1.3全等三角形的判定（分层作业·能力进阶，22大题型）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 本同步练习为全等三角形判定B组能力进阶训练，通过22个题型实现从单一判定方法到综合应用的梯度设计，强化知识迁移与实际问题解决能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |B组（掌握层级）|单一判定方法（SAS/ASA/AAS/SSS/HL）的直接应用到综合应用（网格角度、开放条件、实际测量等）|题型聚焦判定与性质结合，如“利用SAS求角的度数”；融入生活情境（假山距离测量）和跨知识综合（尺规作图），培养几何直观与推理能力。|

分层作业 1.3 全等三角形的判定 B组|掌握层级|能力进阶 目 录 B组 能力进阶 题型01 SAS的有关应用 题型02 用SAS和全等的性质求角的度数 题型03 用SAS和全等的性质证明线段相等 题型04 用ASA或AAS和全等的性质求线段的长度 题型05 用ASA或AAS和全等的性质证明线段相等 题型06 利用SSS和全等的性质求角的度数 题型07 利用SSS和全等的性质证明角相等 题型08 利用SSS和全等的性质证明线段相等 题型09 添加木条使多边形木架稳定 题型10 利用HL和全等的性质求线段的长度 题型11 利用HL和全等的性质求角的度数 题型12 利用HL和全等的性质证明线段相等 题型13 利用全等图形求网格中角度之和 题型14 全等三角形的综合应用——辨析判断添加条件能否判定全等 题型15 全等三角形的综合应用——开放补充一个条件使三角形全等 题型16 全等三角形的综合应用——灵活选用方法证明三角形全等 题型17 全等三角形的综合应用——结合尺规作图的全等问题 题型18 全等三角形的综合应用——利用全等性质求角度、面积与坐标 题型19 全等三角形的综合应用——数全等三角形的对数 题型20 全等三角形的综合应用——判定方法的概念与命题辨析 题型21 全等三角形的综合应用——利用全等三角形的判定与性质确定线段间的数量与位置关系 题型22 全等三角形的综合应用——全等判定在实际测量复原中的应用 SAS的有关应用题型01 1．如图，公园里有一座假山，要测假山两端 A ， B 的距离，先在平地上取一个可直接到达 A 和 B 的点 C ，分别延长 AC ， BC 到 D ， E ，使CD CA ， CE CB ， 连接 DE ．这样就可利用三角形全等，通过量出 DE 的长得到假山两端 A ， B 的距离．其中说明两个三角形全等的依据是（   ）    A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS 【答案】D 【分析】图形中隐含对顶角的条件，利用两边且夹角相等容易得到两个三角形全等． 【详解】解：根据题意可得： 在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DCE（SAS）， ∴AB=DE， ∴依据是SAS， 故选：D．    【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等解决实际问题． 2．（25-26八年级上·湖南永州·期末）同学们在物理实验中用蜡烛探究小孔成像的原理，发现小孔在某一位置时，．已知蜡烛火焰成的像的高度为，则蜡烛实际的火焰的高度为______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的 判定和性质是解题的关键．利用可证，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵由图可知，和为对顶角， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·北京·期中）如图，点、、、在一条直线上，，，，证明：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，线段的和差，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 根据线段的和与差得出相等边，根据平行线的性质得出相等角，然后利用边角边证明，即可得出结论． 【详解】略 4．在学习“利用三角形全等测距离”之后，七一班数学实践活动中，张老师让同学们测量池塘A，B之间的距离（无法直接测量） 小颖设计的方案是：先过点A作的垂线，在上顺次截取，使，然后过点D作，连接并延长交于点E，则的长度即为的长度． (1)小颖的作法你同意吗？并说明理由； (2)如果利用全等三角形去解决这个问题，请你设计一个与小颖全等依据不同的方案，并画出图形． 【答案】(1) 同意小颖的作法，理由如下： ∵DN⊥AD，AB⊥AM， ∴∠CDE=∠CAB=90°， 又∵∠ACB=∠DCE，AC=DC， ∴△ABC≌△DEC（ASA）， ∴DE=AB， ∴同意小颖的作法； (2) 过点A作射线AP，在线段AP上取两点C、D使得AC=DC，连接BC并延长到E使得EC=BC，连接DE，则DE的长即为AB的长； ∵EC=BC，AC=DC，∠ACB=∠DCE， ∴△ACB≌△DCE（SAS）， ∴AB=DE； 【分析】（1）只需要利用ASA证明△ABC≌△DEC即可得到答案； （2）过点A作射线AP，在线段AP上取两点C、D使得AC=DC，连接BC并延长到E使得EC=BC，连接DE，则DE的长即为AB的长． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定是解题的关键． 5．是的角平分线． (1)若，求证：； (2)当时，与的数量关系如何？说说你的理由． 【答案】(1) 证明：延长至E，使，连接. ∵， ∴. ∵平分， ∴. 在与中， , ∴. ∴. ∵， ∴ ∵， ∴. (2) . 理由：在的延长线上取点F，使，连接. ∴， 又∵， ∴. ∵， ∴. ∵是的角平分线， ∴， 在与中， ， ∴. ∴． 【分析】（1）延长至E，使，连接，运用证明，可得结论； （2）在的延长线上取点F，使，连接，根据推导得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质．正确的作出辅助线是解题关键． 用SAS和全等的性质求角的度数题型02 1．（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，在的正方形网格中，   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，如图，利用网格的特点证明，推出，可得． 【详解】解：如图， 由题意知，在和中， ， ， ， ， ， 故选：D． 2．，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 先证明，得到，再利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ， ， ， 故选：B． 3．，，，，求的大小． 【答案】 【分析】首先根据题意证明，然后根据全等三角形对应角相等即可求出的大小． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴在和中， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了三角形全等的性质和判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的性质和判定方法．全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)． 4．（25-26八年级·质检）如图，在中，分别是上的点，且．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：在和中， ， ． ， ， ． 5．中，，，D是AB边上一点点D与A，B不重合，连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE． 求证：≌； 当时，求的度数． 【答案】 （1）由题意可知：，， ， ， ， ， 在与中， ， ≌； （2）． 【分析】（1）由题意可知：，，由于，从而可得，根据SAS即可证明≌； （2）由≌可知：，，从而可求出的度数． 【详解】（1）略 （2），， ， 由（1）可知：， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质． 用SAS和全等的性质证明线段相等题型03 1．如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】在上取，然后证明，根据全等三角形对应边相等得到，再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解. 【详解】在上截取连接,    ， ， ∵点是平分线上的一点， ， 在和中, ， ， ， ， 解得 故选A. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系； 通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键. 2．数学实践活动课中，老师布置了“测量小口圆柱形瓶底部内径”的探究任务，某学习小组设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点O固定，现测得C，D之间的距离为，那么小口圆柱形瓶底部的内径____________．    【答案】75 【分析】根据题意证明进而求解即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：75． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握证明三角形全等是解题的关键． 3．（25-26八年级上·期末）如图，，，，求证∶ ． 【答案】 证明：∵， ∴, ∴， ∵， ∴ ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 根据证明即可得到． 【详解】略 4．（24-25七年级下·四川达州·月考）如图，在中，，D，E分别是的中点，连接相交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵D，E分别是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得成为解题的关键． （1）利用线段中点的定义得到，再证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）由（1）的结论得到，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴． 用ASA或AAS和全等的性质求线段的长度题型04 1．ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，CD=4，则线段DF的长度为(     ) A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】求出AD＝BD，根据∠FBD＋∠C＝90°，∠CAD＋∠C＝90°，推出∠FBD＝∠CAD，根据ASA证△FBD≌△CAD，推出CD＝DF即可． 【详解】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠ADB=∠AEB=∠ADC=90°， ∴∠EAF+∠AFE=90°，∠FBD+∠BFD=90°， ∵∠AFE=∠BFD， ∴∠EAF=∠FBD， ∵∠ADB=90°，∠ABC=45°， ∴∠BAD=45°=∠ABC， ∴AD=BD， 在△ADC和△BDF中 ， ∴△ADC≌△BDF， ∴DF=CD=4， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是找出能使三角形全等的条件． 2．ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=_____．    【答案】3 【分析】由已知条件易证△ABE≌△ACD，再根据全等三角形的性质得出结论． 【详解】△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（AAS）， ∴AD=AE=2，AC=AB=5， ∴CE=BD=AB﹣AD=3， 故答案为3． 3．如图，，，，，则等于__________． 【答案】3； 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，根据得到，结合角边角判定即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：3． 4．如图，，垂足分别为D，E．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：， ， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据垂直定义求出，根据等式性质求出，根据证明； （2）根据全等三角形的对应边相等得到，再根据，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明△ADC和全等的三个条件． 用ASA或AAS和全等的性质证明线段相等题型05 1．（25-26八年级·浙江台州·期末）如图，与相交于点，，，求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，关键是找到、所在的全等三角形．通过角的和运算得到，结合公共边和，利用判定，从而推出． 【详解】略 2．如图，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E．求证：BE=CD． 【答案】 证明：∵CD⊥AB于点D，BE⊥AC， ∴∠AEB=∠ADC=90°， 又∠A=∠A，AB=AC， ∴△ABE≌△ACD（AAS）． ∴CD=BE． 【分析】只要用全等判定“AAS”证明△ABE≌△ACD，则CD=BE易求． 【详解】略 【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 3．（24-25八年级上·甘肃天水·月考）如图，在中，于点E，于点D．求证： (1)； (2) 【答案】(1) 证明∶∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 在与中， ， ∴．． (2) 解：∵， ∴， ∴，即． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用证明三角形全等是解题的关键． （1）根据已知条件可得、以及，运用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，然后运用等量代换即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 4．命题：全等三角形的对应边上的高相等． (1)写成“如果……，那么……”： ； (2)根据所给图形写出已知、求证和证明过程．    【答案】(1)如果两个三角形是全等三角形，那么它们对应边上的高相等 (2) 已知：如图，，于， 于． 求证：． 证明：∵，， ∴， ∵， ∴，， 在和中 ∴， ∴． 【分析】（1）根据命题“如果……，那么……”的结构特征直接改写即可得到答案； （2）已知：如图，，于， 于．求证：．利用已知，根据两个三角形全等的判定与性质，由即可得到结论． 【详解】（1）解：如果两个三角形是全等三角形，那么它们对应边上的高相等； （2）略 【点睛】本题第一问考查将命题按照“如果……，那么……”结构改写，掌握定义即可解决问题；第二问考查两个三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解决问题的关键． 5．学习完三角形的知识后，轩轩想出了“作三角形一边中线”的一种尺规作图的作法，下面是具体过程． 已知：． 求作：边上的中线． 作法： ①分别以点B为圆心，长为半径；点C为圆心，长为半径在的下方作弧，两弧相交于P点． ②作射线，与交于D点，所以线段就是所求作的中线． 根据小明设计的尺规作图过程，完成下面问题． (1)尺规作图，补全图形；（保留作图痕迹） (2)求证：是的中线． 【答案】(1) 如图所示： (2) 证明：连接，． ∵，，， ． ∴． 又∵．， ∴， ∴， 是边上的中线． 【分析】本题考查了作图—基本作图（作一条线段等于已知线段）和平行四边形的判定与性质， （1）利用几何语言画出对应的几何图形； （2）利用作法得到，，先证明，再证明，问题得证． 【详解】（1）略 （2）略 利用SSS和全等的性质求角的度数题型06 1．___度． 【答案】65 【详解】解：∵以点A为圆心，以BC长为半径作弧；以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D， ∴AB=CD，BC=AD． 又∵AC=CA，∴△ABC≌△CDA（SSS）． ∴∠ADC=∠B=65°． 故答案为：65． 2．如图，中，，以点A为圆心，长为半径作弧；以点B为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点D，则的度数为__________． 【答案】34°或80° 【分析】由作法得，AD=BC，BD=AC，利用SSS证△ABD≌△BAD，得出∠ABD=∠BAC=23°，再分两种情况：当点D在AB上方时，当点D在AB下方时，分别求解即可． 【详解】解：由作法可知，AD=BC，BD=AC， 又∵AB=AB， ∴△ABD≌△BAC（SSS）， ∴∠ABD=∠BAC=23°， 当点D在AB上方时， ∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=57°-23°=34°； 当点D在AB下方时， ∴∠DBC=∠ABC+∠ABD=57°+23°=80°； ∴∠DBC的度数为34°或80°， 故答案为：34°或80°． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题意关键是要分类讨论，以免漏解． 3．（24-25八年级上·浙江温州·期中）已知：如图，点，在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ． 在和中 ． (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解全等三角形的判定和性质是解答关键． （1）由，利用线段的和差得到，由证明两个三角形全等即可； （2）由（1）可知，由全等三角形的性质得到，然后利用角的和差来求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ． 4． 如图①，在四边形ABCD中，，，点E，F分别是BC，CD上的点，且，试探究，之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为延长FD到点G，使，连接AG，先说明，再说明，则可得到，之间的数量关系是________________________． 【探索延伸】 （2）如图②，在四边形ABCD中，，，点E，F分别是BC，CD上的点．若，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（1） （2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：如图所示，延长到点，使得． ，， ． 在和中， ， ，， ． ， ． 在和中， ， ， ． 【分析】（1）延长到点，使得，连接．通过可证，根据全等三角形的性质得到，，再通过证明，根据全等三角形的性质得到，根据角的和差计算即可求解； （2）延长到点，使得．通过可证，根据全等三角形的性质得到，，再通过证明，根据全等三角形的性质得到，由此即可求解． 【详解】解：（1） 【提示】如图所示，延长到点，使得，连接． ， ． 在和中， ， ，． ，， ． 在和中， ， ． ， ． （2） 略 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，合理作出辅助线是解题的关键． 利用SSS和全等的性质证明角相等题型07 1．如图，，，求证：．    【答案】 证明：在和中， ， ∴ ∴． 【分析】根据三条边都对应相等的两个三角形是等边三角形即可证明． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定——边边边，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 2．（25-26八年级上·甘肃定西·月考）已知,D，C在上，且，求证： 【答案】 证明：， ，即． 在和中，， ， ． 【分析】本题考查了三角形全等的判定（）及全等三角形的性质，解题的关键是利用线段和差关系推导对应边，再结合已知边相等条件，通过判定三角形全等，进而利用全等三角形对应角相等证明． 由，根据等式性质在两边同时加，得，即；已知、，结合，可通过判定；根据全等三角形对应角相等，得． 【详解】略 3． 【答案】 证明：由BE＝CF可得BC＝EF， 又AB＝DE，AC＝DF， ∴△ABC≌△DEF（SSS）， 则∠B=∠DEF， ∴AB∥DE． 【分析】利用SSS证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得∠B=∠DEF，再由平行线的判定即可得AB∥DE． 【详解】略 4．如图，，，．求证：． 【答案】 证明：如图， 在和中， ， ≌， ， ，,， ． 【分析】由题意可证≌，可得，再根据三角形内角和即可得． 【详解】略． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 5．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，在四边形中，，点分别在边上，，，连接． (1)求证：平分； (2)若，求四边形的面积； (3)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) 证明：∵在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； (2)48 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质等知识，证明、是解题关键． （1）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论； （2）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，进而可知，然后由四边形的面积求解即可； （3）由可得，结合，可得，再结合即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形的面积； （3）∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 利用SSS和全等的性质证明线段相等题型08 1．油纸伞是中华民族传统工艺品之一，其截面如图所示，支撑杆，，当沿滑动时，油纸伞开闭，小亮由油纸伞的状态判断，，他的判定依据为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．证角相等，常常通过把角放到两个全等三角形中来证，本题公共边，可考虑证明三角形全等，从而推出角相等． 【详解】解：在与中， ， ∴， ∴， ∴他的判定依据为． 故选：C． 2．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图1，四边形中，．小文同学以图1中的四边形为“基本图形”，无缝隙、无重叠的拼成了如图2所示的图案，其外围轮廓恰好是一个正十边形，则的度数为__________． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形内角和，全等三角形的判定和性质． 根据题意可知，求出，根据正多边形内角和求出，连接，可知，进而求出，，即可求出的度数． 【详解】解：由题意可知， 解得， ∵外围轮廓恰好是一个正十边形， ∴， 如图，连接， ∵ ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）已知：如图，，，求证：平分．请完成下面的推理过程（填空）． 证明：在和中，    ______（______）， ， 平分． 【答案】；公共边；； 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据证明，得到，进而可得结论． 【详解】证明：在和中， ∵， ， ， 平分． 故答案为：；公共边；；． 4．，与相等吗？请在图中找出一对全等三角形，并说明理由． 【答案】与相等，，理由如下： ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 【详解】略 5．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）如图，点E在上，，．求证：． 【答案】 证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 根据条件证明，得出，再根据邻补角得出，证明，即可得出结论． 【详解】略 添加木条使多边形木架稳定题型09 1．（24-25七年级下·四川乐山·期末）如图，要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉上（   ）根木条． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的稳定性以及多边形，正确利用图形求解是解题关键． 三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形需把它分成三角形，即过六边形的一个顶点作对角线，有条对角线，就至少要钉上根木条． 【详解】解：过六边形的一个顶点作对角线，有条对角线， ∴至少要钉上3根木条． 故选C． 2．在手工课上，小杰用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个如图所示的木框，小杰发现相邻两木条的夹角均可调整，所以很容易变形，为了使木框不易变形，下列方案中最好的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的稳定性判断即可． 【详解】解：选项A，B，C中的加固方式都只含有四边形， 选项D中的加固方式形成了三角形，利用了三角形的稳定性， 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，解题的关键是从图中找到利用三角形固定的方式． 3．如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上_____根木条． 【答案】3 【分析】根据三角形的稳定性，要使六边形木架在同一平面内不变形，只要把六边形木架变成几个不重叠的三角形即可． 【详解】如图，过左上角的A点分别钉三根木条AB、AC、AD即可把六边形木架变成三个不重叠的三角形． 故答案为3． 【点睛】本题考查三角形的稳定性，通过多观察、多思考、多练习熟练掌握三角形稳定性的应用是解题关键． 4．（24-25八年级上·安徽安庆·月考）如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使七边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，又至少要钉多少根木条？请带着这些问题开始探究活动．    多边形木架的边数 至少要钉木条的根数 … ▲ 根据以上信息，解答下列问题． （1）要使十二边形的木架不变形，应至少要钉______根木条． （2）表格中的“▲”处填_____．（用含n的代数式表示） （3）有一个多边形，至少要钉上18根木条，才能使它不变形．则这个多边形的边数是_____． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查三角形的稳定性，图形类规律问题； （1）利用三角形具有稳定性即可解答； （2）根据（1）中的结论代入计算即可求解； （3）根据（1）中的结论可知，有18根木条，则多边形的边数为，即可求解． 【详解】解：（1）如下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 2 3 … （根）， ∴要使十二边形木架不变形，至少要钉上9根木条， 故答案为：． （2）由（1）进而得表格中的“▲”处填 故答案为：． （3）解：， ∴这个多边形的边数是21， 故答案为：21． 5．（24-25八年级上·江西赣州·期中）若一个正多边形除去一个外角后剩余的外角的和为． (1)求这个正多边形的边数与内角和的度数． (2)要使该正多边形具有稳定性，至少应添加几条线段？ 【答案】(1)9， (2)6条线段 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，关键是熟记多边形的内角和公式与外角和定理，三角形具有稳定性． （1）根据除去一个外角后剩余的外角的和为，求出这个外角的度数，即可求出这个正多边形的边数，再根据多边形内角和公式即可解答； （2）根据三角形具有稳定性结合过一个顶点作出所有对角线即可得解． 【详解】（1）解：多边形的外角和为， 除去的外角的度数为， 又正多边形每个外角都相等， 这个正多边形的边数为， 这个正多边形的内角和为； （2）解：要使正九边形具有稳定性，至少应添加条线段． 利用HL和全等的性质求线段的长度题型10 1．（24-25八年级上·山西长治·期中）如图，在中，，是边上一点，延长至点，使，连接．若，且的面积为7，则的长为（    ） A．4 B． C． D．7 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积等知识．由三角形面积求出，再证明，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，的面积， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：B． 2．中，，D是上一点，于点E，，连结，若，则等于________ 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山东·月考）如图，，，，，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段和射线上运动，且，当______时，以点A，P，Q为顶点的三角形与全等．    【答案】10或20 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定方法，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分情况讨论：当时，当时，由证明直角三角形全等，即可得出结果． 【详解】 分两种情况： 当时， 在和中 ； 当时， 在和中 ， 综上所述：当点P运动到或20时，与全等， 故答案为：10或20． 4．（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图，点在同一条直线上，，，， (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定、线段的和与差，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）利用全等三角形判定定理证明即可； （2）设，利用线段的和差列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，， 设， ∵， ∴， 解得 ∴的长为． 5．如图，与中，，，，过A作垂足为F，交的延长线于点G，连接．    (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 过点作于， ∵与中，， ∴， ∴， 又∵， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即平分； (2) 【分析】（1）先过点作于，判定，得出，再判定，即可得出； （2）先判定，得出，再根据，求得的面积，进而得到的长． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴的面积， ∵， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的面积相等． 利用HL和全等的性质求角的度数题型11 1．于点，交于点，于点，且．若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的内角和定理，先由、得到，然后结合，得证，进而得到，再利用求得的大小，最后求得的大小． 【详解】解：，， ， ，， ， ， ，， ， ． 故选：B． 2．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在四边形中，，，，则   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形的全等，四边形的内角和定理解答即可． 本题考查了直角三角形的全等，四边形的内角和定理，熟练掌握判定和定理是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．中，，点在边上，连接，分别过点作于点，交的延长线于点．若，则的度数是________． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，通过证明三角形全等得到对应角相等，再根据直角三角形的性质以及角之间的关系求出的度数即可. 【详解】解：， 是直角三角形 在和中 又 故答案为： ． 4．（25-26八年级上·山东临沂·月考）如图，点D在上，于点E，交于点F，．若，则______． 【答案】##55度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明得到，是解题的关键．利用证明得到，利用三角形外角的性质求出的度数，再利用三角形的外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 5．，，，，与交于点O． (1)求证：． (2)求． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即， ∵， 在和中， ， ∴； (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质， （1）根据证明两个三角形全等即可； （2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论； 解题的关键是掌握三角形全等的判定． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 利用HL和全等的性质证明线段相等题型12 1．.求证： .    【答案】详见解析 【分析】利用“HL”即可证得，再根据全等三角形的对应边相等即可完成. 【详解】证明　， 都是直角三角形． 在与中，， (全等三角形对应边相等)． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质，熟练掌握用“HL”证明两个直角三角形全等是解题关键. 2．（25-26八年级上·陕西安康·联考）如图，在中，，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线，，点E和点F分别为垂足，且．求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，先证明得到，再根据得到，即可得到，即． 【详解】略 3．如图，、、三点在一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵，，， 又∵AB=AB， ∴（HL）， ∴∠ABC=∠ABD， 又∵，BE=BE， ∴(SAS)， ∴． 【分析】先通过HL证明，从而得∠ABC=∠ABD，再证明，进而即可得到结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握SAS，HL证三角形全等是解题的关键． 4．（25-26八年级上·海南海口·期末）如图，已知锐角，为边上的高．利用直尺和圆规，根据要求作图，并解决后面的问题． (1)作的平分线交于点，交于点；（要求：保留作图痕迹，不需写作法和证明） (2)在（1）的条件下，若，，求证：． 【答案】(1) 解：如图射线即为所求； (2) 证明： ，为边上的高， ，， ， ， ， ， ， ， 即． 【分析】本题考查用直尺和圆规作角的平分线，三角形全等的判定和性质以及垂直的判定； （1）按用直尺和圆规作角平分线的步骤作图即可； （2）先证明得，结合对顶角证即可． 【详解】（1）略 （2）略 5．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，点B在线段上，点E在线段上，为的高，，． (1)求证：； (2)如图：于F，于G，探究与的关系，并证明你的结论． 【答案】(1) 证明：∵为的高， ∴， 在和中， ∵，，， ∴； (2) 解：且，证明如下： ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 综上所述，与的关系为且． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质： （1）利用证明，即可； （2）根据全等三角形的性质可得，，再由，可得，再证明，可得，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 利用全等图形求网格中角度之和题型13 1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线是它的对称轴，下列结论中：①；②；③；④．正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角的和差等知识点，根据网格发现全等三角形以及相等的角是解题的关键． 根据网格提供的信息，结合全等三角形的判定与性质、角的和差以及等量代换逐个判断即可． 【详解】解： 由图形可知：，则，即①正确； 由图形可知：，则， ∴，即②正确； 由，但，则与不全等， ∴，故③错误； 由图形可知：，则，即④正确． 综上，正确的有3个． 故选B． 2．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在的方格纸中_____． 【答案】 【分析】取格点、、、、，容易证明，则，结合可得，． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度． 【答案】135 【分析】首先利用全等三角形的判定和性质求出的值，即可得出答案； 【详解】如图所示， 在△ACB和△DCE中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了全等图形的应用，准确分析计算是解题的关键． 4．的正方形，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形全等的性质的运用：由三角形全等得角相等．认真观察图形，发现并利用全等三角形是正确解决本题的关键． 由图可找出多对全等三角形，对应多对角的和是，再相加即可． 【详解】解：根据全等三角形的性质可知， 与的余角相等，也就是与互余， 同理：与互余．与互余，与互余，与互余，与互余，又， 、、、、、、， ． 全等三角形的综合应用——辨析判断添加条件能否判定全等题型14 1．D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD的是（ ） A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD 【答案】D 【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可． 【详解】解：∵AB＝AC，∠A为公共角， A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意； B、如添AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意； C、如添BD＝CE，等量关系可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意； D、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理． 2．    ） A．两条直角边分别相等 B．斜边和一个锐角分别相等 C．两个锐角分别相等 D．斜边和一条直角边分别相等 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理，，，逐项分析即可求解． 【详解】解：A、两条直角边分别相等的两个直角三角形，根据可证明这两个直角三角形是全等三角形，故A选项不符合题意； B、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形，根据可证明这两个直角三角形是全等三角形，故B选项不符合题意； C、两个锐角分别相等的两个直角三角形，不能得出这两个直角三角形是全等三角形，故C选项符合题意； D、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形，根据可证明这两个直角三角形是全等三角形，故D选项不符合题意； 故选： C． 3．（24-25八年级上·云南·期中）如图，点，，，四点在同一条直线上，且，，则添加一个条件后，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定等知识点的理解和掌握，分别判断选项所添加的条件，再根据三角形全等的判定定理：进行判断即可． 【详解】∵ ∴ ∴ A、∵，，，∴，故该选项正确； B、∵，，，∴，故该选项正确； C、添加，无法判断，故该选项不正确； D、∵，，∴，故该选项正确； 故选：C． 4．△ABC的是（    ） A．AB=5，BC=4，AC=10 B．∠A=45°，∠C=60°，BC=8 C．∠A=80°，AB=6，BC=7 D．∠C=90°，AB=9 【答案】B 【分析】要满足唯一画出△ABC，就要求选项给出的条件符合三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的图形不一样，也就是三角形不唯一，而各选项中只有C选项符合ASA，是满足题目要求的，于是答案可得． 【详解】解：A、因为AB+BC＜AC，所以这三边不能构成三角形； B、已知两角可得到第三个角的度数，已知一边，则可以根据ASA来画一个三角形； C、因为∠A不是已知两边的夹角，无法确定其他角的度数与边的长度； D、只有一个角和一个边无法根据此作出一个三角形． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定及三角形的作图方法等知识点；能画出唯一三角形的条件一定要满足三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的三角形不确定，当然不唯一． 5．填表． 已知两个对应相等的边或角 应寻找的条件 证明三角形全等的依据 两  边 SAS SSS 一角及其对边 AAS 一角及其邻边 SAS AAS或ASA 两  角 ASA或AAS 【答案】依次填：夹角，第三边，角，另一邻边，另一个角，边 【详解】试题解析：依次填：夹角，第三边，角，另一邻边，另一个角，边. 故答案为夹角，第三边，角，另一邻边，另一个角，边. 全等三角形的综合应用——开放补充一个条件使三角形全等题型15 1．（25-26八年级·期末）如图，已知，要使，还需要添加一个条件，你添加的条件是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查用三边对应相等判定三角形全等，根据图形找到相关的条件是解题关键．已知，公共边，只需要再添加一组对应边相等或两边的夹角相等即可． 【详解】解：添加， ∵，，， ∴． 添加 ∵，，， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 2．（25-26八年级上·期末）如图，已知交于点O，，那么添加条件_______后，就能判定． 【答案】或或 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据全等三角形的判定方法，添加条件即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：或或． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，、、、在同一直线上，，，要得到，还需要添加条件：________．（填写一个你认为正确的条件即可） 【答案】或或或（任选其一即可） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等． 已知两边相等，则可根据、或判断全等． 【详解】解：∵， ∴， ∵，要得到， ∴需要添加条件是或或或． 故答案为：或或或（任选其一即可）． 4．如图，中，，，垂足分别为交于点，请你添加一个适当的条件：_______，使． 【答案】或或 【分析】根据垂直定义及直角三角形的性质可知两组对应角相等，再根据找一组对应边对应相等即可解答 ．本题考查了垂直的定义，直角三角形的性质，全等三角形的判定，熟练运用全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：①添加，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ②添加，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ③添加，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， 故填空答案：或或． 5．CA＝CD，∠1＝∠2． (1)请你添加一个条件，使得△ABC≌△DEC．你添加的条件是 ； (2)添加条件后证明：△ABC≌△DEC． 【答案】（1）CB=CE（或∠B=∠E，∠A=∠D有一个即可）； （2）证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE， ∴∠ACB=∠ECD， 在△ABC和△DEC中 ， ∴△ABC≌△DEC． 【分析】（1）根据SAS即可得到答案； （2）根据等式的性质求出∠ACB=∠ECD，根据全等三角形的判定SAS证明即可． 【详解】（1）解：添加的条件为：CB=CE； （2）略 【点睛】本题主要考查对全等三角形的判定，等式的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地根据全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键． 全等三角形的综合应用——灵活选用方法证明三角形全等题型16 1．如图，已知，要说明． （1）若以“”为依据，则需添加一个条件是______； （2）若以“”为依据，则需添加一个条件是______； （3）若以“”为依据，则需添加一个条件是______． 【答案】 【分析】观察图形可知为公共边，已知，然后根据结合图形分别确定需要的条件即可． 【详解】解：∵， （1）若以“”为依据，则需添加一个条件是； 故答案为：； （2）若以“”为依据，则需添加一个条件是； 故答案为：； （3）若以“”为依据，则需添加一个条件是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 2．如图，是的边上的高，点E为上一点，且． (1)试说明； (2)若，求的面积． 【答案】(1) 证明：∵为边上的高． ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）利用判断出，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得出，求出和的长，则可求出答案． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的面积，掌握全等三角形的判定定理是解本题的关键． 3．如图，已知四个关系式：①AC＝DC；②BC＝EC；③∠DCA＝∠ECB：④AB＝DE． （1）从上面四个关系式中任取三个为条件，余下的一个为结论，组成一个命题．在组成的命题中真命题的个数是 　 　； （2）从（1）中选择一个真命题进行证明 已知：　 　． 求证：　 　． 证明：　 　． 【答案】（1）2； （2）若选①②③为条件，④为结论， 已知：AC＝DC，BC＝EC，∠DCA＝∠ECB． 求证：AB＝DE． 证明：∵∠DCA＝∠ECB， ∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE，即∠ACB=∠DCE， 在△ACB和△DCE中， ， ∴△ACB≌△DCE（SAS）， ∴AB＝DE． 【分析】（1）在4个条件中任取三个条件，共有4种情况，然后根据全等三角形的判定条件即可求出答案． （2）根据全等三角形的判定和性质证明即可． 【详解】解：（1）若①②③为条件，④为结论， 则可利用SAS证明△ACB≌△DCE，可得④； 若①②④为条件，③为结论， 则可利用SSS证明△ACB≌△DCE，可得③； 若①③④为条件，②为结论， 无法证明△ACB≌△DCE，则不可得②； 若②③④为条件，①为结论， 无法证明△ACB≌△DCE，则不可得①； ∴真命题的个数是2； （2）略 【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是找出所有情况出来，然后根据全等三角形的条件进行判断． 4．如图，教学楼与操场上的旗杆相距，小林同学从教学楼B点沿走到D点，一定时间后他到达P点，此时他测得和的夹角为，且，已知，旗杆的高为，请你求出教学楼的高度． 【答案】教学楼的高度为 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键．先证明，再结合证明，即可得到结论． 【详解】解：∵和的夹角为， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：教学楼的高度为． 全等三角形的综合应用——结合尺规作图的全等问题题型17 1．（25-26八年级上·四川广元·期中）如图是用尺规作的平分线的示意图，这样作图的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作角平分线的尺规作图，先理解题意，观察作图过程得，证明，则，即可作答． 【详解】解：观察作图过程得， ∴， ∴， 即平分， 故选：B． 2．如图，已知，点B为上一点，用尺规按如下过程作图：以点A为圆心，以任意长为半径作弧，交于点D，交于点E；以点B为圆心，以为半径作弧，交于点F；以点F为圆心，以为半径作弧，交前面的弧于点G；连接并延长交于点C，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据尺规作图求得，再利用三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可解决问题． 【详解】解：连接，，    根据题意得，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了基本作图，全等三角形性质和三角形的外角的性质等，解题的关键是掌握基本作图，熟练掌握三角形外角的性质． 3．已知：如图1，在中，．求作：射线，使得． 下面是小明设计的尺规作图过程． 作法：如图2， ①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于，两点； ②以点为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点； ③以点为圆心，长为半径作弧，两弧在内部交于点； ④作射线．所以射线就是所求作的射线． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：连接，． ，，． __________， __________， （__________）（填推理的依据）． 【答案】 （1）如图，射线即为所求作． （2），，同位角相等两直线平行 【分析】（1）根据要求作出图形即可． （2）利用全等三角形的性质证明即可． 【详解】解：（1）略 （2）连接，． ，，． ， ， （同位角相等两直线平行）． 故答案为：，，同位角相等两直线平行． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4．如题图，已知． (1)请根据“”作，使，其中点D在右侧，且（要求：尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）： (2)若，比的2倍小，求的度数． 【答案】(1)如图： (2) 【分析】（1）以点B为圆心，任意长度为半径作弧，分别交、于点E、F，再以点C为圆心，相同的半径作弧，交于点G，以点G为圆心，为半径作弧，交另一条弧于点O，连接并延长，再以点C为圆心，为半径作弧，交射线于点D，即可得，，连接，再利用“” ，即可求解； （2）由题意得，根据三角形内角和定理可得，求得，从而可得，由（1）可得，，即可求解． 【详解】（1）解：以点C为顶点，为的一条边，作，， 在和中， ， ∴． （2）解：∵比的2倍小， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得，， ∴． 【点睛】本题考查作图−三角形、全等三角形的判定、三角形内角和定理及解一元一次方程，熟练掌握全等三角形的判定和作三角形方法是解题的关键． 全等三角形的综合应用——利用全等性质求角度、面积题型18 1．（24-25八年级上·山东聊城·月考）如图，已知且，且，连接，分别过点，，作经过，两点的直线的垂线，垂足分别为，，，则按图中所标注的数据可计算图中实线围成的面积   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，，再利用梯形面积公式和三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵于F，于G，于H，    ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 同理，， ∴，， ∴， 梯形的面积为：， 三角形的面积为：， 三角形的面积为：， 实线围成的面积为： ， 故选：A． 2．如图，已知，，，求的度数． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质及三角形的内角和即可求解． 【详解】解：，， ， ， ． 【点睛】此题主要考查全等三角形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的对应角相等． 3．交于点，，点在线段上，，． (1)求证∶； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质． （1）根据，可得，即可得证； （2）根据全等三角形的性质，可得，根据三角形外角的性质，可得，再由求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 4．【问题背景】 如图，在中，，，为直线上一动点，连接．在直线右侧作，且． 【问题再现】 （1）如图1，当点在线段上时，过点作于点．判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； 【问题推广】 （2）如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点，过点作交的延长线于点．判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】 （3）如图3，当点在的延长线上时，过点作交的延长线于点，连接交于点．若，求的值． 【答案】（1），理由如下： ∵，， ∴，， ， 在与中 ， ， ， ∵， ∴； （2），理由如下： 如图2，过点作，交延长线于， ∵，， ∴，， ， 在与中， ， ， 又∵， ， 又在与中， ， ∴； （3） 【分析】（1）由“”可证，可得，然后结合即可得到； （2）过点作，交延长线于，由“”可证，可得，由“”可证，可得； （3）首先证明出，得到，，然后证明出，得到，，然后求出，，然后利用代入求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）∵， ∴设，， ∵，， ∴， ∴，， ， 在与中， ， ，， 又∵， ， 在与中， ， ∴，， ∴，， ∴， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 全等三角形的综合应用——数全等三角形的对数题型19 1．如图在△ABC中，AB=AC，D，E在BC上，BD=CE，图中全等三角形的对数为（  ）    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据AB=AC，得∠B=∠C，再由BD=CE，得△ABD≌△ACE，进一步推得△ABE≌△ACD. 【详解】解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 又BD=CE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴AD=AE ∵BD=CE， ∴BD+DE=CE+DE ∴BE=CD ∴△ABE≌△ACD（SSS）． 故选C． 【点睛】解题的关键是熟记普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等． 2．（24-25八年级上·四川南充·学情自测）下面四个三角形中，与图中的全等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题可得， A选项属于已知两边和其中一边的对角对应相等的情况，不能判定两个三角形全等，故本选项不符合题意； B选项中角的对边不相同，不能判定两个三角形全等，故本选项不符合题意； C选项中已知两边及两边的夹角对应相等，所以根据“”能判定全等，故本选项符合题意； D选项中两对应角的夹边不相等，不能判定两个三角形全等，故本选项不符合题意． 3．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，和交于，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据全等三角形的判定与性质证明即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴共有4对全等三角形， 故选：B． 4．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，，垂足分别为D、E，相交于O点，，连接，则图中全等的三角形共有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据证明和，再继续推理其他三角形全等即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴图中全等的三角形共有4对， 故选：D． 5．如图，，，则图中全等三角形有_________对．    【答案】6 【分析】图中共有6对全等三角形，分别为，，，，，，均可以运用全等三角形的判定证明． 【详解】解：连接，如图所示，   ， ， ， ， ， ，， ， 同理可证：， ， ，则共有6对 故答案为：6． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 全等三角形的综合应用——判定方法的概念与命题辨析题型20 1．下列表格中，填入“◎”处正确的是（    ） 已知：，且． 求证： 证明： 又， ∴ （◎）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据已知条件即可判断三角形全等的依据是. 【详解】证明：， ， ∵， ∴， 又， ， 故选：D 2．（25-26八年级上·期末）下列命题中，是假命题的是（   ） A．在同一平面内，如果直线，，那么 B．的三个内角中至少有一个角大于或等于 C．三角形的外角和等于 D．两条边与其中一条边的对角分别对应相等的两个三角形全等 【答案】D 【分析】本题考查了判断命题真假，三角形内角和定理的应用，三角形的外角的定义及性质，灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 依据平行线性质、三角形内角和定理、三角形外角和性质、三角形全等判定定理，逐一判断各命题真假，找出假命题． 【详解】解：∵在同一平面内，若直线，， ∴， 故A是真命题； 假设的三个内角都小于， 则三个内角和， 与三角形内角和定理矛盾， ∴的三个内角中至少有一个角大于或等于， 故B是真命题； 三角形的外角和等于，这是三角形的外角和的性质， 故C是真命题； “两条边与其中一条边的对角分别对应相等”无法判定两个三角形全等， 故D是假命题， 故选：D． 3．（25-26八年级上·山西朔州·期中）下列命题中，其逆命题为真命题的是（    ） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．全等三角形的对应边相等 D．两直线平行，同位角互补 【答案】C 【分析】本题考查了真假命题的判定，逆命题，全等三角形的判定，以及平行线的性质，掌握相关的知识点是解题关键．先写出每个选项的逆命题，再根据相关知识点判断其真假即可． 【详解】解：A、逆命题：如果两个角相等，那么它们是对顶角，但相等的角不一定是对顶角，逆命题是假命题，选项错误，不符合题意； B、逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么它们全等，但对应角相等的三角形不一定全等，逆命题是假命题，选项错误，不符合题意； C、逆命题：如果两个三角形的对应边相等，那么它们全等；根据全等判定，逆命题是真命题，选项正确，符合题意； D、逆命题：如果同位角互补，那么两直线平行，但同位角互补不一定导致平行，逆命题是假命题，选项错误，不符合题意； 故选：C． 4．和中,BE与AC相交于点M,与CF相交于点D,AB与CF相交于N,,给出下列结论：①；②CD=DN;③BE=CF；④△ACN≌△ABM．其中正确的结论是 (    )    A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【分析】先证明△ABE≌△ACF，据此可进行判断． 【详解】解：∵∠EAC=∠FAB ∴∠EAB=∠CAF 又∵∠E=∠F=90°，AE=AF ∴△ABE≌△ACF ∴∠B=∠C，BE=CF． 由△AEB≌△AFC知：∠B=∠C，AC=AB； 又∵∠CAB=∠BAC， ∴△ACN≌△ABM；（故④正确） 由于条件不足，无法证得②CD=DN；故正确的结论有：①③④； 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 5． 两个三角形全等的判定定理：___________对应相等的两个三角形全等（简写成“___________”或“”）；两边及其___________对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“___________”）；两个角及其___________对应相等的两个三角形全等（简写成“___________”或“”）．两角及其中一个角的___________对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“___________”）． 【答案】 三边 边边边 夹角 夹边 角边角 对边 【分析】根据全等三角形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“”）；两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“”）；两个角及其夹边相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“”）；两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“”）． 故答案：三边；边边边；夹角；；夹边；角边角；对边；． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 全等三角形的综合应用——利用全等三角形的判定与性质确定线段间的数量与位置关系题型21 1．如图，E、A、C三点共线，AB=CE，∠B=∠E，BC=DE． 求证：AB∥CD． 【答案】 证明：在△BAC和△ECD中， ， ∴△BAC≌△ECD（SAS）， ∴∠BAC=∠ECD， ∴AB∥CD． 【分析】首先利用SAS定理证明△BAC≌△ECD，然后根据全等三角形对应角相等求得∠BAC=∠ECD，再根据内错角相等可得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质，解题关键是掌握全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具． 2．中，，，，E、F分别是上的点且，探究图中线段、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； （2）探索延伸：如图2，若在四边形中，，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？说明理由； （3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以80海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进．小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为（即：），试直接写出此时两舰艇之间的距离． 【答案】（1）； （2）结论：仍然成立，理由如下： 延长到点G，使，连结，如图， 在和中， ， ， 在和 中， ， ； （3）此时两舰艇之间的距离是海里． 【分析】（1）延长到点G，使，连结，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2） 延长到点G，使，连结，即可证明可得 再证明可得即可解题； （3）连接，延长相交于点C，然后与（2）同理可证． 主要考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，实际问题的转化，本题中求证是解题的关键． 【详解】解：（1）理由如下： 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∵； 故答案为：； （2） 略 （3）如图， 连接，延长相交于点C， ，， 又∵，， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论：成立， 即海里． ∴此时两舰艇之间的距离是海里． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，将沿着斜边翻折得到，点、分别是射线、射线上的点，且． 【初步探索】如图，点在线段上，试探究线段、、之间的数量关系． 小华同学探究此问题的思路是：延长至点，使得，连接，先证明，再证明，则可得、、之间的数量关系是 ； 【探索延伸】如图，点在线段的延长线上，上述结论还成立吗？ 若成立给予证明，若不成立请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【灵活运用】在中，若，，，，则的周长为 ． 【答案】“初步探索”： “探索延伸”： 如图，点在线段的延长线上，上述结论不再成立， 此时，线段、、之间的数量关系为：，理由如下： 在上截取，连接， 将沿着斜边翻折得到， ，，， ， 又， ， ， ， ，， ，， ， ，， 又， ，， ， ， 又， ， ， 即：， ， ， ， 答：上述结论不再成立，； “灵活运用”：或 【分析】“初步探索”：利用易证得，于是可得，，再次利用可证得，于是可得，进而可证得； “探索延伸”：在上截取，连接，利用易证得，于是可得，，再次利用可证得，于是可得，进而可证得； “灵活运用”：分两种情况讨论：点在线段上；点在线段的延长线上；分别根据轴对称的性质、已知条件及“初步探索”、“探索延伸”的结论，即可求出的周长． 【详解】解：“初步探索”： 如图， ，理由如下： 将沿着斜边翻折得到， ，，， ， 又， ， ， ， ，， ，， ， ，， ，， ， ， ， 又， ， ， 即：， ， ， 故答案为：； “探索延伸”： 略 “灵活运用”： 分两种情况： 点在线段上， 将沿着斜边翻折得到， ， 由“初步探索”可得：， 的周长 ； 点在线段的延长线上， 将沿着斜边翻折得到， ， ， ， 由“探索延伸”可得：， 的周长 ； 综上所述，的周长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，利用邻补角互补求角度，全等三角形的判定与性质，等式的性质等知识点，适当添加辅助线构造全等三角形并运用分类讨论思想是解题的关键． 全等三角形的综合应用——全等判定在实际测量复原中的应用题型22 1．如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形． 【详解】解：此玻璃，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定． 故选：D． 2．ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（ ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定可作出选择. 【详解】解：在△ADC和△ABC中， ， ∴△ADC≌△ABC（SSS）， ∴∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE． ∴AE是∠PRQ的平分线 故选D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键. 3．某中学八年级学生进行课外实践活动，要测池塘两端A，B的距离，因无法直接测量，经小组讨论决定，先在地上取一个可以直接到达A，B两点的点O，连接AO并延长到点C，使AO＝CO；连接BO并延长到点D，使BO＝DO，连接CD并测出它的长度． （1）根据题中描述，画出图形； （2）CD的长度就是A，B两点之间的距离，请说明理由． 【答案】 （1）图形如图所示： （2）连接AB． 在△AOB和△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（SAS）， ∴AB＝CD， ∴CD的长度就是A，B两点之间的距离． 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）利用全等三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用全等三角形的性质解决问题． 4．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，数学活动实践课上，小浩在旗杆 与某栋楼之间选定一点 (点B，，D在同一水平线上)，于点D，于点B，他在点处用智能测量仪测得，，求楼的高度． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的应用，理解题意，熟练掌握利用全等三角形的性质测高是解答的关键．证明 得到，进而求解即可． 【详解】解：∵， ， 在和中， ， ， ， ， ， 答：楼的高度为． 5．如图，小明坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？ 【答案】(1) 解：与全等，理由如下： 由题意知，，， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意知，，，由，可得，证明即可； （2）由（1）知，则，由题意知，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ∴， 由题意知，， ∴， ∴爸爸是在距离地面的地方接住小明的． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.3 全等三角形的判定 B组|掌握层级|能力进阶 目 录 B组 能力进阶 题型01 SAS的有关应用 题型02 用SAS和全等的性质求角的度数 题型03 用SAS和全等的性质证明线段相等 题型04 用ASA或AAS和全等的性质求线段的长度 题型05 用ASA或AAS和全等的性质证明线段相等 题型06 利用SSS和全等的性质求角的度数 题型07 利用SSS和全等的性质证明角相等 题型08 利用SSS和全等的性质证明线段相等 题型09 添加木条使多边形木架稳定 题型10 利用HL和全等的性质求线段的长度 题型11 利用HL和全等的性质求角的度数 题型12 利用HL和全等的性质证明线段相等 题型13 利用全等图形求网格中角度之和 题型14 全等三角形的综合应用——辨析判断添加条件能否判定全等 题型15 全等三角形的综合应用——开放补充一个条件使三角形全等 题型16 全等三角形的综合应用——灵活选用方法证明三角形全等 题型17 全等三角形的综合应用——结合尺规作图的全等问题 题型18 全等三角形的综合应用——利用全等性质求角度、面积与坐标 题型19 全等三角形的综合应用——数全等三角形的对数 题型20 全等三角形的综合应用——判定方法的概念与命题辨析 题型21 全等三角形的综合应用——利用全等三角形的判定与性质确定线段间的数量与位置关系 题型22 全等三角形的综合应用——全等判定在实际测量复原中的应用 SAS的有关应用题型01 1．如图，公园里有一座假山，要测假山两端 A ， B 的距离，先在平地上取一个可直接到达 A 和 B 的点 C ，分别延长 AC ， BC 到 D ， E ，使CD CA ， CE CB ， 连接 DE ．这样就可利用三角形全等，通过量出 DE 的长得到假山两端 A ， B 的距离．其中说明两个三角形全等的依据是（   ）    A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS 2．（25-26八年级上·湖南永州·期末）同学们在物理实验中用蜡烛探究小孔成像的原理，发现小孔在某一位置时，．已知蜡烛火焰成的像的高度为，则蜡烛实际的火焰的高度为______． 3．（25-26八年级上·北京·期中）如图，点、、、在一条直线上，，，，证明：． 4．在学习“利用三角形全等测距离”之后，七一班数学实践活动中，张老师让同学们测量池塘A，B之间的距离（无法直接测量） 小颖设计的方案是：先过点A作的垂线，在上顺次截取，使，然后过点D作，连接并延长交于点E，则的长度即为的长度． (1)小颖的作法你同意吗？并说明理由； (2)如果利用全等三角形去解决这个问题，请你设计一个与小颖全等依据不同的方案，并画出图形． 5．是的角平分线． (1)若，求证：； (2)当时，与的数量关系如何？说说你的理由． 用SAS和全等的性质求角的度数题型02 1．（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，在的正方形网格中，   ） A． B． C． D． 2．，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．，，，，求的大小． 4．（25-26八年级·质检）如图，在中，分别是上的点，且．若，求的度数． 5．中，，，D是AB边上一点点D与A，B不重合，连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE． 求证：≌； 当时，求的度数． 用SAS和全等的性质证明线段相等题型03 1．如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 2．数学实践活动课中，老师布置了“测量小口圆柱形瓶底部内径”的探究任务，某学习小组设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点O固定，现测得C，D之间的距离为，那么小口圆柱形瓶底部的内径____________．    3．（25-26八年级上·期末）如图，，，，求证∶ ． 4．（24-25七年级下·四川达州·月考）如图，在中，，D，E分别是的中点，连接相交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 用ASA或AAS和全等的性质求线段的长度题型04 1．ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，CD=4，则线段DF的长度为(     ) A． B．4 C． D． 2．ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=_____．    3．如图，，，，，则等于__________． 4．如图，，垂足分别为D，E．    (1)求证：； (2)若，求的长． 用ASA或AAS和全等的性质证明线段相等题型05 1．（25-26八年级·浙江台州·期末）如图，与相交于点，，，求证：． 2．如图，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E．求证：BE=CD． 3．（24-25八年级上·甘肃天水·月考）如图，在中，于点E，于点D．求证： (1)； (2) 4．命题：全等三角形的对应边上的高相等． (1)写成“如果……，那么……”： ； (2)根据所给图形写出已知、求证和证明过程．    5．学习完三角形的知识后，轩轩想出了“作三角形一边中线”的一种尺规作图的作法，下面是具体过程． 已知：． 求作：边上的中线． 作法： ①分别以点B为圆心，长为半径；点C为圆心，长为半径在的下方作弧，两弧相交于P点． ②作射线，与交于D点，所以线段就是所求作的中线． 根据小明设计的尺规作图过程，完成下面问题． (1)尺规作图，补全图形；（保留作图痕迹） (2)求证：是的中线． 利用SSS和全等的性质求角的度数题型06 1．___度． 2．如图，中，，以点A为圆心，长为半径作弧；以点B为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点D，则的度数为__________． 3．（24-25八年级上·浙江温州·期中）已知：如图，点，在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 4． 如图①，在四边形ABCD中，，，点E，F分别是BC，CD上的点，且，试探究，之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为延长FD到点G，使，连接AG，先说明，再说明，则可得到，之间的数量关系是________________________． 【探索延伸】 （2）如图②，在四边形ABCD中，，，点E，F分别是BC，CD上的点．若，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 利用SSS和全等的性质证明角相等题型07 1．如图，，，求证：．    2．（25-26八年级上·甘肃定西·月考）已知,D，C在上，且，求证： 3． 4．如图，，，．求证：． 5．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，在四边形中，，点分别在边上，，，连接． (1)求证：平分； (2)若，求四边形的面积； (3)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 利用SSS和全等的性质证明线段相等题型08 1．油纸伞是中华民族传统工艺品之一，其截面如图所示，支撑杆，，当沿滑动时，油纸伞开闭，小亮由油纸伞的状态判断，，他的判定依据为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图1，四边形中，．小文同学以图1中的四边形为“基本图形”，无缝隙、无重叠的拼成了如图2所示的图案，其外围轮廓恰好是一个正十边形，则的度数为__________． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）已知：如图，，，求证：平分．请完成下面的推理过程（填空）． 证明：在和中，    ______（______）， ， 平分． 4．，与相等吗？请在图中找出一对全等三角形，并说明理由． 5．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）如图，点E在上，，．求证：． 添加木条使多边形木架稳定题型09 1．（24-25七年级下·四川乐山·期末）如图，要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉上（   ）根木条． A．1 B．2 C．3 D．4 2．在手工课上，小杰用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个如图所示的木框，小杰发现相邻两木条的夹角均可调整，所以很容易变形，为了使木框不易变形，下列方案中最好的是（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上_____根木条． 4．（24-25八年级上·安徽安庆·月考）如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使七边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，又至少要钉多少根木条？请带着这些问题开始探究活动．    多边形木架的边数 至少要钉木条的根数 … ▲ 根据以上信息，解答下列问题． （1）要使十二边形的木架不变形，应至少要钉______根木条． （2）表格中的“▲”处填_____．（用含n的代数式表示） （3）有一个多边形，至少要钉上18根木条，才能使它不变形．则这个多边形的边数是_____． 5．（24-25八年级上·江西赣州·期中）若一个正多边形除去一个外角后剩余的外角的和为． (1)求这个正多边形的边数与内角和的度数． (2)要使该正多边形具有稳定性，至少应添加几条线段？ 利用HL和全等的性质求线段的长度题型10 1．（24-25八年级上·山西长治·期中）如图，在中，，是边上一点，延长至点，使，连接．若，且的面积为7，则的长为（    ） A．4 B． C． D．7 2．中，，D是上一点，于点E，，连结，若，则等于________ 3．（24-25八年级上·山东·月考）如图，，，，，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段和射线上运动，且，当______时，以点A，P，Q为顶点的三角形与全等．    4．（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图，点在同一条直线上，，，， (1)求证：； (2)若，，求的长． 5．如图，与中，，，，过A作垂足为F，交的延长线于点G，连接．    (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 利用HL和全等的性质求角的度数题型11 1．于点，交于点，于点，且．若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在四边形中，，，，则   ） A． B． C． D． 3．中，，点在边上，连接，分别过点作于点，交的延长线于点．若，则的度数是________． 4．（25-26八年级上·山东临沂·月考）如图，点D在上，于点E，交于点F，．若，则______． 5．，，，，与交于点O． (1)求证：． (2)求． 利用HL和全等的性质证明线段相等题型12 1．.求证： .    2．（25-26八年级上·陕西安康·联考）如图，在中，，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线，，点E和点F分别为垂足，且．求证：． 3．如图，、、三点在一条直线上，，，．求证：． 4．（25-26八年级上·海南海口·期末）如图，已知锐角，为边上的高．利用直尺和圆规，根据要求作图，并解决后面的问题． (1)作的平分线交于点，交于点；（要求：保留作图痕迹，不需写作法和证明） (2)在（1）的条件下，若，，求证：． 5．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，点B在线段上，点E在线段上，为的高，，． (1)求证：； (2)如图：于F，于G，探究与的关系，并证明你的结论． 利用全等图形求网格中角度之和题型13 1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线是它的对称轴，下列结论中：①；②；③；④．正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在的方格纸中_____． 3．如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度． 4．的正方形，求的度数． 全等三角形的综合应用——辨析判断添加条件能否判定全等题型14 1．D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD的是（ ） A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD 2．    ） A．两条直角边分别相等 B．斜边和一个锐角分别相等 C．两个锐角分别相等 D．斜边和一条直角边分别相等 3．（24-25八年级上·云南·期中）如图，点，，，四点在同一条直线上，且，，则添加一个条件后，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 4．△ABC的是（    ） A．AB=5，BC=4，AC=10 B．∠A=45°，∠C=60°，BC=8 C．∠A=80°，AB=6，BC=7 D．∠C=90°，AB=9 5．填表． 已知两个对应相等的边或角 应寻找的条件 证明三角形全等的依据 两  边 SAS SSS 一角及其对边 AAS 一角及其邻边 SAS AAS或ASA 两  角 ASA或AAS 全等三角形的综合应用——开放补充一个条件使三角形全等题型15 1．（25-26八年级·期末）如图，已知，要使，还需要添加一个条件，你添加的条件是________． 2．（25-26八年级上·期末）如图，已知交于点O，，那么添加条件_______后，就能判定． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，、、、在同一直线上，，，要得到，还需要添加条件：________．（填写一个你认为正确的条件即可） 4．如图，中，，，垂足分别为交于点，请你添加一个适当的条件：_______，使． 5．CA＝CD，∠1＝∠2． (1)请你添加一个条件，使得△ABC≌△DEC．你添加的条件是 ； (2)添加条件后证明：△ABC≌△DEC． 全等三角形的综合应用——灵活选用方法证明三角形全等题型16 1．如图，已知，要说明． （1）若以“”为依据，则需添加一个条件是______； （2）若以“”为依据，则需添加一个条件是______； （3）若以“”为依据，则需添加一个条件是______． 2．如图，是的边上的高，点E为上一点，且． (1)试说明； (2)若，求的面积． 3．如图，已知四个关系式：①AC＝DC；②BC＝EC；③∠DCA＝∠ECB：④AB＝DE． （1）从上面四个关系式中任取三个为条件，余下的一个为结论，组成一个命题．在组成的命题中真命题的个数是 　 　； （2）从（1）中选择一个真命题进行证明 已知：　 　． 求证：　 　． 证明：　 　． 4．如图，教学楼与操场上的旗杆相距，小林同学从教学楼B点沿走到D点，一定时间后他到达P点，此时他测得和的夹角为，且，已知，旗杆的高为，请你求出教学楼的高度． 全等三角形的综合应用——结合尺规作图的全等问题题型17 1．（25-26八年级上·四川广元·期中）如图是用尺规作的平分线的示意图，这样作图的依据是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，点B为上一点，用尺规按如下过程作图：以点A为圆心，以任意长为半径作弧，交于点D，交于点E；以点B为圆心，以为半径作弧，交于点F；以点F为圆心，以为半径作弧，交前面的弧于点G；连接并延长交于点C，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．已知：如图1，在中，．求作：射线，使得． 下面是小明设计的尺规作图过程． 作法：如图2， ①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于，两点； ②以点为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点； ③以点为圆心，长为半径作弧，两弧在内部交于点； ④作射线．所以射线就是所求作的射线． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：连接，． ，，． __________， __________， （__________）（填推理的依据）． 4．如题图，已知． (1)请根据“”作，使，其中点D在右侧，且（要求：尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）： (2)若，比的2倍小，求的度数． 全等三角形的综合应用——利用全等性质求角度、面积题型18 1．（24-25八年级上·山东聊城·月考）如图，已知且，且，连接，分别过点，，作经过，两点的直线的垂线，垂足分别为，，，则按图中所标注的数据可计算图中实线围成的面积   ）    A． B． C． D． 2．如图，已知，，，求的度数． 3．交于点，，点在线段上，，． (1)求证∶； (2)若，，求的度数． 4．【问题背景】 如图，在中，，，为直线上一动点，连接．在直线右侧作，且． 【问题再现】 （1）如图1，当点在线段上时，过点作于点．判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； 【问题推广】 （2）如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点，过点作交的延长线于点．判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】 （3）如图3，当点在的延长线上时，过点作交的延长线于点，连接交于点．若，求的值． 全等三角形的综合应用——数全等三角形的对数题型19 1．如图在△ABC中，AB=AC，D，E在BC上，BD=CE，图中全等三角形的对数为（  ）    A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25八年级上·四川南充·学情自测）下面四个三角形中，与图中的全等的是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，和交于，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 4．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，，垂足分别为D、E，相交于O点，，连接，则图中全等的三角形共有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 5．如图，，，则图中全等三角形有_________对．    全等三角形的综合应用——判定方法的概念与命题辨析题型20 1．下列表格中，填入“◎”处正确的是（    ） 已知：，且． 求证： 证明： 又， ∴ （◎）    A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·期末）下列命题中，是假命题的是（   ） A．在同一平面内，如果直线，，那么 B．的三个内角中至少有一个角大于或等于 C．三角形的外角和等于 D．两条边与其中一条边的对角分别对应相等的两个三角形全等 3．（25-26八年级上·山西朔州·期中）下列命题中，其逆命题为真命题的是（    ） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．全等三角形的对应边相等 D．两直线平行，同位角互补 4．和中,BE与AC相交于点M,与CF相交于点D,AB与CF相交于N,,给出下列结论：①；②CD=DN;③BE=CF；④△ACN≌△ABM．其中正确的结论是 (    )    A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④ 5． 两个三角形全等的判定定理：___________对应相等的两个三角形全等（简写成“___________”或“”）；两边及其___________对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“___________”）；两个角及其___________对应相等的两个三角形全等（简写成“___________”或“”）．两角及其中一个角的___________对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“___________”）． 全等三角形的综合应用——利用全等三角形的判定与性质确定线段间的数量与位置关系题型21 1．如图，E、A、C三点共线，AB=CE，∠B=∠E，BC=DE． 求证：AB∥CD． 2．中，，，，E、F分别是上的点且，探究图中线段、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； （2）探索延伸：如图2，若在四边形中，，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？说明理由； （3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以80海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进．小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为（即：），试直接写出此时两舰艇之间的距离． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，将沿着斜边翻折得到，点、分别是射线、射线上的点，且． 【初步探索】如图，点在线段上，试探究线段、、之间的数量关系． 小华同学探究此问题的思路是：延长至点，使得，连接，先证明，再证明，则可得、、之间的数量关系是 ； 【探索延伸】如图，点在线段的延长线上，上述结论还成立吗？ 若成立给予证明，若不成立请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【灵活运用】在中，若，，，，则的周长为 ． 全等三角形的综合应用——全等判定在实际测量复原中的应用题型22 1．如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是（    ） A． B． C． D． 2．ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（ ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 3．某中学八年级学生进行课外实践活动，要测池塘两端A，B的距离，因无法直接测量，经小组讨论决定，先在地上取一个可以直接到达A，B两点的点O，连接AO并延长到点C，使AO＝CO；连接BO并延长到点D，使BO＝DO，连接CD并测出它的长度． （1）根据题中描述，画出图形； （2）CD的长度就是A，B两点之间的距离，请说明理由． 4．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，数学活动实践课上，小浩在旗杆 与某栋楼之间选定一点 (点B，，D在同一水平线上)，于点D，于点B，他在点处用智能测量仪测得，，求楼的高度． 5．如图，小明坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？ 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $