21.2.3 公式法（第2课时：换元法解二次方程、可化为二次方程分式方程） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学同步练，聚焦换元法解二次方程及可化为二次方程的分式方程，新授课场景下通过A、B、C三层设计，构建从概念理解到综合应用的巩固路径，培养运算能力、模型意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A基础达标|换元法直接应用、分式方程基础解法|单选/填空/解答题结合，夯实换元转化技能，对应核心概念理解| |B能力提升|换元法与代数变形综合、实际问题建模|含符号定义新题型及工程问题，训练逆向思维与应用能力| |C综合与实践|高次方程换元转化|阅读探究式题型，引导自主构建转化策略，发展创新意识|

21.2.3 公式法 （第2课时：换元法解二次方程、可化为二次方程分式方程） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【A基础达标】 一、单选题 1．一元二次方程可化为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了换元法． 通过变量代换将原方程化为完全平方形式，再比较选项即可． 【详解】解：设，则原方程化为， ∴， ∴， 故原方程可化为． 故选：C． 2．已知方程的解是或，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程解的意义以及换元法． 通过变量替换，将新方程转化为已知方程的形式求解. 【详解】解：设，则方程化为， 的解为或， ∴或， 解得或， 故选：C． 3．已知，则的值是（   ） A．4 B．2 C．4或 D．或2 【答案】A 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，令，则，整理得：，解出该方程再根据进行取舍即可； 【详解】解：令，则， 整理得：，解得：； ∵， ∴； 故选：A 4．在分式方程中，设，可得到关于的整式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题使用换元法，将换元后的式子代入原分式方程，去分母化简即可得到关于的整式方程． 【详解】解：， ， 将其代入原分式方程可得， 方程两边同乘（），得， 整理得：． 5．已知：，则等于（     ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式因式分解求解即可． 【详解】解：令，则原方程为 ， ∴， ∴， 解得，即． 6．方程的解为（    ） A．或 B． C． D．无解 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．先去分母，再去括号，移项合并同类项后解出方程的解，再验根，最终确定方程的解． 【详解】解：， 整理得， 去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， ， 解得或， 检验：当时，， 当时，， 原方程的解为． 故选：C ． 二、填空题 7．分式方程的解为__________． 【答案】 【分析】先将分式方程化为整式方程，解整式方程后检验，排除增根即可得到原方程的解． 【详解】解：， 方程两边同乘公分母，得， 整理得， 因式分解得， 解得 或 ， 检验：当时，，故是增根，舍去； 当时，，满足方程要求； 因此原分式方程的解为． 8．若，则的值为___________． 【答案】5或 【分析】将看作整体，换元后转化为一元二次方程求解即可． 【详解】解：设，则原方程可化为， 展开整理得，即，因式分解得， 解得或， 因此的值为或． 三、解答题 9．解方程： 【答案】 【详解】解： 方程两边同乘，得 展开并整理得 化简得 因式分解得 解得或 检验：当时，，当时， 因此原方程的解为． 10．解下列方程：． 【详解】解：设，则原方程化为， ∴， ∴或， 解得，， 当时，则，即， ∵， ∴； 当时，则，即0， ∵， ∴； 综上所述，原方程的解为，． 【B能力提升】 1．已知实数x满足，则代数式的值是（   ） A．7 B．4 C．7或 D．或3 【答案】A 【分析】本题把看作整体，将原方程转化为一元二次方程，用因式分解法求解，再根据平方的非负性舍去不合理的解，最后代入计算即可. 【详解】解：∵， 令，由平方数的非负性得， 原方程可化为， 因式分解得， ∴或， 解得或， ∵， ∴不符合题意舍去，得， ∴． 2．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算，解分式方程．分和两种情况，将变形为分式方程，解分式方程即可． 【详解】解：当时，即时，， ， ， 去分母得：，即, 解得：，（舍去）， 经检验，是分式方程的解； 当时，即时，， ， ， 去分母得：，即, 解得：， 经检验，是分式方程的解； 综上可知，方程的解为或， 故选：D． 3．若关于x的一元二次方程的根为，，则一元二次方程的根为______． 【答案】， 【分析】先整理所求一元二次方程，通过换元法将其转化为与已知方程形式一致的方程，利用已知方程的根得到换元后未知数的值，进而求出所求方程的根． 【详解】解：整理方程，移项得： 设，则上述方程可化为， 根据题意可知：一元二次方程的根为，， 因此可得：或， 解得，． 4．我们把形如（不为零），且两个解分别为的方程称为“十字分式方程”．例如为十字分式方程，可化为．再如为十字分式方程，可化为． 应用上面的结论解答下列问题： （1）若为十字分式方程，则___________，___________． （2）若关于的十字分式方程的两个解分别为，则的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，理解“十字方程”的定义以及题目中的答题方法是解题的关键． （1）根据“十字方程”的答题方法求解即可； （2）善于观察并分析方程，代入运算即可求解． 【详解】解：（1）可化为：， ∴， 故答案为：； （2）可化为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．某工厂承接一批零件加工任务，原计划每天加工若干个零件，恰好按期完成．若每天多加工10个零件，则可提前2天完成；设原计划工期为x 天，总零件数为1120个，列分式方程求解原计划每天加工的零件个数． 【答案】原计划每天加工70 个零件 【分析】表示原计划每天加工 个，实际每天加工 个，实际工期天，进一步可得方程，再解方程即可. 【详解】解：设原计划工期为x 天，总零件数为1120个， ∴原计划每天加工 个，实际每天加工 个，实际工期天． ∴ ， 化简： ， ∴， 两边同乘x： ， 即 ， 解得 (天数为负，舍去)， 原计划每天加工： (个)， 答：原计划每天加工70 个零件． 【C综合与实践】 1．阅读，我们可以用换元法解简单的高次方程，解方程x4﹣3x2+2＝0时，可设y＝x2，则原方程可比为y2+3y+2＝0，解之得y1＝2，y2＝1，当y1＝2时，则x2＝2，即x1＝，x2＝﹣；当y2＝1时，即x2＝1，则x1＝1，x2＝﹣1，故原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝1，x4＝﹣1，仿照上面完成下面解答： (1)已知方程(2x2+1)2+2x2﹣3＝0，设y＝2x2+1，则原方程可化为_______. (2)仿照上述解法解方程：(x2﹣2x)2﹣3x2+6x＝0. 【答案】(1)y2+y﹣4＝0；(2)x＝2或x=0或x＝﹣1或x=3. 【分析】（1）利用完全平方公式可把原式变为(2x2+1)2+2x2+1﹣4＝(2x2+1)2+(2x2+1)﹣4，然后用y代替式子中的2x2+1． （2）(x2﹣2x)2﹣3x2+6x＝0即(x2﹣2x)2﹣3(x2﹣2x)＝0．可以把x2﹣2x当作整体，设x2﹣2x＝y，原方程即可变形为关于y的方程，即可求得y的值，因而求得x的值． 【详解】（1）设y＝2x2+1， 则原方程左边＝(2x2+1)2+(2x2+1)﹣4＝y2+y﹣4． ∴原方程可化为y2+y﹣4＝0． 故答案为：y2+y﹣4＝0． （2）设x2﹣2x＝y， 则原式左边＝(x2﹣2x)2﹣3(x2﹣2x)＝y2﹣3y； ∴y2﹣3y＝0， ∴y(y﹣3)＝0， ∴y＝0或3． 当y＝0时，则x2﹣2x＝0， ∴x(x﹣2)＝0， ∴x＝2或0； 当y＝3时，则x2﹣2x＝3， ∴x2﹣2x﹣3＝0， 解得x＝﹣1或3． 故方程的解为x＝3或x＝2或x＝0或x＝﹣1． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、解高次方程和分解因式等知识点，能正确进行换元是解此题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.2.3 公式法 （第2课时：换元法解二次方程、可化为二次方程分式方程） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【A基础达标】 一、单选题 1．一元二次方程可化为（   ） A． B． C． D． 2．已知方程的解是或，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的值是（   ） A．4 B．2 C．4或 D．或2 4．在分式方程中，设，可得到关于的整式方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知：，则等于（     ） A．2 B．1 C． D． 6．方程的解为（    ） A．或 B． C． D．无解 二、填空题 7．分式方程的解为__________． 8．若，则的值为___________． 三、解答题 9．解方程： 10．解下列方程：． 【B能力提升】 1．已知实数x满足，则代数式的值是（   ） A．7 B．4 C．7或 D．或3 2．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（ ） A． B． C．或 D．或 3．若关于x的一元二次方程的根为，，则一元二次方程的根为______． 4．我们把形如（不为零），且两个解分别为的方程称为“十字分式方程”．例如为十字分式方程，可化为．再如为十字分式方程，可化为． 应用上面的结论解答下列问题： （1）若为十字分式方程，则___________，___________． （2）若关于的十字分式方程的两个解分别为，则的值是___________． 5．某工厂承接一批零件加工任务，原计划每天加工若干个零件，恰好按期完成．若每天多加工10个零件，则可提前2天完成；设原计划工期为x 天，总零件数为1120个，列分式方程求解原计划每天加工的零件个数． 【C综合与实践】 1．阅读，我们可以用换元法解简单的高次方程，解方程x4﹣3x2+2＝0时，可设y＝x2，则原方程可比为y2+3y+2＝0，解之得y1＝2，y2＝1，当y1＝2时，则x2＝2，即x1＝，x2＝﹣；当y2＝1时，即x2＝1，则x1＝1，x2＝﹣1，故原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝1，x4＝﹣1，仿照上面完成下面解答： (1)已知方程(2x2+1)2+2x2﹣3＝0，设y＝2x2+1，则原方程可化为_______. (2)仿照上述解法解方程：(x2﹣2x)2﹣3x2+6x＝0. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $