福建省厦门双十中学2026-2027学年高三上学期数学周考二

厦门双十中学2027届高三数学第二次周考 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟， 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.己知1为虚数单位，若复数z满足，三=i,则zz=(▲) 1-i A.1 B.2 C.√2 2 D.② 2 2.“a>b的一个必要不充分条件是（▲） A B.In(a-b)>0 C.2>2 D.a>b 3.若函数f(2x-1)=2x2-1,则f(x)的值域是（▲) A.[-1,+m) B.[1,+∞) C.R D.(-m,1] 已知椭圆C+1(a>b>0)的离心率为e,点L,e)在C上，则b( A.1 B.√2 C.3 D.2 「d,x>1 5.若f(x)= 〔4-》+21是R上的单调适州函数，则实数a的取值范围为（▲） A.(0,8) B.(1,8) C.(4,8] D.[4,8) 6.在平行四边形ABCD中，E,F分别是AD,CD的中点，点G在线段EF上.若AG=AB+LAD, 则入+的最大值为（▲） B.1 2 D.2 7.若(x-1)x-a)n(x2-3x+a+1)≥0在R上恒成立，则a的值为（▲) A.0 B.1 C.2 D.3 8.己知平面向量a,b,e,=1,b与e夹角为60°，且b-≥b-2e对任意teR恒成立，则 la++a-l的最小值（▲） A.5 B.2W3 C.4 D.√21 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的 得部分分，有选错的得0分) 9.已知向量a=,6-（月则（△） A.存在teR,使得aB B.a+b的最小值为2 C.若t=1,则(a+b)1(a-b) D.2a+b与a的夹角为锐角 10.设正实数x,y,满足x+2y=y,则（▲） A.x+y的最小值为3+2√2 B.y的最小值为8 1+1è3 C.-2i产2 1.已知函数)箱定义城为R,且Ue)了（国了创，了三，Je1,则 (▲) A.f(x)为奇函数 B.f3)=2 2 C.f(-1)=f(5) D.】 刚=+1 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知向量ā=(2，-14)，b=(3,4),则a在b方向上的投影向量的坐标为▲ 13.若函数)Hg.-)在()上单调递减，则实数a的取值范围为， 14.已知0是△ABC的外心，∠B4C=120°，若A0=xAB+yAC,则x+y的最小值是 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(13分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,其面积为S.已知2S+5AB.AC=0. (1)求A; 因点D满足0-5-4C,且cD-2A0,求。 16.(15分)如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，∠BAC=90°，AB=AC=AA=2,M是AB的中点， N是B,C,的中点，P是BC与B,C的交点. (1)证明：AC⊥BC,: (2)在线段AN上是否存在点O,使得PQ∥平面ACM？若存在，求出AO的长；若不存在，请说 C 明理由 B P M B 17.(15分)在直角坐标系0中，直线y=2x是双曲线C云芳=1的一条南近线，点40 在双曲线C上，设M(m,)≠O)为双曲线上的动点，直线AM与y轴相交于点P,点M关于y 轴的对称点为N,直线AN与y轴相交于点Q (1)求双曲线C的方程： (2)在x轴上是否存在一点T?使得|TP+T四月PO1,若存在，求T点的坐标：若不存在，说 明理由； (3)求M点的坐标，使得△MPQ的面积最小. 18.(17分)已知函数f(x)=2e-x2+2x2lnr-ax2(a∈R). (1)若a=0,求函数y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程： (2)若存在xe(0,+o),使得f(x)≤0成立，求实数a的取值范围： (3)若函数y=f(x)有两个不同的零点￥，x,且x,≤x,求+的取值范围. 2 19.（17分)设s,t∈R,对于定义域为D的函数y=f(x)与y=g(x),h(x)=f(x)+g(x),若函 数y=h(x)是区间D上的单调函数，则称y=f(x)与y=g(x)在区间D上满足“性质M(s,t)”. (1)设D=[2,+o),f(x)=x,8(x)=x,若y=f(x)与y=8(x)在区间D上满足性质M1,)”, 求t的取值范围： (2)设：>0，D=(0小)=，g)=是若y=f)与=g()在区间D上满足性质M()” 求的取值范围： (3)设D=R,若对任意s、t,函数y=f(x)与y=g(x)在R上都满足性质M(,)”.求证：存 在不全为零的实数A、B,使得函数y=Af(x)+Bg(x)为常值函数.周考二答案 1 2 3 4 5 6 7 8 B B A A D C D 9 10 11 12 13 14 BCD ABD ACD (-6-8) (14 2 8设-x,则6-6=x1cos60-了由邮5-d5-2刘对任意tcR恒成立 则6-P≥5-2P,即-2be+P2≥b-45e+4e, 则x2-t+t2≥x2-2x+4,即t-xt+2x-4≥0对任意t∈R恒成立. 所以△=x2-4(2x-4)=(x-4)2≤0，则x=4,即川万=4，b.e=2, 则b+e=bP+2b.e+e=16+4+1=21,故b+e=V21 由向量的三角不等式，a+e+la-(a+e)-(a-b)b+e=2i, 当ā+e与a-b方向相反时取等号，故a++a-的最小值为√2i 11.11.对于A,令x=y=0,得(0)=0，解得f(0)=0, 令x=0,得f(y)f(-y)=-(y),即f(y)儿f(y)+fw〗=0，所以f(y)=0或f(-y)+fy)=0, 当倒=0时，令=1，有0=0与0=号后，放合去 所以f(-y+f()=0,即f(←x)+f(x)=0,所以f(x)为奇函数，故A正确： 对于B,因为0=经，@-1，所以2+2-=f@)-了0. 即//01号行符f6=9收B信： 对于C.令=32，得0=f产)-2)1=号 所以f何=5-0=(D,放c正确： 2 对于D,令x31,相f0fa创=f6创f0=支方=0，解为国=0， 令y=4,则f(x+4)f(x-4)=(x),所以f(6)f(2)=(2)=1,解得f(6)=-1, 1)=了创-片解得0)-夏.令=5=3，得因2=了产-f创-号0，解得 J8=0:f10)=f()=片解得/9)=5@：所以面数=是周期正数，最小正周期为8，又 f0+f2+f)+f④+f⑤+f⑥+0+f图=5+1+巨+0-巨-1-巨+0=0. 2 2 2 2 所以会f)=25/0+1Q++1④+f间+10+0++0+fQ+)=25x0+5+1+ 2 2 =√2+1，故D正确. 14.由AO=xAB+yAC可得AO=x(AO+OB)+y(AO+OC, A 整理可得1-x-)AO=xOB+yOC, E 如图，根据圆内接四边形性质，∠BDC=60°，于是∠BOC=120°， 由于OA=OB=OC=R(R是△ABC外接圆半径)， 对(1-x-)A0=xOB+OC两边平方可得1-x-)2R2=x2R2+y2R2+2xR2×cos120°， 整理可得30=2x+2y-1,由基本不等式3w-2x+2-1≤x+,整理得 [3(x+y)-2][(x+y)-2]≥0，如图，钝角三角形的外心必在三角形外，设AO和BC交于E, 根据共线性质，AO=tAEt>1),且AE=mAB+(1-)AC, 于是AO=tmAB+t0-m)AC，结合AO=xAB+yAC可知x+y=t>1, 于是由[3(x+y)-2][(x+)-2]≥0可得x+y≥2，最小值是2，当x=y=1时取等号. 15.(1)根据三角形面积公式S=bcsi4,向量点积公式AB.AC=AB4Ccos4=bccos4, 代入已知条件2S+V3AB.AC=0得2 (I bcsinA +3bccosA=0, 2 约去bc得sinA+V3cosA=0→tanA=-V3. 因为40网，故4 -.5 (2)由于cn=a0-ac-号0+}ac-ac-a0-4C, 3 分别对1ADP和CD平方展开，代入cosA=号 9 cD=(径aB-A0》 4(b+c2+bc) 9 由CD=24D,符cD=44D,代入化简得4公+c+6c）4+4C-2cb=e 9 9 由余弦定理，2=8+c-2水cosA,代b-c,cosA=得 =8-2(》=wa品因晚-的29 --13 a3b 3 16.(1)连结AC1,在直三棱柱ABC-AB,C1中，有A4⊥平面ABC, 因为ABC平面ABC,所以AA⊥AB, △BAC中，∠BAC=90°，即AB⊥AC, 因为A4OAC=A,A4,ACC平面ACCA,所以AB⊥平面ACCA, 因为ACC平面ACCA,所以AB⊥AC, 在四边形AACC中，A4⊥AC,AC=AA=2, C 331- 所以四边形AACC为正方形，所以AC⊥AC1, 因为AB∩AC1=A,AB,AC1C平面ABC1,所以AC⊥平面ABC1, 因为BC1C平面ABC1,所以AC⊥BC1, -7 (2)当40-25时，有Q11平面ACM,证明如下：因为∠MC=0,AB=4C=2,故BC-2N5, 3 4W=V2,故4Q=4N,故Q为△B4C的重心延长C巴交4B于H,连结BH、GH、MH,则H为4B 中点. C 在正方形A4BB中，M为AB的中点，所以BH11AM. 因为AMC平面AMC,BH4平面AMC, 所以BH1/平面AMC,在正方形AABB中，M为AB的中点，H为AB中点， 所以MH/1AA. 因为AA//CC且A4=CC,所以MH/1CC,MH=CC, 所以四边形MHCC为平行四边形，所以CH1/CM. 因为CMc平面AMC,C1H丈平面AMC,所以C,H/I平面AMC, 因为CH∩BH=H,CHC平面BHC,BHc平面BHC B 所以平面BHC,/I平面AMC,而PQC平面BHC,所以PQ1I平面ACM, 所以存在点Q且40=22时，有Q1/平面ACM. 15 3 b-2 17(1)由已知得a2,所以a=1,b=2,所以双曲线方程为2_上=14 a-1 4 2设60，因为My=-,令0得P0是w=-0, 因为+0P0西-O,平方可得P-0=0,所以什1m”于03 m2-11 因为成-号-1，所以片=4，教气=2，存在20： ---8 m2-1 3)因为8g号 .n+n=1 2n n'n mtltm-1ml 4m2n4m2_ n2） 1+ 4 4 .=n+≥4 n 当且仅当n=±2时，取得最小值， 此时M的坐标是(2,2)或(W2,-2)或(-V2,2或（←2，-2）. ----15 18.【解析】(1)当a=0时，f(x)=2e-x3+2x2lnx,于是f()=2e-1. f'(x)=2e-3x2+2x(2lnx+1),于是f'(=2e-1, 于是函数y=f(x)在(L,f)处的切线方程为y-(2e-1)=(2e-1x-I), 即y=(2e-1)x:…3分 2)由f(s0,有存在xe0+四使得a≥2 -x+2nx成立. 令a-是-+2，则e-2多-1子-0-答-.5分 12、2e ◆、_2e1,则hx)=2ex2x3x21, 当x∈(0,2)时，h'(x)<0,h(x)单调递减：当x∈(2，+oo)时，h'(x)>0,h(x)单调递增， 故M)2M2)=2 -1>0，…7分 于是当x∈(0,2)时，g'(x)<0,g(x)单调递减：当x∈(2，+oo)时，g()>0,g(x)单调递增， 于是a≥g=g2)=号-2+2n2.…9分 (3)由f(x)=f(:),得a=g(x)=g(x), 而g)=2e =-x+2hx=2e---2n. 令=x-2nx,则h()=1-2, 当x∈(0,2)时，h(x)<0,h(x)单调递减：当x∈(2，+oo)时，h'(x)>0,h(x)单调递增， 于是h(x)2h(2)=2-2n2>0.…11分 令G()=2e-t,则G(t)=2e-1. 当1e血)t)时，G>0,G)单调递增，而2-2h2>0>1h2 故G(x-2nx)=G(x2-2nx2)台x-2lnx=x2-2nx2.…13分 经-，则与=，于是3且2 故5+五=2+D1n2.令F)=a+l血2，则Fa)= 1 2 2-1 2-1 -r以-2h-之. 令-2-之则小-1号定--护0放因单明莲常， …15分 于是H()>H()=0,故F'()>0,F(2)在(0，+o)单调递增. 又Ae[e+o,于是F(a)≥Fe=e+ e-1 综上，5毕≥！1+2 2e-11+e……17分 19(1)因为f(x)=x2,g(x)=x在区间D上满足“性质M(1,t)”, 故h(x)=x2+在D=[2,+o)上为单调函数， 因为（国为开口向上的抛物线，对称轴为1=号故号2，即12-4. (2)白题设有)=-兰在(0上为单调腰激，设任意出(Q创，<5 则卢G25+ 2x1X2 因为x,x2∈(0，]，<x,故x-x3<0,∈(0,1)，而h(x)为(0,1]上的单调函数， 故2xx3+3t20在(0,1]上恒成立或2s%x2+3t≤0在(0,1]上恒成立， 而0<46<1,5>0，故3≥0或2+3t≤0，故≥0或{s-2 --9 s 3 (3)若函数y=f(x)为常值函数，取(A,B)=(1,0) 同理，若函数y=8(x)是常值函数，取(A,B)=(0,1): 因此，以下考虑函数y=∫(x)与y=8(x)都不为常值函数的情况。 分别取(s,t)=(1,0)和(0,1)，可以得到函数y=f(x)与y=g(x), 不妨设函数y=∫(x)与y=8(x)都是增函数（否则，若函数y=(x)为减函数，将-∫(x)替换为f(x)).由于函数 y=f(x)与y=8(x)都不为常值函数， 因此存在x<x,使得f(x)>f()且8(2)>8()， 令g(c2)-g()=m[f()-f(x)】],其中m>0. 首先证明：对任意x>都有8()-8()=m[f()-f()门 反证法：假设存在x>,1使得g(x3)-8(31)=nf(x)-f(x1)],其中m≠n且n≠0， 不纺设≥，取=0”，1=1，对于话爱()-8=8国”国 则)-()=g)-g)-m2”)广f(小sg)-8()-m[)广-J]-=0, )c)8s)广8)m2[f)-f]>8)8)n[f)-f0]小-0. 因此h(x)<h(),h(x)>h(),与y=h(c)是单调函数矛盾. 同理可以证明对任意3≤x都有g()-g(1)=m[f()-f(门， 因此，对任意x∈R,g(x)-g()=mf(x)-f(,)门， 所以(x)=-时(x)+8(x)=8()-时()=c为常值函数， 取(A,B)=(-,1),则A、B不全为零，且y=Af(x)+Bg(x)为常值函数.得证.-17