26.4 第3课时 抛物线形问题-【初中学霸创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案（人教版·新教材 安徽专版）

该初中数学教学设计聚焦抛物线形问题的二次函数应用，以生活中抛物线形拱桥图片导入，衔接二次函数性质，通过建立坐标系将实际问题转化为数学模型，搭建从实际到理论的学习支架。 资料以探究式教学为主，通过拱桥、秋千等实例引导学生用数学眼光抽象坐标关系，用数学思维推理函数解析式，培养模型意识。师生互动归纳解题步骤，助力学生提升应用能力，为教师提供可操作的教学流程与实例。

26.4 实际问题与二次函数 第3课时 抛物线形问题 课题 抛物线形问题 课型 新授课 教学内容 教材第53页的探究2 教学目标 1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题． 2．利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题． 3．能运用二次函数的图象与性质进行决策． 教学重难点 教学重点：建坐标系解决拱桥问题。 教学难点：建立适当的坐标系解决抛物线形实际问题。 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 现实生活中你一定见过各式各样的抛物线形拱桥(如图)吧？能不能利用二次函数的知识解决与之相关的问题呢？ 2.探索新知，归纳知识 【探究】一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4 m时，水面宽10 m. 突降暴雨后水面上升1 m时，此时水面宽度为多少？ 【师生活动】教师分析： (1) 建立合适的平面直角坐标系； (2) 将实际建筑数学化，数字化； (3) 明确具体的数量关系，如函数解析式； (4) 分析所求问题，代入解析式求解。 教师提出问题： (1)水面下降1m的含义是什么？怎样把距离转化成坐标？如何求宽度增加多少？你能先在图中建立一个恰当的平面直角坐标系，使抛物线形拱桥转化为坐标系中的抛物线吗？ (2)你还有其他的解决方法吗？ 学生完成并交流展示． 解：以拱顶为坐标原点建立如图所示的直角坐标系. 设抛物线解析式为y=ax2. 将点(5，-4)代入解析式， 可得-4=a×52.解得a =−. 因此，这条抛物线对应的二次函数 为y=−x2. 当水面上升1 m时，水面的纵坐标为-3. 所以当y=−3时，x=±， 因此，此时水面宽度为5√3 m. 【归纳】1.将线段长度转化为点的坐标问题． 2.利用点的坐标以及抛物线的特点，设出函数解析式并求解． 3.利用函数解析式求点的坐标，转化为线段的长度． 3.学以致用，应用新知 【例1】如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为________米． 解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为y＝ax2，把点(2，－2)代入，得－2＝a×22，a＝－，∴y＝－x2，当y＝－3时，－x2＝－3，x＝±.故答案为2. 答案：2 【例2】如图，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方A，B距地面高都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子C处，求绳子的最低点距地面的距离为多少米？ 解：建立如图所示的平面直角坐标系．可设它的函数解析式为y＝ax2＋k.把B(1，2.5)，C(－0.5，1)代入，可求得a＝2，k＝0.5，∴抛物线的解析式为y＝2x2＋0.5.∵a＝2＞0，∴y有最小值，∴当x＝0时，y最小＝0.5. 答：绳子的最低点距地面的距离为0.5m． 4.随堂训练，巩固新知 （1）欢欢在今年的校运会跳远比赛中跳出了满意的一跳，函数h＝3.5t－4.9t2(t的单位：s，h的单位：m)可以描述她跳跃时重心高度随时间的变化关系，则她起跳后到重心到达最高时所用的时间是___s. 答案： （2）某学校九年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3m. ①建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ ②此时，若对方队员乙在甲面前1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，则他能否获得成功？ 解：①能投中； ②当x＝1时，y＝3＜3.1，∴能成功． 5.课堂小结，自我完善 利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤： ①建立适当的直角坐标系；②写出抛物线上的关键点的坐标；③运用待定系数法求出函数解析式；④求解数学问题；⑤求解抛物线形实际问题。 6.布置作业 课本P54练习。 二次函数在拱桥等抛物线型问题中的应用也十分广泛。 在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立合适的平面直角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；(4)利用函数关系式解决实际问题． 引导学生独立完成并交流，教师适时指点。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 板书设计 抛物线形问题 利用二次函数可以求各种抛物线型问题。 教后反思 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策。 学科网（北京）股份有限公司 $