第七章 证明 学情调研-【真题圈】2025-2026学年八年级上册数学练考试卷（北师大版·新教材）山西专版

真题圈数学 同步调研卷 八年级上3B 15.第七章学情调研 蝴 (时间：120分钟满分：120分) 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1.(月考·太原三十七中改编)下列语句中，是命题的是() A.延长线段AB到点C B.π是有理数 C.画∠AOB=45° D.等角的余角相等吗 2.数学文化古希腊数学家编写的数学名著《几何原本》，以公理和原始概念为基础推演出更多的结 论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法（称为公理化方法），它对数学及其他科学乃至人 类的思想产生了巨大的推动作用.如现实生活中的交流、游戏等活动，会选定一些大家认可的结 苹 论、规则作为出发点，这正是《几何原本》的思想.这位古希腊数学家是( ) A.毕达哥拉斯 B.欧几里得 C.赵爽 D.笛卡尔 3.数学建模几何（期末·23-24晋中）《淮南万毕术》是世界上最早记载潜望镜原理的古书，潜望镜内 部通常包含两个互相平行的平面镜，基于光的反射，可得到一组平行线.如图，这是潜望镜工作原 理的示意图，它所依据的数学定理是( A.两点之间，线段最短 B.两点确定一条直线 C.内错角相等，两直线平行 金星D.同旁内角互补，两直线平行 D 平面镜1 ￥30 眼睛⊙正 平面镜2 第3题图 第4题图 4.如图，Rt△ABC是一个三角板，其中∠C=90°，∠BAC=30°.直尺的一边DE经过顶点A,若DE∥CB, 警0 H唰 则∠DAB的度数为() 圈) A.100° B.120° C.135° D.150° 感 5.(期末·24-25晋中太谷区)下列命题中，为真命题的是( A.相等的角是对顶角 B.若a2=b2,则a=b C.两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D.直线a,b,c在同一平面内，若a⊥b,a⊥c,则b∥c 6.情境题如图，李师傅将木条AB和AC固定在点A处，在木条AB上点O处安装一根能旋转的木 条OD.李师傅用量角仪测得∠A=70°，木条OD与AB的夹角∠BOD=82°，要使OD∥AC,木条 OD绕点O按逆时针方向至少旋转() A.12 B.18° C.22° D.249 F B ------D' D a G 第6题图 第9题图 第10题图 7.甲、乙、丙、丁、戊五位同学，他们的年龄之间的关系为：丙没有丁大，乙比甲大，戊不比丁小，而乙不 比丙大.请你判断谁的年龄最小() A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 8.以下四个例子中，不能作为反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题的是( A.设这个角是30°，它的余角是60°，但30°<60 B.设这个角是45°，它的余角是45°，但45°=45° C.设这个角是60°，它的余角是30°，但30°<60° D.设这个角是50°，它的余角是40°，但40°<50° 9.学科融合物理（中考·2024山西）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖 直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行.若斜面的坡角α=25°，则摩擦 力F2与重力G方向的夹角3的度数为() A.155° B.125° C.115° D.65° 10.(期中·22-23忻州)如图，AF∥CD,CB平分∠ACD,BD平分∠EBF,且BC⊥BD,下列结论： ①BC平分∠ABE;②AC∥BE;③∠CBE十∠EDB=90°；④∠DEB=2∠ABC.其中正确的 有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第Ⅱ卷（非选择题共0分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11.将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式： 12.（期末·22-23山大附中)如图，直线AB,CD被EF所截，若∠1=∠2，则∠AEF+∠2 A ·东 南 一D ·东 第12题图 第13题图 13.（期末·23-24运城改编)如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处 在B处的北偏东80°方向，则∠ACB= 14.数学建模几何图①是一打孔器的实物图，图②是使用打孔器的侧面示意图，AD∥BC,使用打孔器 时，AD,DE,DC分别移动到AD',D'E',D'C.此时D'E'∥BC,DD'平分∠ADC,若∠DDE'= 62°，则∠DCB= E ① ② 第14题图 第15题图 15.小明将两个直角三角形纸片按如图所示的方式叠放在一起，其中∠BCE=90°，∠B=∠E=45°， ∠ACD=90°，∠A=30°，∠D=60°.当∠ACE<90°且点E在直线AC的上方时，他发现若∠ACE °，则三角形纸片BCE有一条边与斜边AD平行（写出所有可能）. 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(月考·24-25太原三十七中改编)(8分)已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C,AD平分∠EAC 求证：AD∥BC. 精品图书 第16题图 金星教育 17.(8分)如图，∠C=∠1，BE⊥FD,∠2十∠D=90°.求证：AB∥CD E 第17题图 5 18.开放性试题(8分)如图，点A,B,C,D在同一条直线上，且AB=CD,请从以下三个条件：①AE∥DF; ②AE=DF;③EC=FB中，选两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题，并证明 这个命题 已知：AB=CD, 求证： .(填写序号即可) 证明： 第18题图 盗印必究 关爱学子 19.(期末·24-25晋中太谷区)(8分) 拒绝盗印 已知：如图，∠1=∠C,EF⊥BC,∠2+∠3=180°. (1)求证：∠2=∠4. (2)试求出∠ADC的度数. D 请根据解答过程，在横线上填出数学式，在括号内填写相应理由. 第19题图 (1)证明：∠1=∠C,(已知) ∴.DP∥AC,( ① ∴.∠2=∠4.( ② (2)解：.∵EF⊥BC,(已知) ∴.∠EFC=90°.( ③ ∠2=∠4，∠2十∠3=180°，（已证） ∴.∠3+∠4=180°，( ④ ⑤ ⑥ ∴.∠ADF=∠ ⑦ ∴.∠ADC的度数为 ⑧ 20.(8分)阅读理解： 如果把一个命题（记作p)的题设和结论交换位置，得到另一个命题（记作q),那么这两个命题叫 贤 狗 作互逆命题，其中命题p称为原命题，命题q称为原命题的逆命题. p 例如：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”. 尽 嫩 解决问题： 图出 给出命题p:如果a=b,那么a=|b. 百期 (1)写出命题p的题设和结论及逆命题q (2)判断命题q是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明. 题圈 % 精品图书 金星教育 留 试 51 21.(期末·23-24运城实验中学)(10分)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB,CD交边AB于点E, 在边AE上取点F,连接DF,使∠1=∠D. (1)求证：DF∥BC. (2)当∠A=36°，∠DFE=34°时，求∠2的度数 2 C 第21题图 盗印必究 关爱学子 拒绝盗印 22.新定义试题(12分)一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫 作“对称数”，如101,232,555等都是“对称数” 观察：101-(1十0+1)=99=9×11；232-(2+3+2)=225=9×25； 555-(5+5+5)=540=9×60;…. 猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被 整除。 验证： (1)若这个“对称数”是979，请通过计算验证猜想， (2)设一个对称数的百位数字与个位数字均为α，十位数字均为b,请你通过推理说明猜想是正确的， 真题圈 金星教育精品国书 -5 23.(13分)综合与实践 (1)发现：如图①，直线AB,CD被直线EF所截，EM平分∠AEF,FM平分∠CFE.若∠AEM 55°，∠CFM=35°，试判断AB与CD平行吗？并说明理由. (2)探究：如图②，若直线AB∥CD,点M在直线AB,CD之间，点E,F分别在直线AB,CD上， ∠EMF=90°，P是MF上一点，且EM平分∠AEP.若∠CFM=60°，求∠AEP的度数 (3)延伸：若直线AB∥CD,点E,F分别在直线AB,CD上，点M在直线AB,CD之间，且在直线 EF的左侧，P是折线E一M一F上的一个动点，∠EMF=90°保持不变，移动点P,使EM平分 ∠AEP或FM平分∠CFP.设∠CFP=a,∠AEP=B,请判断a与B之间的数量关系，并说明 理由 ① ② 第23题图 备用图 盗印必穷 关爱学子 拒绝盗印 2一(2)购买普通练习本a本，则购买精装练习本(500一a)本， 由题意可得W=(3-2)a+(10-7)(500-a)=-2a+1500. 21.【解】(1)1882.5 分析：a=10-7-10-40-25=18,b=号×(82+83)=82.5. (2)小凡的说法不正确. 理由：平均分反映的是平均水平，而中位数指的是中间值，比中 位数高的和低的人数各占一半，应将小宇的成绩与中位数比 较，得出小宇的成绩低于一半学生的成绩 (3)因为八年级测试成绩的平均数、中位数和众数都高于七年 级，所以八年级学生“航空航天知识”掌握的比较好.（答案不 唯一) 22.【解】(1)由题意得m=0,y=0, 因为m=10,M=50,所以10l=50a,所以l=5a. (2)由题意得m=1000,y=50, 所以(10+1000)l=50(a+50), 所以1011-5a=250. /l=5a, 1a=0.5, (3)由(1)(2)可得 解得 (1011-5a=250, l=2.5. (4)由(3)可知l=2.5,a=0.5, 所以2.5(10+m)=50(0.5+y,所以y=20m (5)由(4)可知y=20m, 当m=100时，则y=5, 所以相邻刻线间的距离为5cm 1 23.【解】(1)将y=0代入y-2x+2,得x=-4, 所以A(-4,0),所以OA=4. 因为OA=2OB,所以OB=2,所以B(2,0) 设直线l2的函数表达式为y=kx十b. 将点D(0,一4)，B(2,0)的坐标分别代入y=kx十b,得 =一，懈得、一4， 42k+b=0, 所以直线l2的函数表达式为y=2x一4. (2)联立V=x+2, 1 x=4, 解得〈 所以C(4,4). y=2x-4, y=4, 因为A(-4,0),B(2,0),所以AB=2-(-4)=6, 所以Sc=号AB·0=号×6×4=12 (3③)存在点P的坐标为12,0或(-号，0）。 分析：①当点P在点B右侧的x轴上时，设∠BDP=45°，过点 B作BM⊥BD交PD于点M,过点M作MN⊥x轴，垂足为 N,如图①. Ay C B x 第23题答图① 真题圈数学八年级上3B 易知∠BMD=∠BDP=45°， 所以BD=BM. 因为∠OBD+∠ODB=90°，∠OBD+∠MBN=90°， 所以∠ODB=∠MBN. 又∠DOB=∠MNB=90°， 所以△OBD≌△NMB, 所以MN=OB=2,BN=OD=4, 所以ON=OB+BN=6, 所以点M的坐标为(6，一2). 由点D(0,一4)，M(6,一2)在直线PD上，易得直线PD的表达 式为y=3x-4,所以当y=0时，x=12, 所以直线PD与x轴的交点P的坐标为(12,0)， ②当点P在点B左侧的x轴上时，设∠BDP=45°，过点B作 BM⊥PD于点M,过点M作MN⊥x轴，垂足为N,过点D作 DQ⊥MN于点Q,如图②. A N B 第23题答图② 同理易证△DMQ≌△MBN, 所以DQ=ON=MN,MQ=BN 设DQ=a,则4-a=2十a, 解得a=1, 所以DQ=ON=MN=1, 所以点M的坐标为（一1，一1）. 由点D(0,-4),M(-1,-1)在直线PD上，易得直线PD的表 达式为)一3x一4，所以当y=0时=-号 所以直线PD与x轴的交点P的坐标为(-专，0)： 综上，在x轴上存在点P,使得∠BDP=45°，点P的坐标为 12,0)或(-号，0)： 15.第七章学情调研 题号12345678 910 答案BB CBDAA ACD 1.B2.B3.C 4.B【獬析】：DE∥CB,∠C=90°，.∠DAC=∠C=90°. ∠BAC=30°，.∠DAB=∠DAC+∠BAC=120°. 故选B. 5.D 6.A【解析】当木条OD转动到OD'时，OD∥AC.·OD∥AC, ∴.∠BOD=∠A=70°，∴.∠DOD=∠BOD-∠BOD=82° 70°=12°，.木条OD绕点0按逆时针方向至少旋转12°.故 选A 7.A 8.A 答案与解析 9.C【解析】如图，：重力G的方向竖直向 下，.∠a十∠1=90°， .∠2=∠1=90°-25°=65° ·摩擦力F2的方向与斜面平行， .∠叶∠2=180°， 第9题答图 .∠g=180°-∠2=180°-65°=115°. 故选C 10.D【解析】：AF∥CD, ∴.∠ABC=∠ECB,∠EDB=∠DBF,∠DEB=∠EBA. :CB平分∠ACD,BD平分∠EBF, .∴.∠ECB=∠BCA,∠EBD=∠DBF,∴.∠EDB=∠DBE. .'BC⊥BD,∴.∠EDB+∠ECB=90°，∠DBE+∠EBC=90°， .∠ECB=∠EBC=∠ABC=∠BCA,.BC平分∠ABE,故 ①正确。 ∠EBC=∠BCA,∴.AC∥BE,故②正确. ∠CBE+∠EDB=∠CBE十∠EBD=90°，故③正确 ∠DEB=∠EBA=2∠ABC,故④正确. 故选D. 11.如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 12.180°【解析】，直线AB,CD被直线EF所截，∠1=∠2， .AB∥CD, .∠AEF+∠2=180. 故答案为180°. 13.85【解析】如图，根据方向角的定义，可得∠BAE=45°， ∠CAE=15°，∠DBC=80°， .∠BAC=45°+15°=60° ·东 :AE,BD是正南、正北方向， .BD∥AE, D E .∠DBA=∠BAE=45, 北 .∠ABC=80°-45°=35°， .∠ACB=180°-∠ABC B ·东 第13题答图 ∠BAC=85°.故答案为85. 14.56【解析】，DE∥BC,AD∥BC, .AD∥DE', .∠ADD=∠DD'E=62°. :DD平分∠ADC, .∠ADC=2∠ADD=124°. :AD∥BC, .∠DCB=180°-∠ADC=56°. 故答案为56. 15.15°或60°【解析】(1)如图①，当BE∥B AD时，∠CFE=∠D=60°， ∠E=45, .∠DCE=180°-∠CFE-∠E=75°， ∴.∠ACE=90°-∠DCE=15. (2)如图②，当BC∥AD时，∠A十 ∠BCA=180°， :∠A=30°， ∴.∠BCA=180°-∠A=150°， ② ∴.∠ACE=∠ACB-∠BCE=6O. 第15题答图 故答案为15或60°. 16.【证明】，∠BAC+∠B+∠C=180°， .∠B+∠C=180°-∠BAC ∠B=∠C, .2∠C=180°-∠BAC. :∠EAC=180°-∠BAC, .2∠C=∠EAC :AD平分∠EAC, ∴.∠EAC=2∠CAD, .∠C=∠CAD, .AD∥BC 17.【证明】，BE⊥FD, .∠DGE=90°，∴.∠1十∠D=90° :∠2+∠D=90°， .∠1=∠2. :∠C=∠1， .∠2=∠C,∴.AB∥CD. 18.【解】解法一：已知：AB=CD,_①，②， 求证：③ 证明：，AB=CD, ∴.AB+BC=CD+BC,即AC=DB. :AE∥DF,∴.∠A=∠D. 又：AE=DF,.△ACE≌△DBF(SAS), .EC=FB. 解法二：已知：AB=CD,②，③· 求证：① 证明：AB=CD ,∴.AB+BC=CD+BC,即AC=DB. 又.AE=DF,EC=FB, .△ACE≌△DBF(SSS), .∠A=∠D, ∴.AE∥DF. 19.①同位角相等，两直线平行；②两直线平行，内错角相等；③垂 直的定义；④等量代换；⑤AD∥EF;⑥同旁内角互补，两直线 平行；⑦EFC;⑧90° 20.【解】(1)，命题p:如果a=b,那么a=|b, .a=b是题设，a=b是结论； 逆命题q是：如果|a=|bl,那么a=b. (2)命题q是假命题. 反例：a=3,b=-3,|3=|-31,但是3不等于-3. 21.(1)【证明】，CD平分∠ACB, .∠DCB=∠1. ∠1=∠D, .∠DCB=∠D, .DF∥BC. (2)【獬】DF∥BC,∠DFE=34°， ∴.∠B=∠DFE=34. 在△ABC中，∠A=36°，∠B=34° .∠ACB=180°-36°-34°=110° :CD平分∠ACB, ·∠1=∠ACB=5, .∠2=180°-36°-55°=89°. 22.【解】9 (1)979-(9+7+9)=954=9×106, 故将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除 (2)(100a+10b+a)-(a+b+a)=99a+9b=9(11a+b), a,b为整数， ∴.9(11a十b)能被9整除， .“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除。 23.【解】(1)平行. 理由如下：，∠AEM=55°，EM平分∠AEF, .∠AEF=2∠AEM=110°. :∠CFM=35°，FM平分∠CFE, .∠CFE=2∠CFM=70°. .∠AEF+∠CFE=180°， .AB∥CD. (2)过M作MN∥AB,如图①. :AB∥CD,∴.AB∥CD∥MN, .∠AEM=∠NME,∠NMF=∠CFM=6O°， .'.∠EMF=∠EMN+∠FMN=∠AEM+∠CFM=90°， .∠AEM=30°. ,EM平分∠AEP, .∴.∠AEP=2∠AEM=60° E E A -B A- -B A- 内 B P M- ----N M M F D ① ② ③ 第23题答图 (3)a与B之间的数量关系为a十2B=90°或B7a=909, 理由：若EM平分∠AEP,如图②，则∠AEM=∠PEM= 合∠AEP=A 由(2)可得，∠M=∠AEM+∠CFM=90°， ∴.∠CFM=90°-∠AEM, ∴a=90°-7B,即a+7B=90. 若FM平分∠CFP,如图③，则∠CFM=∠PFM=号∠CPP= 由(2)可得∠M=∠ABM+∠CFM=90°，∴g叶2a=90 综上所述，a与B之间的数量关系为a十2B=90或叶2a 90° 专题复习卷 16.专题复习卷（一）勾股定理与平行线 1.B 2.A【解析】设点C到AB的距离为h,在Rt△ABC中，∠C= 真题圈数学八年级上3B」 90°，则有AC+BC=AB,AC=8,BC=15,∴AB= VAC+BC-17.:Se=号AC·BC=7AB·h,h= 8X5-器放选A 17 3.C【解析】如图，过点A作AD⊥BC于点D,B卡m兴 :AB=AC,BD=合EC=2m D 1.2m AD=1.2m, ∴.AB=AC=√1.22+0.5=1.3(m), 4 .绳长为1.3×2=2.6(m). 第3题答图 故选C 4.D【解析】在Rt△ABE中，AE=4,AB=5, ∴.BE=√JAB2-AE=√J52-42=3. Rt△DAH≌Rt△ABE,∴.DH=AE=4,AH=BE=3, ,∴.EH=AE-AH=4-3=1. 四边形EFGH是正方形，.∠DHE=90°， .DE=√D+Ef=√4+1下=√I7. 故选D. 5.A 6.5【解析】设AC的长为xm,:AC=AB,∴.AB=AC=xm. EB=CD=1 m,.'.AE=(x-1)m. 在Rt△ACE中，AC=CE+AE, 即x2=32+(x-1)2,解得x=5, .滑道AC的长为5m故答案为5. 7.3√10【解析】如图，连接CD. .AB=AC=DE=DF=6,BAC= /EDF=90°， ∴.△ABC≌△DEF(SAS), ∴.BC=EF. 第7题答图 BE=EC, ∴.EC=CF,∴.DC EF. .DE=DF=6,∠EDF=90°， .EF=√DE+DF=√62+6=6√2， ∴.DC=EC=CF=3W2. 在Rt△BCD中，BD=√DC+BC=√(3√2)2+(6√2)2= 3√/10. 故答案为3√10. 8.7cm【解析】依题意，得BC=5cm,AC=12cm, ∴.在Rt△ABC中，AB=√AC+BC=√12+5=13(cm. .AD=AB=13 cm,DE=2 30 cm, ∴.在Rt△ADE中，AE=√AD-DE=√132-(2√30)2= 7(cm). 故答案为7cm. 9.30【解析】由题意可得，圆柱体 的侧面展开图（如图）中AC= 24cm,BC=18cm,则在Rt△ABC 18cm 中，AB=√AC2+BC=√/24+18 =30(cm).所以这段葛藤的长是A 24 cm )30cm.故答案为30. 第9题答图