1.3全等三角形的判定（分层作业·思维拔高，6大题型）数学新教材苏科版八年级上册

分层作业 1.3 全等三角形的判定 C组|运用层级|思维拔高 目 录 C组 思维拔高 题型01 全等三角形的综合应用——构造全等三角形解决问题 题型02 全等三角形的综合应用——构造全等三角形的常规辅助线（截长补短法） 题型03 全等三角形的综合应用——全等与倍长中线模型 题型04 全等三角形的综合应用——构造全等三角形的常规辅助线（作垂线法） 题型05 全等三角形的综合应用——全等与旋转、垂直模型 题型06 全等三角形的综合应用——全等三角形中的类比探究题 全等三角形的综合应用——构造全等三角形解决问题题型01 1．（24-25八年级上·河南安阳·期末）在中，，边上的中线，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系问题，熟练掌握“倍长中线法”构造全等三角形是解题关键． 延长至，使，利用“边角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围． 【详解】解：如图，延长至，使， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ． A、错误，不符合题意； B、错误，不符合题意； C、错误，不符合题意； D、正确，符合题意． 故选：D． 2．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是____________． 【答案】全等三角形的对应边相等 【分析】连接AB，，可以证△AOB≌△COD（SAS），依据全等三角形的对应边相等得所以测量CD的长也就等于测量了工件内槽AB的长． 【详解】解：连接AB，，如图， ∵点O分别是AC、BD的中点， ∴OA＝OC，OB＝OD． 在△AOB和△COD中， OA＝OC，∠AOB＝∠COD（对顶角相等），OB＝OD， ∴△AOB≌△COD（SAS）． ∴CD＝AB（全等三角形的对应边相等）． 故答案为：全等三角形的对应边相等． 【点睛】本题考查全等三角形的应用，在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 3．，是的中点，平分，则的度数为______． 【答案】35° 【分析】过点作，证明RtRt，再根据，即可求得的度数． 【详解】解：如图，过点作， ∵平分，且是的中点， ∴， 又，且， ∴（HL）， ∴． 又∵，即，， ∴． 故答案为：. 【点睛】本题考查了角平分线的性质，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出全等三角形，再由全等三角形的性质解答． 4．ABCD中，，，E，F分别是BC，CD上的点，且，求证：． 【答案】 证明：延长至点，使，连接， 在和中， ， ，， ，， ，且，， ， ． 【分析】通过构造辅助线，在中找到点，使，连接，先证，再证，从而推导出与的关系． 【详解】略 5．已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E为△ABC内一点，连接AE，CE，CE⊥AE，过点B作BD⊥AE，交AE的延长线于D．    （1）如图1，求证BD=AE； （2）如图2，点H为BC中点，分别连接EH，DH，求∠EDH的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，点M为CH上的一点，连接EM，点F为EM的中点，连接FH，过点D作DG⊥FH，交FH的延长线于点G，若GH：FH=6：5，△FHM的面积为30，∠EHB=∠BHG，求线段EH的长． 【答案】 （1）证明：∵CE⊥AE，BD⊥AE， ∴∠AEC＝∠ADB＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ACE+CAE＝∠CAE+∠BAD＝90°， ∴∠ACE＝∠BAD， 在△CAE与△ABD中 ∴△CAE≌△ABD（AAS）， ∴AE＝BD； （2）∠EDH＝45°；（3）EH＝． 【分析】（1）根据全等三角形的判定得出△CAE≌△ABD，进而利用全等三角形的性质得出AE＝BD即可； （2）根据全等三角形的判定得出△AEH≌△BDH，进而利用全等三角形的性质解答即可； （3）过点M作MS⊥FH于点S，过点E作ER⊥FH，交HF的延长线于点R，过点E作ET∥BC，根据全等三角形判定和性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）连接AH ∵AB＝AC，BH＝CH， ∴∠BAH＝，∠AHB＝90°， ∴∠ABH＝∠BAH＝45°， ∴AH＝BH， ∵∠EAH＝∠BAH﹣∠BAD＝45°﹣∠BAD， ∠DBH＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD﹣∠ABH＝45°﹣∠BAD， ∴∠EAH＝∠DBH， 在△AEH与△BDH中 ∴△AEH≌△BDH（SAS）， ∴EH＝DH，∠AHE＝∠BHD， ∴∠AHE+∠EHB＝∠BHD+∠EHB＝90° 即∠EHD＝90°， ∴∠EDH＝∠DEH＝； （3）过点M作MS⊥FH于点S，过点E作ER⊥FH，交HF的延长线于点R，过点E作ET∥BC，交HR的延长线于点T． ∵DG⊥FH，ER⊥FH， ∴∠DGH＝∠ERH＝90°， ∴∠HDG+∠DHG＝90° ∵∠DHE＝90°， ∴∠EHR+∠DHG＝90°， ∴∠HDG＝∠HER 在△DHG与△HER中 ∴△DHG≌△HER （AAS）， ∴HG＝ER， ∵ET∥BC， ∴∠ETF＝∠BHG，∠EHB＝∠HET， ∠ETF＝∠FHM， ∵∠EHB＝∠BHG， ∴∠HET＝∠ETF， ∴HE＝HT， 在△EFT与△MFH中 ， ∴△EFT≌△MFH（AAS）， ∴HF＝FT， ∴， ∴ER＝MS， ∴HG＝ER＝MS， 设GH＝6k，FH＝5k，则HG＝ER＝MS＝6k， ， k＝， ∴FH=， ∴HE＝． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，属于压轴题． 全等三角形的综合应用——构造全等三角形的常规辅助线（截长补短法）题型02 1．如图，已知在中，平分，，则___________. （用含的代数式表示）. 【答案】a-b 【分析】在CB上截取CA′=CA，连接DA′，根据SAS证明△ADC≌△A′DC，根据△ADC≌△A′DC，得出DA′=DA，∠CA′D=∠A，再证明DA′=A′B即可解决问题. 【详解】在CB上截取CA′=CA，连接DA′， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠A′CD， 在△ADC和△A′DC中， ， ∴△ADC≌△A′DC（SAS）， ∴DA′=DA，∠CA′D=∠A， ∵∠A=2∠B，∠CA′D=∠B+∠A′DB， ∴∠A′DB=∠B， ∴BA′=A′D=AD， ∴BC=CA′+BA′=AC+AD ∴AD=BC-AC=a-b， 故答案为：a-b. 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 2．中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    【答案】 证明：， ， 、分别平分、， ，， ， ， ， 如图，在上截取，连接，    在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到，，在上截取，连接，分别证明，，得到，即可证明结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，做辅助线构造全等三角形是解题关键． 3．已知，在四边形中，分别是边上的点，且．    (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明） 【答案】(1) 补全图形，如图： ； (2)成立， 证明如下： 延长到点，使，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) 【分析】（1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：在上取一点，使，    ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴．’ 故答案为：． 4．ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求证：CD＝AB＋AD 【答案】 方法1：补短，构造全等 证明：延长BA至点E，使得AD＝AE，连接CE ∵AD⊥CD ∴∠D＝90° ∵∠B＝45°，∠ACB＝30° ∴∠EAC＝∠B＋∠ACB＝45°＋30°＝75° ∵CD平分∠ACB ∴∠ACD＝15° ∴∠DAC＝90°－15°＝75° ∴∠EAC＝∠DAC 在△ADC和△AEC中 ∵AD＝AE ∠EAC＝∠DAC AC＝AC ∴△ADC≌△AEC(SAS) ∴ EC＝CD，∠E＝∠D＝90°，∠ECA=∠ACD＝15° ∴∠ECB＝∠B＝45° ∴EC＝BE ∴EC＝BE＝CD ∴CD＝AB＋AE＝AB＋AD 方法2：补短，构造全等 证明：延长DA至点F，使得AF＝AB ∵∠B＝45°，∠ACB＝30° ∴∠BAC＝180－∠B－∠ACB＝180°－45°－30°＝105° ∵CD是∠ACB的角平分线 ∴∠ACD＝15° ∵AD⊥CD， ∴∠D=90°， ∴∠EAC＝∠D＋∠ACD＝90°＋15°＝105° ∴∠EAC＝∠BAC 在△ABC和△AEC中 AB＝AE ∠EAC＝∠BAC AC＝AC ∴△ABC≌△AEC（SAS） ∴∠E＝∠B＝45°, ∴∠ECD＝90°-∠E=∠B＝45° ∴CD＝DE＝AD＋AE＝AD＋AB 方法3：截长，构造全等 证明： 在CD上截取DE使得DE＝AD ∵AD⊥CD ∴∠AED＝45°，∠AEC＝135° 过点A作AF⊥AB交BC于点F ∵∠B=45°， ∴∠AFB＝∠B＝45°，∠AFC＝135° ∴AB＝AF，∠AEC＝∠AFC ∵CD平分∠ACB ∴∠ACD＝15° ∴∠DAC＝90°－∠ACD＝90°－15°＝75° ∴∠EAC＝∠DAC－∠DAE＝75°－45°＝30° ∴∠EAC＝∠ACF 在△AEC和△CFA中 ∠EAC＝∠ACF AC＝AC ∠AEC＝∠AFC ∴△AEC ≌ △CFA(ASA) ∴CE＝AF＝AB ∴CD＝DE＋CE＝AD＋AB 方法4：截长，构造全等 证明： 在CD上截取DE使得DE＝AD ∵AD⊥CD ∴∠AED＝45°，∠AEC＝135° 在CB延长上取点H，使得AH＝AC ∵∠ABC＝45° ∴∠ABH＝135° ∴∠ABH＝∠AEC ∵AH＝AC ∴∠H＝∠ACB＝30° ∵CD平分∠ACB ∴∠ACD＝15° ∴∠DAC＝90°－∠ACD＝90°－15°＝75° ∴∠EAC＝∠DAC－∠DAE＝75°－45°＝30° ∴∠H＝∠EAC 在△ABH和△CEA中 ∠H＝∠EAC AH＝AC ∠ABH＝∠AEC ∴△ABH ≌ △CEA(ASA) ∴AB＝CE ∴CD＝DE＋CE＝AD＋AB 【分析】遇到这种CD＝AB＋AD线段和差问题一般都是截长补短； 方法1：补短AB，构造BE＝AB＋AD，证明CD=BE即可； 方法2：补短AD，构造DF＝AB＋AD，证明CD=DF即可； 方法3：截长，在CD上截取DE使得DE＝AD，构造等腰直角三角形ABF，证明AF=EC即可； 方法4：截长，在CD上截取DE使得DE＝AD，在CB延长上取点H使得AH＝AC,证明AB=EC即可； 【详解】略 5．综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用    （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取线段，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 【答案】（1）， 理由：∵平分， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）①AC   ②DF，辅助线如图1所示． （3） 【分析】（1）利用证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论； （2）根据语言描述作出图形即可； （3）延长至点G，使，连接，利用证明，得出，，从而可证得．即可利用证明，得出，即可由求解． 【详解】（1） 略 （2）①AC    ②略 ② （3）如图2，延长至点G，使，连接，．    ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 全等三角形的综合应用——全等与倍长中线模型题型03 1．（25-26八年级上·内蒙古·月考）如图，在中，，，则上中线的取值范围为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一． 延长至E，使，连接．根据证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：延长至E，使，连接 ∵是上中线， ∴， ∵， ∴， ∴． 在中，， ∵，， ∴ 即， ∴ ∴． 故选C． 2．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，中，，点D为的中点，则的取值范围_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系．延长至点E，使，连接，证明，可得，然后在中，利用三角形的三边关系解答，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点E，使，连接， ∵点D为的中点， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 3．中，为边上的中线．    (1)按要求作图：延长到点E，使；连接． (2)求证：． (3)求证：． (4)若，，求的取值范围． 【答案】(1) 如图所示， (2) 证明：如图， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴． (3) 证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． (4) 【分析】（1）根据题目中语言描述画出图形即可； （2）直接利用证明即可； （3）根据，得，从而得出，再根据三角形三边关系即可得出，即可得出结论； （4）根据三角形三边关系得，又由，，，，代入即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）在中， ， 由（3）得 ，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及三角形三边的关系是解题的关键． 4．中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线. (1)如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围； 同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①根据题意，补全图形； ②由已知和作图能得到，其依据是______（用字母表示）； ③由三角形的三边关系可以求得的取值范围是______（直接填空）； (2)如图②，在和中，，，，连接，，若为的中线，猜想与的数量关系并说明理由． 【答案】(1) ①根据题意画出图形： ； ②； ③ (2) ，理由如下： 如图，延长，使得，连接， 根据（1）中原理可得， ，， ， ， ， ， ， ， ∴ ． 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系，解答本题的关键作出辅助线，构造出全等三角形． （1）①根据题意补全图形即可； ②由是中线得到，又，，通过“”可证．据此可解答； ③由，，根据三角形的三边关系有，即，因此； （2）延长，使得，连接，证明，可得，再证明即可． 【详解】（1）解：①略 ②解：是中线， ， 在和中， ， ． 故答案为：； ③解：， ， ， ，即， ， ， ． 故答案为：； （2）略 5．（1）已知如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． （2）思考：已知如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2）且 【分析】（1）用倍长中线模型，构造全等三角形，即可求出中线的取值范围； （2）用倍长中线模型，通过证明三角形的全等，可求出线段与的数量和位置关系． 【详解】解：（1）如下图，延长，使得，则， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，可得：， 即， ∵， ∴， ∴， ∴边上的中线的取值范围为：； （2）且，证明如下： 如下图，延长，使得，延长与交于点H， 由（1）可易证， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，   ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，且． 【点睛】本题考查三角形中线的定义、三角形全等的判定和性质，用倍长中线模型添加辅助线是解本题的关键，综合性较强，难度较大． 全等三角形的综合应用——构造全等三角形的常规辅助线（作垂线法）题型04 1．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝45°．点D在AB上，点E在BC上，且AE⊥CD，若AE＝CD，BE：CE＝5：6，S△BDE＝75，则S△ABC＝_____． 【答案】440． 【分析】作DM⊥BC于M，AN⊥BC于N，利用AAS证出△AEN≌△CDM，从而得出AN＝CM，EN＝DM，设BE＝5a，用含a的式子分别表示各个线段的长度，根据三角形的面积公式即可求出a2，然后根据三角形的面积公式求面积即可． 【详解】解：作DM⊥BC于M，AN⊥BC于N，如图所示： 则∠CMD＝∠BMD＝∠ANE＝90°， ∵∠ABC＝45°， ∴△BDM、△BAN是等腰直角三角形， ∴BM＝DM，BN＝AN， ∵AE⊥CD， ∴∠AEN+∠EAN＝∠AEN+∠DCM＝90°， ∴∠EAN＝∠DCM， 在△AEN和△CDM中， ， ∴△AEN≌△CDM（AAS）， ∴AN＝CM，EN＝DM， ∴BN＝CM， ∴BM＝CN， ∴BM＝DM＝CN＝EN， ∵BE：CE＝5：6， ∴设BE＝5a， 则CE＝6a，BC＝BE+CE＝11a，BM＝DM＝CN＝EN＝CE＝3a，AN=CM＝BC﹣BM＝8a， ∴CD2＝DM2+CM2＝（3a）2+（8a）2＝73a2， ∵S△BDE＝BE×DM＝×5a×3a＝75， ∴a2＝10， ∴S△ABC＝BC×AN＝×11a ×8a＝44 a2＝440； 故答案为：440． 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质和求三角形的面积，掌握构造全等三角形的方法、三角形的面积公式和方程思想是解决此题的关键． 2．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形： (1)如图1，在△ABC中，∠BAC＝90° ， AB＝AC，直线m经过点A， BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E． 试猜想DE、 BD、CE 有怎样的数量关系，并说明理由． (2)组员小颖想，如果三个角不是直角，那结论是否成立呢？ 如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC中， AB＝AC， D、 A、B三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α (其中α为任意锐角或钝角)．如果成立，请你给出推理过程；若不成立，请说明理由． 【答案】 （1）， 证明：，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）成立，证明如下： ， ，且， ， 在和中， ， ， ，， ． 【分析】（1）由条件可证明，可得，，可得； （2）由条件可知，且，可得，结合条件可证明，同（1）可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到、是解题的关键． 3．中，，，，，延长交于.求证：. 【答案】 证明：如图，过点D作的延长线于点G， ， ， ， 又∵∠ACB=∠BGD=90°，BA=BD， ∴， ， 又∵BC=BE， ， 又∵∠EBF=∠DGF=90°，∠EFB=∠DFG， ∴， ∴EF=DF. 【分析】如图，过点D作的延长线于点G，易证，再证即可得答案. 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，学会添加常用辅助线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键. 4．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】①如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是_______． 【类比迁移】②如图2，当时，①中的结论是否仍然成立?请说明理由． 【拓展应用】 （2）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G，G是的中点吗?请说明理由． 【答案】（1）①； ②问题①中结论仍然成立，理由如下： ， ， ， 又，， ， ，， ； （2）G是的中点，理由如下： 如图，作于M，于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴点G是的中点． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握相关判定方法及性质是解题的关键． （1）①由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； ②由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （2）作于M，于N，先证，根据全等三角形的性质得到，同理，由此可得，再由此证明，由全等三角形的性质得到，于是得到点G是的中点． 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：； ②略 （2）略 全等三角形的综合应用——全等与旋转、垂直模型题型05 1．如图：，，，，连接与交于，则：①；②；③；正确的有（  ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用垂直的定义得到，则，于是可对①进行判断；利用“”可证明，于是可对②进行判断；利用全等的性质得到，则根据三角形内角和和对顶角相等得到，于是可对③进行判断． 【详解】解：，， ，， ， 即，所以①正确； 在和中， ， ，所以②正确； ， ∵∠AFD=∠MFB， ， ，所以③正确． 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 2．如图，已知：中，，，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F． （1）当EF与斜边BC不相交时，请证明如图； （2）如图2，当EF与斜边BC这样相交时，其他条件不变，证明：； 【答案】（1）证明：，， ， ，， ， 在和中， ≌， ，， ． （2）证明：，， ， ，， ， 在和中， ≌， ，， ∵， ∴ 【分析】（1）根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论； （2）根据（1）知道△BEA≌△AFC仍然成立，则BE=AF，AE=CF，就可以求出EF=BE-CF． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题． 全等三角形的综合应用——全等三角形中的类比探究题题型06 1．（1）如图1，ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D在CA上，点E在CB上，且CD=CE，则易证得AD与BE的数量关系是 ． （2）如图2，若把DCE绕点C顺时针旋转一定角度，连接AD、BE，判断AD与BE是否相等？若相等请证明；若不相等，说明理由． （3）如图3，若把ACB和CDE都改为一般的等腰三角形，且∠ACB=∠DCE，则AD=BE还成立吗？若成立，请给出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）AD=BE； （2）AD=BE，理由： ∵∠ACB=∠DCE=90° ∠ACD=∠ACB-∠DCB， ∠BCE=∠DCE-∠DCB， ∴∠ACD=∠BCE， 在△ACD和△BCE中， CA=CB， ∠ACD=∠BCE，CD=CE， ∴△ACD≌△BCE， ∴AD=BE； （3）AD=BE还成立，理由： ∵∠ACB=∠DCE， ∠ACD=∠ACB-∠DCB， ∠BCE=∠DCE-∠DCB， ∴∠ACD=∠BCE 在△ACD 和△BCE中 CA=CB，∠ACD=∠BCE，CD=CE， ∴△ACD≌△BCE． ∴AD=BE． 【分析】（1）根据CA=CB，CD=CE，即可得出结果； （2）根据题意证明△ACD≌△BCE，即可得出结果； （3）证明△ACD≌△BCE即可． 【详解】解：（1）∵CA=CB，CD=CE， ∴， 即AD=BE； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 2．我们知道：三角形全等的判定方法有：“”，面对于“”，课本第38页提供了如下材料： 思考：如图，把一长一短的两根木板的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木板，得到，这个实验说明了什么？    这个实验说明：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“”不一定成立．那么，什么情况下，“”成立呢？数学兴趣小组对两个三角形按角进行分类，展开了以下探究．        (1)如果这两个三角形都是直角三角形，则“”成立．如图1，在和中，．根据________，可直接证得； (2)如果这两个三角形都是锐角三角形，则“”也成立，如图2，在锐角和锐角中，．求证：． 证明：作，垂足分别为G，H， 在和中，． ∴． …… 请你完成余下的证明过程： (3)如果这两个三角形都是钝角三角形，则“”仍然成立．如图3，在钝角和钝角中，，求证：．请简要叙述你的证明思路． 【答案】(1) (2) 证明：作，垂足分别为G，H， 在和中， ， ∴．， ∴， 同理可证，， ∴， ∴，即， ∴； (3) 证明：延长，过点A作，延长，过点D作，如图所示，    ∵，， ∴， ∴. ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【分析】（1）根据题意即可得出； （2）同理可证，再根据即可证明； （3）根据条件证明和即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：根据，可证得； （2）略． （3）略． 【点睛】本题考查三角形全等的应用，正确理解题意是关键． 3．（24-25七年级下·河南·期末）张老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是张老师在“利用角的对称性构造全等模型”开展的微专题探究活动，请仔绍阅读，并完成相应任务． 活动1：用直尺和圆规作已知角的平分线，如图所示，则由，可得． 活动2：如图2，在中，，是的角平分线，在上截取，连接，则． 请完成下列任务： (1)在活动1、活动2中，判定三角形全等的依据依次是______，______填序号 ①  ②  ③  ④ (2)【迁移探究】 如图3，在四边形中，，的平分线与的平分线恰好交于边上的点，试判断与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展探究】 如图4，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)④；① (2)， 理由如下： 在上截取，连接，如图3所示： ， ， ， 的平分线与的平分线恰好交于边上的点， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； (3)， 理由如下： 在上截取，连接，如图4所示： 在中，， ， ，是的两条角平分线，且交于点， ，， ， 是的外角， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， . 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，理解角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）活动1：连接，，由尺规作图可知，，进而可依据“”判定和全等； 活动2：在上截取，连接，根据角平分线定义得，进而可依据“”判定和全等，由此即可得出答案； （2）在上截取，连接，根据得，根据角平分线定义得，，进而可依据“”判定和全等得，和全等得，由此可得出与的数量关系； （3）在上截取，连接，求出，则，，进而依据“”判定和全等得，，则，由此可依据“”判定和全等得，由此即可得出与之间的数量关系． 【详解】（1）活动1：连接，，如图1所示： 由尺规作图可知：，， 在和中， ， ； 活动2：在上截取，连接，如图2所示： 是的角平分线， ， 在和中， ， ， 故答案为：④；①； （2） 略 （3）略 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.3 全等三角形的判定 C组|运用层级|思维拔高 C组 思维拔高 题型01 全等三角形的综合应用——构造全等三角形解决问题 题型02 全等三角形的综合应用——构造全等三角形的常规辅助线（截长补短法） 题型03 全等三角形的综合应用——全等与倍长中线模型 题型04 全等三角形的综合应用——构造全等三角形的常规辅助线（作垂线法） 题型05 全等三角形的综合应用——全等与旋转、垂直模型 题型06 全等三角形的综合应用——全等三角形中的类比探究题 全等三角形的综合应用——构造全等三角形解决问题题型01 1．（24-25八年级上·河南安阳·期末）在中，，边上的中线，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是____________． 3．，是的中点，平分，则的度数为______． 4．ABCD中，，，E，F分别是BC，CD上的点，且，求证：． 5．已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E为△ABC内一点，连接AE，CE，CE⊥AE，过点B作BD⊥AE，交AE的延长线于D．    （1）如图1，求证BD=AE； （2）如图2，点H为BC中点，分别连接EH，DH，求∠EDH的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，点M为CH上的一点，连接EM，点F为EM的中点，连接FH，过点D作DG⊥FH，交FH的延长线于点G，若GH：FH=6：5，△FHM的面积为30，∠EHB=∠BHG，求线段EH的长． 全等三角形的综合应用——构造全等三角形的常规辅助线（截长补短法）题型02 1．如图，已知在中，平分，，则___________. （用含的代数式表示）. 2．中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    3．已知，在四边形中，分别是边上的点，且．    (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明） 4．ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求证：CD＝AB＋AD 5．综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用    （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取线段，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 全等三角形的综合应用——全等与倍长中线模型题型03 1．（25-26八年级上·内蒙古·月考）如图，在中，，，则上中线的取值范围为（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，中，，点D为的中点，则的取值范围_______． 3．中，为边上的中线．    (1)按要求作图：延长到点E，使；连接． (2)求证：． (3)求证：． (4)若，，求的取值范围． 4．中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线. (1)如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围； 同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①根据题意，补全图形； ②由已知和作图能得到，其依据是______（用字母表示）； ③由三角形的三边关系可以求得的取值范围是______（直接填空）； (2)如图②，在和中，，，，连接，，若为的中线，猜想与的数量关系并说明理由． 5．（1）已知如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． （2）思考：已知如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 全等三角形的综合应用——构造全等三角形的常规辅助线（作垂线法）题型04 1．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝45°．点D在AB上，点E在BC上，且AE⊥CD，若AE＝CD，BE：CE＝5：6，S△BDE＝75，则S△ABC＝_____． 2．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形： (1)如图1，在△ABC中，∠BAC＝90° ， AB＝AC，直线m经过点A， BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E． 试猜想DE、 BD、CE 有怎样的数量关系，并说明理由． (2)组员小颖想，如果三个角不是直角，那结论是否成立呢？ 如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC中， AB＝AC， D、 A、B三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α (其中α为任意锐角或钝角)．如果成立，请你给出推理过程；若不成立，请说明理由． 3．中，，，，，延长交于.求证：. 4．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】①如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是_______． 【类比迁移】②如图2，当时，①中的结论是否仍然成立?请说明理由． 【拓展应用】 （2）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G，G是的中点吗?请说明理由． 全等三角形的综合应用——全等与旋转、垂直模型题型05 1．如图：，，，，连接与交于，则：①；②；③；正确的有（  ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图，已知：中，，，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F． （1）当EF与斜边BC不相交时，请证明如图； （2）如图2，当EF与斜边BC这样相交时，其他条件不变，证明：； 全等三角形的综合应用——全等三角形中的类比探究题题型06 1．（1）如图1，ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D在CA上，点E在CB上，且CD=CE，则易证得AD与BE的数量关系是 ． （2）如图2，若把DCE绕点C顺时针旋转一定角度，连接AD、BE，判断AD与BE是否相等？若相等请证明；若不相等，说明理由． （3）如图3，若把ACB和CDE都改为一般的等腰三角形，且∠ACB=∠DCE，则AD=BE还成立吗？若成立，请给出证明过程；若不成立，请说明理由． 2．我们知道：三角形全等的判定方法有：“”，面对于“”，课本第38页提供了如下材料： 思考：如图，把一长一短的两根木板的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木板，得到，这个实验说明了什么？    这个实验说明：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“”不一定成立．那么，什么情况下，“”成立呢？数学兴趣小组对两个三角形按角进行分类，展开了以下探究．        (1)如果这两个三角形都是直角三角形，则“”成立．如图1，在和中，．根据________，可直接证得； (2)如果这两个三角形都是锐角三角形，则“”也成立，如图2，在锐角和锐角中，．求证：． 证明：作，垂足分别为G，H， 在和中，． ∴． …… 请你完成余下的证明过程： (3)如果这两个三角形都是钝角三角形，则“”仍然成立．如图3，在钝角和钝角中，，求证：．请简要叙述你的证明思路． 3．（24-25七年级下·河南·期末）张老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是张老师在“利用角的对称性构造全等模型”开展的微专题探究活动，请仔绍阅读，并完成相应任务． 活动1：用直尺和圆规作已知角的平分线，如图所示，则由，可得． 活动2：如图2，在中，，是的角平分线，在上截取，连接，则． 请完成下列任务： (1)在活动1、活动2中，判定三角形全等的依据依次是______，______填序号 ①  ②  ③  ④ (2)【迁移探究】 如图3，在四边形中，，的平分线与的平分线恰好交于边上的点，试判断与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展探究】 如图4，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $