1.4用一元二次方程解决问题（分层作业，11大题型）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 分层设计清晰，从理解到运用三级递进，覆盖一元二次方程应用全题型，适配新授课基础巩固与能力提升，培养模型意识与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|传播、增长率问题|基础选择填空，巩固概念应用，培养抽象能力| |B组|图形、数字、营销等六类问题|解答题为主，强化模型构建，发展运算能力| |C组|动态几何、循环赛问题|综合探究题，深化逻辑推理，提升创新意识|

分层作业 1.4 用一元二次方程解决问题 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 传播问题（一元二次方程的应用） 题型02 增长率问题（一元二次方程的应用） B组 能力进阶 题型01 图形问题（一元二次方程的应用） 题型02 数字问题（一元二次方程的应用） 题型03 营销问题（一元二次方程的应用） 题型04 工程问题（一元二次方程的应用） 题型05 行程问题（一元二次方程的应用） 题型06 图表信息题（一元二次方程的应用） C组 思维拔高 题型01 动态几何问题（一元二次方程的应用） 题型02 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 题型03 其他问题（一元二次方程的应用） 传播问题（一元二次方程的应用）题型01 1．（25-26九年级上·山东滨州·月考）有5人患了流感，经过两轮传染后，共有245人患了流感，每轮传染中平均每人传染了（   ）个人． A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每轮传染中平均每人传染了x个人，则第一轮新增感染人，第二轮新增感染人，根据经过两轮传染后，共有245人患了流感建立方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x个人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， ∴每轮传染中平均每人传染了6个人， 故选：C． 2．（24-25八年级下·江苏南通·月考）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染了______个人． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故答案为：10． 3．（2025·福建·模拟）在某种病毒的传播过程中，每轮1人平均会传染人，若最初2人感染该病毒，经过两轮传染，感染总人数达到人，则可列方程为______ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找到列方程的等量关系是解决问题的关键．每轮1人平均会传染人，最初2人感染该病毒，可得出第一轮感染后总人数为人，第二轮感染后总人数为，根据两轮共有人感染列方程即可． 【详解】解：根据题意，列方程得： 故答案为： ． 4．有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了______个人． 【答案】12 【分析】设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解 【详解】解：设平均一人传染了x人， x+1+（x+1）x=169 解得：x=12或x=-14（舍去）． ∴平均一人传染12人． 故答案为：12． 【点睛】本题考查理解题意的能力，关键是看到两轮传染，从而可列方程求解． 5．有一个人收到短信后，再用手机转发短信息，每人只转发一次，经过两轮转发后共有133人收到短信，问每轮转发中平均一个人转发给多少人？ 【答案】每轮转发中平均一个人转发给11人 【分析】设每轮转发中平均一个人转发给x人，根据题意可得出第一轮转发共有人收到短信，则第二轮转发共有人收到短信，由此可列出关于x的等式，解出x即可． 【详解】解：设每轮转发中平均一个人转发给x人， 由题意得：， 解得：（舍）， ∴每轮转发中平均一个人转发给11人． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键． 增长率问题（一元二次方程的应用）题型02 1．（2025·江苏南通·二模）某件商品原价1000元，连续两次都降价后售价为640元，则x的值为（    ） A．68 B．64 C．36 D．20 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出方程．根据两次降价后的价钱为640元，列出方程，求解即可． 【详解】解：由题意可得，两次降价后的价格为：， 解得或（舍去）． 故选：D． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·月考）一件原价为100元的衣服经过两次降价后的价格为81元，若设每次降价的百分率都是x，则可列方程为______． 【答案】 【详解】解：设每次降价的百分率都是，由题意可列方程为． 3．某商场销售额3月份为16万元，5月份为25万元，该商场这两个月销售额的平均增长率是_______． 【答案】 【分析】设该商场4、5两个月销售额的平均增长率是x，利用该商场5月份的销售额＝该商场3月份的销售额×（1+平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】设商场4、5两个月销售额的增长率为x，四月份的销售额为， 5月份的销售额为， 则根据题意列方程： 解得：（负数已舍 ） 故答案为： 4．某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是_______ 【答案】20％ 【分析】此题可设每次降价的百分率为x，第一次降价后价格变为100（1-x）元，第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（1-x）（1-x），即100（1-x）2元，从而列出方程，求出答案． 【详解】设每次降价的百分率为x，第二次降价后价格变为100（1-x）2元． 根据题意，得100（1-x）2=64， 即（1-x）2=0.64， 解得x1=1.8，x2=0.2． 因为x=1.8不合题意，故舍去， 所以x=0.2． 即每次降价的百分率为0.2，即20%． 故答案为20%． 5．（25-26九年级上·吉林长春·期末）一家小超市1月份的利润是50000元，3月份的利润达到60500元，求这两个月的利润平均月增长的百分率． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意、找准相等关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这两个月的利润平均月增长的百分率是x，根据“原有量增长率现有量”，n表示增长的次数，据此列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这两个月的利润平均月增长的百分率是x， 根据题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：这两个月的利润平均月增长的百分率是． 图形问题（一元二次方程的应用）题型01 1．以2、4为两边长的三角形的第三边长是方程的根，则这个三角形的周长为（ ） A．8 B．11 C．11或8 D．以上都不对 【答案】B 【详解】试题分析：求出方程的解，根据三角形的三边关系看是否能组成三角形，再求出三角形的周长即可． 解：x2-7x+10=0， ∴（x-2）（x-5）=0，x-2=0，x-5=0， ∴x1=2，x2=5， 根据三角形的三边关系定理，x=2不合题意，x=5能组成三角形， ∴第三边的长是5，周长是2+4+5=11， 故选B． 考点：1．解一元二次方程——因式分解法；2．三角形的三边关系． 2．（24-25九年级上·广东河源·期中）若直角三角形三边长分别是n，，，则该三角形的面积是______． 【答案】54 【分析】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，正确求出该直角三角形的两条直角边长是解题关键．根据直角三角形斜边最长结合勾股定理可求出n的值，再计算其面积即可． 【详解】解：∵， ∴该直角三角形的两条直角边分别为n，， ∴， 解得：（舍），， ∴该直角三角形的两条直角边分别为9，12， ∴该三角形的面积是． 故答案为：54． 3．用一根长的铁丝围成一个斜边长是的直角三角形，则这个直角三角形的面积为________． 【答案】24 【分析】设其中一条直角边为未知数，根据勾股定理列方程求出两条直角边的长度，再计算直角三角形的面积即可． 【详解】解：设一条直角边长为， ∵铁丝总长为，斜边长为， ∴另一条直角边长为， 根据勾股定理得， 解得，， ∴两直角边长分别为和， ∴直角三角形的面积为． 4．（2025·广东珠海·三模）如图1，将面积为36的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为________． 【答案】 【分析】本题考查了关于图形的剪拼的一元二次方程的应用．已知图中的①和②，③和④形状大小分别完全相同，结合图中数据可知①④能拼成一个直角三角形，②③能拼成一个直角三角形，并且这两个直角三角形形状大小相同，利用这两个直角三角形即可拼成矩形；利用拼图前后的面积相等列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：如图 图1中的正方形面积为36， 正方形边长为6， 直角三角形①中的长直角边为6， ，整理得， 解得：（负值已舍去） ， 故答案为：． 5．一个面积为的矩形，它的长比宽多，求矩形的长和宽．（列方程，并估算出方程的根） 【答案】长12,宽10 【分析】分别表示出矩形的长和宽，利用面积公式列出方程，再进行估算即可； 【详解】解：设矩形的宽为，则长为． 根据题意，得，即． 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 23 所以．所以矩形的宽为，长为． 【点睛】本题考查了由实际问题列一元二次方程的知识，解题的关键是能够找到题目中的等量关系，难度不大． 数字问题（一元二次方程的应用）题型02 1．若两个连续整数的积是56，则它们的和为（ ） A．11 B．15 C．﹣15 D．±15 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用. 设这两个连续整数中较小的一个是为x，则较大的是x+1．根据两个连续整数的积是x（x+1），根据关键描述语“两个连续整数的积是56”，即可列出方程求得x的值，进而求得这两个数的和． 【详解】解：设这两个连续整数为x，x+1． 则x（x+1）=56， 解之得，x=7或x=-8， 则x+1=8或-7， 则它们的和为±15． 故选D． 2．已知两个连续整数的积为，则这两个数的和为___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用；表示出两个连续整数的积的等量关系是解决本题的关键． 连续整数相差，设较小的整数为，则较大的整数为；由题意得，解方程即可． 【详解】解：设较小的整数为，则较大的整数为． 依题意，得． 整理，得， 解得，． 当时，； 当时，． 综上所述，这两个数的和为或． 故答案为：或． 3．若两个相邻偶数的积为528，设较小的一个偶数为，则可以列方程：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设较小的一个偶数为x，则相邻的较大偶数为，再根据两数积为528直接列出方程即可求解． 【详解】解：设较小的一个偶数为x，则另一个偶数为， 因此方程为． 故答案为：． 4．两个连续的偶数乘积为224，设较小的偶数为x，可得方程为____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．设较小的偶数为x，则另一个连续的偶数为，再根据“两个连续的偶数乘积为224”列出方程即可． 【详解】解：设较小的偶数为x，则另一个连续的偶数为， 由题意得：， 故答案为：． 5．如图，根据小颖与某软件的对话，请你给出正确的答案． 【答案】这个数是1 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确建立方程是解题关键． 设这个数是，根据题意建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设这个数是， 由题意得：， 整理得：， 解得， 答：这个数是1． 营销问题（一元二次方程的应用）题型03 1．将进货单价为40元的商品按50元出售时，售出500个．经市场调查发现：该商品每涨价1元，其销量减少10个．为了赚8000元，则售价应定为（   ） A．60元 B．80元 C．60元或80元 D．70元 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设每个商品涨价x元，则售价为元，销量为个．根据利润公式列出利润方程并求解即可进一步得到售价． 【详解】解：设每个商品涨价x元，则售价为元，销量为个． ∵每个利润为元， ∴总利润为． 整理得：， 解得或， 则售价为元或元． 故售价应定为60元或80元． 故选：C． 2．某商品进价为3元，当售价为x元时可销售商品（x＋3）个，此时获利160元，则该商品售价为____________元． 【答案】13 【分析】由题意直接根据“获利是160元”，即销售商品的个数×每件的盈利=获利，可列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：根据题意得（x-3）（x+3）=160 解方程得x=13或x=-13（负值舍去） 所以该商品的售价为13元． 故答案为：13． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 3．某商品进价每件30元，有一段时间若以元卖出，则可卖件，商场计划要赚1200元，同时又让顾客得到实惠，则该商品的售价______元． 【答案】60 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，得，解方程即可． 【详解】根据题意，得， 整理得， 解方程，得， 要让顾客得到实惠， 价格取较低的， 故， 故答案为：60． 4．某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元．在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件每降价1元，则每天可多售出5件．如果每天要盈利1600元，则每件应降价 ___元． 【答案】4 【分析】设每件降价元，则可多售出5件，根据题意列出一元二次方程解方程求解即可． 【详解】设每件降价元，则可多售出5件，根据题意可得： 化简整理得， 解得： ∴ 故答案为：4 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程方程是解题的关键． 5．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出件，问题如下： (1)若获得的利润为1000元，应该如何定价？ (2)如何定价才能使利润最大？ 【答案】(1)50元/件或80元/件 (2)65元/件 【分析】（1）先利用销量每件利润得出y与x的函数关系式，再利用y＝1000，解方程求出即可； （2）利用配方法求二次函数最值，解出即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 令， 解得：， ∴当售价为50元/件或80元/件时，利润可达1000元； （2）由题意可得： ， ∴当时，函数有最大值1225， ∴当定价为65元/件时，利润最大． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，正确得出y与x的函数关系式是解题关键． 工程问题（一元二次方程的应用）题型04 1．某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 【答案】6 【分析】本题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程的应用，正确的找出等量关系列出方程是解题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，在本题中“开工后每天比原计划多栽2棵”和“提前4天完成任务”，就是两个相等关系．根据题目所要解决的问题，选择第二个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 【详解】解：设原计划每天栽x棵，那么原计划完成任务所需的天数为，实际每天栽棵树棵，实际完成任务所需的天数为， 依题意列方程得： ， 整理得： 解方程得：（舍去） 故原计划每天栽6棵桂花树． 2．为了满足铁路交通的快速发展，安庆火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？ 【答案】甲队单独完成这项工程需要15个月，乙队单独完成这项工程需要10个月 【分析】设甲队单独完成这项工程需要x个月，则乙队单独完成这项工程需要（x﹣5）个月，根据两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍建立方程求出其解即可． 【详解】解：设甲队单独完成这项工程需要x个月，则乙队单独完成这项工程需要（x﹣5）个月，由题意，得 x（x﹣5）=6（x+x﹣5）， 解得：x1=2（舍去），x2=15． ∴乙队单独完成这项工程需要15﹣5=10个月 答：甲队单独完成这项工程需要15个月，乙队单独完成这项工程需要10个月． 3．2020年春以来，在党和政府的领导下，我国人民进行了一场抗击“新型冠状病毒”战役．为了控制疫情的蔓延，某卫生材料厂接到上级下达赶制19.2万只“医用口罩”的任务，为使口罩早日到达防疫第一线，工厂开工后每天比原计划多加工0.4万只，结果提前4天完成任务．请问该厂原计划每天加工多少万只口罩？ 【答案】1.2万 【分析】求的是原计划的工效，工作总量明显，一定是根据工作时间来列等量关系，本题的关键描述语是：提前4天完成任务，等量关系为：原计划所用时间﹣实际所用时间＝4，列出方程可求解． 【详解】解：设原计划每天加工x万只口罩， 根据题意，得＝4， 整理，得x2+0.4x﹣1.92＝0， 解得x1＝1.2，x2＝﹣1.6， 经检验可知x1，x2都是原方程的解，因x2＜0不合题意，应舍去． 答：该厂原计划每天加工1.2万只口罩． 【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 4．北京冬奥会期间，海内外掀起一股购买冬奥会吉祥物“冰墩墩”的热潮．某玩具厂接到6000箱“冰墩墩”的订单，需要在冬奥会闭幕之前全部交货．为了尽快完成订单，玩具厂改良了原有的生产线，每天可以多生产20箱“冰墩墩”，结果提前10天完成任务，求该玩具厂改良生产线前每天生产多少箱“冰墩墩”？ 【答案】100箱 【分析】设该玩具厂改良生产线前每天生产x箱“冰墩墩”，则该玩具厂改良生产线后每天生产(x+20)箱“冰墩墩”，根据题意即可列出分式方程，解分式方程即可求得． 【详解】解：设该玩具厂改良生产线前每天生产x箱“冰墩墩”，则该玩具厂改良生产线后每天生产箱“冰墩墩”， 根据题意得 整理得： 解得，(舍去) 经检验：，都是原方程的解，但不符合题意舍去， 故该玩具厂改良生产线前每天生产100箱“冰墩墩”． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程是解决本题的关键，注意要检验． 5．为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【答案】每天加固的长度还要再增加64米 【分析】设现在计划每天加固的长度为x米，则原计划每天加固的长度为米，根据“现计划比原计划所需天数缩短2天”列分式方程，即可求解． 【详解】解：设现在计划每天加固的长度为x米， 由题意知：， 整理可得：， 解得，（舍）， 经检验，是所列分式方程的解， 即现在计划每天加固的长度为160米， （米）， 因此每天加固的长度还要再增加64米． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用、解一元二次方程，解题的关键是根据所给等量关系列出分式方程，求出解后注意检验． 行程问题（一元二次方程的应用）题型05 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把路程的值代入求解． 根据路程和时间之间的关系，将代入求出t即可． 【详解】解：依题意得： ， 整理得， 解得(不合题意舍去)，， 即行驶需要． 故选：C. 2．一辆汽车的行驶距离关于行驶时间的函数关系式是．若汽车行驶，则行驶时间是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将代入，得， 两边同时乘以，得， 移项，得， 开平方，得， ∵， ∴，解得． 3．某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系为：，那么行驶需要________． 【答案】 【分析】汽车行驶的路程s（m）与时间t（s）之间的函数关系是：s=10t+3t2，可以根据这个关系式，把s=200m代入关系式求得时间t即可． 【详解】依题意：10t+3t2=200， 整理得3t2+10t−200=0， 解得t1=−10(不合题意舍去)，t2=． 即行驶200m需要s． 故答案为 【点睛】考查一元二次方程的应用，读懂题目，根据题目列出方程是解题的关键． 4．一个小球以速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动．小球滚动约用了________秒（结果保留小数点后一位） 【答案】1.2． 【分析】利用等量关系：速度时间=路程，时间为，根据题意列出方程：求解即可． 【详解】由题意得：小球的平均每秒减少的滚动速度是， 设小球滚动5时约用了， 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵， ∴， 故小球滚动用了1.2秒． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，重点在于求出平均每秒小球的运动减少的速度，读懂题意是解题的关键． 5．一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后又滑行25m后停车． （1）从刹车到停车用了多少时间？ （2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ （3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）？ 【答案】（1）2.5s；（2）8m/s；（3）0.9 【分析】（1）由题意可得s＝25m，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间； （2）汽车从刹车到停车，车速从20m/s减少到0，由（1）可得车速减少共用了2.5秒，平均每秒车速减少量＝总共减少的车速÷时间，由此可求得； （3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs，这时车速为（20-8x）m/s，继而可表示出这段路程内的平均车速，从而可求得x． 【详解】解：（1）从刹车到停车所用的路程是25m；从刹车到停车的平均车速是（m/s）， 那么从刹车到停车所用的时间是s； （2）从刹车到停车车速的减少值是20-0＝20， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是m/s； （3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs，这时车速为（20-8x）m/s， 则这段路程内的平均车速为， 所以x（20-4x）＝15， 整理得：4x²-20x＋15＝0， 解得：， ∴x≈4.08（不合，舍去），x≈0.9（s）， 答：刹车后汽车行驶到15m时约用0.9s． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子． 图表信息题（一元二次方程的应用）题型06 1．根据下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（    ） 2 3 4 5 6 5 13 A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5 【答案】D 【分析】根据表格数据，找出代数式从变为时的取值范围即可判断 【详解】时，， 时，， 则的解的范围为， 即一元二次方程的解大概是4.5． 故选D． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的解的近似值，根据表格获得信息是解题的关键． 2．有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了45场，则根据题意列出方程__． 【答案】 【分析】先列出支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛场，再根据题意列出方程为． 【详解】解：有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场， 共比赛场数为， 共比赛了45场， ， 故答案为． 【点睛】此题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系． 3．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数． 【答案】12 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】设最小数为x，则最大数为， ， ， 解得（舍去）， 所以小欧框出的最小数是12． 4．根据龙湾风景区的旅游信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元.你能确定参加这次旅游的人数吗？ 【答案】参加旅游的人数40人. 【分析】首先设有人参加这次旅游，判定，然后根据题意列出方程，再判定出符合题意的解即可. 【详解】设有人参加这次旅游 ∵ ∴参加人数 依题意得： 解得：， 当时，，符合题意. 当时，，不符合题意 答：参加旅游的人数40人. 【点睛】此题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是理解题意，列出方程. 5．如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    【答案】最小数为8，最大数为18 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】解：设最小数为x，根据题意，得到最大数为， ∴， 解得（舍去）． 故最小数为8，最大数为18． 动态几何问题（一元二次方程的应用）题型01 1．如图①，在矩形中，，对角线、相交于点，动点由点出发，沿向点运动，设点的运动路程为，的面积为，图②是关于的函数关系图象，则边的长为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，矩形的性质，根据图形，分情况分析：当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，面积最大为，推出；当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为，此时结合图象可知点运动路径长为，得到与的和为，构造关于的一元二方程可求解．解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值． 【详解】解：在矩形中，，当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，面积最大为， ∴，， 当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为，此时结合图象可知点运动路径长为， ∴， ∴， 代入，得：， 解得：或， ∵， ∴． 故选：B． 2．（25-26九年级上·广东佛山·月考）如图，在中，点、同时由、两点出发分别沿、方向向点匀速运动，其速度为，几秒后的面积是面积的一半（   ） A． B．9 C．或9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，得出，结合运动速度和运动方向得，根据三角形面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设秒后的面积是面积的一半， 则， ∵点、同时由、两点出发分别沿、方向向点匀速运动，其速度为， ∴， 故， 即， ∴， 整理得 ∴ 解得或， 当时，则不符合题意； ∴秒后的面积是面积的一半， 故选：A． 3．（25-26九年级上·广西贵港·期中）如图，机器人从点沿）以向移动，机器人从点沿（长）以向移动，当的面积为两机器人协作区域的面积的时，运动时间为_____．    【答案】1或3 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；由题意得，则得，由面积关系建立一元二次方程即可求解． 【详解】解：由题意得：， 则， ∵的面积为两机器人协作区域的面积的， ∴， 即， 整理得：， 解得：， 故答案为：1或3． 4．根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：）约为．根据上述规律，则物体经过______秒落回地面． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的时间应用，根据落回地面时，物体的高度为0列出方程求解即k． 【详解】解：当时，解得（舍去）或， ∴物体经过秒落回底面， 故答案为：． 5．如图，在中，∠，动点P、Q分别从点A、B同时开始移动，点P的速度为/秒，点Q的速度为/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．运动多少时间时，能使的面积为？    【答案】运动秒时，能使的面积为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设运动时间为t秒，则，由三角形的面积公式结合的面积为，即可得出关于t的一元二次方程，解之取合适的值即可． 【详解】解：设运动时间为t秒，则， 依题意，得：， 解得：， ∵， ∴， ∴． 答：运动秒时，能使的面积为． 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）题型02 1．（24-25八年级下·江苏南通·月考）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，参加聚会的人数是（   ） A．5人 B．4人 C．3人 D．6人 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是掌握组合数的公式．通过组合数公式建立方程求解人数． 【详解】解：设有人，根据题意，得， 整理，得， 解得（不符合题意，舍去）， ∴参加聚会的有5人， 故选：． 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送贺卡72张，则该小组共有______人． 【答案】9 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该小组共有x人，则每人需送出张贺卡，根据全组共送贺卡72张，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设该小组共有x人，则每人需送出张贺卡， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴该小组共有9人． 故答案为：9． 3．（24-25九年级上·广东江门·月考）某次商品交易会上，所有参加会议的两个商家之间都签订了一份合同，共签订合同45份，则共有______个商家参加了交易会． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设共有个商家参加了交易会，利用签订合同的总数参加会议的商家数参加会议的商家数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出参加交易会的商家数． 【详解】解：设共有个商家参加了交易会， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故答案为：10． 4．（25-26八年级下·黑龙江绥化·月考）三（六）班的同学毕业时每人都送了其他人一张自己的照片，全班共送了1560张，则三（六）班的人数是______． 【答案】40 【分析】设三（六）班有人，根据全班共送了1560张，列出方程进行求解即可. 【详解】解：设三（六）班有人，由题意，， 解得或（舍去）； 答：三（六）班有人. 5．（25-26九年级上·广东东莞·期中）九年级某班在期中考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了张卡片，求班级学生人数． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设班级学生人数为人，则每人送出张卡片，共送出张卡片，根据“全班共送了张卡片”可列出方程，解方程即可求出答案，此时应注意考虑解的合理性．理解题意并正确列出方程求解是解题的关键． 【详解】解：设班级学生人数为人， 依题意，得：， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴班级学生人数为人． 其他问题（一元二次方程的应用）题型03 1．（25-26九年级上·河北廊坊·月考）如图是一个简单的数值运算程序．当输出结果为时，输入的值为（   ） A．3或 B．6或 C．1或3 D．48 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据题意列出方程，即可解答． 【详解】解：当输出结果为时， 解得：或， 故选：B． 2．（24-25八年级上·四川成都·月考）已知一直角三角形面积为10，两直角边的和为9，则斜边长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积公式和直角三角形的勾股定理，对于计算直角三角形的面积可以应用公式“直角三角形面积等于两直角边乘积的一半”．直角三角形的勾股定理是解答本题的关键知识点． 设直角三角形一条直角边长为x，则另一条直角边的长为，根据直角三角形面积为10列出方程，最后利用直角三角形勾股定理即可求出斜边的值． 【详解】解：设直角三角形一条直角边长为x，则另一条直角边的长为， 依题意有， 解得． ∴直角三角形两条直角边为：4，5， 故斜边长． 故答案为：． 3．参加足球联赛的每两队之间都进行一次比赛，共要比赛45场．设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为____． 【答案】 【分析】设有个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场场比赛，共要比赛45场，可列出方程．本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解． 【详解】解：设有个队参赛， ． 故答案为：． 4．某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛28场，则参加此次比赛的球队数是______． 【答案】8 【分析】根据球赛问题模型列出方程即可求解． 【详解】解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得： ， 化简，得 解得 (舍去)， 答：参加此次比赛的球队数是8队． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题． 5．把长的一根铁丝分成两段，将每一段围成一个正方形，如果这两个正方形的面积之差是，求这两段铁丝的长． 【答案】两段铁丝的长分别为和 【分析】可设出一段铁丝的长为，则另一段为，根据两正方形面积之差为，列出方程即可解得结果． 【详解】解：设其中较大的一段的长为，则另一段的长为． 则两个小正方形的边长分别为和 两正方形面积之差为， ， 解得．则另一段长为． 两段铁丝的长分别为和． 【点睛】本题考查平方差公式的实际应用，结合了方程思想的应用，属于比较典型的题目，要注意此类问题解法的掌握． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.4 用一元二次方程解决问题 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 传播问题（一元二次方程的应用） 题型02 增长率问题（一元二次方程的应用） B组 能力进阶 题型01 图形问题（一元二次方程的应用） 题型02 数字问题（一元二次方程的应用） 题型03 营销问题（一元二次方程的应用） 题型04 工程问题（一元二次方程的应用） 题型05 行程问题（一元二次方程的应用） 题型06 图表信息题（一元二次方程的应用） C组 思维拔高 题型01 动态几何问题（一元二次方程的应用） 题型02 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 题型03 其他问题（一元二次方程的应用） 传播问题（一元二次方程的应用）题型01 1．（25-26九年级上·山东滨州·月考）有5人患了流感，经过两轮传染后，共有245人患了流感，每轮传染中平均每人传染了（   ）个人． A．8 B．7 C．6 D．5 2．（24-25八年级下·江苏南通·月考）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染了______个人． 3．（2025·福建·模拟）在某种病毒的传播过程中，每轮1人平均会传染人，若最初2人感染该病毒，经过两轮传染，感染总人数达到人，则可列方程为______ 4．有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了______个人． 5．有一个人收到短信后，再用手机转发短信息，每人只转发一次，经过两轮转发后共有133人收到短信，问每轮转发中平均一个人转发给多少人？ 增长率问题（一元二次方程的应用）题型02 1．（2025·江苏南通·二模）某件商品原价1000元，连续两次都降价后售价为640元，则x的值为（    ） A．68 B．64 C．36 D．20 2．（25-26八年级下·浙江杭州·月考）一件原价为100元的衣服经过两次降价后的价格为81元，若设每次降价的百分率都是x，则可列方程为______． 3．某商场销售额3月份为16万元，5月份为25万元，该商场这两个月销售额的平均增长率是_______． 4．某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是_______ 5．（25-26九年级上·吉林长春·期末）一家小超市1月份的利润是50000元，3月份的利润达到60500元，求这两个月的利润平均月增长的百分率． 图形问题（一元二次方程的应用）题型01 1．以2、4为两边长的三角形的第三边长是方程的根，则这个三角形的周长为（ ） A．8 B．11 C．11或8 D．以上都不对 2．（24-25九年级上·广东河源·期中）若直角三角形三边长分别是n，，，则该三角形的面积是______． 3．用一根长的铁丝围成一个斜边长是的直角三角形，则这个直角三角形的面积为________． 4．（2025·广东珠海·三模）如图1，将面积为36的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为________． 5．一个面积为的矩形，它的长比宽多，求矩形的长和宽．（列方程，并估算出方程的根） 数字问题（一元二次方程的应用）题型02 1．若两个连续整数的积是56，则它们的和为（ ） A．11 B．15 C．﹣15 D．±15 2．已知两个连续整数的积为，则这两个数的和为___________． 3．若两个相邻偶数的积为528，设较小的一个偶数为，则可以列方程：________． 4．两个连续的偶数乘积为224，设较小的偶数为x，可得方程为____________． 5．如图，根据小颖与某软件的对话，请你给出正确的答案． 营销问题（一元二次方程的应用）题型03 1．将进货单价为40元的商品按50元出售时，售出500个．经市场调查发现：该商品每涨价1元，其销量减少10个．为了赚8000元，则售价应定为（   ） A．60元 B．80元 C．60元或80元 D．70元 2．某商品进价为3元，当售价为x元时可销售商品（x＋3）个，此时获利160元，则该商品售价为____________元． 3．某商品进价每件30元，有一段时间若以元卖出，则可卖件，商场计划要赚1200元，同时又让顾客得到实惠，则该商品的售价______元． 4．某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元．在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件每降价1元，则每天可多售出5件．如果每天要盈利1600元，则每件应降价 ___元． 5．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出件，问题如下： (1)若获得的利润为1000元，应该如何定价？ (2)如何定价才能使利润最大？ 工程问题（一元二次方程的应用）题型04 1．某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 2．为了满足铁路交通的快速发展，安庆火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？ 3．2020年春以来，在党和政府的领导下，我国人民进行了一场抗击“新型冠状病毒”战役．为了控制疫情的蔓延，某卫生材料厂接到上级下达赶制19.2万只“医用口罩”的任务，为使口罩早日到达防疫第一线，工厂开工后每天比原计划多加工0.4万只，结果提前4天完成任务．请问该厂原计划每天加工多少万只口罩？ 4．北京冬奥会期间，海内外掀起一股购买冬奥会吉祥物“冰墩墩”的热潮．某玩具厂接到6000箱“冰墩墩”的订单，需要在冬奥会闭幕之前全部交货．为了尽快完成订单，玩具厂改良了原有的生产线，每天可以多生产20箱“冰墩墩”，结果提前10天完成任务，求该玩具厂改良生产线前每天生产多少箱“冰墩墩”？ 5．为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 行程问题（一元二次方程的应用）题型05 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 2．一辆汽车的行驶距离关于行驶时间的函数关系式是．若汽车行驶，则行驶时间是（     ） A． B． C． D． 3．某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系为：，那么行驶需要________． 4．一个小球以速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动．小球滚动约用了________秒（结果保留小数点后一位） 5．一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后又滑行25m后停车． （1）从刹车到停车用了多少时间？ （2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ （3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）？ 图表信息题（一元二次方程的应用）题型06 1．根据下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（    ） 2 3 4 5 6 5 13 A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5 2．有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了45场，则根据题意列出方程__． 3．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数． 4．根据龙湾风景区的旅游信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元.你能确定参加这次旅游的人数吗？ 5．如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    动态几何问题（一元二次方程的应用）题型01 1．如图①，在矩形中，，对角线、相交于点，动点由点出发，沿向点运动，设点的运动路程为，的面积为，图②是关于的函数关系图象，则边的长为(   ) A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东佛山·月考）如图，在中，点、同时由、两点出发分别沿、方向向点匀速运动，其速度为，几秒后的面积是面积的一半（   ） A． B．9 C．或9 D．10 3．（25-26九年级上·广西贵港·期中）如图，机器人从点沿）以向移动，机器人从点沿（长）以向移动，当的面积为两机器人协作区域的面积的时，运动时间为_____．    4．根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：）约为．根据上述规律，则物体经过______秒落回地面． 5．如图，在中，∠，动点P、Q分别从点A、B同时开始移动，点P的速度为/秒，点Q的速度为/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．运动多少时间时，能使的面积为？    握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）题型02 1．（24-25八年级下·江苏南通·月考）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，参加聚会的人数是（   ） A．5人 B．4人 C．3人 D．6人 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送贺卡72张，则该小组共有______人． 3．（24-25九年级上·广东江门·月考）某次商品交易会上，所有参加会议的两个商家之间都签订了一份合同，共签订合同45份，则共有______个商家参加了交易会． 4．（25-26八年级下·黑龙江绥化·月考）三（六）班的同学毕业时每人都送了其他人一张自己的照片，全班共送了1560张，则三（六）班的人数是______． 5．（25-26九年级上·广东东莞·期中）九年级某班在期中考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了张卡片，求班级学生人数． 其他问题（一元二次方程的应用）题型03 1．（25-26九年级上·河北廊坊·月考）如图是一个简单的数值运算程序．当输出结果为时，输入的值为（   ） A．3或 B．6或 C．1或3 D．48 2．（24-25八年级上·四川成都·月考）已知一直角三角形面积为10，两直角边的和为9，则斜边长为______． 3．参加足球联赛的每两队之间都进行一次比赛，共要比赛45场．设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为____． 4．某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛28场，则参加此次比赛的球队数是______． 5．把长的一根铁丝分成两段，将每一段围成一个正方形，如果这两个正方形的面积之差是，求这两段铁丝的长． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $