第2章 2.3.3 直线与圆的位置关系（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

该高中数学课件聚焦直线与圆的位置关系，涵盖相交、相切、相离的判定及切线、弦长问题。以“海上日出”情境导入，将太阳与海天交线抽象为圆与直线，衔接直线和圆的方程知识，通过代数法（判别式）和几何法（距离与半径关系）搭建学习支架。 其亮点在于情境导入培养数学眼光，对比两种判定方法发展数学思维，例题与跟踪训练层次清晰。课堂小结梳理知识清单和方法，规范解题表达。学生能提升推理与运算能力，教师可借助丰富资源高效教学，助力核心素养落地。

2.3.3 直线与圆的位置关系 第二章　 §2.3　圆及其方程 <<< 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离. 2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系. 3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题. 学习目标 海上日出是非常壮丽的景色.在海天交于一线的天际，一轮红日慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升， 导 语 和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着斑斓的霞光和迷人的风采.在这个过程中，把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线，日出的过程中也体现了直线与圆的位置关系. 一、直线与圆的位置关系的判断 二、圆的切线问题 课时对点练 三、圆的弦长问题 随堂演练 内容索引 直线与圆的位置关系的判断 一 提示　转化为它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解. 如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？ 问题1 直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 ___ ___ ___ 判断方法 代数法：由方程组 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ 0 Δ 0 Δ 0 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d r d r d r > 2 1 0 ＝ < < ＝ > 知识梳理 　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； 例 1 8 方法一　将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0. 则Δ＝4m(3m＋4). 当Δ>0，即m>0或m<－时，直线与圆相交， 即直线与圆有两个公共点. 方法二　已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为(2，1)，半径r＝2. 圆心(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝ . 当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点. 解 9 (2)只有一个公共点； 10 方法一　将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0. 则Δ＝4m(3m＋4). 当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切， 即直线与圆只有一个公共点. 方法二　已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为(2，1)，半径r＝2. 圆心(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝ . 当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切， 即直线与圆只有一个公共点. 解 11 (3)没有公共点. 方法一　将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0. 则Δ＝4m(3m＋4). 当Δ<0，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点. 方法二　已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为(2，1)，半径r＝2. 圆心(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝ . 当d>2，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点. 解 12 　(课本例1)已知直线y＝x＋b，圆x2＋y2＝2，分别求直线与圆相交、相切、相离时b的取值范围. 例 1 13 方法一　联立直线的方程与圆的方程，得方程组 从方程组中消去y，整理得2x2＋2bx＋b2－2＝0， ③ 这个方程的判别式Δ＝(2b)2－4×2(b2－2)＝－4(b＋2)(b－2). 当且仅当－2<b<2时，Δ>0，方程③有两个不相等的实数解，此时直线与圆有两个公共点，直线与圆相交； 当且仅当b＝2或b＝－2时，Δ＝0，方程③有两个相等的实数解，此时直线与圆只有一个公共点，直线与圆相切； 当且仅当b<－2或b>2时，Δ<0，方程③没有实数解，此时直线与圆没有公共点，直线与圆相离. 解 14 方法二　因为圆的半径r＝， 圆心O(0，0)到直线y＝x＋b的距离为d＝. 当且仅当d<r，即<，－2<b<2时，直线与圆相交； 当且仅当d＝r，即，b＝2或b＝－2时，直线与圆相切； 当且仅当d>r，即>，b<－2或b>2时，直线与圆相离. 解 15 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断. (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断. (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性，必须是过定点的直线系. 反 思 感 悟 16 　(1)已知圆C： x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则 A.l与C相交 B.l与C相切 C.l与C相离 D.以上三个选项均有可能 跟踪训练 1 √ 将点P(3，0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0， ∴点P(3，0)在圆内. ∴过点P的直线l必与圆C相交. 解析 17 (2)若直线x－y＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝m相离，则实数m的取值范围是 A.(0，2] B.(1，2] C.(0，2) D.(1，2) √ 由题意得，圆心到直线的距离d＝>， ∴m<2，∵m>0，∴0<m<2. 解析 18 二 圆的切线问题 直线与圆相切 如图，直线l与圆C相切，切点为P，半径为r. 则①CP⊥l； ②点C到直线l的距离d＝|CP|＝ ； ③切点P在直线l上，也在圆上. r 20 (1)过圆上一点有且只有一条直线与圆相切. (2)过圆外一点，可以作两条直线与圆相切，需考虑斜率不存在的情况. 注 意 点 <<< 21 　过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程. 例 2 22 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以点A在圆外. (1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k， 则切线方程为y＋3＝k(x－4)， 即kx－y－4k－3＝0.设圆心为C， 因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1， 所以＝1，即|k＋4|＝， 所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－. 所以切线方程为－x－y＋－3＝0， 即15x＋8y－36＝0. 解 23 (2)若直线斜率不存在， 圆心C(3，1)到直线x＝4的距离为1， 这时直线x＝4与圆相切， 所以另一条切线方程为x＝4. 综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4. 解 24 若例2的条件不变，求其切线长. 延伸探究 因为圆心C的坐标为(3，1)， 设切点为B，则△ABC为直角三角形， |AC|＝， 又|BC|＝r＝1， 则|AB|＝＝4， 所以切线长为4. 解 25 　(课本例2)已知M(1，2)是圆x2＋y2＝5上一点，求圆的过点M的切线方程. 例 2 26 方法一　如果切线的斜率不存在，则切线方程为x＝1，但圆心O(0，0)到x＝1的距离为1，不等于圆的半径，矛盾. 因此切线的斜率一定存在，设为k， 从而切线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0， 从而由圆心到切线的距离等于圆的半径可知，解得k＝－， 所以切线的点斜式方程为y－2＝－(x－1)， 因此所求方程为x＋2y－5＝0. 解 27 方法二　圆的圆心为O，而且OM是与切线垂直的，如图所示. 因为kOM＝＝2，所以切线的斜率为－， 从而可知切线的点斜式方程为y－2＝－(x－1)， 因此所求方程为x＋2y－5＝0. 解 28 过一点的圆的切线方程的求法 (1)点在圆上时 求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连 线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可 得切线方程.如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程x＝x0或y＝y0. 反 思 感 悟 29 (2)点在圆外时 ①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0).由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程. ②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程. 提醒：切线的斜率不存在的情况，不要漏解. 反 思 感 悟 30 (1)已知直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1，2)，则直线l的方程为　　　　　　 . 跟踪训练 2 x＋2y－3＝0 根据题意，由圆M：x2＋y2＋4x－1＝0，化为标准方程得(x＋2)2＋y2＝5，其圆心为M(－2，0)， 因为直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1，2)， 则点P在直线l上且MP与直线l垂直. kMP＝＝2，则有－＝－，则有b＝2a， 又由点P在直线l上，则－a＋2b－3＝0， 解得a＝1，b＝2，则直线l的方程为x＋2y－3＝0. 解析 31 (2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为 A.1 B.2 C. D.3 √ 设直线y＝x＋1上任一点为P，圆心为C，则所求切线长为，要求切线长的最小值，只需|CP|最小， 圆心C(3，0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝2. 所以切线长的最小值为. 解析 32 圆的弦长问题 三 提示　(1)几何法：如图①，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有＋d2＝r2，即|AB|＝2. (2)代数法：如图②，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB| ＝ ＝|x1－x2|或|AB|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在且不为0). 如果直线与圆相交，如何求弦长？ 问题2 如图，直线l与圆C相交于A，B，半径为r，弦AB中点为D， 则①点C到直线l的距离d＝|CD|，称为弦心距； ②CD⊥l； ③|AD|2＋d2＝r2，|AB|＝_____________. 2 知识梳理 (1)过圆内一点的直线与圆相交，最长弦长是直径，最短弦与最长弦所在的直线垂直. (2)过圆外或圆上一点的直线与圆相交，最长弦长是直径，没有最短弦长. (3)由弦长求直线方程时，需考虑斜率不存在的情况. 注 意 点 <<< 36 求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦AB的长. 例 3 37 方法一　由 得交点A(1，3)，B(2，0)， 所以弦AB的长为|AB|＝. 方法二　由 消去y得x2－3x＋2＝0， 设两交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则由根与系数的关系得x1＋x2＝3，x1x2＝2. 解 38 所以|AB|＝ ＝ ＝ ＝ ＝， 即弦AB的长为. 方法三　圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5， 其圆心为C(0，1)，半径r＝， 解 39 C(0，1)到直线l的距离d＝， 所以半弦长为 ＝， 所以弦长|AB|＝. 解 40 (课本例3)已知直线l：x＋y＋2＝0与圆C：x2＋y2＝9相交于A，B两点. (1)求线段AB的长； 例 3 41 方法一　如图所示，设AB的中点为M，根据垂径定理可知OM⊥AB，因此△AMO是个直角三角形. 由点到直线的距离公式可知|OM|＝， 又OA是圆的半径，因此|OA|＝＝3， 从而在Rt△AMO中，有|AM|＝ . 因此|AB|＝2|AM|＝2. 解 42 方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2. 因为A(x1，y1)，B(x2，y2)都是直线x＋y＋2＝0上的点， 所以 第二式减去第一式可得x2－x1＋y2－y1＝0，因此y2－y1＝－(x2－x1)，从而|AB|2＝(x2－x1)2＋[－(x2－x1)]2＝2(x2－x1)2. 又因为从方程组中消去y， 整理可得2x2＋4x－5＝0，而且x1，x2是这个方程的两个根， 解 43 因此由韦达定理可知 所以(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2＝(－2)2－4×＝14， 因此|AB|2＝2×14＝28，从而可知|AB|＝2. 解 44 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且线段AB的中点坐标为(x0，y0)， 则x0＝，y0＝. 由(1)中的方法二可知x0＝＝－1， 又因为直线l的方程可以化为y＝－x－2， 所以y0＝ ＝－－2＝－(－1)－2＝－1， 因此所求中点坐标为(－1，－1). 解 (2)求线段AB中点的坐标. 45 求直线与圆相交时的弦长有三种方法 (1)交点法：联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝. (2)弦长公式：|AB|＝|x1－x2|或 |AB|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在且不为0). (3)几何法：设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则|AB|＝2. 通常采用几何法较为简便. 反 思 感 悟 46 已知直线l经过直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点，且与直线x＋y－2＝0垂直. (1)求直线l的方程； 跟踪训练 3 由已知得 ∴两直线交点为(2，1). 设直线l的斜率为kl，∵直线l与x＋y－2＝0垂直，∴kl＝1， ∵直线l过点(2，1)， ∴直线l的方程为y－1＝x－2，即x－y－1＝0. 解 47 (2)若圆C的圆心坐标为(3，0)，直线l被该圆所截得的弦长为2，求圆C的标准方程. 设圆的半径为r，依题意，得 圆心(3，0)到直线x－y－1＝0的距离为， 则由垂径定理得r2＝()2＋()2＝4，∴r＝2， ∴圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝4. 解 48 1.知识清单： (1)直线与圆的位置关系. (2)圆的切线问题. (3)圆的弦长问题. 2.方法归纳：几何法、代数法. 3.常见误区：过一点设直线方程时易忽视讨论斜率存在与不存在两种情况. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是 A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 √ ∵圆心(0，0)到直线y＝x＋1的距离d＝<1， ∴直线与圆x2＋y2＝1相交， 又(0，0)不在直线y＝x＋1上， ∴直线不过圆心. 解析 1 2 3 4 2.圆x2＋y2＝4在点P(，－1)处的切线方程为 A.x＋y－2＝0 B.x＋y－4＝0 C.x－y－4＝0 D.x－y＋2＝0 √ ∵()2＋(－1)2＝4， ∴点P在圆上，即P为切点. ∵切点与圆心连线的斜率为－， ∴切线的斜率为， ∴切线方程为y＋1＝(x－x－y－4＝0. 解析 1 2 3 4 3.(多选)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是 A.－2 B.－12 C.2 D.12 √ √ 圆的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0， 可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1， 由圆心(1，1)到直线3x＋4y－b＝0的距离为＝1， 解得b＝2或b＝12. 解析 1 2 3 4 4.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4x＝0所截得的弦长为　　. 2 由题意知直线方程为y＝x， 圆的方程为(x－2)2＋y2＝4， 圆心(2，0)到直线的距离d＝， 故弦长l＝2＝2＝2. 解析 课时对点练 五 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C B C A BCD B x＋2y－5＝0 题号 8 11 12 13 14 　15 答案 11 ABD A ACD 10 　B 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)圆C的圆心为(2，3)，半径r＝2. 当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4， 此时圆C与直线l相切； 当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－4)，即kx－y－4k－1＝0， 则＝2，解得k＝－， 此时直线l的方程为3x＋4y－8＝0. 综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y－3＝0， 圆心到直线l的距离d＝， 故所求弦长为2＝2＝2. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)圆C的方程化为x2＋(y＋4)2＝4， 圆心为C(0，－4)，半径为2. 若直线l与圆C相切，则＝2， 解得a＝. (2)过圆心C作CD⊥AB(图略)，则根据题意和圆的性质， 得|CD|＝， 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得a＝1或a＝7. 故直线l的方程为7x＋y＋14＝0或x＋y＋2＝0. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)设P(t，4)，由题意得M(－2，0)，T(0，2)，|MT|＝2， 当|PT|＝|MT|，即＝2时， 解得t＝±2，当t＝2时，P，M，T三点共线，舍去，所以P(－2，4)； 当|PM|＝|PT|，即时， 解得t＝－4，所以P(－4，4). 综上，P点坐标为(－2，4)或(－4，4). (2)①设P(t，4)，T(0，2)，S(0，－2)， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当t≠0时，kPT＝，kPS＝，kPS＝3kPT， ∵kAS·kAT＝－1，∴kBS·kAS＝－3， 直线AB的斜率显然存在， 设其方程为y＝kx＋b，联立x2＋y2＝4， 消去y可得(1＋k2)x2＋2kbx＋b2－4＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故y1＋y2＝，y1y2＝， kAS·kBS＝＝－3， ∴＝－3， 解得b＝1， 则直线AB：y＝kx＋1， ∴直线AB恒过定点(0，1)， 当t＝0时，直线AB：x＝0也过定点(0，1)， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综上，直线AB恒过定点(0，1). ②由①得x1＋x2＝，x1x2＝， 则S四边形ASBT＝×4×|x1－x2| ＝2 ＝2＝4， 令m＝1＋k2，则m≥1， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则＝－＋4≤3， 当m＝1，即k＝0时，取得最大值， ∴当直线AB的方程为y＝1时， 四边形ASBT面积有最大值，为4. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设P(x0，y0)，x0≠±1，＝1， 直线PA1的方程为y＝(x＋1)， 令x＝3，得y＝， 则M， 同理，可求N， MN的中点坐标为， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |MN|＝＝2， ∴以MN为直径的圆的方程为(x－3)2＋. 令y＝0， 得(x－3)2＝－＝＝8. ∴x＝3±2，∴该圆总过定点， 定点坐标为(3＋2，0)或(3－2，0). 基础巩固 1.直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是 A.相交 B.相离 C.相交或相切 D.相切 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 直线x－ky＋1＝0恒过定点(－1，0)， 而(－1，0)在圆上，故直线与圆相切或相交. 解析 2.“a<3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相交”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 圆(x－a)2＋(y－3)2＝(2)2的圆心为(a，3)，半径为2. 若直线x－y＋4＝0与圆(x－a)2＋(y－3)2＝(2)2相交， 则<2，解得－5<a<3， 所以“a<3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相交”的必要不充分条件. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.过坐标原点O作圆C：x2＋y2－4x－4y＋4＝0的两条切线OA，OB，切点分别为A，B，则|AB|等于 A. B.2 C.2 D.4 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，由圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝4可得x轴，y轴，即是过点O的切线， 所以切点为A(2，0)，B(0，2)，故|AB|＝2. 解析 4.圆心坐标为(2，－1)的圆在直线x－y－1＝0上截得的弦长为2，那么这个圆的方程为 A.(x－2)2＋(y＋1)2＝4 B.(x－2)2＋(y＋1)2＝2 C.(x－2)2＋(y＋1)2＝8 D.(x－2)2＋(y＋1)2＝16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 圆心到直线的距离d＝. 设圆的半径为R，则R2＝d2＋()2＝4， ∴R＝2，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4. 解析 5.(多选)若直线y＝kx与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝9相交于A，B两点，则|AB|的长度可能等于 A.3 B.4 C.5 D.6 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 设圆心C(2，－1)到直线y＝kx的距离为d， 由于直线y＝kx恒过原点，且|OC|＝，故0≤d≤， 又d2＋＝9，即4≤|AB|≤6. 解析 6.若直线x＋y－＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则∠AOB等于 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知圆O：x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径r＝1， 则圆心O(0，0)到直线x＋y－＝0的距离为d＝， 可知|AB|＝2＝1， 即△AOB为等边三角形， 所以∠AOB＝. 解析 7.若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为　　　　　　　. 设所求切线的斜率为k， 由已知得k·kOP＝－1. ∴k＝－. ∴切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x＋2y－5＝0 8.已知圆(x＋2)2＋(y－2)2＝a截直线x＋y＋2＝0所得弦长为6，则实数a的值为　　　. 圆(x＋2)2＋(y－2)2＝a的圆心为(－2，2)，半径为， 弦心距d＝， 则a＝()2＋＝11. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11 9.已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l. (1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 圆C的圆心为(2，3)，半径r＝2. 当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4， 此时圆C与直线l相切； 当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－4)，即kx－y－4k－1＝0， 则＝2，解得k＝－， 此时直线l的方程为3x＋4y－8＝0. 综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0. 解 (2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C截得的弦长. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y－3＝0， 圆心到直线l的距离d＝， 故所求弦长为2＝2＝2. 解 10.已知圆C：x2＋y2＋8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0. (1)当a为何值时，直线l与圆C相切； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 圆C的方程化为x2＋(y＋4)2＝4， 圆心为C(0，－4)，半径为2. 若直线l与圆C相切，则＝2， 解得a＝. 解 (2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 过圆心C作CD⊥AB(图略)，则根据题意和圆的性质， 得|CD|＝， 解得a＝1或a＝7. 故直线l的方程为7x＋y＋14＝0或x＋y＋2＝0. 解 11.(多选)与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线方程为 A.x－y＝0 B.x＋y＝0 C.x＋y＋4＝0 D.x＋y－4＝0 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2. 可分为两种情况讨论： ①直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在， 设直线方程为y＝kx，则，解得k＝±1； ∴方程为x±y＝0. ②直线在x，y轴上的截距均不为0， 则可设直线方程为＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)， 则，解得a＝4(a＝0舍去). ∴方程为x＋y－4＝0. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.过点P(a，b)作圆O：x2＋y2＝2的切线，A为切点，|PA|＝1，则2a－b的最大值是 A. B. C.4 D.3 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意|OP|2＝|OA|2＋|AP|2，即a2＋b2＝3. 设2a－b＝t，则b＝2a－t，代入a2＋b2＝3， 得a2＋(2a－t)2＝3，即5a2－4at＋t2－3＝0. 因为关于a的一元二次方程一定有解， 所以Δ＝(－4t)2－4×5×(t2－3)≥0， 即t2≤15，解得－≤t≤， 则2a－b的最大值为. 解析 13.(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则下列命题正确的有 A.直线l恒过定点(3，1) B.y轴被圆C截得的弦长为2 C.直线l与圆C恒相交 D.直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为2x－y－5＝0 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可得，圆心C(1，2)，半径r＝5， 直线方程可化为l：m(2x＋y－7)＋x＋y－4＝0， 由 所以直线l恒过定点(3，1)，A正确； 将x＝0代入圆的方程有1＋(y－2)2＝25，解得y＝2±2， 弦长为(2＋2)－(2－2)＝4，B错误； 因为定点(3，1)到圆心C(1，2)的距离为<5＝r， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以点(3，1)在圆内，直线l与圆C恒相交，C正确； 当圆心C(1，2)与定点(3，1)的连线恰好与l垂直时， 圆心到直线的距离最大，直线l被圆C截得的弦长最短， 则l的斜率k应满足·k＝－1，所以k＝2， 代入点斜式方程有y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0，D正确. 解析 14.在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 圆的方程化为标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10，易知点E在圆内，由圆的性质可知最长弦|AC|＝2，最短弦BD恰以E(0，1)为中点，且与AC垂直，设点F(1，3)为其圆心. 故|EF|＝，所以|BD|＝2＝2， 则S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝10. 解析 10 15.直线y＝x＋b与曲线x＝有且只有一个交点，则b满足 A.|b|＝ B.－1<b≤1或b＝－ C.－1≤b<1 D.－1<b<1 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 曲线x＝含有限制条件，即x≥0， 故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分. 在同一平面直角坐标系中，画出y＝x＋b与曲线x＝ (就是x2＋y2＝1，x≥0)的图象，如图所示. 当直线与曲线相切时，b＝－； 其他位置符合条件时需满足－1<b≤1. 解析 16.如图，在平面直角坐标系中，P为直线y＝4上一动点，圆O：x2＋y2＝4与x轴的交点分别为M，N，圆O与y轴的交点分别为S，T. (1)若△MTP为等腰三角形，求P点坐标； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设P(t，4)，由题意得M(－2，0)，T(0，2)，|MT|＝2， 当|PT|＝|MT|，即＝2时，解得t＝±2， 当t＝2时，P，M，T三点共线，舍去，所以P(－2，4)； 当|PM|＝|PT|， 即时， 解得t＝－4，所以P(－4，4). 综上，P点坐标为(－2，4)或(－4，4). 解 (2)若直线PT交圆O于另一点A，直线PS交圆O于另一点B. ①求证：直线AB过定点，并求出定点坐标； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设P(t，4)，T(0，2)，S(0，－2)， 当t≠0时，kPT＝，kPS＝，kPS＝3kPT， ∵kAS·kAT＝－1，∴kBS·kAS＝－3， 直线AB的斜率显然存在， 设其方程为y＝kx＋b，联立x2＋y2＝4， 消去y可得(1＋k2)x2＋2kbx＋b2－4＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝， 证明 故y1＋y2＝，y1y2＝， kAS·kBS＝＝－3， ∴＝－3， 解得b＝1， 则直线AB：y＝kx＋1， ∴直线AB恒过定点(0，1)， 当t＝0时，直线AB：x＝0也过定点(0，1)， 综上，直线AB恒过定点(0，1). 证明 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ②求四边形ASBT面积的最大值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由①得x1＋x2＝，x1x2＝， 则S四边形ASBT＝×4×|x1－x2| ＝2 ＝2＝4， 令m＝1＋k2，则m≥1， 则＝－＋4≤3， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当m＝1，即k＝0时，取得最大值， ∴当直线AB的方程为y＝1时， 四边形ASBT面积有最大值，为4. 解 第二章　 §2.3　圆及其方程 <<< $