八年级数学上学期第一次学情自测·拔尖卷（新教材浙教版，举一反三，测试范围：第1章 三角形～第2章 特殊三角形）

**基本信息** 立足三角形与特殊三角形核心内容，融合故宫修缮、感应门等文化与生活情境，通过梯度化问题设计考查几何直观、推理能力与空间观念，适配八年级月考拔尖学生学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|10/30|勾股定理（第1题）、全等判定（第2题）|结合故宫修缮情境考查直角三角形判定，体现文化传承| |填空|6/18|等边三角形（第11题）、勾股定理应用（第14题）|以感应门场景设计距离计算，培养应用意识| |解答|7/72|四边形面积（17题）、垂美四边形（19题）、长方体路径（21题）|23题三问递进（问题初探-类比分析-学以致用），考查创新意识与推理能力|

八年级数学上学期第一次学情自测·拔尖卷 【新教材浙教版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章 三角形~第2章 特殊三角形 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·安徽芜湖·期末）故宫太和殿金砖墁地修缮工程中，为符合《明清官式营造技艺》标准，需验证替换金砖切割构件的截面为直角三角形，下列哪组边长（单位：米）符合要求（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）如图，综合实践小组的甲、乙两名同学分别站在地面上的点和点处，甲看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，乙看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，已知于点，于点，图中所有的点都在同一平面内．当，时，根据全等三角形的知识可得到，这里直接判定和全等的依据是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图，为的中线，为的中线，若的面积为，，则中边上的高是（     ） A．3 B． C．4 D． 4．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边的长度可以是（     ） A．15 B．8 C．6 D．4 5．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，于点，点在边上，连接，为的中点，连接．若，则的长为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 6．（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 7．（25-26七年级下·四川内江·阶段检测）已知等腰三角形的三边长分别为，，，则这个等腰三角形的周长是（     ） A．5 B．5或 C．或14 D．5或或14 8．（25-26八年级下·天津东丽·期末）如图，在矩形中，，，折叠该矩形，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，中，是的中点，，，交于，则的值为（　　） A． B．1 C．3 D． 10．（25-26七年级下·重庆·期末）如图所示，在和中，，，，上有一点，连接，使得，则的度数（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是______．    12．（25-26八年级下·湖北·阶段检测）如图，，以的三边为边向外分别作正方形．然后以两个小正方形的边向外分别作两直角边之比为的直角三角形，再以得到的直角三角形的两直角边为边向外作正方形，则图中所有的正方形的面积之和为____________． 13．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，为的角平分线，M是的中点，过点M作交于点F，若，，则的长为________． 14．（25-26八年级下·全国·期末）如图，线段是感应门的示意图，在其正上方点A处（离地2.1米）装着一个感应器，当人体进入到感应范围内时，门会自动打开．身高1.6米的小宝（线段）走向感应门，当离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则此时小宝的头顶D到感应器A的距离等于________． 15．（25-26八年级上·福建福州·期中）已知如图，在中，，，，在的边上找一点，使得它与三角形的两顶点构成等腰三角形，这样的点有________个． 16．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，某小区有一块四边形空地，其中，围墙，．现计划在围墙上分别设置健身点位M、N，从A处的休息亭走到M再到N，最后返回A．若要使行走路线的周长最小，则此时的度数是______． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·广东江门·期中）如图，一块四边形的空地米，米，米，米． (1)连接，试判断的形状并说明理由； (2)为了绿化环境，计划在该空地上铺设草坪，则此块空地的面积是多少平方米？ 18．（8分）（25-26八年级上·全国·期末）若过的一个内角和一个外角平分线的交点作这两个角的公共边的平行线，如图所示， (1)此时，图中有几个等腰三角形？ (2)线段与线段三者又有何数量关系？ 19．（10分）（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O． (1)若，，，，请求出，，，的值； (2)若，，求的值． 20．（10分）（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）已知，如图，平分，交的垂直平分线于E，于F． (1)点E到的距离___________（填，或） (2)求证：． 21．（12分）（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，，为长方体的两个顶点． (1)求点到点之间的距离； (2)若一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，求爬行的最短路程． 22．（12分）（25-26七年级下·辽宁锦州·期末）如图1，在四边形中，平分，． (1)求证: ； (2)如图2，过点C作交延长线于点E，延长到点 F，使 ，过点F作交延长线于点G，若． ①求的度数； ②取中点M，连接，求证： ． 23．（14分）（25-26八年级下·江西萍乡·期末）根据题意解答下列问题： (1)【问题初探】在数学活动课上，朱老师给出如下问题：如图，在中，，点在外，连接、、，且，过点作于点，请直接写出、、之间的数量关系． 小马同学的解题思路如下：如图，在上截取，连接，通过证明，进而得到、、之间的数量关系为_______； (2)【类比分析】为了帮助学生更好地感悟转化思想，朱老师提出下面的问题，请你解答．如图，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是边上的中线，连接交于点，请探究、、之间的数量关系，并说明理由； (3)【学以致用】如图，在中，，，点在边上，过点作交的延长线于点，延长至点，连接，使，连接交于点，若，，求的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期第一次学情自测·拔尖卷 【新教材浙教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·安徽芜湖·期末）故宫太和殿金砖墁地修缮工程中，为符合《明清官式营造技艺》标准，需验证替换金砖切割构件的截面为直角三角形，下列哪组边长（单位：米）符合要求（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据三角形三边的关系及勾股定理的逆定理，若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形，据此逐项判断即可. 【详解】解：根据三角形三边的关系及勾股定理的逆定理，逐一判断： 选项A，最长边为，，， 不能组成三角形，不符合要求； 选项B，最长边为，，，， 不是直角三角形，不符合要求； 选项C，最长边为，，，， 不是直角三角形，不符合要求； 选项D，最长边为，，，，是直角三角形，符合要求. 2．（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）如图，综合实践小组的甲、乙两名同学分别站在地面上的点和点处，甲看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，乙看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，已知于点，于点，图中所有的点都在同一平面内．当，时，根据全等三角形的知识可得到，这里直接判定和全等的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意整理已知条件： 由 ，，可得 ， ∵ ，， 且 恰好是 和 的夹边，恰好是 和 的夹边， 满足两角及其夹边对应相等，符合全等三角形的 （角边角）判定依据． 3．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图，为的中线，为的中线，若的面积为，，则中边上的高是（     ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】利用三角形中线性质和同底等高面积相等，有，过点E作，利用面积公式即可求得答案． 【详解】解：过点E作交于点F，如下图， ∵为的中线，为的中线， ∴，， ∴， ∵的面积为30，， ∴， 解得， 即中边上的高为3． 4．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边的长度可以是（     ） A．15 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】未明确已知边是直角边还是斜边，需分类讨论，结合勾股定理计算后匹配选项． 【详解】解：分两种情况讨论. ∵当长为5的边为斜边时，第三边为直角边， ∴第三边长为； ∵当长为5的边为直角边时，第三边为斜边， ∴第三边长为． ∴D选项符合题意． 5．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，于点，点在边上，连接，为的中点，连接．若，则的长为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】首先利用三线合一性质得到点D是的中点，然后利用三角形中位线定理求出，进而求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴，即点D是的中点， ∵为的中点， ∴， ∴． 6．（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 7．（25-26七年级下·四川内江·阶段检测）已知等腰三角形的三边长分别为，，，则这个等腰三角形的周长是（     ） A．5 B．5或 C．或14 D．5或或14 【答案】D 【分析】根据等腰三角形两边相等的性质分三种情况讨论，结合三角形三边关系验证后计算周长． 【详解】解：分三种情况讨论： ① 当时， 解得， 此时三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系， ∴周长为； ② 当时， 解得， 此时三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系， ∴周长为； ③ 当时， 解得，此时三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系， ∴周长为； 综上所述，这个等腰三角形的周长是5或或14． 8．（25-26八年级下·天津东丽·期末）如图，在矩形中，，，折叠该矩形，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程求出，根据折叠的性质和矩形的现在得出即到的距离为，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， ∵矩形， ∴，与的距离为，即到的距离为， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， . 9．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，中，是的中点，，，交于，则的值为（　　） A． B．1 C．3 D． 【答案】D 【分析】连接，过点E作，交的延长线于点G，证明，进一步结合全等三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴． 过点E作，交的延长线于点G， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 10．（25-26七年级下·重庆·期末）如图所示，在和中，，，，上有一点，连接，使得，则的度数（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设为未知数，利用等腰三角形两底角相等分别表示出与，结合建立等式求出，再算出；最后证，得到平分，求出． 【详解】解：设． ∵， ∴． ∴． ， 为等腰三角形， ． ， 为等腰三角形， ． 由图可知，代入式子： ∵， ， 解得，即． ， ． 在和中， ． ∴． ， ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是______．    【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据两直线平行，同位角相等得到，然后增加，即可根据三个角是的三角形是等边三角形． 【详解】解：增加，理由为： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：． 12．（25-26八年级下·湖北·阶段检测）如图，，以的三边为边向外分别作正方形．然后以两个小正方形的边向外分别作两直角边之比为的直角三角形，再以得到的直角三角形的两直角边为边向外作正方形，则图中所有的正方形的面积之和为____________． 【答案】 【分析】先由勾股定理求出，进而求出三边构造的正方形面积，再由以直角三角形三边向外所作的正方形面积关系求解即可． 【详解】解：如图所示： 在中，，则， ， ， ． 13．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，为的角平分线，M是的中点，过点M作交于点F，若，，则的长为________． 【答案】 【分析】延长到N，使，连接，延长交延长线于E，从而利用角之间的关系转化为线段之间的关系，进而最终可得出结论． 【详解】解：如图，延长到N，使，连接，延长交延长线于E， ∵M是的中点， ∴，， ∴， ∴，， 又∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 14．（25-26八年级下·全国·期末）如图，线段是感应门的示意图，在其正上方点A处（离地2.1米）装着一个感应器，当人体进入到感应范围内时，门会自动打开．身高1.6米的小宝（线段）走向感应门，当离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则此时小宝的头顶D到感应器A的距离等于________． 【答案】1.3米 【分析】过点D作于点E，先证明四边形是矩形，利用矩形的性质，求出，运用勾股定理求出即可． 【详解】解：过点D作于点E，如下图 ， 四边形是矩形， 米，米， （米），米， 在中，（米）． 15．（25-26八年级上·福建福州·期中）已知如图，在中，，，，在的边上找一点，使得它与三角形的两顶点构成等腰三角形，这样的点有________个． 【答案】4 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的判定，根据等角对等边分情况讨论即可． 【详解】解：①作， ∴ ∴是等腰三角形； ②作， ∴， ∴是等腰三角形； ③作， ∴，， ∴， ∴和是等腰三角形； ④在上取， ∴是等腰三角形， ∴这样的点有个． 故答案为：4． 16．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，某小区有一块四边形空地，其中，围墙，．现计划在围墙上分别设置健身点位M、N，从A处的休息亭走到M再到N，最后返回A．若要使行走路线的周长最小，则此时的度数是______． 【答案】/90度 【分析】分别作点A关于的对称点E，F，连接，可得，从而得到当点E，M，N，F四点共线时，的周长最小，根据题意可得A，B，E三点共线，点A，D，F三点共线，从而得到，再由三角形内角和定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，分别作点A关于的对称点E，F，连接， ∴， ∴的周长， ∴当点E，M，N，F四点共线时，的周长最小， ∵，， ∴点A，B，E三点共线，点A，D，F三点共线， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·广东江门·期中）如图，一块四边形的空地米，米，米，米． (1)连接，试判断的形状并说明理由； (2)为了绿化环境，计划在该空地上铺设草坪，则此块空地的面积是多少平方米？ 【答案】(1)直角三角形 (2)234 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理． （1）在中，根据勾股定理得的长，在中，勾股定理逆定理可得是直角三角形； （2）根据求出四边形的面积即可 【详解】（1）解：在中，，由勾股定理得：， ， ， （舍负）， ， ， ， 是直角三角形，即； （2）解： （平方米）． 答：此块空地的面积是234平方米． 18．（8分）（25-26八年级上·全国·期末）若过的一个内角和一个外角平分线的交点作这两个角的公共边的平行线，如图所示， (1)此时，图中有几个等腰三角形？ (2)线段与线段三者又有何数量关系？ 【答案】(1)图中共有2个等腰三角形 (2) 【分析】（1）由角平分线的定义和平行线的性质可证明，得到，则可证明和都是等腰三角形； （2由（1）得，由线段的和差关系即可得到． 【详解】（1）解：由题意得平分，平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴和都是等腰三角形，即图中共有2个等腰三角形； （2）解：由（1）得， ∵， ∴． 19．（10分）（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O． (1)若，，，，请求出，，，的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)，，， (2)136 【分析】（1）由“垂美”四边形的定义得到，再由勾股定理即可求解； （2）由（1）可得 ，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是“垂美”四边形， ， ∴， ∴在中，， 在中，， 在中，， 在中，． （2）解：由（1）有，，，． ∴ ， ，， ． 20．（10分）（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）已知，如图，平分，交的垂直平分线于E，于F． (1)点E到的距离___________（填，或） (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明：如图，连接， ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∵垂直平分 ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴． 【分析】（1）过点E作交的延长线于点H，求出，然后利用角平分线的性质定理求解； （2）连接，，首先证明，得到，推出，然后证明，得到，即证明． 【详解】（1）解：如图，过点E作交的延长线于点H， ∵ ∴ ∴， ∵平分 ∴ ∴ ∵， ∴， ∴点E到的距离； （2）略 21．（12分）（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，，为长方体的两个顶点． (1)求点到点之间的距离； (2)若一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，求爬行的最短路程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，求最短路径，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）如图1，标记顶点，，连接，，根据勾股定理先算出的长，再利用勾股定理计算出的长即可． （2）在平面内两点之间线段最短，分别把长方体中蚂蚁所走的路线放到前面和上面、前面和右面、左面与上面同一个平面内，根据勾股定理计算出的长进行比较即可． 【详解】（1）解：如图1，标记顶点，，连接，． 在中，， ∴． 在中，， ∴． 即点到点的距离为． （2）将长方体中含有，两点的平面展开成平面图． 如图2所示，， 如图3所示，， 如图4所示，， 因为， 所以一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，爬行的最短路程为． 22．（12分）（25-26七年级下·辽宁锦州·期末）如图1，在四边形中，平分，． (1)求证: ； (2)如图2，过点C作交延长线于点E，延长到点 F，使 ，过点F作交延长线于点G，若． ①求的度数； ②取中点M，连接，求证： ． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； (2)①； ②证明：取中点，连接交于，连接， ∵，，中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 设直线交于，连接并延长至，使，连接， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为中点， ∵中点M， ∴与重合， ∴． 【分析】（1）证明，得到； （2）①过作交于，证明，得到，则是等腰直角三角形，即可得到； ②取中点，连接交于，连接，证明，得到，即可得到，则，即，设直线交于，连接并延长至，使，连接，根据倍长中线模型得到，，即可得到，则得到为中点，则与重合，即可得到． 【详解】（1）略 （2）解：①过作交于， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②略 23．（14分）（25-26八年级下·江西萍乡·期末）根据题意解答下列问题： (1)【问题初探】在数学活动课上，朱老师给出如下问题：如图，在中，，点在外，连接、、，且，过点作于点，请直接写出、、之间的数量关系． 小马同学的解题思路如下：如图，在上截取，连接，通过证明，进而得到、、之间的数量关系为_______； (2)【类比分析】为了帮助学生更好地感悟转化思想，朱老师提出下面的问题，请你解答．如图，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是边上的中线，连接交于点，请探究、、之间的数量关系，并说明理由； (3)【学以致用】如图，在中，，，点在边上，过点作交的延长线于点，延长至点，连接，使，连接交于点，若，，求的面积． 【答案】(1)； (2)解：，理由如下， 如图，在上截取，连接， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是边上的中线，是等腰直角三角形， ∴平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）在上截取，连接，与交于点，然后证明，则有，再由等腰三角形的三线合一定理可得，从而有，即， （2）在上截取，连接，由等边三角形的性质可得，，，则有，再通过等边对等角可得，证明，所以，再证明为等边三角形，所以，则； （3）过作于点，证明，所以，，则有，然后证明，所以，最后通过即可求解． 【详解】（1）解：如图，在上截取，连接，与交于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （2）略； （3）解：如图，过作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即的面积为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $