2026-2027学年广东省湛江市坡头区九年级上学期第一次月考数学模拟练习

**基本信息** 以甲流病毒传染、巴黎奥运会吉祥物销售等社会热点为情境，融合二次函数、圆的性质等核心知识，通过基础题与综合题梯度设计，考查数学眼光观察现实世界、数学思维解决问题的能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称与中心对称、一元二次方程根的判别式、中心对称点坐标|第6题以甲流传染为情境，考查方程建模| |填空题|5/15|圆的垂径定理、二次函数平移、旋转角计算|第15题结合菱形旋转规律，考查空间观念| |解答题|8/85|二次函数解析式、几何作图、利润问题、矩形存在性|23题二次函数与矩形存在性探究，综合考查推理能力与创新意识|

2026-2027学年广东省湛江市坡头区九年级（上） 第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列博物馆标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）关于一元二次方程x2+2x﹣3＝0根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 3．（3分）若点P（m，5）与点Q（﹣3，n）关于原点成中心对称，则m+n的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣8 D．8 4．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0用配方法解可变形为（　　） A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣2）2＝9 5．（3分）已知二次函数y＝﹣2x2﹣4x+1，当﹣5≤x≤0时，它的最大值与最小值是（　　） A．1，﹣29 B．3，﹣29 C．3，1 D．1，3 6．（3分）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则根据题意列出方程是（　　） A．x+x（1+x）＝225 B．1+x+x2＝225 C．1+x+x（1+x）＝225 D．x（1+x）＝225 7．（3分）在一块矩形铁皮上裁去一个小矩形得到了如图所示的直角铁皮．用一条直线l将该直角铁皮分成面积相等的两部分，则符合条件的直线l有（　　） A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条 8．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2﹣m的图象如图所示，则坐标原点可能是（　　） A．D点 B．C点 C．B点 D．A点 9．（3分）若m、n是关于x的方程2x2﹣4x+1＝0的两个根，则的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D． 10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列结论中：①；②5a+c＞0；③若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b；④点（1，2）在抛物线上时，方程ax2+bx+c﹣2＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1+2x2＝﹣1．其中正确的结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）如图，半圆O的直径AB＝5，AC，AD为弦．若AC＝3，AD平分∠BAC，则AD＝　 　 ． 12．（3分）平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2﹣6x+8的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的图象的关系式为：　 　 ． 13．（3分）如图，AB是⊙O的弦，C是的中点，OC交AB于点D．若AB＝6，CD＝2，则⊙O的半径为 　 　 ． 14．（3分）如图所示，将长方形ABCD绕其顶点B顺时针方向转到如图所示位置，则旋转角为 　 　 ． 15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点C在x轴正半轴上，且点A的坐标为，点P是对角线AC的中点．将菱形OABC绕原点O顺时针旋转，每次旋转60°，则第2024次旋转结束后，点P的坐标为　 　 ． 三．解答题（共3小题，满分22分） 16．（7分）解方程：x2+5x＝6． 17．（7分）如图是由小正方形组成的7×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图1中，先将AC绕点A顺时针旋转90°，得到线段AD，再在AD上画点E，使得∠AEC＝∠ABC； （2）在图2中，先画BF平分∠ABC交AC于点F，再画线段FG，使得FG∥BC，且FGBC． 18．（8分）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 ﹣4 ﹣4 0 8 … （1）根据上表填空： ①抛物线经过点（﹣3，），对称轴为 　 　 ； ②方程ax2+bx+c＝0的解是 　 　 ，当y＜0时，x取值范围是 　 　 ； （2）求该抛物线y＝ax2+bx+c的解析式． 四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分） 19．（9分）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个． （1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ （2）因商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 20．（9分）如图，点F为正方形ABCD内一点，△BFC经逆时针旋转后能与△BEA重合． （1）旋转中心是 　 　 ，旋转角度最小为 　 　 度； （2）判断△BEF的形状，并说明理由； （3）若∠BFC＝90°，说明AE∥BF． 21．（9分）已知抛物线y＝x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为A（﹣1，0），与y轴的交点坐标为C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式及与x轴的另一个交点B的坐标； （2）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PA+PC的值最小时的点P的坐标． 五．解答题（共2小题，满分26分，每小题13分） 22．（13分）如图，直线y＝﹣x+3与抛物线y＝﹣x2+2x+3交于点A（0，3），B（3，0）．点F是线段AB上的点，FE⊥x轴，E在抛物线上，若点F的横坐标为m． （1）F（　 　 ，　 　 ），E（　 　 ，　 　 ），EF＝　 　 （用含m的代数式表示）； （2）连接AE，BE，求△ABE面积的最大值． 23．（13分）已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象与x轴分别交于点A和点B（﹣1，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1，交x轴于点D，P为抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当∠PCA＝∠ACD时，求点P的坐标； （3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标；若不存在，请说明理由． 2026-2027学年广东省湛江市坡头区九年级（上） 第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列博物馆标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【解答】解：A．选项中的图形是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意； B．选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2．（3分）关于一元二次方程x2+2x﹣3＝0根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【分析】先分别写出各项系数a＝1，b＝2，c＝﹣3，再求出b2﹣4ac，根据其符号判断根的情况． 【解答】解：x2+2x﹣3＝0， a＝1，b＝2，c＝﹣3， b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣3）＝4+12＝16＞0， ∴有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点评】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是掌握根据判别式判断一元二次方程根的情况． 3．（3分）若点P（m，5）与点Q（﹣3，n）关于原点成中心对称，则m+n的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣8 D．8 【分析】两个点关于原点中心对称时，横纵坐标分别互为相反数，利用该性质计算即可求解． 【解答】解：由条件可知m＝﹣（﹣3）＝3，n＝﹣5， ∴m+n＝3+（﹣5）＝﹣2． 故选：B． 【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握该知识点是关键． 4．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0用配方法解可变形为（　　） A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣2）2＝9 【分析】先把常数项移到等号的另一边，方程的两边再加上一次项系数一半的平方，最后写成完全平方式的形式． 【解答】解：x2﹣2x﹣5＝0， 移项，得x2﹣2x＝5， 方程的两边都加上1，得x2﹣2x+1＝5+1， ∴（x﹣1）2＝6． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程，掌握求解一元二次方程的配方法是解决本题的关键． 5．（3分）已知二次函数y＝﹣2x2﹣4x+1，当﹣5≤x≤0时，它的最大值与最小值是（　　） A．1，﹣29 B．3，﹣29 C．3，1 D．1，3 【分析】先求出二次函数的对称轴为直线x＝﹣1，然后根据二次函数的增减性解答即可． 【解答】解：∵抛物线的对称轴为x1， ∵a＝﹣2＜0， ∴离对称轴越远y值越小， ∴在﹣5≤x≤0内，x＝﹣1时，y有最大值，x＝﹣5时y有最小值，分别是y＝3和y＝﹣29， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据函数解析式求出对称轴解析式是解题的关键． 6．（3分）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则根据题意列出方程是（　　） A．x+x（1+x）＝225 B．1+x+x2＝225 C．1+x+x（1+x）＝225 D．x（1+x）＝225 【分析】由“每轮传染中平均一个人传染了x个人”，可得出在第一轮及第二轮传染中的感染人数，结合“经过两轮传染后共有225人感染”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人， ∴第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x（1+x）人被感染． 根据题意得：1+x+x（1+x）＝225． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7．（3分）在一块矩形铁皮上裁去一个小矩形得到了如图所示的直角铁皮．用一条直线l将该直角铁皮分成面积相等的两部分，则符合条件的直线l有（　　） A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条 【分析】根据题意，画出符合要求的直线l即可解决问题． 【解答】解：如图所示， 取MN中点O，连接EO并延长，交大正方形的边为P， 因为四边形MPNE是平行四边形， 所以当直线经过点O且在∠EOF内部时，都将该图形的面积平分， 所以符合条件的直线有无数条． 故选：D． 【点评】本题主要考查了中心对称，能根据题意画出示意图是解题的关键． 8．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2﹣m的图象如图所示，则坐标原点可能是（　　） A．D点 B．C点 C．B点 D．A点 【分析】根据解析式可得对称轴为y轴，进而结合选项，即可求解． 【解答】解：由条件可知抛物线对称轴为直线x＝0，即y轴， ∴坐标原点可能是C点， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是关键． 9．（3分）若m、n是关于x的方程2x2﹣4x+1＝0的两个根，则的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D． 【分析】先利用根与系数的关系得到m+n＝2，mn，再通分得到，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：根据根与系数的关系得m+n＝2，mn， 所以4． 故选：A． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列结论中：①；②5a+c＞0；③若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b；④点（1，2）在抛物线上时，方程ax2+bx+c﹣2＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1+2x2＝﹣1．其中正确的结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用抛物线开口向上得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到，即可判断①；由x＝1时，y＞0得a+b+c＞0，再结合b＝2a得3a+c＞0，由于a＞0，所以5a+c＞0，即可判断②；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c取得最小值，所以a﹣b+c≤at2+bt+c，化简后即可判断③；根据对称性得二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝2的一个交点为（﹣3，2），所以x1＝﹣3，x2＝1，代入x1+2x2中即可判断④． 【解答】解：①∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，即， ∴，故①正确； ②∵x＝1时，y＝a+b+c＞0， ∴a+b+c＞0， 而b＝2a， ∴3a+c＞0， ∵a＞0， ∴5a+c＞0，故②正确； ③∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c取得最小值， ∴a﹣b+c≤at2+bt+c（t为任意实数）， 即a﹣bt≤at2+b，故③正确； ④∵点（1，2）在抛物线上时，方程ax2+bx+c﹣2＝0的两根为x1，x2（x1＜x2）， ∴抛物线直线y＝2的一个交点为（1，2）， ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴抛物线直线y＝2的一个交点为（﹣3，2）， 即x1＝1，x2＝﹣3， ∴x1+2x2＝﹣3+2×1＝﹣1，故④正确； 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）如图，半圆O的直径AB＝5，AC，AD为弦．若AC＝3，AD平分∠BAC，则AD＝　2　 ． 【分析】连接BC、OD、BD，如图，根据圆周角定理得∠ACB＝∠ADB＝90°，在Rt△ACB中利用勾股定理计算出BC＝4，由于∠CAD＝∠BAD，根据圆周角定理得到弧CD＝弧BD，再根据垂径定理的推理得OD垂直平分BC，则OEAC＝1.5，BEBC＝4，所以DE＝OD﹣OE＝1，在Rt△BDE中利用勾股定理计算出BD，然后在Rt△ADB中利用勾股定理可计算出AD． 【解答】解：连接BC、OD、BD，如图， ∵AB为半圆O的直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， 在Rt△ACB中，∵AB＝5，AC＝3， ∴BC4， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD， ∴弧CD＝弧BD， ∴OD垂直平分BC， ∴OEAC＝1.5，BEBC＝2， ∴DE＝OD﹣OE＝1， 在Rt△BDE中，BD， 在Rt△ADB中，AD2． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和勾股定理． 12．（3分）平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2﹣6x+8的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的图象的关系式为：y＝x2﹣2x+3　 ． 【分析】先将原函数化为顶点式，再根据“左加右减、上加下减”的平移规律计算即可． 【解答】解：∵y＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1， ∴将二次函数y＝x2﹣6x+8的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的图象的关系式为y＝x2﹣2x+3． 故答案为：y＝x2﹣2x+3． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知抛物线的平移规律是解题的关键． 13．（3分）如图，AB是⊙O的弦，C是的中点，OC交AB于点D．若AB＝6，CD＝2，则⊙O的半径为 　　 ． 【分析】根据垂径定理、勾股定理列方程求解即可． 【解答】解：如图，连接OA， ∵AB是⊙O的弦，C是的中点， ∴OC⊥AB， ∴AD＝BDAB＝3， 在Rt△AOD中，设OA＝x，则OD＝OC﹣CD＝x﹣2，由勾股定理得， OD2+AD2＝OA2， 即（x﹣2）2+32＝x2， 解得x， 即半径为， 故答案为：． 【点评】本题考查垂径定理、勾股定理以及圆心角、弦、弧之间的关系，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的关键． 14．（3分）如图所示，将长方形ABCD绕其顶点B顺时针方向转到如图所示位置，则旋转角为 　30°　 ． 【分析】根据矩形的性质和旋转的性质以及三角形的外角的性质即可得到结论． 【解答】解：如图，将长方形ABCD绕其顶点B顺时针方向转到如图所示位置， ∴∠E＝∠A＝90°， ∵∠ABC＝90°，∠EBH＝∠BHF﹣∠E＝150°﹣90°＝60°， ∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°， ∴旋转角为30°， 故答案为：30°． 【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，熟练掌握旋转的性质和矩形的性质是解题的关键． 15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点C在x轴正半轴上，且点A的坐标为，点P是对角线AC的中点．将菱形OABC绕原点O顺时针旋转，每次旋转60°，则第2024次旋转结束后，点P的坐标为　　 ． 【分析】由每次旋转60°，每旋转6次为一个循环，确定第2024次旋转结束时点的位置和第2次旋转结束时点P的位置相同，再有点A的坐标和特殊角三角函数值，确定∠AOC＝120°，继而可得出菱形OABC和点P旋转后的位置，根据图像求解即可． 【解答】解：∵每次旋转60°，360°÷60°＝6， ∴每旋转6次为一个循环， ∵2024÷6＝337……2， ∴第2024次旋转结束时点的位置和第2次旋转结束时点P的位置相同， 即菱形OABC绕原点O顺时针旋转2×60°＝120°， ∵点A的坐标为，tan60°，， ∴OA与x轴的夹角为60°，OA＝OC＝2， ∴∠AOC＝120°， ∴第2024次旋转结束时点P（P'）的位置如图所示， ∵点A的坐标为，OC＝2， ∴点C'的坐标为，点A'的坐标为（2，0）， 又∵点P'是对角线A'C'的中点， ∴点P'的坐标为， 即． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，点的坐标与图形的旋转，根据特殊角三角函数值求角的度数，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第2024次旋转后点P的位置是解题的关键． 三．解答题（共3小题，满分22分） 16．（7分）解方程：x2+5x＝6． 【分析】利用因式分解法求解即可． 【解答】解：∵x2+5x＝6， ∴x2+5x﹣6＝0， 则（x﹣1）（x+6）＝0， ∴x﹣1＝0或x+6＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣6． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 17．（7分）如图是由小正方形组成的7×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图1中，先将AC绕点A顺时针旋转90°，得到线段AD，再在AD上画点E，使得∠AEC＝∠ABC； （2）在图2中，先画BF平分∠ABC交AC于点F，再画线段FG，使得FG∥BC，且FGBC． 【分析】（1）取格点D，连接AD，交过点B且垂直BC的直线于E，则∠AEC＝∠ABC； （2）延长BC至H，使AB＝BH＝5，连接AH，取AH的中点N，连接BN，交AC于F，则BF平分∠ABC，取格点M，P，连接MN，MP，BP，则四边形BPMN是平行四边形，取格点R，Q，连接RQ，交PM于G，连接FG，则FG为所求线段． 【解答】解：（1）如图1，AD为所求线段，∠AEC为所求角； （2）如图2，BF为所求线段，FG为所求线段． 【点评】本题考查了作图﹣旋转的变换，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 18．（8分）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 ﹣4 ﹣4 0 8 … （1）根据上表填空： ①抛物线经过点（﹣3，），对称轴为 x　 ； ②方程ax2+bx+c＝0的解是 x＝﹣2或1　 ，当y＜0时，x取值范围是 　﹣2＜x＜1　 ； （2）求该抛物线y＝ax2+bx+c的解析式． 【分析】（1）①抛物线与x轴的交点坐标是（﹣2，0）和（1，0），可得抛物线的对称轴为，由函数的对称性可得x＝2及x＝﹣3时的函数值相等，故由x＝2对应的函数值可得出x＝﹣3所对应的函数值，从而得出正确答案； ②由抛物线与x轴的交点坐标即可得到方程ax2+bx+c＝0的解；由表格中y值的变化规律及找出的对称轴，得到抛物线的开口向上，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，从而求解； （2）由第一问得出抛物线与x轴的两交点坐标（﹣2，0）和（1，0），与y轴的交点坐标（0，﹣4）代入y＝ax2+bx+c即可求出． 【解答】解：（1）①由表格可知：当x＝﹣2和x＝1时，y＝0， ∴对称轴直线， ∵抛物线经过点（2，8），点（﹣3，8）和（2，8）关于直线轴对称， ∴抛物线经过点（﹣3，8）， 故答案为：8，直线； ②由表格可知：抛物线与x轴的交点坐标是（﹣2，0）和（1，0）， ∴方程ax2+bx+c＝0的解是x＝﹣2或1； ∵对称轴为直线， 由表格可得：在对称轴右侧，y随x增大而增大， ∴抛物线开口向上， ∴当﹣2＜x＜1时，y＜0； 故答案为：x＝﹣2或1，﹣2＜x＜1； （2）把（﹣2，0），（1，0）和（0，﹣4）代入y＝ax2+bx+c得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：y＝2x2+2x﹣4． 【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等．关键是掌握二次函数的性质． 四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分） 19．（9分）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个． （1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ （2）因商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 【分析】（1）设售价应定为x元，则每个利润为（x﹣20）元，销量为个，利用总利润为8000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）由（1）得：当售价为每个40元时，销量为400个，设这两周的平均增长率为y，根据两周后销售量达到了484个，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）设售价应定为x元，则每个利润为（x﹣20）元，销量为个， 由题意得：， 整理得：x2﹣100x+2400＝0， 解得：x1＝40，x2＝60（不符合题意，舍去）， 答：商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为40元； （2）由（1）得：当售价为40元时，销量为400个， 设这两周的平均增长率为y， 由题意得：400（1+y）2＝484， 解得：y1＝0.1＝10%，y2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）， 答：这两周的平均增长率为10%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20．（9分）如图，点F为正方形ABCD内一点，△BFC经逆时针旋转后能与△BEA重合． （1）旋转中心是 　点B ，旋转角度最小为 　90　 度； （2）判断△BEF的形状，并说明理由； （3）若∠BFC＝90°，说明AE∥BF． 【分析】（1）利用旋转的定义求解； （2）先根据正方形的性质得到∠ABC＝90°，再根据旋转的性质得到BE＝BF，∠EBF＝∠ABC＝90°，从而可判断△BEF是等腰直角三角形； （3）先根据旋转的性质得到∠BEA＝∠BFC＝90°，所以∠BEA+∠EBF＝180°，然后根据平行线的判定方法得到AE∥BF． 【解答】解：（1）△BFC绕点B逆时针旋转90°能与△BEA重合． 所以旋转中心是点B，旋转角度最小为90度； 故答案为：点B，90； （2）△BEF是等腰直角三角形． 理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°， ∵△BFC绕点B逆时针旋转后能与△BEA重合， ∴BE＝BF，∠EBF＝∠ABC＝90°， ∴△BEF是等腰直角三角形； （3）∵△BFC绕点B逆时针旋转后能与△BEA重合， ∴∠BEA＝∠BFC＝90°， ∵∠EBF＝90°， ∴∠BEA+∠EBF＝180°， ∴AE∥BF． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质． 21．（9分）已知抛物线y＝x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为A（﹣1，0），与y轴的交点坐标为C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式及与x轴的另一个交点B的坐标； （2）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PA+PC的值最小时的点P的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点B的坐标，即可求解； （2）作抛物线的对称轴与直线BC交于点P，则交点P就是所求的点，求出直线BC的解析式，即可求解． 【解答】解：（1）把点A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入抛物线 y＝x2+bx+c可得方程组， 解得：， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3， 当y＝0时，则x2﹣2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3； ∴另一个交点B的坐标为（3，0）； （2）如图，作抛物线的对称轴与直线BC交于点P，则交点P就是所求的点． 设直线BC的解析式为y＝kx+m（k≠0）， 把B（3，0），C（0，﹣3）代入得： ，解得：， ∴直线BC的函数式为y＝x﹣3， ∵抛物线对称轴为直线， 当x＝1时，y＝﹣2， 即点P（1，﹣2）． 【点评】本题考查了求抛物线与x轴的交点坐标，利用待定系数法求得抛物线的解析式，利用轴对称的性质求解两条线段和的最小值，掌握以上知识是解题的关键． 五．解答题（共2小题，满分26分，每小题13分） 22．（13分）如图，直线y＝﹣x+3与抛物线y＝﹣x2+2x+3交于点A（0，3），B（3，0）．点F是线段AB上的点，FE⊥x轴，E在抛物线上，若点F的横坐标为m． （1）F（m ，　﹣m+3　 ），E（m ，　﹣m2+2m+3　 ），EF＝　﹣m2+3m （用含m的代数式表示）； （2）连接AE，BE，求△ABE面积的最大值． 【分析】（1）根据题意，用含m的代数式表示出点F和点E的坐标，据此得出EF的长即可； （2）将△ABE的面积转化为△EFA和△EFB的面积之和，并据此用m表示出△ABE的面积即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知， 令直线AB的函数解析式为y＝ax+b， 则， 解得， 所以直线AB的函数解析式为y＝﹣x+3． 因为点F的横坐标为m， 所以点F的纵坐标为﹣m+3； 因为FE⊥x轴， 所以点E的横坐标为m， 则点E的纵坐标为﹣m2+2m+3， 所以EF＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m． 故答案为：m，﹣m+3，m，﹣m2+2m+3，﹣m2+3m； （2）由题知， ， 所以， 则， 所以当m时，S△ABE有最大值为． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的最值，熟知二次函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． 23．（13分）已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象与x轴分别交于点A和点B（﹣1，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1，交x轴于点D，P为抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当∠PCA＝∠ACD时，求点P的坐标； （3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先根据对称轴公式x可得a＝﹣1，再将点B的坐标代入抛物线的解析式中可得c＝3，即可解答； （2）分两种情况：①点P在AC的下方时，先利用待定系数法可得CD的解析式，联立抛物线和直线CD的解析式，解方程可得点P的坐标；②点P在AC的上方时，证明∠OCD＝∠AEC，可得tan∠OCD＝tan∠AEC，即可解答； （3）设点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），分三种情况：①如图3，过点P作PF⊥x轴于F，则∠AFP＝90°，②如图4，过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGC＝90°，③如图5，∠APC＝90°，即可解答． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+2x+c，对称轴为直线x＝1， ∴1， ∴a＝﹣1， ∴y＝﹣x2+2x+c， 将点B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+2x+c中得： ﹣1﹣2+c＝0， ∴c＝3， ∴这个二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）分两种情况： ①点P在AC的下方时，如图1， ∵D（1，0），C（0，3）， 设DC的解析式为：y＝kx+b， ∴， ∴， ∴DC的解析式为：y＝﹣3x+3， ∴﹣x2+2x+3＝﹣3x+3， 解得：x1＝0（舍），x2＝5， ∴点P的坐标为（5，﹣12）； ②点P在AC的上方时，如图2，设直线CP交x轴于E， ∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°， ∴∠ACO＝∠CAO＝45°， ∵∠ACO＝∠ACD+∠OCD，∠CAO＝∠ACP+∠AEC，∠ACD＝∠ACP， ∴∠OCD＝∠AEC， ∴tan∠OCD＝tan∠AEC， ∴， ∴， ∴OE＝9， ∵E（9，0）， 易得CE的解析式为：yx+3， ∴﹣x2+2x+3x+3， ∴3x2﹣7x＝0， x（3x﹣7）＝0， ∴x1＝0，x2， ∴点P的坐标为（，）； 综上，点P的坐标为（5，﹣12）或（，）； （3）设点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3）， 分三种情况： ①如图3，过点P作PF⊥x轴于F，则∠AFP＝90°， ∵四边形ACQP是矩形， ∴∠CAP＝90°， ∵∠CAO＝45°， ∴∠PAF＝45°， ∴△AFP是等腰直角三角形， ∴AF＝FP， ∴3﹣t＝t2﹣2t﹣3， ∴t1＝3，t2＝﹣2， ∴点P的横坐标为﹣2， ∵A（3，0），C（0，3）， ∴点Q的横坐标为﹣5； ②如图4，过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGC＝90°， ∵四边形ACPQ是矩形， ∴∠ACP＝90°， ∵∠ACO＝45°， ∴∠PCG＝45°， ∴△PCG是等腰直角三角形， ∴PG＝CG， ∴t＝﹣t2+2t+3﹣3， ∴t＝0或1， ∴点P的横坐标为1， ∴点Q的横坐标为4； ③如图5，∠APC＝90°， ∴CP2+AP2＝AC2， ∴t2+（﹣t2+2t+3﹣3）2+（t﹣3）2+（﹣t2+2t+3﹣0）2＝（3）2， ∴t4﹣4t3+2t2+3t＝0， ∵t≠0， ∴t3﹣4t2+2t+3＝0， ∴（t﹣3）（t2﹣t﹣1）＝0， ∴t1＝3（舍），t2，t3， ∴点Q的横坐标是或； 综上，点Q的横坐标是﹣5或4或或． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，利用待定系数法求函数的解析式，三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题 学科网（北京）股份有限公司 $