1.1.3集合的基本运算讲义 -2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

本讲义聚焦集合的基本运算核心知识点，系统梳理交集、并集、全集与补集的定义、Venn图表示、运算性质及德摩根定律，承接集合概念与子集知识，构建从概念到运算的完整学习支架。 该资料通过Venn图直观呈现集合关系培养几何直观（数学眼光），结合高考真题与各地月考题型训练逻辑推理（数学思维），容斥原理应用题强化数学语言表达现实问题。课中助力教师系统授课，课后供学生针对性练习查漏补缺。

1.1.3集合的基本运算 一、知识点 1.交集 一般地，给定两个集合，，由既属于又属于的所有元素（即和的公共元素）组成的集合，称为与的交集，记作，读作“交”. （1）的图象表示： ①与有部分公共元素 ②与没有公共元素， ③，则 ④，则 ⑤ 注：图中阴影部分表示交集 （2）的符号表示： （3）交集的运算性质 性质 说明 满足交换律 空集与任何集合的交集都为空集 集合与集合本身的交集仍为集合本身 多个集合的交集满足结合率 若，则 交集关系与子集关系的转化 ， 两个集合的交集是其中任一集合的子集 2.并集 一般地，给定两个集合，，由着两个集合的所有元素组成的集合，称为与的并集，记作，读作“并” （1）的图形表示 ①与有部分公共元素 ②与没有公共元素 ③，则 ④，则 ⑤ 注：图中阴影部分表示并集 （2）的符号表示： （3）并集的运算性质 性质 说明 满足交换律 任何集合与空集的并集仍为集合本身 集合与集合本身的并集仍为集合本身 多个集合的并集满足结合率 多个集合的综合运算 满足分配律 若，则 并集关系与子集关系的转化 ， 任何集合都是该集合与另一集合并集的子集 3.全集与补集 在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用表示，如果集合是全集的一个子集，则由中不属于的所有元素组成的集合称为在中的补集，记作，读作“在中的补集”，由全集及其子集得到，通常称为补集运算. （1）全集与补集的图形表示： （2）集合的补集的符号表示： （3）补集的运算性质： 性质 说明 任何集合与其补集的并集为全集 任何集合与其补集的交集为空集 任何集合的补集的补集为其本身 ， 全集的补集为空集，空集的补集为全集 4.德.摩根定律 （1） （2） 二、题型训练 1.交集运算 例1.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 由题意知． 例2.集合，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 因为，，所以． 故选：A. 例3.设集合，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由交集的定义结合题意可得：. 故选：D. 练习： 1.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 集合，，，故选B. 2.设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ，，如图所示，，故选D. 3.已知集合，，则集合中元素的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ，，，，，故选D. 4.[湖南长沙2026月考]已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由，可得，所以，又，所以，故选C. 5.[浙江杭州二中2026高一月考]已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ，，则，故选B. 6.[2026年高考全国2卷]已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由，解得或，即，所以，故选A. 7.[2025年高考全国2卷]已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由题意得，所以，故选D. 8.[2025年高考北京卷]已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 有，则. 9.设集合，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ，故， 故选：B. 2.并集运算 例4.已知集合，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 因为，， 所以. 故选：D 例5.集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 因为，，所以. 故选：B. 练习： 1.若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 根据并集的定义可得. 2.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 解不等式，可得，因此集合，由集合，可得，故选B 3.（多选）满足的集合可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 由知，且中至少有个元素，故选ABD 4.设集合，则满足的集合的个数是________. 【答案】 【解析】 显然，除此之外，，可以在中，也可以不在中，共有种可能，故集合的个数为. 5.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 因为集合，，所以，故选B. 6.已知，集合，则集合可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ，集合，所以集合中必有元素，，可能有元素，，，，故只有选项C符合. 7.[2026年高考北京卷]已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由题意得，，故选D. 8.已知集合，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由，得， 因为， 所以， 故选：B 9.已知集合，，，则的子集共有（     ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 因为，， 所以， 所以，则的子集共有个， 故选：D 3.补集运算 例6.已知集合，，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为集合，，， 所以，所以. 故选：C. 例7.设全集，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由于，，所以， 故选：D 练习： 1.设全集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 全集，，所以，故选C. 2.若全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 全集，集合，，，，故选D. 3.已知全集，若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ，，，，，故选A. 4.已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由题知，则，故选A. 5.若全集且，则集合的真子集共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 由题可知集合有个元素，所以集合的真子集个数为，故选A. 6.已知集合，，且，则满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ，则由，得，故选A. 7.[巴蜀重庆巴蜀中学2026高一月考]已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ，，，故选B. 8.已知集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 因为，，所以，，所以，，故选D. 9.[辽宁沈阳东北育才学校2026高一月考]已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 集合，所以，所以，故选D. 10.已知全集为，集合，满足，则下列运算结果一定为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由得，当时，，故选项A不正确； ，当时，，故选项B不正确； 当时，，故选项C不正确； 因为，所以，故选项D正确.故选D. 11.[2026年高考天津卷]已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由题意得，所以，故选D. 12.[2025年高考全国1卷]已知集合，，则中元素的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由题意得，所以，其有个元素，故选C. 13.[2025年高考天津卷]已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由题意得，所以，故选D. 14.[湖北鄂州2025一模]已知全集，，，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 因为全集，，，所以，B选项正确. ，，，则，，故选B. 15.[福建泉州2025月考]已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 依题意，所以，所以，故选B. 16.[河南开封等三地2025二模]（多选）已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 ，对于A，若，则，则根据有，显然矛盾，故A错误；对于B，假设，则，根据有，显然矛盾，则，故B正确；对于C，由A选项分析知，，则，故C正确；对于D，显然，必有，故D错误；故选BC. 17.已知集合，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 因为集合，，故. 故选：B. 18.设全集，，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 因为所以， . 故选：D. 19.设全集，，，则等于（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由题意，，则， 故， 故选：C 20.设集合，集合，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由题意可得，则，选项A正确； ，则，选项B错误； ，则，选项C错误； ，则，选项D错误； 故选：A. 4.根据集合间的运算结果求参数 例8.已知集合，，且，则_______． 【答案】或 【解析】 因为，， 故，，，， 又，若，，若，则； 当时，，，符合题意； 当时，，，不合题意， 当时，，，符合题意， 故或， 故答案为：或 例9.已知集合，，，则（     ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ，，， 当，即时，，，不符合题意； 当即时，，，此时. 所以. 故选：B. 例10.设全集，集合，，则的值为（     ） A. B. 和 C. D. 【答案】C 【解析】 因为，集合，， 由补集的定义可知的可能取值为或， 当即时，不满足题意； 当即时，，此时，满足题意， 综上， 故选：C 例11.已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）当时，求的非空真子集的个数． 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1），， ①若，则，解得； ②若，则，可得. 由可得，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. （2），集合中共个元素， 因此，集合的非空真子集个数为. 例12.设集合，. （1）若集合为，求实数的取值范围； （2）若，求实数的值； 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）因为，， 所以方程无实根，即， 解得或， 所以的取值范围为. （2）因为，所以， 又因为，， 所以，解得， 当时，， 所以. 练习： 1.已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 因为，，将集合，在数轴上表示出来，如图所示，结合可得，故选B 2.设集合，，且，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ，，且，，，故选A. 3.已知全集，集合，，则实数的值为_______. 【答案】或 【解析】 由题意得，解得或，经检验均符合题意. 4.已知集合，，若，则实数的取值集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ，，或，实数的取值集合是，故选C 5.已知方程的两个不相等实根为，，集合，，，，，则_______，_______. 【答案】 【解析】 由题意知，又，，，解得 6.已知，集合，，若有三个元素，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为集合，，若有三个元素，则，且，解得，此时，故选C 7.已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ，，①若不为空集，则，解得，，，，且，解得.此时.②若为空集，则，解得，符合题意。综上，实数的取值范围为 8.设集合，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 因为，所以或，当时，，，不符合题意，舍去，当时，，，满足题意；当时，，，满足题意.综上，故选D 9.（多选）已知集合，，若，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 ，，且，，实数的值可以为，，故选BD 10.（多选）设集合，，则满足的实数的取值集合可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 如图，要使，应有，故选AC. 11.设集合，，若，则满足条件的实数的值是（ ） A. 或 B. ，或 C. ，或 D. ，或 【答案】C 【解析】 集合，，，或，或或， 当时，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，集合，不满足集合中元素的互异性，不符合题意. 满足条件的实数的值为，，，故选C 12.已知集合，，若，则实数_______. 【答案】 【解析】 集合，，且，或，解得. 13.已知全集，集合，，且，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 ，，，由数轴知. 14.设集合，，已知，则_______，________. 【答案】 【解析】 ，，或，解得或. 当时，，，中元素不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，，，，满足题意，故； 当时，，，此时，与矛盾，故舍去。 综上所述，，. 15.设集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 集合，. （1）若，则，即，故实数的取值范围为； （2）若，则，所以或，解得或，则实数的取值范围为. 16.[北京师范大学附中2026高一期中]已知集合，，若，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为集合，，若，则，结合选项可知，A，B，D错误，C正确，故选C 17.[河南郑州2026高一期中]（多选）若集合，，则满足的实数的取值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 ，，或，若，则，，，满足题意；若，则或.当时，，，满足题意；当时，，不满足集合中元素的互异性，不合题意.综上所述，的取值可能为或。故选AB. 18.已知集合，，若，，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 集合，易知，，，.，，故选D. 19.已知集合，, 若全集，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为，，所以，又，且，所以，得，故选C. 20.已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 因为，所以，若，则，即；若，则，解得.综上，实数的取值范围是，故选B. 21.[湖南长沙长郡中学2026高一月考]设集合，，若，则实数的取值集合的子集个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 .因为，所以，因此或或.当时，；当时，；当时，.则实数的取值集合为，其子集个数为，故选D. 22.已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 因为或，解得或，所以，因为，所以，当时，，满足要求，当时，，由，可得，即，当时，，由，可得，即，综上所述，，故选B. 23.[福建莆田2026高一期中]已知集合，，. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）当时，，，，，所以. （2）由，则或，解得或，即，所以实数的取值范围为. 24.设集合，，则的元素个数为_______. 【答案】 【解析】 在的元素中，，，都不是平方数，小于，所以它们都不属于，而，，所以的元素个数为. 25.[山西吕梁孝义2025质量检测]已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 因为，所以，由题意得，，当时，满足，此时，解得，当时，则有，解得，综上，实数的取值范围为，故选A. 26.[江苏苏州中学、扬州中学等四校2025联考]设集合，，若，则集合的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 因为， 所以，所以，故选B. 27.已知集合，，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为， 所以，或， 当时，，与集合元素的互异性矛盾，舍去； 当时，，与集合元素的互异性矛盾，舍去； 当时，，满足集合元素互异性，满足要求． 所以. 故选：C． 28.已知，，集合，集合，若，则（     ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 因为，故可得，或； 解得或； 当时，，，满足题意； 当时，，，不满足题意，舍去； 综上所述，. 故选：D. 29.设集合，，若，则集合的子集有（     ）个 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由可得，集合为集合，的公共元素， 需满足，即， 又，，故或，解得或 此时集合有个元素， 故集合中的子集共有个. 故选：C. 30.已知集合，，，则（    ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 因为，，，则， 所以，或， 若，则，此时，，集合中的元素不满足互异性，故； 若，可得，因为，则，此时，，合乎题意. 因此， 故选：B. 31.已知集合满足，则满足条件的集合共有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 因为， 所以集合中必有元素，可能有元素或， 则满足条件的集合为：，，，，共有个， 故选：D． 32.设集合，，若，求的值． 【答案】或 【解析】 ，. ，或. 当时，方程无解，此时. 当时，此时，则， ，即有，得. 综上，或. 33.（多选题）设全集．，则实数的值为（     ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 ，若，则，此时； 若，则. 此时或， 或. 综上的值为或或. 故选：ABC 34.设全集，集合，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由题意全集，集合，， 可得，解得或， 当时，，则不合题意， 当时，，，符合题意，故， 故选：B. 35.已知全集，集合，，则实数的值为__________． 【答案】 【解析】 由集合，可得，解得， 又由且， 可得，解得，经验证满足条件， 所以实数的值为. 故答案为：. 36.设集合，， （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 （1）当时，，，； （2），， 当时，满足题意，此时，解得； 当时，解得， 实数的取值范围为. 37.已知，.若，则实数的取值范围为________. 【答案】或. 【解析】 已知集合，，且，. 当时，，解得，符合题意； 当时，且， 则或，解得， 综上：实数的取值范围为或. 故答案为：或. 38.设全集 ，，． （1）若 ，求． （2）若 ，求实数的取值范围． 【答案】（1） (1)；（2）. 【解析】 （1）当时，，， 所以，； （2）全集 ，，， ， 分，，两种情况讨论. 当时，如图可得，或， 或； 当时，应有：，解得； 综上可知，或， 故得实数的取值范围. 39.（多选）已知全集，集合，，则使成立的实数的取值范围可能是（    ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 ①当时，令，得，此时符合题意； ②当时，，得， 则， 因为，所以或， 解得或， 因为，所以. 综上，的取值范围为或， 故选：BC 40.已知集合，． （1）当时，求； （2）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在（2）问中的横线上，并求解，若__________，求实数的取值范围． （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】（1） ；（2）条件选择见解析， 【解析】 （1）解：当时，，， 所以，，因此，. （2）解：若选①，当时，则时，即当时，成立， 当时，即当时，即当时， 由可得，解得，此时. 综上，； 若选②，当时，则时，即当时，成立， 当时，即当时，即当时， 由可得，解得，此时. 综上，； 若选③，由可得， 当时，则时，即当时，成立， 当时，即当时，即当时， 由可得，解得，此时. 综上，. 41.设集合，， （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）由集合可得， 由可得， 故，解得或， 当时，，此时不满足题意，舍去， 当时，，满足题意， 故； （2）由得， 当时，即时，满足题意； 当时，即时，满足题意； 当时，即时，，解得， 综上可得，或； 即实数的取值范围为. 42.设，，其中，如果，求实数的取值范围. 【答案】或 【解析】 由得，而， 对于集合有：， 当，即时，，符合； 当，即时，，符合； 当，即时，中有两个元素，而； 得； 综上，或. 43.设集合，， ，求实数的取值范围． 【答案】 【解析】 由题知，，， 由得或，即， 因为， 所以， 当时，方程无实数根， 即，解得：或； 当时，方程有实数根， 若只有一个实数根，，解得或； 当时，满足题意； 当时，不满足题意； 所以． 若只有两个实数根，则， 故，无解． 综上可得实数的取值范围是：． 44.已知集合，，若，求实数的取值范围． 【答案】 【解析】 因为，所以当时，；当时，， 因为，所以， 因为，所以当时，显然不满足； 当时，或，解得或， 所以实数的取值范围为. 5.交并补的图形表示 例13.已知全集，，，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由题意画出图如下，    可得：，，，. 故选：D. 例14.已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（     ）    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 因为，， 所以， . 由题意可知阴影部分对于的集合为， 所以， . 故选：D. 练习： 1.（多选）已知全集，集合和关系的维恩图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素为（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 ，，，故选CD 2.设全集是实数集，，都是的子集，（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 因为，阴影部分表示集合，所以，故选D 3.图中阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由维恩图可知阴影部分所表示的集合为，的并集与集合在全集中的补集的交集，即为，故选C. 4.[陕西西安铁一中2026高一月考]如图，是全集，，是的子集，则阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 .对于A，阴影部分表示全集表示去掉集合和集合，即，故选A正确；对B，阴影部分表示集合的补集和集合的交集，即，故B错误；对于C，阴影部分表示集合的补集和集合的并集，即，故C错误；对于D，阴影部分表示集合的补集和集合的交集，即，故D错误.故选A. 5.[浙江杭州2026高一期中]（多选）下列集合表示图中阴影部分的为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 由题图可知，阴影部分表示在集合中且不在集合中的元素，所以阴影部分表示，故B正确；对于A，中含有集合中的元素，与题意不符，故A错误；对于C，表示在集合中且不是集合中的元素，与题意相符，故C正确；对于D，表示在集合中且不是集合中的元素，与题意相符，故D正确.故选BCD. 6.设集合，，则图阴影区域表示的集合是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由题意可知，图阴影区域表示的集合是, 所以. 故选：A. 7.集合，，，且，，，则（       ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 作出Venn图如图所示， 则，． 故选：C． 8.已知，，，，则__________. 【答案】 【解析】 由题意, ， 故画Veen图如图: 即得， 故答案为： 9.已知全集，，则中元素个数为（    ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 ，， ，， ，中元素个数为个， 故选：B． 10.设全集，，，则图中阴影部分对应的集合是（    ）    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 图中阴影部分表示，，则， 因为， 所以，， 故选：D． 11.如图所示，两个大圆和一个小圆分别表示集合、、，它们是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由图知，首先阴影部分是的子集，其次不含集合中的元素且在集合的补集中， 可得阴影部分所表示的集合是或. 故选：C. 12.如图，集合，均为的子集，表示的区域为（     ）      A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ 【答案】B 【解析】 因为表示除集合以外的所有部分，即为Ⅰ和Ⅱ， 所以表示与集合的公共部分，即为Ⅱ. 故选：B. 6.交并补实际应用（容斥原理） 例15.已移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”.某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调查了位学生，其中使用过移动支付或共享单车的学生共位，使用过移动支付的学生共有位，使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有位，则该校使用共享单车的学生人数为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如下图， 使用过共享单车或移动支付的学生共有位，使用过移动支付的学生共有位， 则可得：只使用过共享单车但没使用过移动支付的学生有人， 又使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有位， 即使用过共享单车的学生人数为， 故选:C. 练习： 1.某班有名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为，，，同时参加数学和物理小组的有人，同时参加物理和化学小组的有人，则只参加物理小组的有________人，同时参加数学和化学小组的有________人. 【答案】 【解析】 由条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加物理、数学、化学三个小组，因此同时参加数学和物理小组的有人，同时参加物理和化学小组的有人，所以只参加物理小组的有人，设同时参加数学和化学小组的人数为，则只参加数学小组的人数为，只参加化学小组的人为，又总人数为，即，所以，解得，即同时参加数学和化学小组的有人. 2.某班人，其中人喜爱篮球运动，人喜爱乒乓球运动，人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_________． 【答案】 【解析】 设喜欢篮球且喜欢乒乓球的人数人，则只喜爱篮球的有 人，只喜爱乒乓球的有 人， 由 ，解得， 所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为人． 故答案为：． 3.向某名学生调查对，两事件的态度，其中有人赞成，其余人不赞成；有人赞成，其余人不赞成；且对，都不赞成的学生人数比对，都赞成的学生人数的三分之一多人，则对，都赞成的学生人数为__________． 【答案】 【解析】 记赞成的学生组成集合，赞成的学生组成集合，名学生组成全集，则集合有个元素，集合有个元素. 设对，都赞成的学生人数为，则集合的元素个数为，如图， 由Venn图可知，，即，解得， 所以对，都赞成的学生有人. 故答案为：. 4.某疫情防控志愿者小组有名志愿者，由党员和大学生组成，其中有人是党员，有人是大学生，则既是党员又是大学生的志愿者人数为（       ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为志愿者小组有名志愿者，由党员和大学生组成，其中有人是党员，有人是大学生，所以由Venn可得既是党员又是大学生的志愿者人数为．故选：C 5.某城市数、理、化竞赛时，高一某班有名学生参加数学竞赛，名学生参加物理竞赛，名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有名，只参加数、物两科的有名，只参加物、化两科的有名，只参加数、化两科的有名．若该班学生共有名，则没有参加任何竞赛的学生共有（    ）名 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 画三个圆分别代表数学、物理、化学的人， 因为有名学生参加数学竞赛，名学生参加物理竞赛，名学生参加化学竞赛， 参加数、理、化三科竞赛的有名，只参加数、化两科的有名， 只参加数、物两科的有名，只参加物、化两科的有名， 所以单独参加数学的有人， 单独参加物理的有人，单独参加化学的有， 故参赛人数共有人， 没有参加任何竞赛的学生共有人. 故选：D.    6.某小学为落实双减，实现真正素质教育，在课后给同学们增设了各种兴趣班.为了了解同学们的兴趣情况，某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌､跳舞､书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有人喜欢唱歌，人喜欢跳舞，人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有人，同时喜欢唱歌和书法的有人，同时喜欢跳舞和书法的有人，三种都喜欢的有人，则该班女生人数为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 作出韦恩图，如图所示， 可知人只喜欢唱歌，人只喜欢跳舞，人只喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有人，同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有人，同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有人，三种都喜欢的有人，则该班女生人数为. 故选：A 25 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.3集合的基本运算 一、知识点 1.交集 一般地，给定两个集合，，由既属于又属于的所有元素（即和的公共元素）组成的集合，称为与的交集，记作，读作“交”. （1）的图象表示： ①与有部分公共元素 ②与没有公共元素， ③，则 ④，则 ⑤ 注：图中阴影部分表示交集 （2）的符号表示： （3）交集的运算性质 性质 说明 满足交换律 空集与任何集合的交集都为空集 集合与集合本身的交集仍为集合本身 多个集合的交集满足结合率 若，则 交集关系与子集关系的转化 ， 两个集合的交集是其中任一集合的子集 2.并集 一般地，给定两个集合，，由着两个集合的所有元素组成的集合，称为与的并集，记作，读作“并” （1）的图形表示 ①与有部分公共元素 ②与没有公共元素 ③，则 ④，则 ⑤ 注：图中阴影部分表示并集 （2）的符号表示： （3）并集的运算性质 性质 说明 满足交换律 任何集合与空集的并集仍为集合本身 集合与集合本身的并集仍为集合本身 多个集合的并集满足结合率 多个集合的综合运算 满足分配律 若，则 并集关系与子集关系的转化 ， 任何集合都是该集合与另一集合并集的子集 3.全集与补集 在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用表示，如果集合是全集的一个子集，则由中不属于的所有元素组成的集合称为在中的补集，记作，读作“在中的补集”，由全集及其子集得到，通常称为补集运算. （1）全集与补集的图形表示： （2）集合的补集的符号表示： （3）补集的运算性质： 性质 说明 任何集合与其补集的并集为全集 任何集合与其补集的交集为空集 任何集合的补集的补集为其本身 ， 全集的补集为空集，空集的补集为全集 4.德.摩根定律 （1） （2） 二、题型训练 1.交集运算 例1.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 例2.集合，，则（     ） A. B. C. D. 例3.设集合，，则（     ） A. B. C. D. 练习： 1.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.设，，则（ ） A. B. C. D. 3.已知集合，，则集合中元素的个数为（ ） A. B. C. D. 4.[湖南长沙2026月考]已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 5.[浙江杭州二中2026高一月考]已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 6.[2026年高考全国2卷]已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 7.[2025年高考全国2卷]已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 8.[2025年高考北京卷]已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 9.设集合，，则（     ） A. B. C. D. 2.并集运算 例4.已知集合，，则（     ） A. B. C. D. 例5.集合，，则（    ） A. B. C. D. 练习： 1.若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3.（多选）满足的集合可能是（ ） A. B. C. D. 4.设集合，则满足的集合的个数是________. 5.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 6.已知，集合，则集合可以是（ ） A. B. C. D. 7.[2026年高考北京卷]已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 8.已知集合，，则（     ） A. B. C. D. 9.已知集合，，，则的子集共有（     ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3.补集运算 例6.已知集合，，，则（     ） A. B. C. D. 例7.设全集，，则（     ） A. B. C. D. 练习： 1.设全集，，则（ ） A. B. C. D. 2.若全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 3.已知全集，若集合，，则（ ） A. B. C. D. 4.已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 5.若全集且，则集合的真子集共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6.已知集合，，且，则满足（ ） A. B. C. D. 7.[巴蜀重庆巴蜀中学2026高一月考]已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 8.已知集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 9.[辽宁沈阳东北育才学校2026高一月考]已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 10.已知全集为，集合，满足，则下列运算结果一定为的是（ ） A. B. C. D. 11.[2026年高考天津卷]已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 12.[2025年高考全国1卷]已知集合，，则中元素的个数为（ ） A. B. C. D. 13.[2025年高考天津卷]已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 14.[湖北鄂州2025一模]已知全集，，，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 15.[福建泉州2025月考]已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 16.[河南开封等三地2025二模]（多选）已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 17.已知集合，，则（     ） A. B. C. D. 18.设全集，，，则（     ） A. B. C. D. 19.设全集，，，则等于（     ） A. B. C. D. 20.设集合，集合，，则（     ） A. B. C. D. 4.根据集合间的运算结果求参数 例8.已知集合，，且，则_______． 例9.已知集合，，，则（     ）． A. B. C. D. 例10.设全集，集合，，则的值为（     ） A. B. 和 C. D. 例11.已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）当时，求的非空真子集的个数． 例12.设集合，. （1）若集合为，求实数的取值范围； （2）若，求实数的值； 练习： 1.已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2.设集合，，且，则实数（ ） A. B. C. D. 3.已知全集，集合，，则实数的值为_______. 4.已知集合，，若，则实数的取值集合是（ ） A. B. C. D. 5.已知方程的两个不相等实根为，，集合，，，，，则_______，_______. 6.已知，集合，，若有三个元素，则（ ）. A. B. C. D. 7.已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8.设集合，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 9.（多选）已知集合，，若，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 10.（多选）设集合，，则满足的实数的取值集合可以为（ ） A. B. C. D. 11.设集合，，若，则满足条件的实数的值是（ ） A. 或 B. ，或 C. ，或 D. ，或 12.已知集合，，若，则实数_______. 13.已知全集，集合，，且，则实数的取值范围是________. 14.设集合，，已知，则_______，________. 15.设集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 16.[北京师范大学附中2026高一期中]已知集合，，若，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 17.[河南郑州2026高一期中]（多选）若集合，，则满足的实数的取值可能为（ ） A. B. C. D. 18.已知集合，，若，，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 19.已知集合，, 若全集，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 20.已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 21.[湖南长沙长郡中学2026高一月考]设集合，，若，则实数的取值集合的子集个数为（ ） A. B. C. D. 22.已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 23.[福建莆田2026高一期中]已知集合，，. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围 24.设集合，，则的元素个数为_______. 25.[山西吕梁孝义2025质量检测]已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 26.[江苏苏州中学、扬州中学等四校2025联考]设集合，，若，则集合的取值范围是（ ） A. B. C. D. 27.已知集合，，若，则（    ） A. B. C. D. 28.已知，，集合，集合，若，则（     ） A. B. C. 或 D. 29.设集合，，若，则集合的子集有（     ）个 A. B. C. D. 30.已知集合，，，则（    ） A. 或 B. C. 或 D. 31.已知集合满足，则满足条件的集合共有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 32.设集合，，若，求的值． 33.（多选题）设全集．，则实数的值为（     ） A. B. C. D. 34.设全集，集合，，则（     ） A. B. C. D. 35.已知全集，集合，，则实数的值为__________． 36.设集合，， （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 37.已知，.若，则实数的取值范围为________. 38.设全集 ，，． （1）若 ，求． （2）若 ，求实数的取值范围． 39.（多选）已知全集，集合，，则使成立的实数的取值范围可能是（    ） A. B. C. D. 40.已知集合，． （1）当时，求； （2）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在（2）问中的横线上，并求解，若__________，求实数的取值范围． （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 41.设集合，， （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 42.设，，其中，如果，求实数的取值范围. 43.设集合，， ，求实数的取值范围． 44.已知集合，，若，求实数的取值范围． 5.交并补的图形表示 例13.已知全集，，，，则（     ） A. B. C. D. 例14.已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（     ）    A. B. C. D. 练习： 1.（多选）已知全集，集合和关系的维恩图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素为（ ） A. B. C. D. 2.设全集是实数集，，都是的子集，（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3.图中阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 4.[陕西西安铁一中2026高一月考]如图，是全集，，是的子集，则阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 5.[浙江杭州2026高一期中]（多选）下列集合表示图中阴影部分的为（ ） A. B. C. D. 6.设集合，，则图阴影区域表示的集合是（    ） A. B. C. D. 7.集合，，，且，，，则（       ） A. B. C. D. 8.已知，，，，则__________. 9.已知全集，，则中元素个数为（    ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10.设全集，，，则图中阴影部分对应的集合是（    ）    A. B. C. D. 11.如图所示，两个大圆和一个小圆分别表示集合、、，它们是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）    A. B. C. D. 12.如图，集合，均为的子集，表示的区域为（     ）      A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ 6.交并补实际应用（容斥原理） 例15.已移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”.某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调查了位学生，其中使用过移动支付或共享单车的学生共位，使用过移动支付的学生共有位，使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有位，则该校使用共享单车的学生人数为（     ） A. B. C. D. 练习： 1.某班有名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为，，，同时参加数学和物理小组的有人，同时参加物理和化学小组的有人，则只参加物理小组的有________人，同时参加数学和化学小组的有________人. 2.某班人，其中人喜爱篮球运动，人喜爱乒乓球运动，人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_________． 3.向某名学生调查对，两事件的态度，其中有人赞成，其余人不赞成；有人赞成，其余人不赞成；且对，都不赞成的学生人数比对，都赞成的学生人数的三分之一多人，则对，都赞成的学生人数为__________． 4.某疫情防控志愿者小组有名志愿者，由党员和大学生组成，其中有人是党员，有人是大学生，则既是党员又是大学生的志愿者人数为（       ） A. B. C. D. 5.某城市数、理、化竞赛时，高一某班有名学生参加数学竞赛，名学生参加物理竞赛，名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有名，只参加数、物两科的有名，只参加物、化两科的有名，只参加数、化两科的有名．若该班学生共有名，则没有参加任何竞赛的学生共有（    ）名 A. B. C. D. 6.某小学为落实双减，实现真正素质教育，在课后给同学们增设了各种兴趣班.为了了解同学们的兴趣情况，某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌､跳舞､书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有人喜欢唱歌，人喜欢跳舞，人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有人，同时喜欢唱歌和书法的有人，同时喜欢跳舞和书法的有人，三种都喜欢的有人，则该班女生人数为（    ） A. B. C. D. 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $