精品解析：四川省宜宾市南溪第一中学校2025-2026学年高三基地班上学期数学试题（四）

南溪一中高2023级基地班数学高三试题（四） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则下面结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合与集合的关系、元素与集合的关系可得B、C错误，再根据为无理数可得正确的选项. 【详解】因为表示元素，表示集合，故B、C错误. 因为不是自然数，所以，且不成立，故A也错误，D正确， 故选：D. 【点睛】本题考查元素与集合的关系、集合与集合的关系的判断，一般地，集合与集合之间用包含或不包含， 2. 已知复数z满足，则复数z的虚部为（ ） A. 2i B. i C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算可求得复数，可求得虚部. 【详解】因为，所以复数的虚部为1. 故选：D. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出函数的图象，再借助图象关系求出不等式的解集. 【详解】在同一坐标系内作出函数的图象，如图， 观察图象知，当且仅当时，函数的图象不在直线的下方， 所以不等式的解集是. 故选：A 4. 某数据样本的频率分布直方图如下图所示，则该组数据的众数、平均数、中位数的大小关系为（    ） A. 众数<平均数<中位数 B. 众数<中位数<平均数 C. 中位数<平均数<众数 D. 众数=平均数=中位数 【答案】B 【解析】 【详解】由频率分布直方图可知，样本数据在左侧较集中，右侧尾部较长，分布呈右偏. 在频率分布直方图中，众数是最高矩形底边中点的横坐标，中位数是使左右两侧面积均为0.5的分界点，平均数受右侧较大数据的影响更明显. 因此平均数最大，中位数居中，众数最小，即众数<中位数<平均数. 5. “”是“函数的值域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】若函数的值域为，则函数与轴有交点，列出不等式求解出的范围，结合充分条件与必要条件的性质即可得解． 【详解】若函数的值域为，则函数与轴有交点， 所以，则或， “”是或的既不充分也不必要条件， 故选：D． 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由得，又由得，最后由两角差的余弦公式即可求解. 【详解】由题意有：， 又，所以， 所以， 故选：B. 7. 设定义在上的函数的导函数满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，求导，得到的单调性，则，即，得到答案. 【详解】由题意得，，令，则， 所以在上单调递减，则， 即，即． 故选：D． 8. 若实数满足，则下列结论不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分及两种情况讨论，结合对数函数的单调性，逐一判断，即可得到结果. 【详解】由，得， 由选项知只需要讨论及两种情况. 当时，， 所以， 因为函数在上单调递增，所以，即， 得成立，故A正确； 又因为，所以， 即，得，所以，故B正确； 当时，， 所以， 因为函数在上单调递增， 所以，即，得成立，故C正确； 因为，所以， 所以， 得，即，故D错误， 故选：D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）） 9. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式及重要不等式，结合指数的运算、对数的运算和对数函数的性质即可求解. 【详解】对于A：因为，，， 所以，当且仅当，即时，等号成立，故A正确； 对于B：因为，，，所以， 当且仅当，即，时，等号成立，故B错误； 对于C：因为，，，所以， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D：因为，，，所以，即， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：ACD 10. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简，由函数的性质可逐一可验证求解. 【详解】， 易知函数对称中心不在x轴上，故A错误； ，函数最大值也是3，故B正确； ，所以分别为函数最大值和最小值， ，故C正确； ， 即， 其中一中情况， 此时，的最小值为，故D错误； 故选：BC. 11. 已知函数定义域为，其导函数为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 一个对称中心为 B. 的一个周期为2 C. 的图象关于对称 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据函数的对称性定义可判断；对B，由，两边求导可得的图象关于对称，结合条件可得，由周期函数的定义得解；对C，由的图象关于对称，周期为4，可判断；对D，将代入，可得，将代入结合可得，结合函数的周期性运算得解. 【详解】对于A，由满足，则关于中心对称，故A正确； 对于B，由，两边求导可得， 即，所以的图象关于对称， 又等价于， ，所以， ，即的一个周期为4，故B错误； 对于C，因为的图象关于对称，周期为4，所以的图象关于对称，故C正确； 对于D，将代入，可得， 将代入，得，又， 所以，， 所以， 又， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，且，则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】求出，利用换底公式化简即可求出. 【详解】因为，所以， 当时，，不符合题意；故且， 所以，则. 故答案为： 13. 袋子中有3个红球，2个黄球，m个蓝球，现从中任取两个球，记取出的红球个数为X，若取出的两个球都是红球的概率为，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】记取出的两个球都是红球为事件，则，即可求出，从而可得的可能取值，求出对应的概率，即可求出数学期望. 【详解】记取出的两个球都是红球为事件，则， ，即 解得或（舍）， 故的可能取值为， 则， ， 故答案为：1. 14. 已知函数，则的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知函数的周期为，考虑在，内的最大值即可；计算，利用求得极值点，再求在，内的最值． 【详解】由题意知函数的周期为， 只需考虑在，内的最大值即可； 计算， 令，得， 即， 解得或， 所以在，时，有，或； 所以的最大值只能在、或和边界点处取到， 计算，，，； 所以的最大值是． 故答案为． 【点睛】本题考查了三角函数最值的应用问题，也考查了利用导数求函数单调性与极值的应用问题，是中档题． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知中，，，分别为内角，，的对边，且． （1）求角的大小； （2）若，的角平分线交于点，求的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合正弦定理、余弦定理化简已知等式，再结合角度范围即可得角的大小； （2）根据三角形面积公式求解的长度即可． 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得，整理得， 由余弦定理得， 因为，所以； 【小问2详解】 在中， 因为， 所以， 则； 16. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16． （1）求椭圆C的标准方程； （2）记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件结合椭圆定义、离心率公式，确定的值，得出椭圆的标准方程. （2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到，，再把用，表示出来，化简即可得解. 【小问1详解】 由的周长为16，及椭圆的定义，可知：，即， 又离心率为所以 ． 所以椭圆C的方程为：． 【小问2详解】 依题意，直线l与x轴不重合， 设l的方程为：． 联立得：， 因为在椭圆内，所以， 即，易知该不等式恒成立， 设， 由韦达定理得． 又，则 注意到，即： . 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 17. 如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，． （1）若点为线段的中点，证明：//平面； （2）若点为直线上的动点，当直线与底面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体积. 【答案】（1） 取中点，连接，.如图： 因为为中点，所以且. 又且， 所以且. 所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）构造线线平行，可证线面平行. （2）建立空间直角坐标系，根据直线与底面所成角的正弦值最大，确定点位置，再求三棱锥的体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，，因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以且. 由，，，所以四边形为正方形， 所以，. 因为，平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. 在平面内作直线的垂线， 则平面，有，. 以为原点，分别以所在直线为坐标轴，建立如图空间直角坐标系. 因为，所以平面， 因为平面，所以. 由，，可得. 由余弦定理，, 所以. 所以，，. 所以，. 设， . 底面的一个法向量为. 设直线与底面所成的角为， 则. 当时，； 当时，. 所以当时，取得最大值. 此时，. 所以到平面的距离为， 又， 所以此时三棱锥的体积为. 18. 在一个不透明的箱子里放入大小，材质均相同的5个小球，红球3个，白球2个．甲、乙两人现在一起玩抽球游戏，规则如下：甲每次直接抽取两个球，若同色则继续抽球；若异色则交由乙抽球．乙每次有放回的抽球两次，每次抽一球，若同色则继续抽球；若异色则交由甲抽球．由甲先抽球，两人共进行次抽球后，游戏结束． （1）分别求甲，乙两人每次抽球时，抽到两个球颜色相同的概率； （2）求第次甲抽球的概率； （3）若表示乙抽球前甲抽球的次数，求． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）借助组合计数问题求出古典概率得甲抽球概率；利用互斥事件及相互独立事件概率求得乙抽球概率. （2）利用全概率公式列出递推关系，再利用构造法求出第次甲抽球的概率. （3）求出的概率，再利用期望的定义列式，并利用错位相减法求和即得. 【小问1详解】 甲每次抽球，抽到两个颜色相同的球的概率为； 乙每次抽球，抽到两个颜色相同的球的概率为. 【小问2详解】 表示第次抽球的人是甲，表示第次抽球的人是乙，表示抽到两个球为同色，， 则 ，于是， 又，，因此为以为首项，为公比的等比数列， 则，即， 所以第次甲抽球的概率为. 【小问3详解】 ，，， ， ， 两式相减得 ， 所以. 19. 已知． （1）证明：曲线是中心对称图形； （2）若时，恒成立，求的最小值； （3）若的图象关于点对称，且的解集为，求的取值范围． 【答案】（1）由得，所以的定义域为， ， 关于点中心对称； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）先求出函数定义域，接着计算即可得证； （2）先分离参数，将恒成立问题转化成为最大值问题求最值即可求解； （3）先由（1）得，接着求导函数，利用导数工具分和两种情况研究函数在上的单调性，从而根据在上的解集情况即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，恒成立，则恒成立， ，， ，，即的最小值为； 【小问3详解】 由（1）可知关于对称，， ，， ，令，，， 当时，，时，恒成立，， 在上单调递增， ，的解集为，满足题意． 当时，，使得， 时，即，单调递减； 时，即，单调递增． ，时，不满足题意． 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南溪一中高2023级基地班数学高三试题（四） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则下面结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则复数z的虚部为（ ） A. 2i B. i C. 2 D. 1 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 某数据样本的频率分布直方图如下图所示，则该组数据的众数、平均数、中位数的大小关系为（    ） A. 众数<平均数<中位数 B. 众数<中位数<平均数 C. 中位数<平均数<众数 D. 众数=平均数=中位数 5. “”是“函数的值域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 设定义在上的函数的导函数满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 若实数满足，则下列结论不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）） 9. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 11. 已知函数定义域为，其导函数为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 一个对称中心为 B. 的一个周期为2 C. 的图象关于对称 D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，且，则 _____. 13. 袋子中有3个红球，2个黄球，m个蓝球，现从中任取两个球，记取出的红球个数为X，若取出的两个球都是红球的概率为，则______． 14. 已知函数，则的最大值是________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知中，，，分别为内角，，的对边，且． （1）求角的大小； （2）若，的角平分线交于点，求的长度． 16. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16． （1）求椭圆C的标准方程； （2）记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值． 17. 如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，． （1）若点为线段的中点，证明：//平面； （2）若点为直线上的动点，当直线与底面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体积. 18. 在一个不透明的箱子里放入大小，材质均相同的5个小球，红球3个，白球2个．甲、乙两人现在一起玩抽球游戏，规则如下：甲每次直接抽取两个球，若同色则继续抽球；若异色则交由乙抽球．乙每次有放回的抽球两次，每次抽一球，若同色则继续抽球；若异色则交由甲抽球．由甲先抽球，两人共进行次抽球后，游戏结束． （1）分别求甲，乙两人每次抽球时，抽到两个球颜色相同的概率； （2）求第次甲抽球的概率； （3）若表示乙抽球前甲抽球的次数，求． 19. 已知． （1）证明：曲线是中心对称图形； （2）若时，恒成立，求的最小值； （3）若的图象关于点对称，且的解集为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $