1.3全等三角形的判定（分层作业·巩固过关，13大题型）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 本同步练聚焦全等三角形判定，以A组理解层级为核心，通过13个题型构建从判定方法识别到综合应用的梯度巩固路径，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组（理解层级）|涵盖SAS、ASA、AAS、SSS、HL判定方法的识别与证明，及三角形稳定性、四边形不稳定性应用|基础题型（选择/填空）巩固判定依据，作图题强化几何直观，证明题提升推理能力，生活情境题（如测量距离、伸缩门）体现应用意识|

分层作业 1.3 全等三角形的判定 A组|理解层级|巩固过关 目 录 A组 巩固过关 题型01 尺规作图的依据与步骤判断 题型02 按基本条件尺规作三角形 题型03 用SAS识别判定方法 题型04 用SAS证明三角形全等 题型05 用ASA识别判定方法 题型06 用ASA证明三角形全等 题型07 用AAS证明三角形全等 题型08 用SSS识别判定方法 题型09 用SSS证明三角形全等 题型10 全等三角形的综合应用——三角形的稳定性 题型11 四边形的不稳定性及应用 题型12 用HL识别判定方法 题型13 用HL证明直角三角形全等 尺规作图的依据与步骤判断题型01 1．（25-26八年级上·河南南阳·期中）我们曾这样“做一做”：如图1，已知、和线段，试作，使，，．我们用尺规作图得到如图2所示的，又发现我们所作的三角形和其他同学所作的三角形能够完全重合，于是得到判定三角形全等的方法是（    ） A． B． C． D． 2．如图，是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（    ） A．两角及夹边 B．两边及夹角 C．两角及一角的对边 D．两边及一边的对角 3．已知线段a，b，c求作：，使．下面的作图顺序正确的是（　　） ①以点A为圆心，以b为半径画弧，以点B为圆心，以a为半径画弧，两弧交于C点； ②作线段等于c； ③连接，则就是所求作图形． A．①②③ B．③②① C．②①③ D．②③① 4．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 5． 满足两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形是否全等？ 【初步思考】 在和中，，，，然后对是直角、钝角、锐角进行分类． 【深入探究】    (1)当是直角时，如图1，在和中，，，，根据__________，可以知道． (2)当是钝角时，如图2，在和中，，，，求证：． (3)当是锐角时，请你用尺规在图3中作出，满足，，，但和不全等．（不写作法，保留作图痕迹） 按基本条件尺规作三角形题型02 1．（25-26八年级上·浙江温州·月考）已知尺规作图的方法作，使得．（请保留适当的作图痕迹） 2．如图，已知线段、和，利用尺规作，使、、．（保留作图痕迹，不写作法） 3．已知线段m和n，请用尺规作图法求作Rt，使，，．（保留作图痕迹，不写作法） 4．，求作：，使，高 5．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，已知 (1)小明同学计划用尺规作图，依据（边边边）全等条件，作出，使，并且和在直线的同侧．小明已经完成了第一步：以点为圆心，长为半径画弧，如图1所示．请在图1中将剩余的作图补充完整，画出．（保留作图痕迹，不要求写出作图过程） (2)连接，求证：． (3)设与相交于点．若，，求的度数． 用SAS识别判定方法题型03 1．数学活动课上，小星制作了一个燕尾形的风筝，如图，，，他准备用刻度尺量和的长是否相等． 小英却说：“不用再测量，因为≌，所以” 小英用到的判定三角形全等的方法是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列一个条件后能用“”判定的是（ ） A． B． C． D． 3．中．，平分．点为上一点．则图中全等三角形有_________对． 4．如图，已知长方形ABCD的边长AB=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当点Q的运动速度为 ___________时，能够使△BPE与△CQP全等． 5． 用SAS证明三角形全等题型04 1．（25-26七年级下·广东清远·期末）如图，与交于点，点分别是线段、的中点，连接、．则与全等吗？请说明理由． 2．（25-26八年级上·福建·月考）已知：如图，，，，求证：． 3．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，．试说明：． 4．（25-26八年级上·江西赣州·月考）是的平分线，． 求证：； （2）如图，在中，分别是边上的中线和高，，，求的长． 5．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，，在同一条直线上，连接． （1）请找出图②中的全等三角形，并给予说明（注意：结论中不得含有未标识的字母）； （2）请判断与的位置关系，并证明； （3）若，，求的面积． 用ASA识别判定方法题型05 1．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·联考）如图，与相交于点O，，，不添加辅助线，判定的依据是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，相交于点O，已知，要根据“”证明，还需添加的一个条件是（　　） A． B． C． D． 3．_______________________________ 4．（25-26八年级上·江苏·月考）如图，，，现要直接用“”定理来证明，请添加一个条件_______． 5．如图，已知：． （1）请你添加一个条件，使与全等，这个条件可以是_______．（只需填写一个） （2）根据你所添加的条件，说明与全等的理由． 用ASA证明三角形全等题型06 1．（25-26八年级上·广东东莞·期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点C、D，使得，再画出的垂线，使点E与点A、C在一条直线上，这时测得线段的长就是线段的长，其原理运用到三角形全等的判定是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）如图，与相交于点O，连接，，，求证：． 3．已知：如图，在中，，，于点，．求证：． 4．如图，已知点B、E、C、F在同一直线上，，，．求证： (1)； (2)． 用AAS证明三角形全等题型07 1．（24-25八年级上·海南·期中）如图，已知，，则的根据是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·月考）如图，在中，于，于，，则的依据是__________ 3．（24-25七年级下·上海·月考）已知 中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：．    4．如图，点E在△ABC的外部，点D在BC上，DE交AC于点F，∠1＝∠2＝∠3，AB＝AD．求证：△ABC≌△ADE． 用SSS识别判定方法题型08 1．（25-26八年级上·期末）如图，在四边形中，，，则证明的依据是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，已知，求证：．分析问题可知：需添加如图所示辅助线AD，进而证明．下列证明过程中：①取的中点D，连接，证明的依据是；②作的角平分线，证明的依据是；③过点A作于点D，证明的依据是．其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．SSS）指的是____________． 4．如图，已知，，，则图中有______对全等三角形，它们是______． 5．（25-26七年级下·山东青岛·期末）已知：，点，点分别在边，上，延长至点，连接，，交于点．现有四个条件： ①；②；③；④． 请从①②③④中任选三个作为条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并证明． 请写出你的条件________（填序号）结论________（填序号），并证明． 用SSS证明三角形全等题型09 1．（25-26八年级·期中）如图，已知，若要用“”证明，还需添加的一个条件是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·期末）如图，和的边在一条直线上，且，，要使，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 3．全等吗？为什么？ 4．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，A、D、F、B在同一直线上，，且．求证：． 5．（24-25九年级上·云南昭通·期中）如图，在五边形中，，，，将绕点顺时针旋转后得到． (1)求证：、、三点在同一条直线上； (2)求证：． 全等三角形的综合应用——三角形的稳定性题型10 1．（25-26八年级上·云南昆明·期末）下列图形中，没有运用三角形稳定性的是（   ） A．自动伸缩门B．自行车车架 C．房屋屋顶D．钢架桥 2．（25-26八年级上·云南昆明·月考）如图，师傅安装空调在墙上时，一般都会应用这种三角形支架，原理是（ ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．三角形具有稳定性 3．运用数学原理解释下列生活现象，错误的是（    ） A．把一条弯曲的河道改成直道可以缩短路程是运用了“垂线段最短”的原理 B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“两点确定一条直线”的原理 C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理 D．菱形衣架的设计是运用了“四边形的不稳定性”的原理 4．生活中的数学： (1)如图①，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定利用了_____； (2)如图②，要测量池塘沿岸上两点A、E之间的距离，可以在池塘周围取两条互相平行的线段和，且使，连接、交于点E，要想知道A、E之间的距离，只需要测量线段的长度，这样做合适吗？请说明理由． 四边形的不稳定性及应用题型11 1．如图，某学校大门口的伸缩门，这种设计利用的是（　　） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．两点之间线段最短 D．长方形的四个角都是直角 2．（25-26八年级·贵州遵义·期中）以下生活现象利用四边形的不稳定性的是（     ） A．太阳能热水器 B．伸缩门 C．自行车三脚架 D．三角形支架 3．（25-26八年级·河北承德·质检）如图，四边形具有不稳定性，当四边形的形状发生变化时，下列属于常量的是（     ）． A．四边形的面积 B．的度数 C．四边形的周长 D．对角线的长 4．四边形具有不稳定性，如图，挤压矩形ABCD，会产生变形，得到四边形EBCF，则在这个变化过程中，关于矩形ABCD的周长和面积，下列说法正确的是（  ） A．周长和面积都不变 B．周长不变，面积变小 C．周长变小，面积不变 D．周长变小，面积变小 5．（25-26八年级·山西吕梁·月考）如图，学校的伸缩门是应用了四边形的________． 用HL识别判定方法题型12 1．（24-25八年级上·甘肃庆阳·质检）如图，，，，则能直接判定的理由是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，已知，垂足分别为，．要根据“”判定，需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 3．如图，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件：①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③BC＝BD，其中能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．和中，，，D、分别是、上一点，且，有如下三个判断（　　） ①若，则和一定全等； ②若，则和一定全等； ③若，则和一定全等． A．②对①③错 B．②③对①错 C．全对 D．全错 5．    （1）若，，则的依据是______； （2）若，则的依据是______； （3）若，，则的依据是______； （4）若，，则的依据是______； （5）若，，则的依据是______． 用HL证明直角三角形全等题型13 1．（24-25八年级上·宁夏吴忠·期末）如图，在中，，P，Q两点分别在上和过点A且垂直的射线上运动，且．当的值为多少时，与全等？（    ） A． B． 或 C． D．或 2．如图，在中，，是射线上一点，且，，垂足为，过点作，垂足为，连接，，，，则下列结论： ①；②；③． 其中正确的结论的个数有（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．如图，已知，垂足C是的中点，．求证：． 4．已知：如图，，为的高，E为上一点，交于F且有．求证：． 5．（24-25八年级下·广东佛山·月考）如图是上一点，，证明：． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.3 全等三角形的判定 A组|理解层级|巩固过关 目 录 A组 巩固过关 题型01 尺规作图的依据与步骤判断 题型02 按基本条件尺规作三角形 题型03 用SAS识别判定方法 题型04 用SAS证明三角形全等 题型05 用ASA识别判定方法 题型06 用ASA证明三角形全等 题型07 用AAS证明三角形全等 题型08 用SSS识别判定方法 题型09 用SSS证明三角形全等 题型10 全等三角形的综合应用——三角形的稳定性 题型11 四边形的不稳定性及应用 题型12 用HL识别判定方法 题型13 用HL证明直角三角形全等 尺规作图的依据与步骤判断题型01 1．（25-26八年级上·河南南阳·期中）我们曾这样“做一做”：如图1，已知、和线段，试作，使，，．我们用尺规作图得到如图2所示的，又发现我们所作的三角形和其他同学所作的三角形能够完全重合，于是得到判定三角形全等的方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作三角形，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法． 【详解】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即ASA． 故选C． 2．如图，是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（    ） A．两角及夹边 B．两边及夹角 C．两角及一角的对边 D．两边及一边的对角 【答案】B 【分析】观察图像可知已知线段AB，AC，∠A，由此即可判断． 【详解】解：根据作图痕迹可以知道，∠A为已知角，AB和AC是已知的边， 符合“两边及夹角”， 故选：B． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型． 3．已知线段a，b，c求作：，使．下面的作图顺序正确的是（　　） ①以点A为圆心，以b为半径画弧，以点B为圆心，以a为半径画弧，两弧交于C点； ②作线段等于c； ③连接，则就是所求作图形． A．①②③ B．③②① C．②①③ D．②③① 【答案】C 【分析】先画，确定A、B点，然后通过画弧确定C点位置，从而得到． 【详解】解：②先作线段等于c，①再以点A为圆心，以b为半径画弧，以点B为圆心，以a为半径画弧，两弧交于C点，③然后连接，则就是所求作图形． 故选：C． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 4．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】以为圆心，长为半径画弧，与射线有1个交点，则可得到形状唯一确定的，否则不能得到形状唯一确定的．根据此观点进行解答便可．本题主要考查全等三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：①当，时，以为圆心，6为半径画弧，与射线有两个交点，则的形状不能唯一确定，故①错误； ②当，时，以为圆心，10为半径画弧，与射线有一个交点，点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的，故②正确； ③当，时，以为圆心，12为半径画弧，与射线有一个交点，点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的，故③正确； 故选：B． 5． 满足两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形是否全等？ 【初步思考】 在和中，，，，然后对是直角、钝角、锐角进行分类． 【深入探究】    (1)当是直角时，如图1，在和中，，，，根据__________，可以知道． (2)当是钝角时，如图2，在和中，，，，求证：． (3)当是锐角时，请你用尺规在图3中作出，满足，，，但和不全等．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1) (2) 证明：如图，过点C作交的延长线于G，过点F作交的延长线于H， ∵，且都是钝角，    ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴； (3)解：如图： ．   【分析】（1）利用斜边直角边相等来判定直角三角形全等即可； （2）过点C作交的延长线于G，过点F作交的延长线于H，利用角角边判定即可．； （3）通过边边角画出反例即可． 【详解】（1）解：∵， 在和中，， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质，能够熟练运用全等三角形判定的原理是解题关键． 按基本条件尺规作三角形题型02 1．（25-26八年级上·浙江温州·月考）已知尺规作图的方法作，使得．（请保留适当的作图痕迹） 【答案】 使得的如图所示： 【分析】本题考查作一个与已知三角形全等的三角形，先作线段，再分别以、为圆心，、为半径画弧交于点，此时，，则． 【详解】略 2．如图，已知线段、和，利用尺规作，使、、．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，为求作的图形． 【分析】本题主要考查了复杂的尺规作图，涉及基本的尺规作图，作一条线段等于已知线段和作与已知角相等的角，熟知作图方法是正确解答此题的关键．根据作一条线段等于已知线段和作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可． 【详解】解：作，在上截取，在上截取，连接，为求作的图形． 3．已知线段m和n，请用尺规作图法求作Rt，使，，．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，即为所求， 【分析】先作于A，再在AM上截取，在AN上截取，连接BC，则满足条件． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 4．，求作：，使，高 【答案】 如图，即为所求． ． 【分析】本题考查了作等腰三角形、作线段、作垂线，熟练掌握尺规作图的方法是解题关键．先以点为端点画射线，再以点为圆心、长为半径画弧，交射线于点，然后分别以点为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点，画直线，交于点，最后以点为圆心、长为半径画弧，交射线于点，连接，由此即可得． 【详解】略 5．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，已知 (1)小明同学计划用尺规作图，依据（边边边）全等条件，作出，使，并且和在直线的同侧．小明已经完成了第一步：以点为圆心，长为半径画弧，如图1所示．请在图1中将剩余的作图补充完整，画出．（保留作图痕迹，不要求写出作图过程） (2)连接，求证：． (3)设与相交于点．若，，求的度数． 【答案】(1) 解：如图， (2) 证明：如图，连接， ∵， ∴，， 在和中 ∴， ∴； (3) 【分析】本题主要考查尺规作边等于已知边，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）以点为圆心，以为半径画弧，以点为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，连接，即可； （2）由可得，，再由共用可得，由全等三角形对应角相等即可求解； （3）根据可得，根据三角形的外角的性质可得，再根据可得，由此即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴． 用SAS识别判定方法题型03 1．数学活动课上，小星制作了一个燕尾形的风筝，如图，，，他准备用刻度尺量和的长是否相等． 小英却说：“不用再测量，因为≌，所以” 小英用到的判定三角形全等的方法是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：在与中， ， ∴， ， 故选：A． 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列一个条件后能用“”判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先利用等式的性质可得，然后添加利用证明，即可解答． 【详解】解：添加后能用“”判定， 理由：， ， ， 在和中，， ． 故选：A． 3．中．，平分．点为上一点．则图中全等三角形有_________对． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是关键．首先利用角平分线定义可得，然后利用可判定，根据全等三角形的性质可得，，再判定，最后证明即可． 【详解】解：平分， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 共对全等三角形， 故答案为． 4．如图，已知长方形ABCD的边长AB=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当点Q的运动速度为 ___________时，能够使△BPE与△CQP全等． 【答案】2或3.5cm/s 【分析】分两种情况：①当EB=PC时，△BPE△CQP，②当BP=CP时，△BEP△CQP，进而求出即可． 【详解】解：设运动的为ts，分两种情况： ①当EB=PC，BP=QC时，△BPE△CQP， ∵AB=20cm，AE=6cm， ∴EB=14cm， ∴PC=14cm， ∵BC=16cm， ∴BP=2cm， ∴QC=2cm， ∵点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C运动， ∴t=2÷2=1（s）， ∴点Q的运动速度为2÷1=2(cm/s)； ②当BP=CP，BE=QC=14cm时，△BEP△CQP， 由题意得：2t=16-2t， 解得：t=4（s）， ∴点Q的运动速度为14÷4=3.5(cm/s)； 综上，点Q的运动速度为2或3.5cm/s； 故答案为：2或3.5 cm/s． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质等知识，关键是掌握两个三角形全等的判定和性质． 5． 【答案】不一定全等 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定方法，先作出图形得出有可能的情况，然后再根据已知的条件，结合图形，用学过的三角形全等的判定方法逐个判定． 【详解】解：不一定全等． 当两个三角形都为锐角(或钝角或直角)三角形时，这两个三角形全等，如下图所示(以锐角三角形为例)． 已知∶，，，， 且． 证明∶在和中， ∴， ∴ 在和中， ， ∴． 当两个三角形不都是锐角(或钝角或直角)三角形时，这两个三角形不全等，如下图所示． 由已知条件可知：，，，，且，但与不全等． 故两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形不一定全等． 用SAS证明三角形全等题型04 1．（25-26七年级下·广东清远·期末）如图，与交于点，点分别是线段、的中点，连接、．则与全等吗？请说明理由． 【答案】与全等，理由如下： ∵点分别是线段、的中点 ∴ ∵ ∴． 【详解】略 2．（25-26八年级上·福建·月考）已知：如图，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由，则，即，然后通过“”即可求证，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】略 3．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，．试说明：． 【答案】 解：∵， ∴， 即：， ∵ ∴ 在和中， ∴． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定， 平行线的性质，由线段的和差关系可得出，由平行线的性质可得出，即可得出． 【详解】略 4．（25-26八年级上·江西赣州·月考）是的平分线，． 求证：； （2）如图，在中，分别是边上的中线和高，，，求的长． 【答案】 （）证明：∵是的平分线， ∴， 在和中， ∴； （）． 【分析】本题考查了角平分线定义，全等三角形的判定，三角形的高、中线，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由是的平分线，则，然后通过“”即可求证； （）由是边上的高，，，可得，由是边上的中线，从而求解． 【详解】（）略 （）解：∵是边上的高，，， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴． 5．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，，在同一条直线上，连接． （1）请找出图②中的全等三角形，并给予说明（注意：结论中不得含有未标识的字母）； （2）请判断与的位置关系，并证明； （3）若，，求的面积． 【答案】（1）， 和是等腰直角三角形， ，，， ， ， 在和中， ； （2）， ． ∵ 是等腰直角三角形， ∴∠AED+∠ADE=90°， 即∠ADC+∠CDE+∠AED=90°， ∴∠AEB+∠CDE+∠AED=90°，即∠CED+∠CDE=90°， ， ； （3）6 【分析】（1）根据和是等腰直角三角形，可得，，，从而得到，即可求证； （2）根据，可得，再由 是等腰直角三角形，可得∠AED+∠ADE=90°，从而得到∠CED+∠CDE=90°，即可求证； （3）根据，可得，再由三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：（1） 略 （2） 略 （3），， ， ， ， 的面积． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 用ASA识别判定方法题型05 1．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·联考）如图，与相交于点O，，，不添加辅助线，判定的依据是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形全等的判定；根据角边角判定三角形全等即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， 故选：D． 2．如图，相交于点O，已知，要根据“”证明，还需添加的一个条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】添加再结合，可利用“”证明△． 【详解】解：添加，理由如下： 在和中， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等． 3．_______________________________ 【答案】两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等． 【分析】角边角公理：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，根据公理直接作答即可. 【详解】解：三角形全等的判定方法——“角边角”（即ASA）指的是： 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等． 故答案为：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，掌握角边角公理是解题的关键. 4．（25-26八年级上·江苏·月考）如图，，，现要直接用“”定理来证明，请添加一个条件_______． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】解：添加， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：． 5．如图，已知：． （1）请你添加一个条件，使与全等，这个条件可以是_______．（只需填写一个） （2）根据你所添加的条件，说明与全等的理由． 【答案】（1）（或或）；（2）见解析． 【分析】（1）答案不唯一，可以添加条件：AB=EC； （2）根据ASA 即可证明△ABD≌△CEB． 【详解】解：（1）AB=EC（或BE=CD或AE=ED）． 故答案为AB=EC（答案不唯一）． （2）理由：∵∠B=∠C=∠AED=90°， ∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠BAE=∠CED， 在△ABE和△ECD中， 在与中， ∴. 【点睛】此题考查全等三角形的判定，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件． 用ASA证明三角形全等题型06 1．（25-26八年级上·广东东莞·期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点C、D，使得，再画出的垂线，使点E与点A、C在一条直线上，这时测得线段的长就是线段的长，其原理运用到三角形全等的判定是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意得出，又因为，证明，故，即可作答． 【详解】解：依题意，， 即， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）如图，与相交于点O，连接，，，求证：． 【答案】 证明：与相交于点， ， 在和中， ， 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由与相交于点，得到，根据即可证明结论． 【详解】略 3．已知：如图，在中，，，于点，．求证：． 【答案】 证明：，，， ． ∴ ∴， 在和中， ． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，根据证明即可． 【详解】略 4．如图，已知点B、E、C、F在同一直线上，，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：∵， ， 在和中， ， (2) 证明：， 【分析】（1）由，依据“两只相平行，同位角相等”得到，结合已知根据“”可判定全等； （2）根据全等三角形的性质得到，依据“同位角相等，两只相平行”可进行求证． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 用AAS证明三角形全等题型07 1．（24-25八年级上·海南·期中）如图，已知，，则的根据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定定理．利用证明即可． 【详解】解：在与中， ， ∴， 故选：B． 2．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·月考）如图，在中，于，于，，则的依据是__________ 【答案】AAS 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定方法是解题的关键．先分析题目中已有的相等条件，再根据相等条件判定三角形全等即可． 【详解】，， ， 在，中 （AAS） 故答案为：AAS． 3．（24-25七年级下·上海·月考）已知 中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：．    【答案】 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据垂直的定义和余角的性质得到，再根据证明． 【详解】略 4．如图，点E在△ABC的外部，点D在BC上，DE交AC于点F，∠1＝∠2＝∠3，AB＝AD．求证：△ABC≌△ADE． 【答案】 证明：∵， ∴ ∵，， ∴ 在△ABC和△ADE中 ∵ ∴． 【分析】由题意知，由三角形内角和定理可得，进而可证． 【详解】略 【点睛】本题考查了三角形全等的判定，三角形内角和定理．解题的关键在于找出全等所需的条件． 用SSS识别判定方法题型08 1．（25-26八年级上·期末）如图，在四边形中，，，则证明的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理：、、、、是解题的关键．由，，又因为，即可由判定两三角形全等． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：D． 2．如图，在中，已知，求证：．分析问题可知：需添加如图所示辅助线AD，进而证明．下列证明过程中：①取的中点D，连接，证明的依据是；②作的角平分线，证明的依据是；③过点A作于点D，证明的依据是．其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】利用全等三角形的判定，及两直角三角形全等的判定，即可得到答案． 【详解】解：①取的中点D，连接， ∵， ∴， 在与中 ∴ ∴， ∴，故①正确； ②作的角平分线， ∵， ∴， 在与中 ∴ ∴， ∴，故②正确； ③过点A作于点D， ∴， 在与中 ∴ ∴， ∴，故③错误． 故选：A． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键，本题为基础题． 3．SSS）指的是____________． 【答案】三边对应相等的两个三角形全等． 【分析】根据三角形全等的判定方法直接即可得到答案． 【详解】“边边边”（即SSS）指的是“三边对应相等的两个三角形全等”． 故答案是：三边对应相等的两个三角形全等． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握三边对应相等的两个三角形全等，是解题的关键． 4．如图，已知，，，则图中有______对全等三角形，它们是______． 【答案】 ， 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据已知利用，分别证明，，即可求解． 【详解】解：在与中， ，，， ， ， ， ， 在与中， ∵，，， ， 图中全等的三角形有对，它们分别是，． 故答案为：，，． 5．（25-26七年级下·山东青岛·期末）已知：，点，点分别在边，上，延长至点，连接，，交于点．现有四个条件： ①；②；③；④． 请从①②③④中任选三个作为条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并证明． 请写出你的条件________（填序号）结论________（填序号），并证明． 【答案】情况一：选取条件：①②③，结论：④ 已知：，，， 求证： 证明：， 在和中 由， ， ； 情况二：选取条件：②③④，结论：① 已知：，，， 求证： 证明：在和中 由， ， ， ； 【详解】略 用SSS证明三角形全等题型09 1．（25-26八年级·期中）如图，已知，若要用“”证明，还需添加的一个条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由图形可知为公共边，则可再加一组对边相等即可． 【详解】解：，，用“”证明， 还需添加的一组边相等，即， 故选：． 2．（25-26八年级上·期末）如图，和的边在一条直线上，且，，要使，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 根据线段的关系得出，然后利用全等三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， A.添加，无法证明； B.添加， 又∵， ∴； C. 添加，无法证明； D. 添加，无法证明； 故选：B． 3．全等吗？为什么？ 【答案】 解：，理由如下： 在和中， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据证明即可． 【详解】略 4．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，A、D、F、B在同一直线上，，且．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ． 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 三条边对应相等的两个三角形全等，由此即可证明问题． 【详解】略 5．（24-25九年级上·云南昭通·期中）如图，在五边形中，，，，将绕点顺时针旋转后得到． (1)求证：、、三点在同一条直线上； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：由旋转可得， ， ， ， 、、三点在一条直线上； (2) 证明：由旋转可得， ，， ， ，即， 在和中， ， ． 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质． （1）由旋转的性质得，求得，即可得证； （2）利用即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 全等三角形的综合应用——三角形的稳定性题型10 1．（25-26八年级上·云南昆明·期末）下列图形中，没有运用三角形稳定性的是（   ） A．自动伸缩门 B．自行车车架 C．房屋屋顶 D．钢架桥 【答案】A 【分析】本题主要考查的是三角形稳定性的应用，掌握三角形具有稳定性是解题关键． 根据三角形的特性：三角形具有稳定性，逐一判断即可． 【详解】解：A．伸缩门，没有利用三角形稳定性，故符合题意； B．自行车的三角形车架，利用了三角形的稳定性，故不符合题意； C．屋顶三角形钢架，利用了三角形的稳定性，故不符合题意； D．钢架桥，利用了三角形的稳定性，故不符合题意． 故选：A． 2．（25-26八年级上·云南昆明·月考）如图，师傅安装空调在墙上时，一般都会应用这种三角形支架，原理是（ ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性，进行判断即可． 【详解】解：由题意，应用方法的几何原理是三角形具有稳定性． 故选：D． 3．运用数学原理解释下列生活现象，错误的是（    ） A．把一条弯曲的河道改成直道可以缩短路程是运用了“垂线段最短”的原理 B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“两点确定一条直线”的原理 C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理 D．菱形衣架的设计是运用了“四边形的不稳定性”的原理 【答案】A 【分析】本题考查了两点之间线段最短、两点确定一条直线、三角形的稳定性及四边形的不稳定性．解决本题的关键是熟练掌握有关性质；利用两点之间线段最短、两点确定一条直线、三角形的稳定性及四边形的不稳定性可对四种生活现象进行解释． 【详解】解：、把一条弯曲的河道改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理，故本选项符合题意； 、木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“两点确定一条直线”的原理，故本选项不符合题意； 、将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理，故本选项不符合题意； 、菱形衣架的设计是运用了“四边形的不稳定性”的原理，故本选项不符合题意； 故选：． 4．生活中的数学： (1)如图①，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定利用了_____； (2)如图②，要测量池塘沿岸上两点A、E之间的距离，可以在池塘周围取两条互相平行的线段和，且使，连接、交于点E，要想知道A、E之间的距离，只需要测量线段的长度，这样做合适吗？请说明理由． 【答案】(1)三角形的稳定性 (2) 解：这样做合适， 理由：∵， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴． 【分析】（1）根据三角形的稳定性解答即可； （2）首先证明，根据全等三角形的性质可得． 【详解】（1）解：一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定利用了三角形具有稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． （2）略 【点睛】此题主要考查了三角形的稳定性，全等三角形的应用，解题的关键是掌握全等三角形，对应边相等． 四边形的不稳定性及应用题型11 1．如图，某学校大门口的伸缩门，这种设计利用的是（　　） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．两点之间线段最短 D．长方形的四个角都是直角 【答案】B 【分析】利用四边形的不稳定性特点进行解答即可． 【详解】解：学校大门口的电动伸缩门，其中间部分都是四边形的结构，这是应用了四边形的不稳定性． 故选：B． 【点睛】此题考查的是四边形的特点，掌握四边形具有不稳定性这一特点是解决此题关键． 2．（25-26八年级·贵州遵义·期中）以下生活现象利用四边形的不稳定性的是（     ） A．太阳能热水器 B．伸缩门 C．自行车三脚架 D．三角形支架 【答案】B 【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性解答即可． 【详解】解：A、C、D选项都含有三角形，故利用了三角形的稳定性； 选项B伸缩门是用到了四边形的不稳定性． 3．（25-26八年级·河北承德·质检）如图，四边形具有不稳定性，当四边形的形状发生变化时，下列属于常量的是（     ）． A．四边形的面积 B．的度数 C．四边形的周长 D．对角线的长 【答案】C 【分析】假设四边形，保持不变，当以为中心，顺时针旋转时，研究、对角线、四边形的面积、周长的变化情况，即可得到答案． 【详解】解：假设四边形，保持不变，当以为中心，顺时针旋转时， 的度数逐渐增大，所以的度数是变量，故选项不符合题意； 对角线的长度逐渐减小，所以对角线的长度是变量，故选项不符合题意； 因为平行线与之间的距离逐渐减小，的长度不变，所以四边形的面积逐渐减小，所以四边形的面积是变量，故选项不符合题意； 因为在向右扭动的过程中，四边形的四条边长始终不变，所以四边形的周长不变，是常量，故选项符合题意． 4．四边形具有不稳定性，如图，挤压矩形ABCD，会产生变形，得到四边形EBCF，则在这个变化过程中，关于矩形ABCD的周长和面积，下列说法正确的是（  ） A．周长和面积都不变 B．周长不变，面积变小 C．周长变小，面积不变 D．周长变小，面积变小 【答案】B 【分析】平面图形的周长就是围成它的所有线段的长度和；将长方形拉成平行四边形后，每个边的长度不变，所以它的周长就不变，但是它的高变小了，因此面积就变小了． 【详解】解：因为把长方形拉成平行四边形后，每个边的长度不变，所以它的周长就不变；但是平行四边形的高比长方形的宽变小了，所以平行四边形的面积就变小了． 故选：B． 【点睛】此题主要考查周长的定义及长方形和平行四边形的面积公式，解题的关键是动手操作观察即可知答案，理解它们的面积． 5．（25-26八年级·山西吕梁·月考）如图，学校的伸缩门是应用了四边形的________． 【答案】 不稳定性 【分析】根据四边形的特性即可得到答案． 【详解】解：学校的伸缩门在开关过程中，其形状可以发生改变，能够灵活伸缩，应用了四边形的不稳定性． 用HL识别判定方法题型12 1．（24-25八年级上·甘肃庆阳·质检）如图，，，，则能直接判定的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定方法解答． 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：A 2．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，已知，垂足分别为，．要根据“”判定，需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的判定方法“”，根据直角三角形中一组直角边相等，只需要添加斜边相等即可，掌握判定方法“”是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴要根据“”判定，则需要添加斜边， 故选：． 3．如图，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件：①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③BC＝BD，其中能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据已知条件与全等三角形的判定定理即可分别判断求解． 【详解】解：∵∠C＝∠D＝90°，AB=AB， ∴①AC＝AD，可用HL判定Rt△ABC与Rt△ABD全等； ②∠ABC＝∠ABD，可用AAS判定Rt△ABC与Rt△ABD全等； ③BC＝BD，可用HL判定Rt△ABC与Rt△ABD全等； 故选：D． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理． 4．和中，，，D、分别是、上一点，且，有如下三个判断（　　） ①若，则和一定全等； ②若，则和一定全等； ③若，则和一定全等． A．②对①③错 B．②③对①错 C．全对 D．全错 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理．根据全等三角形的判定定理，不能根据①的条件证明和全等；根据②的条件可证明，但无法判定与全等，就无法判定与全等；根据③的条件能证明，但无法判定与全等，就无法判定与全等． 【详解】解：①若，即，，， 此时，形状不能唯一确定， ∴不能证明与是全等三角形， 故①错误； ②若，即，，， 则． ∴． ∴． ∴无法判定与全等． ∴无法判定与全等． 故②错误． ③，即，，， 分别过点B，作,，交，反向延长线于E，，则， ∵， ∴． ∵． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴无法判定与全等． ∴无法判定与全等． 故③错误． 综上，①②③错误． 故选：D． 5．    （1）若，，则的依据是______； （2）若，则的依据是______； （3）若，，则的依据是______； （4）若，，则的依据是______； （5）若，，则的依据是______． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定．根据条件选择合适的判定方法是关键． （1）利用证明即可； （2）利用证明即可； （3）利用证明即可； （4）利用证明即可； （5）利用证明即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； 故答案为： （2）∵， ∴； 故答案为： （3）∵，， ∴； 故答案为： （4）∵，， ∴； 故答案为： （5）∵，， ∴； 故答案为： 用HL证明直角三角形全等题型13 1．（24-25八年级上·宁夏吴忠·期末）如图，在中，，P，Q两点分别在上和过点A且垂直的射线上运动，且．当的值为多少时，与全等？（    ） A． B． 或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，分情况讨论：①，此时，可据此求出的值．②，此时，P、C重合，据此求出的值． 【详解】解：， ， 根据三角形全等的判定方法可知： ①当P运动到时， ∵， 在与中， ， ∴， 即； ②当P运动到与C点重合时，， 在与中， ， ∴， 即， 综上所述，当的值为或时，与全等， 故选：D． 2．如图，在中，，是射线上一点，且，，垂足为，过点作，垂足为，连接，，，，则下列结论： ①；②；③． 其中正确的结论的个数有（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据已知条件通过证，来判断①②是否正确，最后通过求来判断③是否正确即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 故①正确； ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴． ∵，， ∴， ∵，， 故③错． 综上所述，故①②正确，共2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，求三角形面积，寻找三角形全等的条件是解题的关键． 3．如图，已知，垂足C是的中点，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵C是中点， ∴， 在和中， ， ∴（）． 【分析】利用证明即可解决问题． 【详解】略 【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等的条件，属于中考常考题型． 4．已知：如图，，为的高，E为上一点，交于F且有．求证：． 【答案】 证明：∵为的高， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定，由为的高得到，根据等腰三角形的判定得出，再根据即可证明 【详解】略． 5．（24-25八年级下·广东佛山·月考）如图是上一点，，证明：． 【答案】 证明：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， 在和中， ， ∴． 【分析】此题考查直角三角形的判定、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，灵活运用全等三角形的判定解决问题．连接，先根据定理证明得到，进而根据定理可证得结论． 【详解】略 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $