2.8 直角三角形全等的判定 题型专练2026-2027学年浙教版数学八年级上册

**基本信息** 浙教版八年级上册“直角三角形全等的判定”同步练，以“HL判定—边/角证明—角平分线逆定理”为分层路径，通过典例引领与梯度化举一反三，强化推理能力与几何直观，适配新授课基础巩固与适度提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |题型1|HL判定方法|典例+选择/填空题，聚焦“斜边直角边”判定条件辨析（如判定依据选择、添加条件）| |题型2|HL应用于边/角关系|典例+证明题，深化全等性质推导（如证线段相等、角度计算）| |题型3|角平分线性质逆定理|结合实际情境（直尺作角平分线）与综合证明，体现数学眼光与思维的应用|

浙教版（2024）八年级上册 2.8 直角三角形全等的判定 题型专练 【题型1】用HL判定直角三角形全等 【典例】如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是（　　） A.AAS B.SAS C.ASA D.HL 【举一反三1】下列不能使两个直角三角形全等的条件是（　　） A.三边对应相等 B.两个锐角相等 C.一条直角边和斜边对应相等 D.两条直角边对应相等 【举一反三2】如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD＝EF．要根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还需要添加的条件（　　） A.∠A＝∠B B.AC＝BE C.AD＝BE D.AD＝BF 【举一反三3】如图所示，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F，则在下列条件中选择一组，可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是 　   　（填入序号） ①AB＝DC，∠B＝∠C； ②AB＝DC，AB∥CD； ③AB＝DC，BE＝CF； ④AB＝DF，BE＝CF． 【举一反三4】如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C，D，（若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则应添加的条件是　              　．（写一种即可） 【举一反三5】如图．∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，求证：Rt△ABC≌Rt△ADC． 【举一反三6】如图，AD∥BC，∠A＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2． 求证：△ADE≌△BEC． 【题型2】用HL证明边或角相等 【典例】如图，四边形ABCD中，CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为（　　） A.145° B.130° C.110° D.70° 【举一反三1】如图，∠1＝∠2，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则下列结论中错误的是（　　） A.PC＝PD B.OA＝OB C.∠OPC＝∠OPD D.OC＝OD 【举一反三2】如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，AF＝BE，且AC＝BD，则下列结论不一定正确的是（　　） A.AC∥BD B.∠C+∠B＝90° C.∠A＝∠D D.Rt△ACE≌Rt△BDF 【举一反三3】如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A、D、B、C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝　 　． 【举一反三4】如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足，AE＝CF．求证：∠ACB＝90°． 【举一反三5】已知：如图，点E、F在线段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD＝CB，DE＝BF，求证：AF＝CE． 【题型3】角平分线性质的逆定理 小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A.在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C.三角形的三条高交于一点 D.三角形三边的垂直平分线交于一点 【举一反三1】如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，连接OB、OC，若∠BOC＝120°，则∠A的度数是（　　） A.30° B.60° C.45° D.70° 【举一反三2】如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明：过点F作FG⊥AE于点G，FH⊥AD于点H，FM⊥BC于点M． ∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC， ∴　  　＝　  　． 又∵　 　， ∴　  　＝　  　， ∴FG＝FH， ∴点F在∠DAE的平分线上． 【举一反三3】如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点． 求证：点P在∠C的平分线上． 【举一反三4】已知P是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，D，E分别是垂足，且PD＝PE，如图，则点P在∠AOB的平分线上，请说明理由． 浙教版（2024）八年级上册 2.8 直角三角形全等的判定 题型专练（参考答案） 【题型1】用HL判定直角三角形全等 【典例】如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是（　　） A.AAS B.SAS C.ASA D.HL 【答案】D 【解析】∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABD＝∠CDB＝90°， 在Rt△ABD和Rt△CDB中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）， 故选：D． 【举一反三1】下列不能使两个直角三角形全等的条件是（　　） A.三边对应相等 B.两个锐角相等 C.一条直角边和斜边对应相等 D.两条直角边对应相等 【答案】B 【解析】A、三边对应相等，利用SSS能证明两三角形全等，故本选项不符合题意； B、两个锐角对应相等时，加上已知的直角相等，由AAA不能判定它们全等，故本选项符合题意； C、一条直角边和斜边对应相等，利用HL能证明两三角形全等，故本选项不符合题意； D、两条直角边对应相等，加上已知的直角相等，利用SAS能证明两三角形全等，故本选项不符合题意； 故选：B． 【举一反三2】如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD＝EF．要根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还需要添加的条件（　　） A.∠A＝∠B B.AC＝BE C.AD＝BE D.AD＝BF 【答案】B 【解析】CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD＝EF．要根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△BEF，还需要添加的条件是AC＝BE． 故选：B． 【举一反三3】如图所示，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F，则在下列条件中选择一组，可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是 　   　（填入序号） ①AB＝DC，∠B＝∠C； ②AB＝DC，AB∥CD； ③AB＝DC，BE＝CF； ④AB＝DF，BE＝CF． 【答案】①②③ 【解析】∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠AEB＝∠CFD， 选择①可利用AAS定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF； 选择②可得∠A＝∠D，可利用AAS定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF； 选择③可利用HL定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF； 选择④不能定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF． 故答案为：①②③． 【举一反三4】如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C，D，（若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则应添加的条件是　              　．（写一种即可） 【答案】AC＝BD或BC＝AD 【解析】若添加AC＝BD，在Rt△ABC和Rt△BAD中，， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）； 若添加BC＝AD，在Rt△ABC和Rt△BAD中，， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）． 故答案为：AC＝BD或BC＝AD． 【举一反三5】如图．∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，求证：Rt△ABC≌Rt△ADC． 【答案】证明：∵∠B＝∠D＝90°， ∴△ABC和△ADC都是直角三角形． 在Rt△ABC和Rt△ADC中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）． 【举一反三6】如图，AD∥BC，∠A＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2． 求证：△ADE≌△BEC． 【答案】证明：∵∠1＝∠2， ∴DE＝CE． ∵AD∥BC，∠A＝90°， ∴∠B＝90°． ∴△ADE和△EBC是直角三角形， Rt△ADE和Rt△BEC中， ， ∴△ADE≌△BEC（HL）． 【题型2】用HL证明边或角相等 【典例】如图，四边形ABCD中，CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为（　　） A.145° B.130° C.110° D.70° 【答案】C 【解析】∵∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴在Rt△ABC与Rt△ADC中，CB＝CD，AC＝AC， ∴△ABC≌△ADC，又∠ACB＝55°， ∴∠ACD＝∠ACB＝55°， ∠BCD＝110°． 故选：C． 【举一反三1】如图，∠1＝∠2，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则下列结论中错误的是（　　） A.PC＝PD B.OA＝OB C.∠OPC＝∠OPD D.OC＝OD 【答案】B 【解析】∵∠1＝∠2，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D， ∴PC＝PD，故A正确； 在Rt△POD与Rt△POC中， ， ∴Rt△POD≌Rt△POC（HL）， ∴∠OPC＝∠OPD，OC＝OD，故C、D正确； 无法得出OA＝OB， 故B错误； 故选：B． 【举一反三2】如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，AF＝BE，且AC＝BD，则下列结论不一定正确的是（　　） A.AC∥BD B.∠C+∠B＝90° C.∠A＝∠D D.Rt△ACE≌Rt△BDF 【答案】C 【解析】∵CE⊥AB，DF⊥AB， ∴∠AEC＝∠DFB＝90°， ∵AF＝BE， ∴AE＝BF， 在Rt△ACE和Rt△BDF中， ， ∴Rt△ACE≌Rt△BDF（HL）， ∴∠A＝∠B， ∴AC∥BD， ∵∠A+∠C＝90°， ∴∠B+∠C＝90°， ∴选项A，B，D正确，选项C错误． 故选：C． 【举一反三3】如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A、D、B、C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝　 　． 【答案】7 【解析】∵MN∥PQ，AB⊥PQ， ∴AB⊥MN， ∴∠DAE＝∠EBC＝90°， 在Rt△ADE和Rt△BCE中， ， ∴△ADE≌△BEC（HL）， ∴AE＝BC， ∵AD+BC＝7， ∴AB＝AE+BE＝AD+BC＝7． 故答案为7． 【举一反三4】如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足，AE＝CF．求证：∠ACB＝90°． 【答案】证明：如图，在Rt△ACE和Rt△CBF中， ， ∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL）， ∴∠EAC＝∠BCF， ∵∠EAC+∠ACE＝90°， ∴∠ACE+∠BCF＝90°， ∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°． 【举一反三5】已知：如图，点E、F在线段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD＝CB，DE＝BF，求证：AF＝CE． 【答案】证明：∵DE＝BF， ∴DE+EF＝BF+EF； ∴DF＝BE； 在Rt△ADF和Rt△CBE中 ， ∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL）， ∴AF＝CE． 【题型3】角平分线性质的逆定理 小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A.在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C.三角形的三条高交于一点 D.三角形三边的垂直平分线交于一点 【答案】A 【解析】 由题意可知，点P到射线OB的距离是直尺的宽度，点P到射线OA的距离也是直尺的宽度， ∴点P到射线OB，OA的距离相等， ∴点P在∠BOA的平分线上（在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上）． 故选：A． 【举一反三1】如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，连接OB、OC，若∠BOC＝120°，则∠A的度数是（　　） A.30° B.60° C.45° D.70° 【答案】B 【解析】∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等， ∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB， ∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB， ∵∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝180°﹣120°＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝2×60°＝120°， ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝60°． 故选：B． 【举一反三2】如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明：过点F作FG⊥AE于点G，FH⊥AD于点H，FM⊥BC于点M． ∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC， ∴　  　＝　  　． 又∵　 　， ∴　  　＝　  　， ∴FG＝FH， ∴点F在∠DAE的平分线上． 【答案】FG；FM；点F在∠CBD的平分线上，FM⊥BC，FH⊥AD；FM；FH． 【解析】证明：过点F作FG⊥AE于点G，FH⊥AD于点H，FM⊥BC于点M． ∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC， ∴FG＝FM． 又∵点F在∠CBD的平分线上，FM⊥AD，FH⊥AD， ∴FM＝FH， ∴FG＝FH， ∴点F在∠DAE的平分线上． 故答案为：FG；FM；点F在∠CBD的平分线上，FM⊥BC，FH⊥AD；FM；FH． 【举一反三3】如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点． 求证：点P在∠C的平分线上． 【答案】证明：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q， ∵P在∠BAC的平分线AD上， ∴PM＝PQ，P在∠ABC的平分线BE上， ∴PM＝PN， ∴PQ＝PN， ∴点P在∠C的平分线． 【举一反三4】已知P是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，D，E分别是垂足，且PD＝PE，如图，则点P在∠AOB的平分线上，请说明理由． 【答案】解：作射线OP， ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°， 在Rt△PDO与Rt△PEO中， ， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）， ∴∠1＝∠2， 即点P在∠AOB的平分线上． 学科网（北京）股份有限公司 $