重难题型卷(三)轴对称-【真题圈】2025-2026学年八年级上册数学练考试卷（人教版·新教材）山西专版

由(1)知，∠CBD=2∠BAC,∠CBD=2X10°=50. ②当∠BAC=40时，∠CBD=号∠BAC=号×40°=20. 综上所述，该等腰三角形一腰上的高与底边的夹角的度数是 50°或20°. 22.【解】(1)依据1：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点 的距离相等； 依据2：等量代换； 依据3：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分 线上 (2)40<x90 分析：：△ABC的外心在该三角形的内部， .△ABC是锐角三角形. ,∠B=50°，易知40<x<90. (3).直线l41是AB的垂直平分线，∴.AM=BM,OA=OB. ,直线2是AC的垂直平分线，.AN=CN,OA=OC. ∴.OB=OC=OA=6cm, △AMN的周长=AM+MN+AN=BM+MN+NC=BC. :△OBC的周长为22cm, .∴.BC=22-(OB+OC)=22-12=10(cm), .△AMN的周长为10cm 23.【解】(1)= 分析：：△ABC是等边三角形，∴.∠ACB=∠ABC=60°. 点E为AB的中点， ·∠BCE=号∠ACB=30,BE=AE :ED=EC,.∠D=∠BCE=30°. :∠ABC=∠D+∠BED=60°， .∠BED=30°=∠D,∴.BD=BE,∴.AE=DB. (2)= 补充解答过程如下： :△ABC为等边三角形，∴.∠ACB=∠ABC=∠A=60°. :EF∥BC,.∠AEF=∠AFE=∠ACB=∠ABC=6O°， ∴.△AEF为等边三角形， .AE=EF=AF,∴.BE=CF ,ED=EC,.∠D=∠DCE ,∠DEB=60°-∠D,∠ECF=60°-∠ECD, ∴.∠DEB=∠ECF,'.△DBE≌△EFC(SAS), .DB=EF,∴.AE=DB (3)如图.CD的长为3. 分析：由图可知点E在AB的延长线上， 由题可得AB=BC=BE=1, ∠BCE=∠BEC=∠D=30°，∠DBE=60°， 则∠DEB=90°，.BD=2BE=2, .'CD=BC+DB=3. 0 E 第23题答图 真题圈数学八年级上J3B 7.重难题型卷（三）轴对称 1.B【解析】·△ABC与△A'B'C'关于直线L对称， ∴.∠B=∠B=30. ∠A=32°， .∠C=180°-32°-30°=118°. 故选B. 2.A【解析】如图，连接OP,OM,ON. 点M,N分别是点P关于直线OA M 和OB的对称点， E ∴.OP=OM=ON,ME=PE,PF =FN, .OwMR=∠OPM,∠OPN=ONp,o- ∠EMP=∠EPM,∠FPN=∠FNP, ∴.∠OME=∠OMP-∠EMP= 第2题答图 ∠OPM-∠EPM=∠OPE,∠ONF= ∠ONP-∠FNP=∠OPN-∠FPN=∠OPF, ∴.∠OME+∠ONF=∠OPE+∠OPF=∠EPF=110°， ∴.∠MON=180°-（∠OME+∠ONF)=180°-110°=70°. '∠MON=∠POE+∠MOE+∠POF+∠NOF=2∠AOB, ∴./AOB=70°÷2=35. 故选A 3.【解】(1)9090 分析：如图①，连接AP. ∠C=90°，CA=CB, ∴.∠CAB=∠CBA=45°. :点M,N分别为点P关于直线AB,AC的对称点， .∠PAC=∠NAC,∠PAB=∠MAB,∠ABP=∠ABM=45°， .∠MAN=2(∠PAC+∠PAB)=90°， ∠MBC=45°+45°=90°. M N C P P CN B ① ② 第3题答图 (2)①如图②所示. ②存在.CP的长度为1或4. 分析：设CP=CN=x, 则BN=2-x,或BN=x-2.BM=PB=2+x. .BM=3BN, ∴.2+x=3(2-x),或2+x=3(x-2), 解得x=1,或x=4, .CP的长度为1或4. 4.B【解析】：DE是AC的垂直平分线， ∴.DA=DC,∴.∠DAC=∠C=25°. ∠B=60°，∠C=25°， ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=95°， O·∠BAD=∠BAC-∠DAC=70°. 故选B. 答案与解析 5.B【解析】如图，连接AE.,EF是AB的垂直平分线， ..EA=EB,../EAB=/B=36°， ∴.∠AEC=∠EAB+∠B=72° ,ED=DC,∠ADC=90°，.AE=AC=BE=3, .∠C=∠AEC=72°， .∠BAC=180°-36°-72°=72°， .∴.∠BAC=∠C, .BC=AB=5, .EC=BC-BE=2,..DC=ED=1. 故选B B E D C 第5题答图 第6题答图 6.【证明】如图，设AD,EF的交点为K. :AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.DE=DF,∠AED=∠AFD=90° 在Rt△ADE和Rt△ADF中，AD=AD,DE=DF, ∴.Rt△ADE≌Rt△ADF(HL),∴.AE=AF, .△AEF为等腰三角形. AD是△ABC的角平分线， ∴.AD垂直平分EF. 7.【解】(1)，∠ABC=20°，∠ACB=65°， ∴.∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=95. DE,FG分别为AB,AC的垂直平分线， ∴.DA=DB,FA=FC, .∠DAB=∠ABC=20°，∠FAC=∠ACB=65°， .∠DAF=∠BAC-∠DAB-∠FAC=95°-20°-65°=10° (2)由(1)可知，DA=DB,FA=FC, ∴.△DAF的周长=DA十DF+FA=DB+DF+FC=BC=5O. 8.C【懈析】在△ABC中，AB=AC,∴.∠C=∠B=35. 又，D是BC的中点，.AD是△ABC的高， .∠ADC=90°，.∠CAD=180°-90°-35°=55. 故选C. 9.C【解析】①若100的外角的邻角是等腰三角形顶角， 则它的顶角的度数为180°-100°=80°； ②若100°的外角的邻角是等腰三角形底角，则它的底角的度数 为180°-100°=80°， .它的顶角为180°-80°-80°=20°， .它的顶角的度数为80°或20°. 故选C. 10.B【解析】如图，延长BD交AC于点E. BD⊥CD, B .∠BDC=∠EDC=90° :CD平分∠ACB, .∠BCD=∠ECD, C 又，CD=CD, 第10题答图 .△BCD≌△ECD(ASA), ∴.BC=EC,BE=2BD,∠CBD=∠CED=76°. AC=BC+2BD,..AE+EC=BC+2BD, ∴.AE=2BD=BE,.∠A=∠ABD, 又，∠CED=∠A+∠ABE=2∠A=76°， ∠A=38. 故选B. 11.80°【解析】，OC=CD,.∠O=∠CDO. .'CD=DE,.∠DCE=∠DEC :∠DCE-∠O+∠CDO=2∠O, .∠DEC=2∠O, .∠BDE=∠O+∠DEC=3∠O=75°， .∠0=25°，∴.∠DCE=∠DEC=50°， .∠CDE-180°-50°-50°=80°. 故答案为80°. 12.【解】(1)15 分析：在△ABC中，AB=AC,AD是BC上的高， .∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD. ∠BAD=30°，.∠CAD=30°. :AD=AE,.∠ADE=∠AED=75°， .∠EDC=∠ADC-∠ADE=15. (2)20° 分析：：在△ABC中，AB=AC,AD是BC上的高， .∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD. :∠BAD=40°，.∠CAD=40. :AD=AE,.∠ADE=∠AED=70°， .∴.∠EDC=∠ADC-∠ADE=20°. (3)∠BAD=2∠EDC 13.D【解析】由平行可得，∠M=70°，∠N=40°， 则∠NPM=180°-∠M-∠N=70°=∠M, .NP=NM. .NM=40X2=80(n mile), ,∴.NP=8 0 n mile. 故选D. 14.B【解析】如图，过点P作PF∥BC 交AB于点F,则∠EPF=∠Q. D :△ABC是边长为3的等边三角形， .∠A=∠ABC=∠C=60°，AB=3, :PF∥BC,.∠AFP=∠ABC=Q B 60°，∠APF=∠C=60°， 第14题答图 .∠A=∠AFP=∠APF=60°， .△AFP是等边三角形，FP=AP. BQ=AP,.'.FP=BQ. (∠FEP=∠BEQ, 在△FEP和△BEQ中，{∠EPF=∠Q, FP=BQ, ∴.△FEP≌△BEQ(AAS), FE-BE-7 BF. PDLAB,PA-PF,:FD-AD-2AF, &DE=FD+FE-=号AF+BF)=号AB=号. 故选B. 15.26【解析】BE=CE,DE⊥BC,∴.BD=CD=3, .BC=BD+CD=6. ,△ACE的周长为20， .AC+CE+AE=AC+BE+AE=AC+AB=20, .∴.△ABC的周长=AC+BC+AB=20+6=26. 故答案为26. 16.30°【解析】如图，分别作点P关于OA,OB的对称点D,C,连 接CD,分别交OA,OB于点M,N,连接OC,OD,此时PN+ PM十MN最小，最小值为CD=8cm,由对称性，得OP=OD, OP=OC,∠AOD=∠AOP,∠BOC=∠BOP,则OC=OD= 8cm,∠A0B=号∠COD,∴.OC=OD=CD. .△OCD是等边三角形. .∠COD=60°..∠AOB=30° 4 D D 第16题答图 第17题答图 1n.智【解析】：AB=AC=13,点D是BC的中点，AD BC,·点B,点C关于直线AD对称.如图，过点C作CF⊥AB 交AD于点E,则此时EB十EF的值最小，最小值为CF的长. :Sae=合AB·CF=C·AD,CF=IC AB AD- AB 1O2-瓷BE+证的最小值为器放答案为把 18.8【解析】如图，过点D作射线DH⊥AB,交AB于点H, H E Q B P D 第18题答图 .∠AHD=90°=∠C :AD平分∠BAC, .'.∠DAH=∠DAC AD=AD, .△ADH≌△ADC(AAS), .∠ADH=∠ADC,AH=AC=4, .BH=AB-AH=12-4=8. .DE⊥AD,.∠ADE=90°， .∠ADC+∠BDE=90°，∠ADH+∠EDH=90°， .∠BDE=∠EDH. 在DH上取一点Q',使DQ=DQ,连接PQ,BQ. .'DP=DP,∴.△QDP≌△QDP(SAS), .PQ=P, ∴.BP+PQ=BP+PQ≥BQ'. 当BQ⊥DH,即点Q与点H重合时， BP+PQ有最小值，最小值为BH=8. 故答案为8. 19.15【解析】如图，作点A关于CM的对称点A',点B关于DM 的对称点B,连接CA',MA',MB,A'B',B'D, 真题圈数学八年级上J3B D B A A M B 第19题答图 .MA=MA',MB=MB',B'D=BD=8,A'C=AC=2. :M为AB的中点，.MA=MB=5,∴.MA'=MB. :∠CMD=120°，∴.∠AMC+∠DMB=60, ∴.∠CMA'+∠DMB=60°， ∴.∠AMB=120°-60°=60°，.△A'MB'为等边三角形， .A'B'=MA'=MA=5, .A'C+A'B'+B'D=2+5+8=15. :CD≤CA'+A'B+BD, .CD的最大值为15.故答案为15. 20.【解】(1)，·△ABC为等边三角形， .∠ABC=∠BAC=60°，AB=BC 又：AD=DC,∴.BD垂直平分AC.∴.BE平分∠ABC, ∠ABD-∠ABC=30 ∠BAD=90°，∴.∠DAE=30° AD-4.BD-2AD-8.DE-7AD-2. .'BE=BD-DE=6. (2)如图所示，连接AF交BD于点 P,点P即所求，此时PC十PF取得 最小值，最小值为6. 分析：：BD是AC的垂直平分线， .点A,C关于BD对称， 连接AP,则AP=P℃， .∴.PC+PF=AP+PF≤AF. 第20题答图 故当A,P,F三点共线时，PC十PF 取得最小值，且最小值为AF的长， :△ABC为等边三角形，F是BC的中点， .AF⊥BC 又，BE⊥AC,.BE=AF=6,即PC+PF的最小值为6. 21.6【解析】如图，①当PA=PB时， AB的垂直平分线交AC于点P1,交 P 直线BC于点P2(由∠BAC=30°可 知△ABP2为等边三角形)；②当AB y =AP时，AC上存在两点P3,P4,BC 、 上存在一点P2;③当BP=BA时，BC P B P.CP 上存在两点P,P2,AC上存在一点 ↑P6 P。.故符合条件的点P有6个.故答 第21题答图 案为6. 22.75°或120°或90°【解析】.∠AOB=30°，∠ABM=60°， ∴∠A=60°-30°=30°=∠AOB,.OB=AB. 分情况如下： ①如图①，OA=OP ∠AOB=30°，OA=OP, ∠0AP=∠0PA=号×(180°-30)=75. 答案与解析 ②如图②，OA=AP. .∠AP0=∠AOB=30°， ∴.∠0AP=180°-∠AOB-∠AP0=180°-30°-30°=120°. ③如图③，AB=AP. .∴.∠APO=∠ABM=60°， .∠OAP=180°-∠A0B-∠AP0=180°-30°-60°=90° ④如图④，AB=BP. :∠BAP=∠AP0=号X(180°-60)=60， ∴.∠OAP=180°-∠AOB-∠APO=180°-30°-60°=90. ⑤如图⑤，AP=BP. .∴.∠ABM=∠PAB=60°， ∴.∠AP0=180°-60°-60°=60°， .∠OAP=180°-∠AOB-∠AP0=180°-30°-60°=90°， ⑥PO=PA,此时点P与点B重合，不符合题意。 综上可知，当∠OAP为75°或120°或90时，以A,O,B中的任 意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形. 故答案为75°或120或90°. B M ⑤ 第22题答图 23.【解】(1)25小分析：∠BAD=180°-∠ABD-∠BDA= 180°-40°-115°=25°；从题图中可知，点D从B向C运动时， ∠BDA逐渐变小。 (2),AB=AC,.∠B=∠C=40° 分情况讨论：①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40° ∠AED>∠C,.此时不符合. ②当DA=DE时，∠DAE=∠DEA=7X(180°-40)=70. :∠BAC=180°-40°-40°=100°， .∠BAD=100°-70°=30°， .∠BDA=180°-30°-40°=110°. ③当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°， .∠BAD=100°-40°=60°， .∠BDA=180°-60°-40°=80°. 综上所述，∠BDA为110°或80时，△ADE是等腰三角形 8.期中学情调研（一） 题号12345678910 答案ABAD ADACC C 1.A【解析】等边三角形有3条对称轴，正方形有4条对称轴，正 六边形有6条对称轴，圆有无数条对称轴.故选A. 2.B3.A4.D 5.A【解析】根据三角形三边之间的关系，得a>8一4，a<8+4, 解得4<a<12.故选A. 6.D【解析】·△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，.∠B= ∠C,AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,故A,B,C正确，无法得到AB= 2BD,故D不正确.故选D. 7.A 8.C【解析】连接BC,如图所示，：∠A=65°，∠ABE=40°， ∠ACD=25°，.∠1+∠2=180°-∠A-∠ABE-∠ACD= 180°-65°-40°-25°=50°. ∠D+∠E=∠1+∠2，.∠D+∠E=50° 故选C. B 2 C2 C 第8题答图 第9题答图 9.C【解析】如图所示，分三种情况： ①当A为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的C点有2个 (C,C2);②当B为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的C 点有1个(C);③当C为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角 形的C点有1个(C4). 综上所述，以A,B,C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有 2+1+1=4(个). 故选C. 10.C【解析】如图所示，连接AM,AN, AB=AC,∠BAC=120°， ∴.∠B=∠C=30° :EM是AB的垂直平分线， .BM=AM, M .∠B=∠BAM=30°， .∠AMN=∠B+∠BAMB E A =60°. 第10题答图 同理，AN=CN,∠C=∠CAN=30°， ∴.∠ANM=∠C+∠CAN=60°， .△AMN为等边三角形， .MN=AM=AN=BM=CN. BC-BM+MN+CN-6,MN-BC-2. 故选C. 11.60°12.15 13.∠A=∠F(答案不唯一)【解析】CD∥BE, ∴.∠CDB=∠EBD,.∠ADC=∠FBE :BC∥DE,.∠CBD=∠EDB. ,BD=DB,∴.△BCD≌△DEB(ASA), .'CD=BE. 在△ACD和△FEB中，CD=BE,∠ADC=∠FBE,,当∠A =∠F或AD=FB或AB=DF或∠ACD=∠FEB等时， △ACD≌△FEB. 故答案为∠A=∠F(答案不唯一).真题圈数学 同步调研卷 八年级上RJ3B 最 7.重难题型卷（三） 狗 轴对称 嫩 题型一 轴对称性质的应用 图H 彐期 1.如图，△ABC与△A'B'C关于直线l对称，其中∠A=32°， ∠B=30°，则∠C的度数为( A.128° B.118° C.1089 D.98 第1题图 第2题图 2.如图，点P在∠AOB的内部，点M,N分别是点P关于直线 製 OA,OB的对称点，线段MN分别交OA,OB于点E,F.若 ∠EPF=110°，则∠AOB的度数是() A.35° B.40° C.70° D.80° 3.探究性试题在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2,直线BC上 有一点P,M,N分别为点P关于直线AB,AC的对称点，连接 AM,AN,BM. % 精品 (1)如图①，当点P在线段BC上时，∠MAN的度数为 ∠MBC的度数为 金星 (2)如图②，当点P在线段BC的延长线上时， ①依题意补全图②. ②探究是否存在点P,使得BM=3BN?若存在，直接写出CP 的长度；若不存在，说明理由 0 附 ① ② 圍 第3题图 品 @ 题型二线段垂直平分线的应用 4.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC, AC于点D和E,∠B=60°，∠C=25°，则∠BAD的度数 为() A.50° B.70 C.75 D.80° 第4题图 第5题图 5.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E,交 AB于点F,D是线段CE的中点，∠ADC=90°，若∠B=36°， AB=5,AC=3,则DC的长为() A.0.5 B.1 C.1.5 D.2 6.如图，AD是△ABC的角平分线，DE,DF分别是△ABD和 △ACD的高，求证：AD垂直平分EF. E 第6题图 一 21 7.如图，在△ABC中，∠ABC=20°，∠ACB=65°，DE,FG分别 为AB,AC的垂直平分线，E,G为垂足， (1)求∠DAF的度数. (2)若BC的长为50，求△DAF的周长. D F 第7题图 题型三等腰三角形的相关计算 绝盗印一 类型1求角度 8.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，连接AD.若 ∠B=35°，则∠CAD的度数为() A.110° B.70° C.55° D.35 B 第8题图 第10题图 9.(模考·2024山西省实验)等腰三角形的一个外角是100°，它 的顶角的度数为() A.80° B.20° C.80°或20° D.80°或50° 10.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB,BD⊥CD,AC= BC+2BD,若∠DBC=76°，则∠A的度数为() A.369 B.38 C.40° D.45° 11.数学文化（月考·24-25大同一中改编）“三等分角”是由古希 腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一 角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成，两根棒在O 点相连并可绕点O转动，C点固定，OC=CD=DE,点D,E可 在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是 D B 第11题图 12.在△ABC中，AB=AC. (1)如图①，如果∠BAD=30°，AD是BC上的高，AD=AE, 则∠EDC= (2)如图②，如果∠BAD=40°，AD是BC上的高，AD=AE, 则∠EDC= (3)思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什 么关系？请用式子表示 第12题图 类型2求线段长度 13.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以 40 n mile/h的速度向正北方向航行，2h后到达灯塔P的北 偏东40°方向的N处，则N处与灯塔P的距离为() A.40 n mile B.60 n mile C.70 n mile D.80 n mile A 北 十东 409 170° 第13题图 第14题图 第15题图 14.如图，等边三角形ABC的边长为3，点P是AC边上的一个 动点，过点P作PD⊥AB于点D,延长CB至点Q,使得BQ =AP,连接PQ交AB于点E,则DE的长为() A.1 B昌 C.2 D号 15.(期中·24-25大同)如图，在△ABC中，点E是边AB上一 点，连接CE,且BE=CE,过点E作ED⊥BC于点D.若 △ACE的周长为20，BD=3,则△ABC的周长为 题型四最值问题 16.如图，点P是∠AOB内一点，OP=8cm,点M,N分别是射 线OA,OB上的动点.若PN+PM+MN的最小值是8cm, 则∠AOB的度数是 D 第16题图 第17题图 17.如图，在△ABC中，AB=AC=13,BC=10,AD=12,点D是 BC的中点，点E,F分别是AD,AB上的动点，则BE+EF 的最小值是 18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,AB=12,AD平分 ∠BAC交BC于点D,过点D作DE⊥AD交AB于点E,P 是DE上的动点，Q是BD上的动点，则BP十PQ的最小值 为 y M B 第18题图 第19题图 19.如图，AC,BD在AB的同侧，AC=2,BD=8,AB=10,M为 AB的中点，若∠CMD=120°，则CD的最大值为 20.如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点E,若 △ABC为等边三角形，AD⊥AB,AD=DC=4. (1)求BE的长. (2)若点F为BC的中点，请在BD上找出一点P,使PC+ PF取得最小值，并直接写出最小值. 第20题图 22 题型五动点构造等腰三角形 21.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在直线BC 或AC上有动点P,使得△PAB为等腰三角形，则符合条件 的点P共有 个 dc B 第21题图 第22题图 22.如图，已知点P是射线BM上一动点(P不与B重合)， ∠AOB=30°，∠ABM=60°，当∠OAP= 时，以A, O,B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形 23.如图，在△ABC中，AB=AC=2,∠B=40°，点D在线段BC 上运动(D不与B,C重合)，连接AD,作∠ADE=40°，DE交 线段AC于E. (1)当∠BDA=115°时，∠BAD= ;点D从B向C 运动时，∠BDA逐渐变 (填“大”或“小”). (2)在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当 ∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形 爱学子 40 拒绝盗印 第23题图