云南昆明市安宁市第一中学2026-2027学年高二年级上学期第2周数学必会题

**基本信息** 高二年级第2周数学周测试卷，以复数、向量、立体几何等核心知识为载体，通过基础题与综合题梯度设计，考查数学抽象、空间观念及运算推理能力，适配周度学情诊断。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数坐标、不等式解集、向量共线、体积比等|聚焦基础概念，如第3题结合基底向量考查共线条件，强化数学抽象| |多选题|3/18|不等式性质、三角函数性质、空间向量|注重辨析能力，如第10题多角度考查三角函数周期性与单调性，培养推理意识| |填空题|3/15|奇函数性质、点到直线/平面距离|强调知识应用，如第14题用空间向量求点面距离，体现数学语言表达| |解答题|5/77|解三角形、概率、向量运算、立体几何|突出综合能力，如16题以羽毛球抽样情境考概率，19题正方体中用向量法求角与距离，发展数学思维与空间观念|

高二年级第2周数学必会题 姓名：___________班级：___________ 一、单选题：每题5分，共40分. 1．已知复数满足，则复平面内与对应的向量坐标为（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．已知是平面内的一组基底，记向量，，若与共线，则（    ） A． B． C．2 D．4 4．已知圆锥的底面直径和高都等于球的半径，则圆锥与球的体积之比为（     ） A． B． C． D． 5．已知点，，，则平面的法向量是（    ） A． B． C． D． 6．在正方体中，，分别为棱，的中点，则和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．在空间直角坐标系中，已知点，，，则点A到直线BC的距离为（   ） A． B． C． D．1 8．如图，正方体的棱长为4，其中，点F为的中点，则点C到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 二、多选题：每题6分，共18分. 9．（多选）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 10．对于函数，如下结论中，正确的是（     ） A．最小正周期是 B． C．在上是增函数 D．它的一个对称中心为 11．已知空间向量，则（ ） A． B．向量不是共面向量 C． D． 三、填空题：每题5分，共15分. 12．已知函数是定义在区间上的奇函数，则实数的值为________ 13．已知点，点，则点到直线的距离为________. 14．已知是平面的一个法向量，点在内，则点到平面的距离为______. 四、解答题：共77分. 15．（13分）在锐角中，内角所对的边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若，求的面积. 16．（15分）校羽毛队有3名男队员、2名女队员，现采用不放回简单随机抽样从中抽取2人. (1)列举出所有等可能的基本事件，并求抽取到的2人全是男队员的概率； (2)若选出的两名选手分别为甲、乙，进行定点发球比拼，甲发球成功的概率为0.7，乙发球成功的概率为0.8，两人发球互不影响.求： ①甲、乙两人全部发球成功的概率； ②甲、乙至少有一人发球成功的概率. 17．（15分）已知向量，，，且，． (1)求，，； (2)求向量与所成夹角的余弦值； (3)求在上的投影向量（用坐标表示）． 18．（17分）如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 19．（17分）如图，在棱长为6的正方体中，是线段的中点，是线段上靠近的三等分点.    (1)求与所成角的余弦值； (2)求点到直线的距离． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《高二年级第2周数学必会题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A C A D A C ABD BCD 题号 11 答案 AC 1．A 【详解】因为复数， 所以复平面内与对应的向量坐标为. 2．C 【分析】根据不等式的性质求出分式不等式的解集即可. 【详解】因为不等式满足，所以， 所以，即，解得. 所以该不等式的解集为. 3．A 【详解】由，，与共线， 得存在实数，使得，即， 因为是平面内的一组基底，所以不共线，因此系数对应相等， 则且，得，. 4．C 【分析】由已知用球的半径表示圆锥的底面圆半径和高，分别求出圆锥与球的体积得到比值. 【详解】设球的半径为，则圆锥的底面半径为，高为， 所以圆锥的体积为，球的体积， 所以. 5．A 【分析】利用待定系数法，设出法向量，取平面中两个不共线向量，根据向量点积建立方程，可得答案. 【详解】由已知得，．设， 则即令，则，，所以． 故选：A. 6．D 【分析】建立坐标系，写出向量坐标，利用向量夹角公式求解即可. 【详解】设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则, 设和所成角为，，即和所成角的余弦值为. 7．A 【分析】根据空间向量的数量积计算即可. 【详解】因为点，，， 所以，所以. 所以点到直线的距离为. 故选：A. 8．C 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，从而利用点到平面的距离公式进行求解. 【详解】以点D为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 可得，, 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故， 其中， 点C到平面的距离. 故选：C． 9．ABD 【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为， 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确. 10．BCD 【详解】对于A选项，因为，因此函数的周期，故A选项错误； 对于B选项，，故 B 选项正确； 对于C选项，由，时函数单调递增可得，，， 当时，区间为，故C选项正确； 对于D选项，当，时，， 故时，，即函数的一个对称中心为，因此D选项正确. 11．AC 【详解】，A正确； 设，即，解得， 即，所以是共面向量，B错误； ，所以，C正确； ，D错误. 12． 【详解】因为函数为定义在上的奇函数，因此其定义域关于原点对称， 故，则. 13． 【分析】先求出直线的方向向量和向量，再代入空间点到直线的向量距离公式计算即可. 【详解】由点，，，得： ， , ， ， , 根据空间点到直线的距离公式 . 14．/ 【分析】利用空间向量求点到平面的距离. 【详解】因为， 所以点到平面的距离为：. 故答案为： 15．(1)． (2)． 【分析】（1）将等式左边用平方差公式展开，化简后与余弦定理的标准形式对照，可得 的值，从而求出 的大小； （2）由内角和求出角，利用正弦定理求出边，再代入面积公式即可求得三角形面积． 【详解】（1）由已知， 整理得， 由余弦定理， 所以，因为，所以，又为锐角，所以. （2）因为，，由(1)知，则， 由正弦定理得， 所以． （） 16．(1)设3名男队员为，2名女队员为， 所有等可能的基本事件分别为：， 抽取到的2人全是男队员的概率为； (2)①；②. 【分析】（1）用列举法列出所有可能结果之后直接由古典概型概率公式计算即可； （2）①两人发球相互独立，直接利用独立事件同时发生的概率乘法公式计算即可； ②采用逆向思考，先计算对立事件“两人都失败”的概率，再用减去这个结果即可． 【详解】（1）设3名男队员为，2名女队员为， 从5人中不放回抽取2人，所有等可能的基本事件共有个， 分别为：， 记事件为“抽到的2人都是男队员”，则包含的基本事件有，共3个， 所以 （2）①因甲乙两人发球相互独立， 所以甲、乙两人全部发球成功的概率：； ②甲乙两人都失败的概率为： 所以甲乙至少一人成功的概率为： 17．(1)，， (2) (3) 【详解】（1），，，， 又，，. 因此，，. （2），. ，. . 因此向量与所成夹角的余弦值为. （3）在上的投影向量为. 18．(1) ， (2) 由（1）得， 所以，则； (3) 【分析】（1）由空间向量的线性运算求解； （2）利用空间向量的数量积证明； （3）利用数量积求长度. 【详解】（1）在中，根据空间向量的减法运算可得， ； （2）略 （3）由（1）， 所以 ， 所以，即的长为. 19．(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线所成角余弦值； （2）利用向量法求解点到直线的距离. 【详解】（1）以为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    因为，则， 因为，则， 记直线所成角为， 故； （2）因为，，则，又， 故， 则点到直线的距离 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $