第27章-第1节-二次函数的概念-课件-2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数概念及自变量取值范围，通过喷水池水线、篮球运动路线等生活情境导入，回顾一次函数等旧知，从实例、概念等四方面搭建学习支架，引导学生迁移研究函数的方法。 其亮点是以问题链驱动，从正方形面积、铁丝围图形等实例抽象出二次函数表达式，培养抽象能力与模型观念。小结梳理知识点与核心素养，助力学生建立知识体系，教师可高效开展概念教学。

第27章 二次函数 第1节 二次函数的概念 年 级：九 年级 学 科：数学（沪教版） 二次函数的概念 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 中文： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 情境引入 2 情境引入 喷水池喷头射出的水线 消防水枪的喷射路线 3 情境引入 投出篮球的运动路线 跳水运动员的运动路线 4 情境引入 5 情境引入 回顾1 我们已经学习过哪些函数？ 一次函数（正比例函数） 反比例函数 回顾2 从哪些方面研究这些函数？ c实例 概念 图像与性质 应用 讨论 如何研究新的函数？ 6 情境引入 问题1 如果正方形的边长是 厘米，面积是 平方厘米. 那么 关于 的函数表达式是__________． 分析 正方形的面积 = 正方形的 变量与变量之间存在怎样的变化关系？ 7 情境引入 问题1 如果正方形的边长是 厘米，面积是 平方厘米. 那么 关于 的函数表达式是__________． 分析 正方形的面积 = 正方形的 当在一定范围内变化时，面积也随之变化. 当确定时，也随之唯一确定. 8 情境引入 问题2 分析 增加的面积 = 现在正方形面积 一个边长为4厘米的正方形，若它的边长增加 ，相应的面积随之增加 ， 关于 的函数解析式是__________. － 原来正方形面积 增加的面积 = 现在正方形 － 原来正方形 ﹦ － ﹦ － ﹦ 9 情境引入 问题3 把一根40厘米的铁丝分为两段，再分别把每一段弯折成一个正方形(不计损耗)．设其中一段铁丝长为 厘米，两个正方形的面积和为 ，如图1和图2所示， 关于 的函数解析式是_____________ . 40cm 40cm (40-)cm 10 情境引入 问题3 把一根40厘米的铁丝分为两段，再分别把每一段弯折成一个正方形(不计损耗)．设其中一段铁丝长为 厘米，两个正方形的面积和为 ，如图1和图2所示， 关于 的函数解析式是_____________ . 分析 面积之和 一个正方形面积 另一个正方形面积 = + 面积之和 = 一个正方形 ＋ 另一个正方形 = ＋ = = 11 情境引入 下列函数表达式有哪些共同特点？ 这三个函数表达式的右边都是关于自变量的二次式. 形如(是常数，且)的函数叫作二次函数.二次函数自变量的取值范围是一切实数. 12 新知讲授 问题1 如果正方形的边长是 厘米，面积是 平方厘米. 那么 关于 的函数表达式是__________． 问题2 一个边长为4厘米的正方形，若它的边长增加 ，相应的面积随之增加 ， 关于 的函数解析式是__________. 问题3 把一根40厘米的铁丝分为两段，再分别把每一段弯折成一个正方形(不计损耗)．设其中一段铁丝长为 厘米，两个正方形的面积和为 ，如图1和图2所示， 关于 的函数解析式是_____________ . 在实际问题中，这三个二次函数自变量的取值范围是什么？ 0 0 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 13 新知讲授 问题1 如果正方形的边长是 厘米，面积是 平方厘米. 那么 关于 的函数表达式是__________． 问题2 一个边长为4厘米的正方形，若它的边长增加 ，相应的面积随之增加 ， 关于 的函数解析式是__________. 问题3 把一根40厘米的铁丝分为两段，再分别把每一段弯折成一个正方形(不计损耗)．设其中一段铁丝长为 厘米，两个正方形的面积和为 ，如图1和图2所示， 关于 的函数解析式是_____________ . 我们称两个变量满足二次函数时，一般情况下，二次函数自变量的取值范围是一切实数；在实际问题中，两个变量只需满足二次函数的表达式即可，自变量的取值范围根据实际意义确定. 0 0 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 14 新知讲授 形如(是常数，且)的函数叫作二次函数.二次函数自变量的取值范围是一切实数. 二次函数表达式的结构特点： 1.等号右边是关于自变量的二次多项式； 2.二次项系数不为零； 3.一次项系数和常数项可以为零. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 15 新知讲授 形如(是常数，且)的函数叫作二次函数.二次函数自变量的取值范围是一切实数. 问题3 把一根40厘米的铁丝分为两段，再分别把每一段弯折成一个正方形(不计损耗)．设其中一段铁丝长为 厘米，两个正方形的面积和为 ，如图1和图2所示， 关于 的函数解析式是_____________ . 面积之和 一个正方形面积 另一个正方形面积 = + = ＋ = = 判断一个函数是否是二次函数，要化简为的形式. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 16 新知讲授 形如(是常数，且)的函数叫作二次函数.二次函数自变量的取值范围是一切实数. 判断一个函数是否是二次函数，要化简为的形式. 二次函数表达式的结构特点： 1.等号右边是关于自变量的二次多项式； 2.二次项系数不为零； 3.一次项系数和常数项可以为零. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 17 新知讲授 练习 下列函数中，哪些是二次函数？ 形如(是常数，且)的函数叫作二次函数.二次函数自变量的取值范围是一切实数. × √ √ √ √ × 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 18 已知函数(其中是常数)，那么是关于的什么函数？ 新知讲授 当时，是关于的二次函数. 当时，是关于的一次函数. 特别地，当时，是关于的正比例函数. 当时，是关于的常值函数. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 19 例题讲解 例1 圆柱的体积公式是V=πr2h，其中V是圆柱的体积， r 是圆柱底面的半径，h 是圆柱的高． (1)当 r 是常量时，V 是 h 的什么函数？ (2)当 h 是常量时，V 是 r 的什么函数？ 分析 （1）V=πr2h h是变量 πr2h是关于h的一次单项式， V是h的一次函数（正比例函数）. （2）V=πr2h r是变量 πhr2是关于r的二次单项式， V是r的二次函数. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 20 例题讲解 例1 圆柱的体积公式是V=πr2h，其中V是圆柱的体积， r 是圆柱底面的半径，h 是圆柱的高． (1)当 r 是常量时，V 是 h 的什么函数？ (2)当 h 是常量时，V 是 r 的什么函数？ 解 （1）当 r 是常量时， πr2h是关于h的一次单项式， 故V是h的一次函数（正比例函数）. （2）当 h 是常量时， πhr2是关于r的二次单项式， 故V是r的二次函数. 在实际问题中，两个变量满足二次函数关系特指满足其表达式的特征. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 21 例题讲解 例2 某厂七月份的产值是100万元，设第三季度每个月产值的增长率相同，都为 (>0) ，九月份的产值为 万元，写出 关于 的函数表达式及自变量的取值范围． 分析 第三季度产值 七月产值 八月产值 九月产值 100万元 八月产值=七月产值×(1＋) 九月产值=八月产值×(1＋) (>0) 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 22 例题讲解 例2 某厂七月份的产值是100万元，设第三季度每个月产值的增长率相同，都为 (>0) ，九月份的产值为 万元，写出 关于 的函数表达式及自变量的取值范围． 解 七月份产值为100万元，月增长率为 ， 则八月份产值为万元， 九月份产值为万元. 所以，关于的函数表达式是， 即， 其中自变量的取值范围是>0. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 23 例题讲解 例3 用长为20米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过20米），围成一个矩形花圃，如图所示，设AB的长为 米，花圃的面积为 平方米，求 关于 的函数表达式及自变量的取值范围． 分析 花圃的面积 AB BC ﹦ × ﹦ × 20 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 24 例题讲解 例3 用长为20米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过20米），围成一个矩形花圃，如图所示，设AB的长为 米，花圃的面积为 平方米，求 关于 的函数表达式及自变量的取值范围． 解 在矩形ABCD中，AB= ，则BC=， 所以关于的函数表达式是， 即. 由边长的实际意义，知，20， 解得 所以，自变量的取值范围是 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 25 例题讲解 变式1 用长为20米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过20米），围成一个矩形花圃，并在花圃中间用篱笆隔出两个矩形小花圃. 如图所示，设AB的长为 米，花圃的面积为 平方米，求 关于 的函数表达式及自变量的取值范围． E F 分析 花圃的面积 AB BC ﹦ × ﹦ × 20 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 26 例题讲解 变式1 用长为20米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过20米），围成一个矩形花圃，并在花圃中间用篱笆隔出两个矩形小花圃. 如图所示，设AB的长为 米，花圃的面积为 平方米，求 关于 的函数表达式及自变量的取值范围． E F 解 在矩形ABCD中，AB= ，则BC=， 所以关于的函数表达式是， 即. 由边长的实际意义，知，20， 解得 所以，自变量的取值范围是 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 27 例题讲解 变式2 用长为20米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过21米），围成一个矩形花圃ABCD，在边BC上预留一个长度为1米的出口EF. 如图所示，设AB的长为 米，花圃的面积为 平方米，求 关于 的函数表达式及自变量的取值范围． E F 分析 花圃的面积 AB BC ﹦ × BE+CF=20-2 BC=BE+CF+EF 21 21 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 28 例题讲解 变式2 用长为20米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过21米），围成一个矩形花圃ABCD，在边BC上预留一个长度为1米的出口EF. 如图所示，设AB的长为 米，花圃的面积为 平方米，求 关于 的函数表达式及自变量的取值范围． E F BE+CF=20-2 解 在矩形ABCD中，AB= ，则BC=， 所以关于的函数表达式是， 即. 由边长的实际意义，知，2121， 解得 所以，自变量的取值范围是 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 29 课堂小结 实例 概念 图像与性质 应用 1. 二次函数的概念（函数表达式及自变量的取值范围）； 抽象能力 2. 由实际问题确定函数表达式及自变量的取值范围. 模型观念 30 结束语 新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要。 -------华罗庚 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 31 $