第三章勾股定理学情调研-【真题圈】2025-2026学年八年级上册数学练考试卷（苏科版·新教材）江苏专版

真题圈数学 同步调研卷 八年级上15S 湘 7.第三章学情调研 (时间：120分钟满分：120分) 州 H期 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1.在Rt△ABC中，已知其两直角边长a=6,b=8,那么斜边c的长为( A.6 B.8 C.10 D.14 2.如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为( A.10 B.28 36 C.100 D.不能确定 3.(期中·2024-2025宿迁宿城区)下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的 A 是() 第2题图 A.32,42,52 製 1号 c32日 D.7,12,13 4.(月考·2023-2024苏州工业园区星海实验中学改编)勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来 的定理，其证明是论证几何的开端.下面四幅图中不能证明勾股定理的是() 6 2 教育 A B C D 5.(月考·2024-2025苏州立达中学)如图，点A,C都是数轴上的点，AB=AC,则数轴上点C所表示 的数为( ) 器 A.-√10+1 B.-√5 C.-√5+1 D.-√/10-1 警0 H 圈)卓 -4-3 2-101 第5题图 第6题图 6.情境题如图，有一条橡皮筋放置在直线1上，固定两端A和B,然后把中点C竖直向上拉升5cm 至点D,若此时橡皮筋的长度比原长伸长了2c,则橡皮筋原长AB是( ) A.10 cm B.24 cm C.26 cm D.30 cm 2 7.(期中·2024-2025南京鼓楼区)如图，在5×5的正方形网格中，已知线段α，b和点P,且线段的端 点和点P都在格点上，在网格中找一格点Q,使线段α，b,PQ恰好能构成直角三角形，则满足条件 的格点Q有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 b B E D 第7题图 第8题图 8.(期中·2023-2024苏州振华中学)如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的 点E处.若BC=8,BE=2,则AB2一AC的值为( ) A.10 B.16 C.6 D.4 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9.(期中·2023-2024常州市)如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB=1,EC=2,那么正方 形ABCD的面积为 0 2 E 绝盗印 D 第9题图 第12题图 第14题图 第16题图 10.在△ABC中，∠C=90°，若AB=3,则AB2+BC+AC= 11.已知直角三角形的三边长分别为6,7，x,则x2= 12.思维探索数形结合（期末·2024-2025连云港市）利用数形结合的思想，可以比较实数的大小.若 在方格纸中构造如图所示的图形（方格纸中每个小方格的边长为1），结合图形可得√5 1十√2（填“>”“<”或“=”）. 13.（月考·2024-2025杨州树人学校)一个三角形的三边长分别为5,12,13，则这个三角形最长边上 的中线为 14.（月考·2024-2025苏州立达中学)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,且AB= 10,BC=8,则CD长为 。 15.(期中·2023-2024南京秦淮区)已知三角形的三边长为a,b,c,且满足等式(a十b)2一c2=2ab,则 此三角形是 三角形（填“直角”“锐角”或“钝角”）. 16.（月考·2023-2024淮安开明中学)如图，长方体的底面是边长为1cm的正方形，高为6cm.如果 从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B,那么所用细线最短需要 cm, 17.(中考·2024常州市)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=4,D是边AC的中点，E 是边BC上一点，连接BD,DE.将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处， 则CE= E ch- D 第17题图 第18题图 18.(期中·2023-2024南京鼓楼区)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5,AC=3,点M,N分 别为BC,AB上的动点，则AM+MN的最小值为 三、解答题（本大题共10小题，共84分）》 19.(期中·2022-2023南京秦淮区)(6分)如图，池塘边有两点A,B,点C是与BA方向成直角的AC 方向上一点，测得BC=25m,AC=7m.求A,B两点间的距离. Bc------ 第19题图 精品图书 金星教育 20.(期中·2023-2024无锡梁溪区)(8分)如图，在△ABC中，AC=8,BC=6,在△ABE中，DE为 AB边上的高，DE=12,△ABE的面积为60，求△ABC的面积. E D 第20题图 2 21.(期中·2023-2024泰州姜堰励才实验学校节选)(8分)如图，在边长为1的小正方形组成的网格 中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)画出一条以A为一端点，另一端点为图中格点且长等于BC的线段. (2)试说明：∠BAC=90°. B 第21题图 22.情境题(8分)如图，∠AOB=90°，OA=45cm,OB=15cm,一机器人在点B处看见一个小球从 点A出发沿着AO方向匀速滚向点O,机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好 在点C处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程 BC是多少？ 拒绝盗印 第22题图 2 23.(月考·2023-2024苏州立达中学)(8分)如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2,CD=3,DA 1,且∠B=90°，求∠DAB的度数. 狗 y R即 第23题图 24.(期中·2023-2024常州市)(8分)利用如图所示的图形给出了一种证明勾股定理的方法，你能利 用它证明勾股定理吗？写出你的证明过程.（提示：如图三个三角形均是直角三角形） 精品图书 部 金星教育 第24题图 围 2 25.数学归纳数式规律（期中·2024-2025南京建邺区节选）(8分)阅读材料：勾股定理a2十b2=c2本 身就是一个关于a,b,c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解(a,b,c)通 常叫作勾股数组，我国古籍《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3,4,5”就是一组最简单的 勾股数.为了进一步了解勾股数的奥秘，数学刘老师给出下面的表格.（以下a,b,c为Rt△ABC的 三边，且a<b<c) a b c 3 4 5 12 13 7 24 25 (1)请你根据上述表格的规律写出勾股数：11， (2)当a=2n十1(n为奇数，且n≥3)时，若b= ,C= 时可以构造出勾股数（用含 n的代数式表示)，并证明你的猜想. 26.新定义试题(10分)规定：如图，点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若以AM,MN,NB为 边的三角形是一个直角三角形，则称点M,N是线段AB的勾股分割点. (1)已知点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若AM=1.5,MN=2.5,BN=2,则点M,N 是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由， (2)已知点M,N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB=24,AM=6,求BN的长， AM 第26题图 3 27.探究性试题（月考·2023-2024苏州立达中学）(10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为 AB的中点，点E在直线BC上（点E不与点B,C重合），连接DE,过点D作DF⊥DE交直线AC 于点F,连接EF (1)如图①，当点F与点A重合时，请直接写出线段EF与BE的数量关系： (2)如图②，当点F不与点A重合时，请写出线段AF,EF,BE之间的数量关系，并说明理由， (3)若AC=5,BC=3,EC=1,请直接写出线段AF的长： (F) C A A D D B B ⑦ ② 备用图 第27题图 真题圈 精品图书 金星教育 2 28.(10分)如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D,且BD:AD:CD=2:3:4, (1)试说明△ABC是等腰三角形. (2)已知S△4Bc=90cm,如图，动点P从点D出发以1cm/s的速度沿线段DC向点C运动，同时 动点Q从点A出发以相同速度沿线段AD向点D运动，当其中一点到达终点时整个运动都停 止.设点P运动的时间为ts. ①当点P在∠CAD的平分线上时，求t的值， ②连接BP,当t=5时，△BPQ是直角三角形吗？ ③点P运动的过程中，△BPQ能否成为以BP为腰的等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请 说明理由 D 第28题图 备用图 备用图 盗印必究 关爱学子 拒绝盗印②当√-12m=12时，-12m=144, .m=一12（不符合题意，舍去）. 综上，m的值是一48. 28.【解】(1)√37-6 (2).9<11<15<16,.3<w/11<√/15<4， .a=3,b=3,则7a+2b=7×3+2×3=27, .7a十2b的立方根为3. (3).4<5<9,.2<√5<3，∴.11<9+√512 ,'9+√5=x十y,其中x是整数，且0<y<1, ∴.x=11,y=9+√5-11=√5-2， ∴.x-y=11-√5+2=13-√5. 7.第三章学情调研 题号12345678 答案CC BDA BC B 1.C2.C 3.B【解析】A32+42=52,不能构成三角形； B12+(告)》广-（停）广，能构成直角三角形， C(任)》'+（兮）‘≠（兮厂，不能构成直角三角形： D.72十122≠132，不能构成直角三角形.故选B. 4.D【解析】D.大正方形的面积为(a十b)2,也可看作是2个长方 形和2个小正方形组成，则其面积为a2十b十2ab,∴.(a十b)2= a十形十2ab,∴.D选项不能证明勾股定理.故选D. 5.A【解析】由题意知，A,B,一2处的点构成了直角三角形， .AB=√32+1=√10. .AB=AC,..AC=10, .C点所表示的数为一√10十1.故选A. 6.B【解析】因为C为AB的中点，且DC⊥AB, 所以AC=BC,AD=BD. 因为橡皮筋的长度比原长伸长了2cm, 所以AD+BD=AC+BC+2,所以AD-AC=1cm. 设AC=xcm,则AD=(x十1)cm. 在Rt△ADC中，由勾股定理得AD=AC+CD, 即(x+1)2=x2+52,解得x=12, 即AC=12cm,所以AB=24cm.故选B. 7.C【解析】由图可知a2=20,b=5, b 若a,b,PQ构成直角三角形，则PQ= Q: 25或PQ=15. Q- 当PQ=25时，满足条件的格点Q有 4个，如图. 当PQ=15时，没有满足条件的格点 Q.故选C 8.B【解析】：将三角形纸片ABC沿 1 第7题答图 AD折叠，使点C落在BD边上的点E 处，∴.AE=AC,DE=CD,AD BC, .AB=AD+BD,AC=AD+CD, .AB-AC=AD+BD-AD-CD=BD-CD =(BD+CD)(BD-CD)=BC.BE. .BC=8,BE=2,.AB2-AC=8X2=16.故选B. 9.3 10.18【解析】在△ABC中，∠C=90°，.BC+AC=AB, ∴.AB2+BC2+AC2=2AB2=2×32=18.故答案为18. 11.85或13【解析】当6和7都为直角边长时， 由勾股定理得x2=62十72=85. 当6为直角边长，7为斜边长时，x2=7-62=13. 综上，x2=85或13.故答案为85或13. 12.< 真题圈数学八年级上15$ 13.号【解析】：53+12-169=13， .该三角形是直角三角形， “这个三角形最长边上的中线为}×13=号 故答案为号 14.酷【解析】在△ABC中，：∠ACB=90°，AB=10,BC=8, .AC=V√AB-BC=√102-8=6. CDLAB,.BC·AC=-号ABCD, ：CD-答=兽故答案为学 15.直角【解析】，(a十b)2-c2=2ab, '.a2+2ab+6-c2=2ab, .a2+=c2, ∴.此三角形是直角三角形 故答案为直角. 16.10【解析】如图所示， B 6 A 1 第16题答图 :从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B, .展开后AC=1×8=8(cm),BC=6cm 由勾股定理得AB=AC+BC=82+6=10, ∴.AB=10cm. 故所用细线最短需要10cm.故答案为10. 17.号【解折J:∠ACB=90,AC=6,BC=4,D是边AC的中 点，.CD=号AC=3,·BD-√BC+CD=5. :将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处， ∴.DF=CD=3,CE=EF,∠EFD=∠C=90°， .BF=BD-DF=2,∠BFE=90 设CE=x,则EF=x,BE=BC-CE=4-x, 在Rt△BFE中，由勾股定理，得(4-x)2=x2+22, 解得z=号CE=是故答案为2 18.号【解析】如图，作点A关于CB的对称点D,连接DM,DN, BD,∴.AM=MD,CD=AC=3. .'MN+MD≥DN, ∴.MN+AM>DN. 当DN⊥AB时，DN的长最小， ∠ACB=90°，AB=5,AC=3, ∴.BC=AB2-AC=52-32=42, M B .BC=4. SAm-2AB·DN=2AD·BC, .5DN=6×4, DN=24 5 第18题答图 :AM+MN的最小值是号：故答案为号 19.【解】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，BC=25m,AC=7m, 由勾股定理得AB2=BC-AC=252-72=24, ∴.AB=24m,即A,B两点间的距离为24m 答案与解析 20.【解：DE=12,SAe=2DE·AB=60,.AB=10, AC=8,BC=6,62+82=102,.AC+BC=AB2, .由勾股定理的逆定理得∠C=90°， ·SAe=2AC·BC=24, 21.【解】(1)如图，AD(或AE)为所求 C D 第21题答图 (2)由网格可得AC=22+4=20,AB=12+22=5,BC= 32+4=25,∴.AC+AB=BC, ∴.△ABC为直角三角形，且∠BAC=90° 22.【解】，小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间 相等，.BC=CA. 设AC=x,则OC=45一x, .由勾股定理可知OB2十OC=BC, 即152十(45-x)2=x2,解得x=25. 答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器 人行走的路程BC是25cm 23.【解】连接AC(图略)，，·∠B=90°，AB=BC=2, ∴.AC=BC+AB2=8,∠BAC=45° 又.CD=3,DA=1,.AC2+DA2=8+1=9,CD2=9, .AC+DA=CD,∴.△ACD是直角三角形， .∠CAD=90°，.∠DAB=45°+90°=135°. 故∠DAB的度数为135°. 24.【解】能，证明如下：2a+6)(a+b)=2×b+C, .(a+b)(a+b)=2ab+c2, .a2+2ab+b=2ab+c2,.a2+b=c2. 25.【解】(1)6061 (2)2n2+2n2n2+2n+1 证明：：a=2n+1,b=22+2nm,c=2n2+2n十1， .c+b=4n2+4n+1,c-b=1. :a2=(c+b)(c-b)=c2-8,.c2=a2+6. 26.【解】(1)是.理由如下： .'A+BN2=1.52+22=6.25,MN2=2.52=6.25, ∴.AP+NB2=MN2, .以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形， .点M,N是线段AB的勾股分割点. (2)设BN=x,则MN=24-AM-BN=18-x. ①当MN为最长线段时，依题意有MN=AMP+NB, 即(18-x)2=36十x2,解得x=8; ②当BN为最长线段时，依题意有BN2=AM+MN, 即x2=36+(18-x)2,解得x=10. 综上所述，BN的长为8或10. 27.【解】(1)EF=BE (2)AF+BE=EF.理由： 如图①，过点A作AJ⊥AC交 ED的延长线于点J,连接FJ :AJ⊥AC,ECLAC, B .AJ∥BE .∠AJD=∠DEB. 第27题答图① ∠AJD=∠BED, 在△AJD和△BED中，∠ADJ=∠BDE, AD=BD, ∴.△AJD≌△BED(AAS), .'AJ=BE,DJ=DE. DF⊥EJ,∴FJ=EF ∠FAJ=90°，AF2+AJP=FJ2,.AF2+BE=EF. (3)号或1 分析：如图②，当点E在线段BC上时， 设AF=x,则CF=5一x.,BC=3,CE=1,∴.BE=2 .EFe=AFe+BER =CFR+CE2, 2+2=6-0+,=号AF-号 A ③ 第27题答图 如图③，当点E在线段BC的延长线上时， 设AF=x,则CF=5一x..BC=3,CE=1,∴.BE=4 EF2=AF2+BE2=CF2+CE,∴.x2+42=(5-x)2+12, .x=1,.AF=1. 综上所述，满足条件的AF的长为号或1. 28.【解】(1)设BD=2x,AD=3x,CD=4x(x>0),则AB=5x. 在Rt△ACD中，AC=AD+CD=25x2, 易得AC=5x,∴.AB=AC,∴.△ABC是等腰三角形. (2)Sc=号X5z·4x=90cm,而x>0,x=3cm, BD=6 cm,AD=9 cm,CD=12 cm,AC=15 cm. ①如图①，过点P作PM⊥AC于点M, :AP平分∠CAD,CD⊥AD,.PM=PD=t. :Sm=AD.CD=2AC.PMH号AD·PD, .AD·CD=AC·PM+AD·PD,则9×12=15t+9t, 解得t=4.5. G M D B ① 第28题答图 ②如图②，当t=5时， BQ=BD+AD-AQ=15-t=15-5=10, BP2=BD+DP2=62+=62+52=61, PQ=DQ2+DP2=(9-t)2+t2=42+52=41, :61+41=102≠102，.BP2+PQ≠BQ, .当t=5时，△BPQ不是直角三角形. ③△BPQ能成为以BP为腰的等腰三角形. PD=AQ=t,<9, BQ=15-t,BP2=BD2+DP2=62+2,PQ=DQ+DP2= (9-t)2+t, 当BP=BQ时，BP=BQ,∴.62十=(15-t)2,解得t=6.3; 当BP=PQ时，BP=PQ,∴.62+=(9-t)2+2, .62=(9-t)2,解得t=3或t=12(舍去). 综上，△BPQ能成为以BP为腰的等腰三角形，此时，t的值为 6.3或3.