延长至点使，连接．缺失（1） 在与中，，∴．∴，，， 又，∴，∴，∴为等边三角形． 缺失（2） 请你补全缺失的证明过程． 【结论应用】如图③，点，，，均为上的点，若，点为弧上任意一点（点不与点、重合），且，的半径为2，当点在运动的过程中，四边形的周长的最大值为______． 【答案】【问题背景】；【问题探究】见解析；【结论应用】 【详解】解：问题背景：∵点、、、均为上的点，， ∴．故答案为：； 问题探究：证明：延长至点使，连接． ∵四边形为的内接四边形，∴， 又∵，∴． 在与中，，∴．∴， ∵，，，∴， ∴，∴为等边三角形，∴，∵∴， ∵，，∴． 结论应用：延长至点使，连接，． 同理可证，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴． ∵，，∴，∴是直径， ∴，∴．∵四边形的周长， ∴要使四边形的周长最大，则需取得最大值，即取得最大值， ∴当过圆心时，取得最大值，的最大值为， ∴四边形周长的最大为：．故答案为：． 5．（25-26九年级上·山西长治·期末）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关联弦【概念理解】． 如图1，A，B，C为上的三点，连接，若平分，我们把此时的两条弦和称为圆上顶点关联弦． 【特例研究】通过观察和测量，发现． 证明：如图1，过点O分别作，则． ∵平分，∴．∵，∴ ① ∵，∴，∴ ② ，∴． 【概念、特性拓展】如图2，B，C为上的两点，点A在外，与交于点F，与交于点G，连接．若平分，我们把此时的两条弦和称为圆外顶点关联弦，观察发现． 证明：…… 任务：(1)填空：“①”处空缺的内容为______，“②”处空缺的内容为______．(2)将“……”处证明过程补充完整．(3)如图3，点M在上，点A在外，与交于点P．若点N为上的点，与交于点Q，且与为圆外顶点关联弦，请利用无刻度直尺和圆规确定弦NQ的位置．（不写作法，保留画图痕迹） 【详解】（1）证明：过点O分别作，则． ∵平分，∴．∵，∴， ∵，∴，∴，∴． (2)证明：如图1，过点O作，，连接，则，． ∵平分，，，∴． ∵，∴，∴，∴． (3)解：如图2，即为所求（作法不唯一）． 由作图可知：，∴均为等边三角形，∴， 又∵，∴，∴；∴与为圆外顶点关联弦． 6．（2026·江苏盐城·校考一模）【提出问题】小聪同学类比所学的“圆心角”与“圆周角”的概念，将顶点在圆内（顶点不在圆心）的角命名为圆内角．如图1中，∠AEC，∠BED就是圆内角，所对的分别是、，那么圆内角的度数与所对弧的度数之间有什么关系呢？ 【解决问题】小聪想到了将圆内角转化为学过的两种角，即圆周角、圆心角，再进一步解决问题： 解：连接BC，OA，OC，OB，OD． 如图2，在△BCE中，， ∵，， ∴∠AEC＝∠AOC+∠BOD＝（∠AOC+∠BOD） 即：∠AEC的度数＝（的度数+的度数） (1)如图1，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，若弧的度数是65°，弧的度数是40°，则∠AED的度数是 　 　． (2)【类比探究】顶点在圆外且两边与圆相交的角，命名为圆外角． 如图3，在⊙O中，弦AB，CD的延长线相交于点E，试探索圆外角∠E的度数与它所夹的两段弧、的度数之间的关系． 【灵活运用】(3)如图4，平面直角坐标系内，点A（，1）在⊙O上，⊙O与y轴正半轴交于点B，点C，点D是线段OB上的两个动点，满足AC＝AD．AC，AD的延长线分别交⊙O于点E、F．延长FE交y轴于点G，试探究∠FGO的度数是否变化．若不变，请求出它的度数；若变化，请说明理由． 【答案】(1)127.5°(2)（的度数﹣的度数）(3)不变，30° 【详解】（1）解：连结BC，∵∠AEC是△BEC的外角，∴∠AEC=∠EBC+∠ECB， ∵的度数，的度数，∴∠AEC的度数＝（的度数+的度数）， ∴∠AEC＝（65°+40°）＝52.5°，∴∠AED＝180°﹣∠AEC＝180°﹣52.5°＝127.5°， 故答案为：127.5°； （2）（2）连接OA，OB，OC，OD，BC， ∵∠E＝∠ABC﹣∠BCE＝∠AOC﹣∠BOD＝（的度数﹣的度数）， ∴∠E＝（的度数﹣的度数）； （3）∠FGO的度数不变，连接OA，作AH⊥x轴于H， ∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∴（ 的度数+的度数＝（的度数+的度数）， ∴的度数+的度数＝的度数+的度数，∴的度数﹣的度数＝的度数﹣的度数， 由（2）知，∠FGO＝（的度数﹣的度数）＝（的度数﹣的度数）， ∵点A（，1），∴OH＝，AH＝1，∴，∴∠AOH＝30°， ∴∠AON＝120°，∠AOB＝60°，∴，∴∠FGO的度数不变，为30°． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆中的重要模型之圆中的全等三角形模型 圆中全等三角形，区别于普通全等，它的相等边角都由圆的性质推导而来：同圆或等圆中，等弧对等弦、等弧对等圆周角、同弧所对圆周角相等、半径全部相等。它是圆综合解答题核心基础模型，圆中证明线段相等、角度相等的常用手段。常和圆周角模型、切线模型、圆翻折模型组合成大题，学会圆内全等的倒角逻辑，能够打通圆板块的证明思路，是从基础圆计算迈向圆综合大题的关键一步。掌握圆中等弧、等弦、圆周角相等的转化关系，能够利用圆的性质找到全等条件（SAS/AAS），快速识别圆内几类全等结构，规范圆内全等证明书写格式。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1、切线长模型 2 模型2、燕尾模型与蝴蝶模型 6 模型3、手拉手（旋转）模型 11 模型4、对角互补模型 16 易错点与方法总结 22 模型运用 23 A组（基础题） 23 B组（能力提升题） 29 C组（综合压轴题） 38 圆中的全等模型在几何学发展史中源远流长，其历史脉络可追溯至古代文明，并在不同时期得到深化与扩展。首先古埃及工程师利用圆的性质进行土地测量与金字塔建造，通过经验发现全等三角形的拼接可形成稳定结构；然后欧几里得‌（约公元前300年）在《几何原本》中首次系统化几何理论：提出全等三角形公设（如SSS判定法），为圆中全等模型奠定逻辑基础；接着阿基米德‌（前212年）在著作中记录弦切角、垂径性质等命题，隐含全等证明思想；最后在近现代数学教育中形成了一些重要的全等模型。圆的全等模型从经验实践到公理体系，历经文明交融与数学革命，至今仍是连接古典几何与现代科技的纽带。 1）同圆半径相等；垂径定理可以平分弧、平分弦，创造相等条件； 2）圆心角、弧、弦三者关系：等圆心角⇔等弧⇔等弦；圆全等的转化关系：弧⇔圆心角⇔圆周角⇔弦； 3）圆周角定理：同弧所对圆周角相等； 4）全等判定：SAS、AAS、ASA； 5）圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。 模型1.切线长模型 【模型提炼与证明】 1-1切线长模型1 条件：如图1，P为外一点，PA，PB是的切线，切点分别为A，B。 结论：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB； 图1 图2 1-2切线长模型2 条件：如图2，AD，CD，BC是的切线，切点分别为A，E，B。 结论：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°； 由于证明过程相对简单，故略去相关证明（主要运用切线长定理和圆中相关性质定理证明即可）。 【模型运用】 【典例1】（25-26·福建·九年级校考期末）如图，已知，是圆的两条切线，，为切点，线段交圆于点．下列说法不正确的是（   ） A． B． C．平分 D． 【典例2】（2026·河南·校考二模）阅读下列材料，完成相应任务：古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”，它的完美来自对称，其中切弦（chordofcontact）亦称切点弦，是一条特殊弦，从圆外一点向圆引两条切线，连接这两个切点的弦称为切弦．此时，圆心与已知点的连线垂直平分切弦． (1)任务一：为了说明切弦性质的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：如图1，P是外一点，__________________________________________． 求证：__________________________________________． 证明： (2)任务二：如图2，在任务一的条件下，CD是的直径，连接AD、BC，若，，，求OP的长． 【典例3】（2025·湖北校考模拟预测）如图所示，AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，CD与⊙O有公共点E，且AD＝DE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝12，BC＝4，求AD的长．    【典例4】（2025·湖北·一模）如图，，分别与相切于E，F两点，点G是圆上一点，直线过点G，且，交于C点，且．(1)求证：是的切线；(2)若，，求图中阴影部分的面积（保留根号和）． 模型2.燕尾模型与蝴蝶模型 【模型提炼与证明】 1）.燕尾模型 条件：如图1，OA，OB是的半径，OC=OD。 结论：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC； 图1 图2 2）蝴蝶模型 条件：如图2，OA，OE是的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB； 由于证明过程比较简单，故略去相关证明。 【模型运用】 【典例1】（24-25九年级上·江苏泰州·期中）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设是已知点，小圆为已知圆．具体作法是：以为圆心，为半径作大圆，连接交小圆于点，过作，交大圆于点，连接，交小圆于点，连接，则是小圆的切线．(1)为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程； 已知：如图，点，和点，分别在以为圆心的同心圆上，______．求证：______．证明：______ (2)如图1，长不变，改变小圆的半径，延长交大圆于点，延长线交大圆于点，当经过圆心时，求的值；(3)在（2）中，若改变小圆的半径时，与小圆相切，直接写出的度数．       【典例2】（2025·安徽合肥·模拟预测）在中，为弦，为直径，于于．(1)如图1，若过圆心，求的度数；(2)如图2，若与相交于，求的半径． 【典例3】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的半径，分别交小圆于点，，连接，，交点为，连接并延长，交于点，交大圆于点． (1)求证：；(2)与有怎样的位置关系？请说明理由． 【典例4】（25-26九年级下·江西赣州·期中）已知线段、为的弦，且，求证：． 【典例5】（24-25九年级上·重庆巴南·阶段练习）在学习了圆这一章后，小明对“在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对圆心角相等”产生了浓厚兴趣，进行了拓展性的研究，有了新的发现，在中，A、B、C、D是圆上四点，且，过圆心O作，垂足为E点，他猜想圆心O到弦、弦的距离相等．他的解决思路是证明对应垂线段所在三角形全等从而得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空：(1)用直尺和圆规，过点O作，垂足为F点，（只保留作图痕迹） (2)已知：如图，在中，A、B、C、D是圆上四点，且，于点E，于点F．求证：． 证明：∵在中，A、B是圆上两点，于点E，∴，同理可证：． ∵∴①_________________． ∵于E点，于点F∴②_________________ 在与中∴．∴． 通过小明研究发现，在等圆中也有此结论．请你依照题意完成下面命题： 在同圆或等圆中，④__________________________________________． 【典例6】（2026·山西吕梁·二模）阅读与思考 下面是小宜同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 弦心距【概念理解】弦心距是从圆心到圆内某条弦的垂线段的长度，即圆心到弦的最短距离．如图1，是的一条弦，，垂足为，那么的长度即弦的弦心距． 【性质探究】 在同圆或等圆内，如果弦心距相等，那么它们所对的弦相等 如图2，，是的两条弦，于点，于点．如果，那么． 证明思路：连接和，易证，可得到；再由圆的轴对称性得，，因此．    【问题解决】如图3，是的一条弦，，垂足为，点是圆内一点，且．请过点作弦，使． 如图4，具体作法：第一步：以为圆心，的长为半径画弧，与交于点；第二步：以为圆心，的长为半径画弧；以为圆心，的长为半径画弧；两弧交于点； 第三步：作直线，与交于点和点，弦即为所求．      任务：(1)在同圆或等圆内，如果弦心距相等，那么它们所对的弦相等，弦所对的 也相等． (2)请推理说明图4中小宜作法的正确性． (3)如图5，是的一条弦，，垂足为，点是圆外一点，请在图5中过点作弦，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 模型3.手拉手（旋转）模型 【模型提炼与证明】 条件：如图，是△ABD的外接圆，且AD=BD，∠ADB=，C为圆O上一点。 结论：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形； 特别地，当=60°时，CD=CA+CB； 当=90°时，CD=CA+CB； 【模型运用】 【典例1】（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在圆内接四边形中， ，为直径，若四边形的面积是S，的长是x，则S与x之间的数关系式是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·山东·校考一模）如图1，在⊙O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以A为公共点的三条弦BA，CA，DA构成的图形称为圆中“爪形A”，弦BA，CA，DA称为“爪形A”的爪． （1）如图2，四边形ABCD内接于圆，AB＝BC，①证明：圆中存在“爪形D”；②若∠ADC＝120°，求证：AD＋CD＝BD；（2）如图3，四边形ABCD内接于圆，其中BA＝BC，连接BD．若AD⊥DC，此时“爪形D”的爪之间满足怎样的数量关系，请直接写出结果． 【典例3】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． (1)如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数． (2)在（1）的条件下，若的半径为8．①求的长．②如图2，在四边形中，若平分，试求四边形面积的最大值．(3)在（1）的条件下，如图3，若是的直径，请用等式表示线段、之间的数量关系______．（直接写答案） 【典例4】（2025·广东广州·模拟预测）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为_________；②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】（2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？ 模型4.对角互补模型 【模型提炼与证明】 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB。结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC。 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC。 【模型运用】 【典例1】（2025九年级下·广东深圳·学业考试）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，D为劣弧的中点，过点D作的切线交的延长线于点E，连接．若，则的半径为（   ） A．5 B． C．2 D．1 【典例2】（2025·湖南·模拟预测）【感知】如图①，为等边三角形的外接圆．为的直径，线段与交于点，探究线段，，的数量关系． 小明同学的做法：过点作的垂线交延长线于点，连接．易证．进而得出，．则线段，，的数量关系是； 【探究】如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，为弧上一点，于点，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； 【应用】如图③，是的外接圆，是直径，．点在上，且点与点位于线段两侧，过点作线段的垂线，交线段于点，若点为的三等分点，则的值为 ． 【典例3】（2025九年级下·江苏南京·专题练习）小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大． 【从特殊验证】已知四边形的各边长依次为7，15，20，24，它的面积S何时最大？ 小敏的演算纸 综上所述，s的最大值为…… （1）探索情形Ⅰ：①求证：点A，B，C，D在同一个圆上．②S的值为______． （2）探索情形Ⅱ：说明此时S的值小于情形Ⅰ中S的值． 【向一般进发】（3）已知四边形的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积S的最大值． 模型常见易错点 1）跳过弧，直接默认角相等 错误：直接写两角相等，没有用 “同弧所对圆周角相等” 作为依据，逻辑断裂，扣分。 正解：圆内证角相等，必须以弧为过渡条件。 2）混淆 “弦相等” 与 “圆周角相等”，乱用逆命题 只有同圆 / 等圆中，等弧才能推等角，任意两条弦相等，不能直接推出圆周角相等。 3）把圆周角当成圆心角，角度条件用错 审题看清角的顶点在圆心还是圆周，选用对应定理。 4）全等对应顶点书写顺序混乱，对应边找错 圆内三角形顶点都在圆上，字母较多，书写全等时顶点顺序必须一一对应。 5）忽略 “同圆或等圆” 大前提 不同圆中，弧相等不能推出弦相等，不可随意套用性质。 解题方法总结 1）观察图形，找出相等的弧（已知条件或垂径 / 折叠得到）； 2）由等弧转化为相等的圆周角 / 圆心角，得到一组等角； 3）利用半径相等或者等弧对等弦，得到一组等边； 4）补齐第二个角或者第二条边，凑齐 SAS/AAS； 5）写出全等，推导对应边、对应角相等。 终极原理总结 圆中证全等，弧是中间桥；弧等角也等，半径自带边；凑齐边角条件，全等自然出现。 1.（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，已知，是圆的两条切线，，为切点，线段交圆于点．下列说法不正确的是（   ） A． B． C．平分 D． 2.（25-26九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，四边形圆内接四边形，已知，，若，则四边形的面积为多少 ． 3.（2025·河北唐山·二模）如图，将半径为10的扇形，绕点逆时针旋转得到扇形． (1)求证：；(2)当为直径时，，求的值及优弧的长． 4．（24-25·江苏南京·九年级统考期中）如图，和分别是⊙上的两条弦，圆心到它们的距离分别是和．如果，求证：． 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的弦，分别以点为圆心，同样长度为半径画圆弧交圆内于点，连接并延长交于点，连接，． (1)求证：；(2)若，，，求的长． 6．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦，与小圆相切于点D．求证：与小圆相切． 1．（2026·山东潍坊·校考一模）如图，内切于四边形，，分别连接．下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．A，O，C三点共线 2.（2025·广东·校考一模）如图，为的切线，A为切点，过点A作，垂足为点C，交于点B，延长与的延长线交于点D． (1)求证：是的切线；(2)若，，求的长． 3．（2026·浙江·模拟预测）已知是圆的内接四边形的两条对角线，相交于点，且．(1)如图，求证：．(2)在图中找出一组全等的三角形，并给出证明． (3)如图，圆的半径为，弦于点，当的面积为时，求的长． 4.（2025·河南·校考一模）小倩用橡皮泥做了一个不倒翁如图所示，小倩从正面看发现、分别切于点、，直径所在的直线经过点，连接． (1)小倩发现垂直平分，请说明理由；(2)若的半径为，①当______时，四边形为菱形；②当______时，四边形为正方形． 5.（24-25·浙江绍兴·九年级校考期中）如图1，在中，弦平分圆周角，我们将圆中以A为公共点的三条弦构成的图形称为圆中“爪形A”，如图2，四边形内接于圆，， (1)证明：圆中存在“爪形D”；(2)若，求证： 6．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知：为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角．知识回顾（1）如图①，中，位于直线异侧，． ①求的度数；②若的半径为5，，求的长； 逆向思考（2）如图②，P为圆内一点，且．求证：P为该圆的圆心； 拓展应用（3）如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．在上找一点D，使点D满足，请证明． 1.（24-25九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，是圆的直径，为圆的弦，且平分，若，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 2.（24-25·河南许昌·九年级校考期末）已知，点、、、是圆上的四个点， (1)如图1，如果，判断的形状，并证明．(2)如果是等边三角形，点在圆上运动，连接、、，请直接写出这三条线段的数量关系．(3)如图2，如果是等边三角形，圆半径为2，当点在弧上运动时，四边形周长最大值为______． 3．（24-25·江苏盐城·九年级统考期中）（1）如图所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、，求证：． （2）[初步探索]小明同学思考如下：将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题：根据小明的思路，请你完成证明．若圆的半径为，则的最大值为______． （3）类比迁移：如图所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与、重合），连接、、，若圆的半径为，试求周长的最大值． （4）拓展延伸：如图所示，等腰，点A、在圆上，，圆的半径为连接，试求的最小值． 4．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）【问题背景】小初同学在学习圆周角时了解到：圆内接四边形的对角互补．如图①，点、、、均为上的点，，则有______°； 【问题探究】爱思考的小初同学发现：如图②，点，，，均为上的点，若，点为弧上任意一点（点不与点、重合），若点在运动的过程中始终保持，则的度数恒为．下面是小初的证明过程： 证明：延长至点使，连接．缺失（1） 在与中，，∴．∴，，， 又，∴，∴，∴为等边三角形． 缺失（2） 请你补全缺失的证明过程． 【结论应用】如图③，点，，，均为上的点，若，点为弧上任意一点（点不与点、重合），且，的半径为2，当点在运动的过程中，四边形的周长的最大值为______． 5．（25-26九年级上·山西长治·期末）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关联弦【概念理解】． 如图1，A，B，C为上的三点，连接，若平分，我们把此时的两条弦和称为圆上顶点关联弦． 【特例研究】通过观察和测量，发现． 证明：如图1，过点O分别作，则． ∵平分，∴．∵，∴ ① ∵，∴，∴ ② ，∴． 【概念、特性拓展】如图2，B，C为上的两点，点A在外，与交于点F，与交于点G，连接．若平分，我们把此时的两条弦和称为圆外顶点关联弦，观察发现． 证明：…… 任务：(1)填空：“①”处空缺的内容为______，“②”处空缺的内容为______．(2)将“……”处证明过程补充完整．(3)如图3，点M在上，点A在外，与交于点P．若点N为上的点，与交于点Q，且与为圆外顶点关联弦，请利用无刻度直尺和圆规确定弦NQ的位置．（不写作法，保留画图痕迹） 6．（2026·江苏盐城·校考一模）【提出问题】小聪同学类比所学的“圆心角”与“圆周角”的概念，将顶点在圆内（顶点不在圆心）的角命名为圆内角．如图1中，∠AEC，∠BED就是圆内角，所对的分别是、，那么圆内角的度数与所对弧的度数之间有什么关系呢？ 【解决问题】小聪想到了将圆内角转化为学过的两种角，即圆周角、圆心角，再进一步解决问题： 解：连接BC，OA，OC，OB，OD． 如图2，在△BCE中，， ∵，， ∴∠AEC＝∠AOC+∠BOD＝（∠AOC+∠BOD） 即：∠AEC的度数＝（的度数+的度数） (1)如图1，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，若弧的度数是65°，弧的度数是40°，则∠AED的度数是 　 　． (2)【类比探究】顶点在圆外且两边与圆相交的角，命名为圆外角． 如图3，在⊙O中，弦AB，CD的延长线相交于点E，试探索圆外角∠E的度数与它所夹的两段弧、的度数之间的关系． 【灵活运用】(3)如图4，平面直角坐标系内，点A（，1）在⊙O上，⊙O与y轴正半轴交于点B，点C，点D是线段OB上的两个动点，满足AC＝AD．AC，AD的延长线分别交⊙O于点E、F．延长FE交y轴于点G，试探究∠FGO的度数是否变化．若不变，请求出它的度数；若变化，请说明理由． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $