专题4 全等三角形常见辅助线作法 讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上

该初中数学全等三角形辅助线作法讲义通过分类梳理构建知识体系，将常见辅助线作法归纳为倍长中线、类倍长中线等六种类型，结合典例剖析与针对训练，用框架图呈现各类方法的适用场景和内在逻辑，突出重难点分布。 讲义亮点在于“典例示范-针对训练-专题提优”三阶练习设计，如通过倍长中线构造全等三角形的典例培养推理意识，截长补短法训练提升几何直观。分层题目满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升学生解决几何问题的能力。

专题4 全等三角形常见辅助线作法讲义 第一部分 典例剖析+针对训练 类型一 倍长中线和类倍长中线 【典例1】【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】 （1）小明遇到这样一个问题：如图1，中，，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：延长到E，使，连接，则得到，用到的判定定理是： （用字母表示）；边上的中线的取值范围是 ． 【灵活运用】 （2）如图2，以的边为边向外作和，使，，，M是的中点，连接．求证：； 【拓展应用】 （3）如图3，在和，使，，，连接，若M是的中点，连接．试探究线段与的关系，并说明理由． 【针对训练】 1．【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．当几何问题中出现“ 中点 ”“中线 ”等条件时，可通过把中线延长一倍，构造全等三角形，从而解决问题．这种方法称为“倍长中线法 ”，并且该方法有着广泛的应用． 【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题： (1)如图，在中，，是的中点，求的取值范围． 解决思路：延长到点，使，连接，构造．通过求出线段的取值范围即可解决该问题．请你直接写出的取值范围为_____； (2)如图，点为的中点，，，求； (3)如图，在和中，，连接，，作 边上的中线．请猜想和的数量关系并说明理由． 类型二 类倍长中线 【典例2】如图，在中，是边的中点，，，，则的取值范围是_______ 【针对训练】 1．（2023秋•江都区月考）如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，试判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论． 类型三 过线段的两端点向中点处的线段作垂线构造全等三角形 【典例3】如图．且且的延长线交于． 求证：． 【针对训练】 1．如图，A，B，C三点共线，D，C，E三点共线，∠A＝∠DBC，EF⊥AC于点F，AE＝BD． （1）求证：C是DE的中点； （2）求证：AB＝2CF． 类型四 中点加平行线构造8字全等 【典例4】【问题情境】在数学课上，老师出示了这样一个问题：“如图1，在梯形中，，为的中点，若用，，分别表示，，的面积，求证：．”经过小组合作交流，找到了解决方法：“遇平行线＋中点，延长构造全等”． （1）请按照如下的思维框图，完成问题情境中的证明． 【拓展延伸】（2）如图2，在平行四边形中，于点，，求与的数量关系． 图1 图2 【针对训练】 1．如图，已知，，且，，是的中点. 请你用直尺（无刻度）作出一条与相等的线段，并利用三角形全等证明该线段与相等.    类型五 截长补短法构造全等 【典例5】如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：． 【针对训练】 1．如图，在RtABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB． (1)求∠AOE的度数； (2)求证：AC=AE+CD． 类型六 连线构造全等 【典例6】如图，已知：AB＝CD，AD＝CB，求证：∠B＝∠D． 【针对训练】 1．如图，AB＝DC，AD＝BC，DE＝BF，求证：BE＝DF． 2．已知，如图AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，AF平分∠BAE，求证：AF⊥CD． 第二部分 专题提优训练 1．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：，是的中点，平分，如图，则下列说法正确的有（   ） （1）平分，（2），（3），（4），（5） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线． （1）按要求作图：延长AD到点E，使DE＝AD；连接BE． （2）求证：△ACD≌△EBD． （3）求证：AB+AC＞2AD． （4）若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围． 3．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD．求证：∠B＝∠D． 4．（1）问题提出：如图1，点为等腰内一点，，若另有一个以、为腰的等腰且，求证：． （2）尝试应用：如图2，点为等腰外一点，，过点的直线分别交的延长线和的延长线于点与交于，若，求证：． （3）问题拓展：如图3，中，，点，分别在边，上，交于点，等边的边与相交于点．若，请直接写出的长度． 5．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．如图，已知E是的中点，点A在上，且．求证：．    (1)现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明． ①如图1，延长到点F，使，连接； ②如图2，过点B作，交的延长线于点F，过点C作，垂足为G． (2)请你在图3中添加不同于（1）中的辅助线，并对原题进行证明．   6．（1）问题提出：小明和小华在一次数学学习中遇到了以下问题：如图，是的中线，若，，求长和长的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了长的取值范围为______； （2）方法探究：但是他们怎么也算不出长的取值范围，经小组讨论后发现：延长至点．使，连接，如图．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出长的取值范围，请写出解答过程； （3）方法应用：如图，在中，点在上，且，过点作，交于点，且．求证：平分． 7．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，写出图中一组全等三角形　△BDE≌△CDA　 ； 【理解与应用】 （2）如图2，在△ABC中，AD为中线，E为AB上一点，AD、CE交于点F，且AE＝EF．求证：AB＝CF； （3）如图3，CD是△ABC的中线，且AB＝BE＝AC，求证；CE＝2CD． 8．（1）如图①，平分，，若，则____________． （2）探究：如图②，四边形ABCD，AC平分，，求证：． （3）应用：如图③，点D、F分别在EC、AD上，若，且，求证：D为CE的中点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4 全等三角形常见辅助线作法讲义 第一部分 典例剖析+针对训练 类型一 倍长中线和类倍长中线 【典例1】【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】 （1）小明遇到这样一个问题：如图1，中，，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：延长到E，使，连接，则得到，用到的判定定理是： （用字母表示）；边上的中线的取值范围是 ． 【灵活运用】 （2）如图2，以的边为边向外作和，使，，，M是的中点，连接．求证：； 【拓展应用】 （3）如图3，在和，使，，，连接，若M是的中点，连接．试探究线段与的关系，并说明理由． 【答案】（1），； （2）证明：如图：延长，使得，连接， 由（1）可得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：线段与的关系是：， ， 延长至F，使得，连接， 由（1）可得：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 延长交于点N， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，三角形内角和定理，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由三角形中线的性质可得，再利用即可证明，从而得解； （2）延长，使得，连接，延长交于，由（1）可得：，得出，，证明，得出，再求出，即可得证； （3）延长至F，使得，连接，延长交于点N ，由（1）可得，得出，再证明，据此求解即可． 【详解】（1）解：延长到点E，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）略 （3）略 【针对训练】 1．【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．当几何问题中出现“ 中点 ”“中线 ”等条件时，可通过把中线延长一倍，构造全等三角形，从而解决问题．这种方法称为“倍长中线法 ”，并且该方法有着广泛的应用． 【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题： (1)如图，在中，，是的中点，求的取值范围． 解决思路：延长到点，使，连接，构造．通过求出线段的取值范围即可解决该问题．请你直接写出的取值范围为_____； (2)如图，点为的中点，，，求； (3)如图，在和中，，连接，，作 边上的中线．请猜想和的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) ，证明 ：延长至点，使， 连接 ∵ 是的中点， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，关键是倍长中线法的应用； （1）利用三角形的三角形的三边关系可得的取值范围，进而得出的取值范围； （2）通过倍长中线构造两三角形全等，将转换成，即可求得； （3）通过倍长中线构造两三角形全等，再通过论证与全等即可得到． 【详解】（1）解：延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ； （2）如图，延长交的延长线于， ∵， ∴ ，因为点是的中点， ∴， 在 和 中， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴为线段的垂直平分线 ， ∴； （3） 类型二 类倍长中线 【典例2】如图，在中，是边的中点，，，，则的取值范围是_______ 【答案】 【分析】延长到，使得，连接，．由“”可证，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，． 是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 【针对训练】 1．（2023秋•江都区月考）如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，试判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论． 【分析】可延长ED至P，使DP＝DE，连接FP，连接CP，将BE转化为PC，EF转化为FP，进而在△PCF中即可得出结论． 【详解】答：BE+CF＞FP＝EF． 证明：延长ED至P，使DP＝DE，连接FP，CP， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在△BDE和△CDP中， ∴△BDE≌△CDP（SAS）， ∴BE＝CP， ∵DE⊥DF，DE＝DP， ∴EF＝FP，（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等） 在△CFP中，CP+CF＝BE+CF＞FP＝EF． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，能够熟练掌握． 类型三 过线段的两端点向中点处的线段作垂线构造全等三角形 【典例3】如图．且且的延长线交于．求证：． 【答案】 证明：如图，过点作交的延长线于， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点是的中点； ，， 点是的中点， ， ． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的中线的性质，掌握“利用AAS证明三角形全等”是解本题的关键．如图，过点作交的延长线于，证明 再证明，可得，再证明，可得，，再利用三角形中线的性质可证结论． 【详解】略 【针对训练】 1．如图，A，B，C三点共线，D，C，E三点共线，∠A＝∠DBC，EF⊥AC于点F，AE＝BD． （1）求证：C是DE的中点； （2）求证：AB＝2CF． 【分析】（1）过D作DH⊥AC的延长线与H，根据全等三角形的判定证得△AEF≌△BDH，得到EF＝DH，再证得△EFC≌△DHC得到CE＝CD，即可证得即可证得结论； （2）由（1）得，△AEF≌△BDH，△EFC≌△DHC，根据全等三角形的性质得到AF＝BH，CF＝CH，再根据线段的和差即可证得结论． 【详解】证明：（1）过D作DH⊥AC的延长线与H， ∴∠EFC＝∠DHC＝90°， 在△AEF和△BDH中， ， ∴△AEF≌△BDH（AAS）， ∴EF＝DH， 在△EFC和△DHC中， ， ∴△EFC≌△DHC（AAS）， ∴CE＝CD， ∴C是DE的中点； （2）由（1）得，△AEF≌△BDH，△EFC≌△DHC， ∴AF＝BH，CF＝CH， ∴AB+BF＝BF+FH，FH＝2FC， ∴AB＝FH， ∴AB＝2CF． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，正确作出辅助线是解决问题的关键． 类型四 中点加平行线构造8字全等 【典例4】【问题情境】在数学课上，老师出示了这样一个问题：“如图1，在梯形中，，为的中点，若用，，分别表示，，的面积，求证：．”经过小组合作交流，找到了解决方法：“遇平行线＋中点，延长构造全等”． 图1 图2 （1）请按照如下的思维框图，完成问题情境中的证明． 【拓展延伸】（2）如图2，在平行四边形中，于点，，求与的数量关系． 【答案】 （1）证明：如图，延长交的延长线于， ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2） 【分析】（1）如图，延长交的延长线于，证明，，，可得，可得； （2）如图，延长交于，连接，证明，可得，设，证明，，可得，设，可得，，再进一步求解可得结论． 【详解】解：（1）略 （2），理由如下： 如图，延长交于，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴设， ∵，， ∴，， ∴，设， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的内角和定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【针对训练】 1．如图，已知，，且，，是的中点.    请你用直尺（无刻度）作出一条与相等的线段，并利用三角形全等证明该线段与相等； 【答案】（1）详见解析；（2）5 【分析】（1）延长BE与CD相交于点F，则EF=BE，证明△AEB≌△△DEF，根据全等三角形的性质证明结论； （2）根据全等三角形的性质得到DF=AB=6，根据勾股定理求出BF，根据全等三角形的性质计算． 【详解】解：（1）延长BE与CD相交于点F，则EF=BE，    证明：∵AB∥CD， ∴∠A=∠D，∠ABE=∠DFE， ∵E是AD的中点， ∴AE=DE， 在△AEB与△DEF中， ∴△AEB≌△△DEF（AAS）， ∴BE=EF； 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 类型五 截长补短法构造全等 【典例5】如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：． 【答案】 证明：如图，在上截取，连接， 平分， ， 又， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，全等三角形的判定与性质，两直线平行同旁内角互补，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取，连接，由平分可得，利用可证得，于是可得，由两直线平行同旁内角互补可得，结合，进而可得，由平分可得，利用可证得，于是可得，然后利用等量代换即可得出结论． 【详解】略 【针对训练】 1．如图，在RtABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB． (1)求∠AOE的度数； (2)求证：AC=AE+CD． 【答案】(1) (2) 证明：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）利用三角形的内角和求出的度数，再利用角平分线得到、的大小，最后求出外角的度数； （2）在上，构造，再利用条件证明，从而得到解题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴ , ， ∵是的外角， ∴； （2）略 【点睛】本题考查角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，证明线段的和差常用“截长或补短”的方法． 类型六 连线构造全等 【典例6】如图，已知：AB＝CD，AD＝CB，求证：∠B＝∠D． 【思路引领】先连接AC，根据SSS判定△ACD≌△CAB，进而根据全等三角形的性质得出结论． 证明：如图，连接AC， 在△ACD和△CAB中， ， ∴△ACD≌△CAB（SSS）， ∴∠B＝∠D． 【总结提升】本题考查了全等三角形的性质和判定，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等． 【针对训练】 1．如图，AB＝DC，AD＝BC，DE＝BF，求证：BE＝DF． 【思路引领】连接BD，根据SSS推出△ABD≌△CDB，根据全等三角形的性质得出∠A＝∠C，根据SAS推出△EAB≌△FCD即可． 证明：连接BD， ∵在△ABD和△CDB中 ∴△ABD≌△CDB（SSS）， ∴∠A＝∠C， ∵AD＝BC，DE＝BF， ∴AE＝CF， 在△EAB和△FCD中 ∴△EAB≌△FCD（SAS）， ∴BE＝DF． 【总结提升】本题考查了全等三角形的性质和判定，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 2．已知，如图AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，AF平分∠BAE，求证：AF⊥CD． 【思路引领】连接AC、AD，利用“边角边”证明△ABC和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC＝AD，全等三角形对应角相等可得∠BAC＝∠EAD，根据角平分线的定义可得∠BAF＝∠EAF，然后求出∠CAF＝∠DAF，最后根据等腰三角形三线合一的性质证明即可． 证明：如图，连接AC、AD， 在△ABC和△AED中，， ∴△ABC≌△AED（SAS）， ∴AC＝AD，∠BAC＝∠EAD， ∵AF平分∠BAE， ∴∠BAF＝∠EAF， ∴∠BAF﹣∠BAC＝∠EAF﹣∠EAD， 即∠CAF＝∠DAF， ∴AF⊥CD（等腰三角形三线合一）． 【总结提升】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 第二部分 专题提优训练 1．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：，是的中点，平分，如图，则下列说法正确的有（   ） （1）平分，（2），（3），（4），（5） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．延长交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的判定与性质即可判断（1）、（3）和（4）正确；根据平行线的判定即可判断（5）正确；假设，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，据此即可判断（2）错误． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分，（等腰三角形的三线合一），则说法（1）和（4）正确； 又∵，，， ∴，则说法（3）正确； 假设， ∴， ∴， ∴， ∴，由已知条件不能得出这个结论， ∴假设不成立，即说法（2）错误； ∵， ∴， ∴，则说法（5）正确； 综上，说法正确的有4个， 故选：D． 2．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线． （1）按要求作图：延长AD到点E，使DE＝AD；连接BE． （2）求证：△ACD≌△EBD． （3）求证：AB+AC＞2AD． （4）若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围． 【分析】（1）根据题目中语言描述画出图形即可； （2）直接利用SAS证明△BDE≌△CDA即可； （3）根据△BDE≌△CDA，得BE＝AC，从而得出AE＝2AD，再根据三角形三边关系即可得出AB+BE＞AE，即可得出结论； （4）根据三角形三边关系得AB﹣BE＜AE＜AB+BE，又由AE＝2AD，BE＝AC，AC＝3，AB＝5，代入即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）证明：如图， ∵AD为BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△BDE和△CDA中， ， ∴△BDE≌△CDA（SAS）． （3）证明：如图， ∵△BDE≌△CDA， ∴BE＝AC， ∵DE＝AD， ∴AE＝2AD， 在△ABE中，AB+BE＞AE， ∴AB+AC＞2AD． （4）解：在△ABE中， AB﹣BE＜AE＜AB+BE， 由（3）得 AE＝2AD，BE＝AC， ∵AC＝3，AB＝5， ∴5﹣3＜AE＜5+3， ∴2＜2AD＜8， ∴1＜AD＜4． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及三角形三边的关系是解题的关键． 3．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD．求证：∠B＝∠D． 【思路引领】连接AC，根据“边边边”证明△ABC和△ADC全等，根据全等三角形对应角相等证明即可． 证明：如图，连接AC， 在△ABC和△ADC中，， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠B＝∠D． 【总结提升】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 4．（1）问题提出：如图1，点为等腰内一点，，若另有一个以、为腰的等腰且，求证：． （2）尝试应用：如图2，点为等腰外一点，，过点的直线分别交的延长线和的延长线于点与交于，若，求证：． （3）问题拓展：如图3，中，，点，分别在边，上，交于点，等边的边与相交于点．若，请直接写出的长度． 【答案】（1）证明：是以、为腰的等腰三角形， ， ， ， 在和中， ， ∴ ； （2）证明：延长至，使，连接，如图： ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ；； （3） 【分析】（1）由等腰三角形的性质可证得，，进而得证，即可利用证明． （2）延长至G，使 ，连 接，设 交于K，如图：证明，，可得，再进一步可得结论； （3）过作于，连接，证明，进而证明，可得，则，证明，可得，再进一步可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）过作于，连接． 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 在和中， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角的判定及性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，含的直角三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键， 5．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．如图，已知E是的中点，点A在上，且．求证：．      (1)现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明． ①如图1，延长到点F，使，连接； ②如图2，过点B作，交的延长线于点F，过点C作，垂足为G． (2)请你在图3中添加不同于（1）中的辅助线，并对原题进行证明． 【答案】(1) 证明：①如图1，延长到点F，使，连接 ∵E是的中点， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴； ②如图2，过点B作，交的延长线于点F，过点C作，垂足为G． ∵E是的中点， ∴ ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， (2) 如图，过点C作，交的延长线于点M，则， ∵E是的中点， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）①证明，则，由得到，则，即可证明结论；②证明，则，再证明，即可得到结论； （2）过点C作，交的延长线于点M，则，证明，则，由，得到，则，即可证明结论． 【详解】（1）略． （2）略． 6．（1）问题提出：小明和小华在一次数学学习中遇到了以下问题：如图，是的中线，若，，求长和长的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了长的取值范围为______； （2）方法探究：但是他们怎么也算不出长的取值范围，经小组讨论后发现：延长至点．使，连接，如图．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出长的取值范围，请写出解答过程； （3）方法应用：如图，在中，点在上，且，过点作，交于点，且．求证：平分． 【答案】（1）； （2）解：如图，延长至点，使，连接， 是的中线， ， ，，， ， ， 在中，， ，即， ， ； （3）证明：如图所示，延长，取，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，角平分线的判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质与判定． （1）根据三角形的三边关系即可解答； （2）延长至点，使，连接，可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围； （3）延长，取，连接，可证出，则，，证明，得出，根据平行线的性质得出，证明，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， 即； 故答案为：； （2）略 （3）略 7．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，写出图中一组全等三角形　△BDE≌△CDA　 ； 【理解与应用】 （2）如图2，在△ABC中，AD为中线，E为AB上一点，AD、CE交于点F，且AE＝EF．求证：AB＝CF； （3）如图3，CD是△ABC的中线，且AB＝BE＝AC，求证；CE＝2CD． 【分析】（1）根据题意，由两个三角形全等的判定定理证明即可得到答案； （2）根据题意，倍长中线，由两个三角形全等的判定定理证得△BDA≌△CDG（SAS），由全等三角形性质得到AB＝CG，∠BAD＝∠CGD，再结合等腰三角形的性质，通过角的等量代换得到∠CFG＝∠CGF，从而由等腰三角形的判定与性质确定CF＝CG＝AB即可得证； （3）根据题意，倍长中线，由两个三角形全等的判定定理证得△BDC≌△ADG（SAS），由全等三角形性质得到∠DBC＝∠DAG，BC＝AG，再结合等腰三角形的性质、三角形外角性质得到∠CBE＝∠CAG，利用三角形全等的判定定理证得△BEC≌△ACG（SAS），结合全等性质即可证得CE＝CG＝2CD． 【详解】（1）解：∵AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD， ∴BD＝CD， 在△BDE和△CDA中， ， ∴△BDE≌△CDA（SAS）， 故答案为：△BDE≌△CDA； （2）证明：在△ABC中，AD为中线，如图2，延长AD至点G，使GD＝AD， ∴BD＝CD， 在△BDA和△CDG中， ， ∴△BDA≌△CDG（SAS）， ∴AB＝CG，∠BAD＝∠CGD， ∵AE＝EF， ∴∠EAF＝∠AFE， ∵∠AFE＝∠DFC， ∴∠CFG＝∠CGF， ∴CF＝CG＝AB，即AB＝CF； （3）证明：CD是△ABC的中线，如图3，延长CD至点G，使GD＝CD， ∴BD＝AD， 在△BDC和△ADG中， ， ∴△BDC≌△ADG（SAS）， ∴∠DBC＝∠DAG，BC＝AG， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠DAG， ∵∠CBE是△BCE的一个外角， ∴∠CBE＝∠ACB+∠BAC， ∵∠CAG＝∠DAG+∠BAC， ∴∠CBE＝∠CAG， 在△BEC和△ACG中， ， ∴△BEC≌△ACG（SAS）， ∴CE＝CG＝2CD，即CE＝2CD． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查全等三角形的判定与性质，倍长中线模型，三角形中线性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角性质等知识，根据题意，掌握倍长中线模型，构造辅助线，运用全等三角形的判定与性质求证是解决问题的关键． 8．（1）如图①，平分，，若，则____________． （2）探究：如图②，四边形ABCD，AC平分，，求证：． （3）应用：如图③，点D、F分别在EC、AD上，若，且，求证：D为CE的中点． 【答案】（1）5； （2）证明：如下图：过C作于E，过C作延长线于F； ∵，， ∴， 由（1）问结论：， 在和中， ∴， ∴． （3）证明：过点作于M，过点作交AD的延长线于N， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴D为CE的中点． 【分析】（1）由角平分线找出两三角形满足全等的条件AAS； （2）过C作于E，过C作延长线于F，根据（1）的结论判断即可得到解答； （3）过点作于M，过点作交AD的延长线于N，先证明可得，结合对顶角相等的性质证明即可得到解答． 【详解】（1）， ∵AC平分， ∴， 在和中， ∴， ∴； 故答案为：5． （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定、对顶角相等和角平分线的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线），熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $