第十五章 轴对称 学情调研-【真题圈】2025-2026学年八年级上册数学练考试卷（人教版·新教材）山西专版

(2)∠BFP的度数为135+号或45°-号. 分析：①如图①，当点F在线段BD上时， 4 D F B 第22题答图① 同理(1)得∠ABF=45°，∠CPE=∠A=a, 则∠FDP=45°+a,∠MPC=180°-a. ,'PN平分∠MPC, ·∠CPN=2∠MPC=90°-号=∠DPp, ∠BFP=∠BDC+∠DPF=135+受. ②如图②，当点F在线段DB的延长线上时，同理可得∠CPN =90°-号，∠FDP=45+a, A B☑ 第22题答图② ÷∠CPF=180°-(90-受）=90+受， ·∠BFP=∠CPF-∠FDP=90+号-(45+a)=45°-号： 综上所述，∠BFP的度数为135+号或45°-号 23.(1)【证明】：EC∥AB,.∠E=∠DAB,∠DCE=∠DBA, ,AD是△ABC的中线，∴.BD=CD. (∠E=∠DAB, 在△ECD和△ABD中，∠DCE=∠DBA, CD=BD, ∴.△ECD≌△ABD(AAS). AB的取值范围为9<AB<19. (2)【证明】过点C作CF∥AB,交AD的延长线于点F,如图① 所示. 点D是BC的中点， ∴.BD=CD. :CF∥AB, .∠BAD=∠F,∠ABD E D =∠FCD. B 在△ABD和△FCD中， I∠BAD=∠F, X∠ABD=∠FCD, 第23题答图① BD=CD, 真题圈数学八年级上3B ∴.△ABD≌△FCD(AAS), ∴.AB=FC AB平分∠DAE,∴.∠BAD=∠EAB, .∠F=∠EAB. f∠CAD=∠E, 在△FCA和△ABE中，{∠F=∠EAB, CF=AB, .△FCA≌△ABE(AAS),.AC=BE. (3)【解】> 分析：如图②，过点B作BG∥AC,交FD的延长线于点G,连 接EG, ∴.∠GBD=∠C,∠BGD =∠CFD. :D是BC的中点， ∴.BD=CD, ·.△CFD≌△BGD(AAS),B9 D ..CF=BG,GD=FD. :DF⊥ED, R ∴.∠EDF=∠EDG 第23题答图② 又，ED=ED, ∴.△EDF≌△EDG(SAS),∴.EF=EG. 在△BGE中，BE+BG>EG,∴.BE+CF>EF. 6.第十五章学情调研 题号123456789 10 答案CB D BDDA A C A 1.C2.B3.D 4.B【解析】本题考查等腰三角形的“三线合一”：等腰三角形底 边上的高、中线及顶角平分线重合.：'AD是等腰三角形ABC 的顶角平分线，.CD=BD=5.故选B. 5.D 6.D【解析】：DE垂直平分AC交AB于点E, ∴.AE=CE,.∠A=∠ACE. :∠A=30°，.∠ACE=30°， :∠ACB=80°，∴.∠BCE=∠ACB-∠ACE=50°： 故选D. 7.A 8.A【解析】设∠A=x°， IBD=AD,.∠A=∠ABD=x,∴.∠BDC=∠A+∠ABD =2x.:BD=BC,.∠BDC=∠C=2x°. :AB=AC,∴∠ABC=∠C=2x. 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=x°+2x°+2x°=180°， 解得x=36,∴.∠A=36° 故选A. 9.C【解析】，点D,E分别是AB,AC的中点， ·BD=7AB=4,EC-7AC-3, .DE∥BC,'.∠DFB=∠FBC,∠EGC=∠GCB. BF平分∠ABC,CG平分∠ACB, ∴.∠DBF=∠FBC,∠ECG=∠GCB, ∴.∠DFB=∠DBF,∠EGC-∠ECG, ∴.DF=DB=4,GE=EC=3, .GF=DF+GE-DE=4+3-5=2, 答案与解析 .线段GF的长度为2.故选C 10.A【解析】如图，作点Q关于AD的对称点Q' :AD是∠BAC的平分线， .点Q在AB边上.连接PQ, CQ,过点C作CH⊥AB于点H.则 Q PC+PQ=PC+PQ≥CQ, Q'H 而CQ的最小值为CH的长， :∠ACB=90°， 第10题答图 号AC.BC=号AB.CH,.合X3X4=号X5XCH, 2 .CH=2.4,∴.PC+PQ≥2.4，∴.PC+PQ的最小值为2.4. 故选A 11.-13 12.没有【解析】，全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角 相等的三角形全等，是假命题，。定理“全等三角形的对应角 相等”没有逆定理故答案为没有。 13.40【解析】根据题意，得OA=OB=OM=ON,:OH⊥AN, .∠AOH=∠NOH=70°，∴.∠AOM=180°-∠AOH- ∠NOH=180°-70°-70°=40°.故答案为40. 14.2【解析】使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这 个正方形应该添加在区域①或⑤.故答案为2. 15.4cm或2cm【解析】，△ABC是等边三角形，∴.∠B=60° 分情况讨论： 如图①，当∠PQB=90°时，∠BPQ=30,则BQ=合BP= 2cm,CQ=6-2=4(cm); 如图②，当∠BPQ=90时，∠BQP=30°，则BQ=2BP=8cm, CQ=8-6=2(cm). 故当△PBQ是直角三角形时，CQ的长为4cm或2cm 故答案为4cm或2cm. ① ② 第15题答图 16.【解】.AB=AC,OB=OC, ∴.直线AO是线段BC的垂直平分线， ·D是BC的中点，.BD=2BC=号X4=2. 17.【解】(1)如图，△ABC即所求 A(-2,0),B1(3,-2),C(2,-4) (2)如图，△A2B2C2即所求.A2(4,0),B2(一1,2)，C2(0,4). 1x=1 第17题答图 18.【解】(1)如图，射线BE即所求， (2)∠ABE=90°-3∠ACE 分析：：'CE平分∠ACB, ∴.∠BCE=∠ACE,∠ACB=2∠ACE. :AB=AC,.∠ABC=∠ACB=2∠ACE. :BE⊥CD,.∠BEC=90°. .∠ABE=90°-∠BCE-∠ABC=90°-∠BCE-∠ACB= 90°-3∠ACE. D A D B W 第18题答图 第19题答图 19.(1)【证明】如图，连接AC, AM垂直平分CD,AN垂直平分BC, .∴.AC=AD,AB=AC,∴.AB=AD. (2)【解】'.AB=AC,AC=AD, ∴.△ABC,△ACD是等腰三角形. ,AM垂直平分CD,AN垂直平分BC, ∴.∠CAM=∠DAM,∠BAN=∠CAN. :∠BAD=120,∠MAN=3∠BAD=60 20.【解】如图，过点P作PD⊥AB于点D, 北 北 75 60° ⊙ D东 第20题答图 (1)∠PBD=90°-60°=30°， 且∠PBD=∠PAB+∠APB,∠PAB=90°-75°=15°， .∠APB=∠PBD-∠PAB=30°-15°=15， .∠PAB=∠APB,.BP=AB=16海里. (2)轮船继续向东行驶，没有触礁的危险. 理由如下： 由(1)知，AB=PB=16海里，∠PBD=30°， ·在Rt△PBD中，PD=号PB=8海里，8>7.5， ∴·轮船继续向东行驶，没有触礁的危险， 21.(1)【证明】如图，过点A作AE⊥BC于点E. .'AB=AC, ÷∠BAE=∠CAE=∠BAC ,AE⊥BC,∴∠CAE+∠C=90°. :BD⊥AC, .∠CBD+∠C=90°， B ·∠CBD-=∠CAE=2∠BAC E 第21题答图 (2)【解】①当∠ABC=∠C=40°时， ∠BAC=180°-∠ABC-∠C=100°. 由(1)知，∠CBD=2∠BAC,∠CBD=2X10°=50. ②当∠BAC=40时，∠CBD=号∠BAC=号×40°=20. 综上所述，该等腰三角形一腰上的高与底边的夹角的度数是 50°或20°. 22.【解】(1)依据1：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点 的距离相等； 依据2：等量代换； 依据3：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分 线上 (2)40<x90 分析：：△ABC的外心在该三角形的内部， .△ABC是锐角三角形. ,∠B=50°，易知40<x<90. (3).直线l41是AB的垂直平分线，∴.AM=BM,OA=OB. ,直线2是AC的垂直平分线，.AN=CN,OA=OC. ∴.OB=OC=OA=6cm, △AMN的周长=AM+MN+AN=BM+MN+NC=BC. :△OBC的周长为22cm, .∴.BC=22-(OB+OC)=22-12=10(cm), .△AMN的周长为10cm 23.【解】(1)= 分析：：△ABC是等边三角形，∴.∠ACB=∠ABC=60°. 点E为AB的中点， ·∠BCE=号∠ACB=30,BE=AE :ED=EC,.∠D=∠BCE=30°. :∠ABC=∠D+∠BED=60°， .∠BED=30°=∠D,∴.BD=BE,∴.AE=DB. (2)= 补充解答过程如下： :△ABC为等边三角形，∴.∠ACB=∠ABC=∠A=60°. :EF∥BC,.∠AEF=∠AFE=∠ACB=∠ABC=6O°， ∴.△AEF为等边三角形， .AE=EF=AF,∴.BE=CF ,ED=EC,.∠D=∠DCE ,∠DEB=60°-∠D,∠ECF=60°-∠ECD, ∴.∠DEB=∠ECF,'.△DBE≌△EFC(SAS), .DB=EF,∴.AE=DB (3)如图.CD的长为3. 分析：由图可知点E在AB的延长线上， 由题可得AB=BC=BE=1, ∠BCE=∠BEC=∠D=30°，∠DBE=60°， 则∠DEB=90°，.BD=2BE=2, .'CD=BC+DB=3. 0 E 第23题答图 真题圈数学八年级上J3B 7.重难题型卷（三）轴对称 1.B【解析】·△ABC与△A'B'C'关于直线L对称， ∴.∠B=∠B=30. ∠A=32°， .∠C=180°-32°-30°=118°. 故选B. 2.A【解析】如图，连接OP,OM,ON. 点M,N分别是点P关于直线OA M 和OB的对称点， E ∴.OP=OM=ON,ME=PE,PF =FN, .OwMR=∠OPM,∠OPN=ONp,o- ∠EMP=∠EPM,∠FPN=∠FNP, ∴.∠OME=∠OMP-∠EMP= 第2题答图 ∠OPM-∠EPM=∠OPE,∠ONF= ∠ONP-∠FNP=∠OPN-∠FPN=∠OPF, ∴.∠OME+∠ONF=∠OPE+∠OPF=∠EPF=110°， ∴.∠MON=180°-（∠OME+∠ONF)=180°-110°=70°. '∠MON=∠POE+∠MOE+∠POF+∠NOF=2∠AOB, ∴./AOB=70°÷2=35. 故选A 3.【解】(1)9090 分析：如图①，连接AP. ∠C=90°，CA=CB, ∴.∠CAB=∠CBA=45°. :点M,N分别为点P关于直线AB,AC的对称点， .∠PAC=∠NAC,∠PAB=∠MAB,∠ABP=∠ABM=45°， .∠MAN=2(∠PAC+∠PAB)=90°， ∠MBC=45°+45°=90°. M N C P P CN B ① ② 第3题答图 (2)①如图②所示. ②存在.CP的长度为1或4. 分析：设CP=CN=x, 则BN=2-x,或BN=x-2.BM=PB=2+x. .BM=3BN, ∴.2+x=3(2-x),或2+x=3(x-2), 解得x=1,或x=4, .CP的长度为1或4. 4.B【解析】：DE是AC的垂直平分线， ∴.DA=DC,∴.∠DAC=∠C=25°. ∠B=60°，∠C=25°， ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=95°， O·∠BAD=∠BAC-∠DAC=70°. 故选B.真题圈数学 同步调研卷 八年级上RJ3B 狗 6.第十五章学情调研 (时间：120分钟满分：120分) 尽 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1.传统文化剪纸在民间流传极广，历史也很悠久，作为中国传统民间艺术的一种，在民俗活动中占有 重要位置.随着农历新年的日益临近，人们用剪纸的形式欢庆春节.下列四个剪纸图案为轴对称图 形的是( B D 2.在△ABC中，AB=AC,若∠B=60°，则△ABC的形状为( ) A.钝角三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.不等边三角形 h 3.如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，P是直线MN上的点，连接AP,BP.下列判断不一定 正确的是( ) 金星教 A.AM-BM B.∠ANM=∠BNM C.∠MAP=∠MBP D.AP-BN B D 警0 副 第3题图 第4题图 圈) 4.如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD=5,则CD等于() 感 A.10 B.5 C.4 D.3 5.(月考·24-25大同一中)有A,B,C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一 个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( A.△ABC三条中线的交点处 B.△ABC三条角平分线的交点处 C.△ABC三条高的交点处 D.△ABC三条边的垂直平分线的交点处 6.(模考·2024山西省实验)如图，在△ABC中，DE垂直平分AC交AB于点E,∠A=30°，∠ACB =80°，则∠BCE等于() A.40° B.70° C.60° D.50° D 第6题图 第7题图 第8题图 7.如图，保持△ABC的三个顶点的横坐标不变，纵坐标都乘一1，画出坐标变化后的三角形，则所得三 角形与原三角形的关系是() A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.将原图形沿x轴的负方向平移了1个单位长度 D.将原图形沿y轴的负方向平移了1个单位长度 8.(期中·24-25忻州)如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AC上，且BD=BC=AD,则∠A的度 数是() A.36° B.45° C.54° D.72° 9.(期末·23-24太原改编)如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC的中点，DE∥BC,∠ABC的 平分线交DE于点F,∠ACB的平分线交DE于点G.若AB=8,AC=6,DE=5,则线段GF的长 度为() 拖绝盗印 A.1 B.2 C.2 D号 D 第9题图 第10题图 10.(期中·22-23大同一中南校)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,AB=5,AD是 ∠BAC的平分线，若P,Q分别是AD和AC上的动点，则PC十PQ的最小值是( ) A.2.4 B.3 C.4.8 D.5 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11.若点P(m,3)与点Q(1,n)关于y轴对称，则m= ,n= 12.定理“全等三角形的对应角相等” (填“有”或“没有”)逆定理。 13.情境题（期末·23-24晋中）如图，小聪和小明玩跷跷板游戏，支点O是跷跷板的中点（即OA= OB),支柱OH垂直于地面，两人分别坐在跷跷板A,B两端，当A端落地时，∠AOH=70°，则AB 上下可转动的最大角度∠AOM= 0 ① ③ 小聪 小明 ② ④ 77777777777777777777777 ⑤ B Q 第13题图 第14题图 第15题图 14.(期中·22-23大同云州区)图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成的，若要在①，②， ③，④，⑤五个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴 对称图形，则这个正方形可添加的区域有 个 15.如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，BP=4cm,点Q为射线BC上一点，当△PBQ是直 角三角形时，CQ的长为 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(期中·24-25大同改编)(6分)如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC上的一点，O是AD上一 点，且OB=OC,若BC=4,求BD的长 D 金星教育精品图 第16题图 1 17.(8分)如图，△ABC中，已知点A(-2,0),B(3,2),C(2,4). (1)作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点A1,B1,C的坐标： (2)作出△ABC关于直线x=1对称的△A2B2C2,并写出点A2,B2,C2的坐标： x=1 第17题图 18.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC,CD平分∠ACB,交AB于点D (1)过点B作射线BE⊥直线CD于点E.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)∠ABE与∠ACE之间的数量关系为 印必 关爱学子 第18题图 拒绝盗印 19.(月考·22-23大同一中南校)(8分)如图，在四边形ABCD中，AM垂直平分CD,AN垂直平 分BC ® 狗 (1)求证：AB=AD. (2)若∠BAD=120°，求∠MAN的度数. D 尽 图州 第19题图 20.数学建模几何（月考·24-25大同一中）(10分)如图，某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P %1 的方位是北偏东75°，又继续航行16海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，求： (I)此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里？ (2)小岛P方圆7.5海里内有暗礁，如果轮船继续向东行驶，请问轮船有没有触礁的危险？请说 明理由 北 4北 A ⊙ 东 第20题图 副 面 19 21.(I0分)(1)如图，在△ABC中，AB=AC,BDLAC于点D.求证：∠CBD=2∠BAC. (2)利用(1)中的结论解答问题：若等腰三角形的一个内角为40°，求该等腰三角形一腰上的高与 底边的夹角的度数 B 第21题图 盗印必究 关爱学子 拒绝盗印 22.新定义试题(12分)阅读下列材料，并完成任务 三角形的外心 定义：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点叫作三角形的外心 如图①，直线11，l2,l3分别是边AB,BC,AC的垂直平分线 求证：直线1，l2,l3相交于一点. 证明：如图②，设l1,L2相交于点O,分别连接OA,OB,OC ,11是AB的垂直平分线，∴.OA=OB.(依据1) .·12是BC的垂直平分线， ∴.OB=OC,∴.OA=OC.(依据2) .·13是AC的垂直平分线， ∴.点O在13上，（依据3） .直线11，l2,l3相交于一点. y ① ② ③ 第22题图 (1)上述证明过程中的“依据1“依据2”“依据3”分别指什么？ (2)若∠B=50°，△ABC的外心在该三角形的内部，∠A=x°，则x的取值范围为 (3)如图③，直线1，l2分别是AB,AC的垂直平分线，直线1，l2相交于点O,点O是△ABC的外 心，l1交BC于点M,l2交BC于点N,分别连接AM,AN,OA,OB,OC.若OA=6cm,△OBC的周 长为22cm,求△AMN的周长， 2 23.探究性试题(13分)已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED =EC. (1)特殊情况，探索结论： 如图①，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB长度的大小关系，请你直接写出结论：AE DB.(填“>”“<”或“=”) (2)特例启发，解答题目： 如图②，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB长度的大小关系，请写出结论：AE DB.(填“>”“<”或“=”) 理由：过点E作EF∥BC,交AC于点F.(请把解答过程补充完整) (3)拓展结论，设计新题： 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED=EC,若△ABC 的边长为1，AE=2,求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）. ① ② 关爱学子 第23题图 拒绝盗印 0-