专题03 角度计算常用思想方法8类热考题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版七年级上册

**基本信息** 以分类讨论、方程、整体、旋转不变四大思想为核心，系统整合8类角度计算题型，构建“通法归纳-题型精讲-压轴挑战”三层训练体系，强化思维迁移与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|4大思想|分类讨论定标准、方程思想设参数、整体思想巧代换、旋转不变抓要素|从角的和差倍分关系，到图形动态变化，构建“概念-方法-应用”递进链条| |题型精讲|8类题型（每类含典例+变式）|每类题型明确特征、方法及易错点，如n等分线结合比例关系，代数式问题注重取值范围|覆盖静态计算到动态旋转，衔接基础与综合应用| |压轴挑战|8道综合题|融合多思想交叉应用，如三角板旋转结合临界位置分类|对接中考命题趋势，提升复杂问题解决能力|

专题03 角度计算常用思想方法8类综合题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、分类讨论思想解决角度计算问题 1 类型二、方程的思想解决角度计算问题 2 类型三、整体思想解决角度计算问题 3 类型四、与角度计算问题有关的多结论问题 5 类型五、角n等分线的相关计算 7 类型六、代数式与角度计算问题 8 类型七、角度计算相关的旋转问题 10 类型八、三角板的相关旋转问题 13 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 角度计算是初中几何综合的核心专题，所有题型均围绕角度和差倍分关系、图形位置变化、代数量化表达三大核心展开，解题贯穿四条底线原则：一是分类讨论—— 当点、射线、图形位置不确定时，确定分类标准，不重不漏划分情况，抓住不同位置下角度间的和差关系，逐一列式求解；二是方程思想—— 题目存在角度倍分、互余、互补、内角和、外角等等量关系，设未知角为参数，根据几何定理建立方程求解，算出结果后必须回代检验；三是整体思想—— 单个角度无法单独求出，但多个角的和或差为定值，采用设而不求，对角度组合整体代换，简化运算；四是旋转不变—— 图形旋转类角度问题，旋转前后对应角相等，找准旋转中心、旋转方向与旋转角，利用图形边角关系列式，并注意旋转过程中的临界位置分类讨论。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、分类讨论思想解决角度计算问题 典例精讲1（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在同一平面内，，射线平分，直线，则为________度． 题型归纳 1.特征：点、射线位置不确定，图形存在多种位置情况，求角度大小。 2.方法：确定分类标准，画出全部情况，依据角的和差关系分别列式计算。 3.易错提醒：分类做到不重不漏，注意区分角内部、外部两种位置，结果要检验角度取值范围。 变式训练1（25-26六年级下·山东淄博·期中）定义：如果从一个顶点出发的两个角的和等于，那么就说这两个角为“睦邻友好角”．若与是“睦邻友好角”，且，则的度数为________． 变式训练2（2026·河南周口·模拟预测）如图，已知，射线在的内部，且，射线是平面上绕点B旋转的一条动射线，平分．若，则的度数为______．（用含的式子表示） 变式训练3（25-26七年级上·四川达州·期末）已知，画射线，使，平分，平分，则________． 变式训练4（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）已知与互为补角，平分．若__________．（用含的代数式表示）． 类型二、方程的思想解决角度计算问题 典例精讲2（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图所示，是的平分线，，求的度数是__________°． 题型归纳 1.特征：题干给出角度倍分、互余、互补等数量关系，直接求角困难。 2.方法：设未知角为参数，利用内角和、外角性质建立方程求解。 3.易错提醒：解出角度后，带回原题条件检验，排除不符合题意的解。 变式训练1（25-26七年级上·四川绵阳·期末）如图，平分，在内部，，若，则______． 变式训练2（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）同一平面内，直线，相交于点，是的角平分线，，于点，则的度数是_______． 变式训练3（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图1，点为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点处，边在射线上．绕点顺时针旋转直角三角板，当边旋转至射线上时，旋转停止．过点作射线，使射线平分． (1)如图2，若，求的度数； (2)探究和的数量关系，写出你的结论，并说明理由； (3)若，求的度数． 类型三、整体思想解决角度计算问题 典例精讲3（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）【阅读理解】整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题思想．整体思想的主要表现形式有整体代换，整体配凑、整体构造等，在初中几何与图形方面也有广泛的应用． (1)如图1，将三个正方形的顶点重合放置，，求的度数． 为了简洁表述，小华将图中的记作，记作，记作，如图2所示．因为正方形的每个角都是，且，所以① 因为，所以 ② 得：③ 又因为，所以 ④ 将④代入③解得 ； (2)【解决问题】何老师对小华的解题进行点评和表扬，并指出小华同学的思路体现数学中“整体思想”、“代换思想”、“转化思想”的运用．请你参考小华的解题思想，解决下面问题． 如图3，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则三个角之间有什么数量关系？并说明理由． 题型归纳 1.特征：单个角度无法单独求出，但多个角的和差为定值。 2.方法：设元后不单独求解每个角，将角的组合看成整体代换化简。 3.易错提醒：分清哪些角是整体，不要强行拆分单独计算，避免增加运算量。 变式训练1（22-23七年级上·贵州遵义·期末）【阅读材料】如何化简整式呢？数学教材第76页提示，可以把看成一个整体，进而．“看成一个整体”在数学中称为“整体思想”，它往往能把复杂问题简单化，在数学问题的解决中应用广泛．请参考阅读材料，解决以下问题： 【尝试应用】 （1）填空：已知，，则______； 【拓展探究】 （2）若关于的一元一次方程的解是，求关于的方程的解是多少； 【迁移提升】 （3）如图，分别为定角内的两条动射线，当运动到如图的位置时，，，求的度数． 变式训练2（24-25七年级上·浙江杭州·期末）【问题提出】如图A，B，C是直线l上的三点，，点D是线段中点，点E是线段的中点，求线段的长． 【问题解决】圆圆运用整体思想，解决问题． ∵点D是线段中点，点E是线段的中点 ∴， ∴ 城城发现这一题困难的原因是已知条件太少，于是他运用方程思想，设线段， 则  ∵点D是线段中点，∴ ∵点E是线段中点，∴  ∴ 【问题应用】请选择你喜欢的方法，解决下面两个问题 如图，在的外部，平分，平分． (1)若，求的度数； (2)若，用含x的代数式表示的度数； (3)若与互余，与互补．求的度数． 类型四、与角度计算问题有关的多结论问题 典例精讲4（25-26七年级上·安徽六安·期末）若与互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④．正确的是（   ） A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 题型归纳 1.特征：题干给出几何图形，附带多条结论，判断正确结论个数。 2.方法：逐个推导验证，可选取特殊位置代入快速排除错误选项。 3.易错提醒：不要凭直观图形下结论，结论必须严格推理，注意特殊位置与一般情况的区别。 变式训练1（25-26七年级上·黑龙江七台河·期末）如图，已知A，O，B三点在同一条直线上，过点O作射线，且平分平分，则下列结论：①与互补；②；③；④；其中正确结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 变式训练2（25-26七年级上·山东临沂·期末）如图，点为直线AB上一点，平分，，下列结论正确的是（     ） ①与互为余角；②；③；④若，则． A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①④ 变式训练3（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图：已知直线、直线相交于点，，则下列结论：①；②的补角是；③若，则；④若平分，则；⑤若，则．其中正确结论有___________． 变式训练4（20-21七年级下·陕西西安·期末）如图，已知，点O为垂足，是内任意一条射线，，分别平分，下列结论： ①； ②与互补； ③； ④与互余， 其中正确的有_______．（只填写正确结论的序号） 类型五、角n等分线的相关计算 典例精讲5（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）已知，在内部有四条射线，这四条射线、、、将五等分，在其中任选两条射线，并计算能用射线、和这两条射线表示的所有的角之和s，计算并写出所有可能的s的值__________． 题型归纳 1.特征：出现角的 2 等分、3 等分、n 等分射线，求解相关角度。 2.方法：根据等分比例写出角之间倍数关系，常结合方程、整体思想解题。 3.易错提醒：看清等分线的数量，区分 “n 等分线” 与 “分成 n 份”，避免倍数搞错。 变式训练1（24-25七年级上·广东佛山·阶段检测）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，设，则用含的代数式表示为______． 变式训练2（26-27七年级上·全国·课后作业）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则OB是的一条三分线．    （1）如图1，若，则_______； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且． ①则_______； ②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为________． 变式训练3（25-26七年级上·江苏无锡·期末）我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线．显然，一个角的三分线、四分线都有两条．例如：如图1，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线． (1)如图2，是的三分线，，若，则 ； (2)如图3，，是的四分线，，过点O作射线，当刚好为的三分线时，求的度数； (3)如图4，，射线是的两条三分线，将射线同时绕点O沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值． 类型六、代数式与角度计算问题 典例精讲6（25-26七年级上·河南周口·期末）已知点O是直线上的一点，是直角，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含的代数式表示）； (3)若，将绕点O顺时针旋转，使射线在的上方，射线在的下方，其他条件不变，求的度数（用含的代数式表示） ． 题型归纳 1.特征：角度用含字母代数式表示，探究角度关系式或者取值范围。 2.方法：用字母表示基础角，结合几何定理建立代数式，化简得到关系。 3.易错提醒：角度必须满足，求出代数式后，注意检验取值范围。 变式训练1（25-26七年级上·广东广州·期末）【综合与实践】 在数学研究中，特殊→一般→类比推广，是我们几何常用的探究方式． O是直线上的一定点，射线与射线都在直线的上方，且． 【特殊】 （1）如图，当平分，且时，求的度数； 【一般】 （2）当平分，且时，请用含的代数式表示，并证明你的结论； 【类比推广】 （3）当，且（且）时，请用含的代数式表示，直接写出你的结论． 变式训练2（25-26七年级上·安徽滁州·期末）【定义理解】 如图1，已知，射线在其内部，，（，，且）平分，平分，记，若与互补或与互补，则称与为一对“分补角”． (1)如图2，，． ①______°； ②判断与是不是一对“分补角”？并简要说明理由． (2)已知，且与是一对“分补角”． ①若，求的值； ②若，求的值． (3)若，且与是一对“分补角”． ①用含的代数式表示； ②设与互补，试求与的关系（用含的代数式表示）． 变式训练3（24-25七年级上·北京昌平·期末）在一次数学实践探究活动中，某小组同学将三角板的直角顶点放置在直线上，且边，不与重合，作射线平分． (1)如图1，当时，则______________； (2)若． ①当三角板绕着点旋转至如图2的位置时，求的度数（用含的代数式表示） ②继续将三角板绕着点旋转可得到如图所示的三种位置，分别写出的度数（用含的代数式表示） 　　_____；         ____；         ____； 类型七、角度计算相关的旋转问题 典例精讲7（25-26七年级上·江西赣州·期末）已知，，和均可绕点进行旋转，点，，在同一条直线上，是的角平分线． (1)如图1，当点与点重合，点与点重合，且射线和射线在直线的同侧时，求的度数． (2)在（1）的基础上，若从处开始绕点顺时针方向旋转，转速为每秒，从处开始绕点逆时针方向旋转，同时转速为每秒 ①当旋转多少秒时，与第一次重合； ②直接写出与第一次从相遇到分开所经历的时间． (3)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，如图2所示，当旋转时，则的度数为多少？ 题型归纳 1.特征：射线或图形绕定点旋转，伴随角度动态变化。 2.方法：找准旋转中心、旋转角，利用旋转前后对应角相等，按临界位置分类列式。 3.易错提醒：注意旋转方向（顺时针 / 逆时针），在射线重合、相交等临界点分段讨论。 变式训练1（25-26七年级上·江苏泰州·期末）若射线在内部（不与，重合），射线把分成和，为了方便表示这两个角的比值，规定，（本题中所有角均大于且小于）． (1)如图，射线在内部，若，则_____． (2)如图，，，分别从同时出发，绕点顺时针方向旋转，绕点逆时针方向旋转，当到达时两者都停止运动，设旋转时间为秒（）． ①若旋转速度均为每秒，______； ______；（用含的代数式表示） _____． ②若射线的旋转速度为每秒，射线的旋转速度为每秒，且到达后立即以相同的速度绕点顺时针方向旋转，当为何值时，？ (3)如图，若，，初始时与重合，从图中的位置绕点顺时针旋转，即（且），在旋转过程中，分别作射线和，使，写出所有使成立的的值． 变式训练2（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）小明在学习线段和角的知识时，发现它们之间有许多相似之处．例如，线段有中点，角有平分线；线段可以度量长度，角可以度量大小；线段之间可以进行和差倍分的运算，角之间也可以．他尝试运用“类比”的方法，将线段问题的解决方法迁移到角的问题中，解决了一系列有趣的问题． (1)问题类比 ①如图①，已知线段，点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向点运动，运动时间为秒，若点是的中点，则___________（用含的代数式表示）； ②如图②，已知，射线从位置开始绕点以每秒的速度顺时针向方向旋转，运动时间为秒，若射线平分，则___________（用含的代数式表示）； (2)问题解决 如图③，已知，平分．若射线从位置绕点以每秒的速度顺时针向方向旋转，同时射线从位置绕点以每秒的速度逆时针向方向旋转，当旋转至时，、均停止转动．设运动时间为秒． ①在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． ②若在旋转过程中，到达后立即以原速度逆时针向方向旋转，到达后立即以原速度顺时针向方向旋转，当旋转至时，、均停止转动．是否存在某一时刻，使得？若存在，请直接写出的值；若不存在，说明理由． 变式训练3（25-26七年级上·重庆·期末）已知，现将绕点O逆时针旋转．      (1)如图1，，当射线平分时，则______； (2)如图2，射线在内部，且满足，将的边从的位置开始旋转（当的边与射线重合时，停止运动），在旋转过程中，当时，请直接写出与的比值，并写出其中一种情况的求解过程； (3)如图3，，，将的边从的位置以每秒的速度开始旋转，旋转时间t秒（），在旋转过程中，射线平分，射线平分，射线平分，直线与直线交于点Q，当时，请直接写出所有满足条件的t的值． 类型八、三角板的相关旋转问题 典例精讲8（25-26七年级上·江苏扬州·期末）【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中与直线重合，，． （1）在上述所拼图形中，的度数为 °． 【问题探究】 （2）在上述所拼图形基础上，让三角板固定不动，将三角板绕着点O以每秒的速度顺时针方向旋转，且两块三角板均在直线的上方．设三角板的旋转时间为t秒，在旋转过程中，请求出当时，旋转时间t的值； 【拓展延伸】 （3）在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为．在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出t的值． 题型归纳 1.特征：一副或两块三角板绕顶点旋转，依托30°、45°、60°、90°特殊角求角度。 2.方法：利用三角板固有特殊角，分析旋转角，按重叠、相交等临界位置分类讨论。 3.易错提醒：区分两块三角板各自固定角度，旋转过程要考虑多解，不要遗漏情况。 变式训练1（25-26七年级上·内蒙古包头·期末）（1）如图1，把一副三角尺拼接在一起，其中与直线重合，，，则的度数为_____； （2）如图，三角尺固定不动，将三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转．在旋转过程中，两个三角尺都在直线的上方．设三角尺的旋转时间为秒，在旋转过程中，当平分时，求出时间的值； （3）如图3，若三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺同时也绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转，在旋转过程中，两个三角尺都在直线的上方．当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为秒，在旋转过程中，是否存在某一时刻使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．    变式训练2（24-25七年级上·江苏南京·期末）【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中与直线重合，． (1)在上述所拼图形中，的度数为 °． (2)【问题探究】在上述所拼图形基础上，让三角尺固定不动，将三角尺绕着点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，且两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为，在旋转过程中，请求出当时t的值． (3)【拓展延伸】在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为．在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出的值． 变式训练3（25-26七年级上·福建福州·期末）如图1，点在直线上，过点引一条射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点处，直角边在射线上，另一边在直线的下方． 【操作一】：将图1中的三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为秒． (1)的度数是__________． (2)三角尺的边旋转的度数可表示为__________（用含的代数式表示）；当__________时，． 【操作二】：如图2，射线与射线重合．如图3，在三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，射线绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当三角尺完成旋转一周时停止，射线也停止旋转，设旋转的时间为秒． (3)当为何值时，，并说明理由？ (4)试探索：在三角尺与射线旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出所有满足题意的的值；若不存在，请说明理由． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）如图1，一副含和角的三角板和叠合在一起，边与重合，，分别是，的平分线，现将三角板绕点按逆时针方向旋转（如图2），且． (1)当时， ①若，求的度数． ②在运动过程中，试猜想与的数量关系，并说明理由． (2)如图3，平分，若，求的度数． 2．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，射线是钝角内部的一条射线，射线平分． (1)若和互余，，求的大小； (2)射线在的内部，且满足， ①若，探究与的数量关系； ②若，射线在的内部，且，判断是哪个角的平分线？并说明理由． 3．（25-26七年级上·四川成都·期末）如图，直线上有一点，过点在直线上方作射线，．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一条直角边在射线上方且，另一边在直线上方．将直角三角板绕着点按每秒的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒（）． (1)当时（如图），分别求出与的度数； (2)在直角三角板旋转的过程中，若射线保持位置不变，当边与射线相交时（如图），求的值； (3)在直角三角板旋转的过程中，将射线绕着点按每秒的速度顺时针旋转（随三角板旋转停止而停止），当时，求的值． 4．（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，为直线上一点，，是内部的一条射线，平分．已知，． (1)求的值． (2)求的度数． (3)从点作一条射线，使与的和等于，求的度数． 5．（25-26七年级上·浙江台州·期末）如果两个角x，y满足，则称x是y的绝配角．例如，与满足，所以是的绝配角． (1)若一个角与它本身构成绝配角，则这个角为______． (2)如图，将射线顺时针旋转得到射线OC（），是的角平分线，将射线顺时针旋转得到射线． ①当时，请你找出图1中的一对角，使得无论（）为何值，其中一个角都是另一个角的绝配角，并证明． ②若，如图2，当，中其中一个角是另一个角的绝配角时，求的值． 6．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角尺的一个顶点放在处，边与直线重合，． (1)如图，求的度数． (2)将直角三角尺绕点以度/秒的速度顺时针旋转一周，同时射线绕点以度/秒的速度先顺时针旋转到与射线重合，再绕点以相同的速度逆时针旋转，随直角三角尺的停止而停止，记旋转时间为秒． ①如图，当直角三角尺旋转到直线上方，且平分时，求的度数． ②探究：在旋转过程中，当时，求的值． 7．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）元旦期间，吴兴区某校七年级同学在观看太湖古镇灯光秀表演后，以“灯光里的数学美”为主题展开项目式学习．同学们类比角平分线的定义，给出角的倍分角线的定义，在探究中感受数学之美． 新定义：如果的内部有一条射线将分成两个角，其中是所分角中较小角的倍，那么我们称射线为的倍分角线．如图1，若，则射线为的3倍分角线． 【特例感知】 (1)若， ①射线为的2倍分角线，则________； ②射线为的3倍分角线，则________； 【类比探究】 (2)如图2，点，，在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若射线，分别为和的4倍分角线（，），当时，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，若射线从射线处绕点顺时针旋转，速度为度/秒，同时射线从射线处绕点顺时针旋转，速度为度/秒．在旋转的过程中，当射线是的倍分角线时（），恰好射线也是的倍分角线（），请直接写出与的数量关系________． 8．（25-26七年级上·天津河北·期末）（1）如图1，，，，在内部，在外部，平分，平分． ①直接写出的大小是_____，的大小是_____； ②直接写出的值是_____； （2）如图2，，，在内部，在外部，平分，平分，问（1）中的②结论是否仍然成立，请说明理由； （3）如图3，，，在绕着点旋转一周的过程中，平分，平分，当时，直接写出的大小． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 角度计算常用思想方法8类综合题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、分类讨论思想解决角度计算问题 1 类型二、方程的思想解决角度计算问题 2 类型三、整体思想解决角度计算问题 11 类型四、与角度计算问题有关的多结论问题 17 类型五、角n等分线的相关计算 22 类型六、代数式与角度计算问题 28 类型七、角度计算相关的旋转问题 36 类型八、三角板的相关旋转问题 50 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 角度计算是初中几何综合的核心专题，所有题型均围绕角度和差倍分关系、图形位置变化、代数量化表达三大核心展开，解题贯穿四条底线原则：一是分类讨论—— 当点、射线、图形位置不确定时，确定分类标准，不重不漏划分情况，抓住不同位置下角度间的和差关系，逐一列式求解；二是方程思想—— 题目存在角度倍分、互余、互补、内角和、外角等等量关系，设未知角为参数，根据几何定理建立方程求解，算出结果后必须回代检验；三是整体思想—— 单个角度无法单独求出，但多个角的和或差为定值，采用设而不求，对角度组合整体代换，简化运算；四是旋转不变—— 图形旋转类角度问题，旋转前后对应角相等，找准旋转中心、旋转方向与旋转角，利用图形边角关系列式，并注意旋转过程中的临界位置分类讨论。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、分类讨论思想解决角度计算问题 典例精讲1（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在同一平面内，，射线平分，直线，则为________度． 【答案】或 【分析】先根据角平分线的定义求出的度数，根据垂直的定义得，再分两种情况计算的度数． 【详解】解：平分，， ． ， ． 分两种情况计算： ①当在靠近一侧时， ； ②当在外侧且靠近一侧时， ； 综上可知，为或． 题型归纳 1.特征：点、射线位置不确定，图形存在多种位置情况，求角度大小。 2.方法：确定分类标准，画出全部情况，依据角的和差关系分别列式计算。 3.易错提醒：分类做到不重不漏，注意区分角内部、外部两种位置，结果要检验角度取值范围。 变式训练1（25-26六年级下·山东淄博·期中）定义：如果从一个顶点出发的两个角的和等于，那么就说这两个角为“睦邻友好角”．若与是“睦邻友好角”，且，则的度数为________． 【答案】 或 【分析】设，则，根据“睦邻友好角”的定义，可得，，进行分类讨论，分别计算的度数即可． 【详解】解：设，则， ∵与是“睦邻友好角”， ∴. 解得， ∴， 若在外部，如图，， 若在内部，， ∴的度数为或． 变式训练2（2026·河南周口·模拟预测）如图，已知，射线在的内部，且，射线是平面上绕点B旋转的一条动射线，平分．若，则的度数为______．（用含的式子表示） 【答案】或 【分析】首先根据及 求出和的度数；然后根据射线的位置分两种情况讨论：当射线在的内部时，当射线在的外部时；分别利用角平分线的定义和角的和差关系求解即可． 【详解】解：， ， 分两种情况讨论： ①当射线在的内部时， 平分 ②当射线在的外部时， 平分 综上所述，的度数为或． 变式训练3（25-26七年级上·四川达州·期末）已知，画射线，使，平分，平分，则________． 【答案】或 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，分射线在内和射线在外两种情况求解即可． 【详解】解：当射线在内时， ∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∵平分， ． ∴． 当射线在外时， 则：， ． ∵平分， ∴． ∵平分， ∴． ∴． 故答案为：或 变式训练4（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）已知与互为补角，平分．若__________．（用含的代数式表示）． 【答案】或 【分析】本题考查了补角和角平分线的定义；弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．由补角定义得，再根据角平分线定义得，最后利用角的和差关系，注意根据与是否在一条直线上分情况讨论． 【详解】解：∵与互为补角， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 当与在一条直线上时，如图， ∴， 当与不在一条直线上时，如图， ∴， 故答案为：或． 类型二、方程的思想解决角度计算问题 典例精讲2（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图所示，是的平分线，，求的度数是__________°． 【答案】36 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，几何图形的角度运算，一元一次方程的几何应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先设，则，根据角平分线定义得出，再结合，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设，则， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：36． 题型归纳 1.特征：题干给出角度倍分、互余、互补等数量关系，直接求角困难。 2.方法：设未知角为参数，利用内角和、外角性质建立方程求解。 3.易错提醒：解出角度后，带回原题条件检验，排除不符合题意的解。 变式训练1（25-26七年级上·四川绵阳·期末）如图，平分，在内部，，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义以及角的和差关系．设，先根据已知条件求出的度数，再利用角平分线的性质求出的度数即可解答． 【详解】解：设， ， ， ，, ， 解得， ， 平分， ， 故答案为：． 变式训练2（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）同一平面内，直线，相交于点，是的角平分线，，于点，则的度数是_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查相交线的相关知识，涉及垂直的定义，角平分线的性质，对顶角相等以及角的和差计算．弄清楚角之间的和差关系是解题关键．分在两侧两种情况，利用角平分线、垂直及平角性质求． 【详解】解：情况一：在内部， 设，则， ∵平分， ∴， 由， 得， 即， ∵， ∴， 则， 因此； 情况二：在内部， 同上，， ∴（对顶角相等）， ∵， ∴， 因此； ∴的度数有两种可能：或． 故答案为：或． 变式训练3（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图1，点为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点处，边在射线上．绕点顺时针旋转直角三角板，当边旋转至射线上时，旋转停止．过点作射线，使射线平分． (1)如图2，若，求的度数； (2)探究和的数量关系，写出你的结论，并说明理由； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2)， 理由如下： 设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)或 【分析】本题考查的是角平分线的定义和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义和性质并灵活运用． （1）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论； （2）设，则，根据角平分线的定义得到，根据余角的性质得到，于是得到结论； （3）设，则，分以下两种情况：当在上方时；当在下方时，分别根据角平分线的定义和余角的性质，再结合，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由已知得， 又∵是直角，平分， ∴； （2）略 （3）解：设，则， 分以下两种情况讨论： 当在上方时，如图 ， ， ∵， ∴， 解得， ∴； 当在下方时，如图， ， ， ∵， ∴， 解得， ∴． 综上所述，的度数为或． 类型三、整体思想解决角度计算问题 典例精讲3（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）【阅读理解】整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题思想．整体思想的主要表现形式有整体代换，整体配凑、整体构造等，在初中几何与图形方面也有广泛的应用． (1)如图1，将三个正方形的顶点重合放置，，求的度数． 为了简洁表述，小华将图中的记作，记作，记作，如图2所示．因为正方形的每个角都是，且，所以① 因为，所以 ② 得：③ 又因为，所以 ④ 将④代入③解得 ； (2)【解决问题】何老师对小华的解题进行点评和表扬，并指出小华同学的思路体现数学中“整体思想”、“代换思想”、“转化思想”的运用．请你参考小华的解题思想，解决下面问题． 如图3，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则三个角之间有什么数量关系？并说明理由． 【答案】(1)x；2；1；x；2；15 (2) 解：，理由如下： 如图，正方形的每个角都是， ， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据角之间的关系可得，则可推出，据此可求出的度数； （2）根据题意可得，再求出，据此可得结论． 【详解】（1）解：如图2所示．因为正方形的每个角都是，且， 所以①， 因为， 所以②， 得：③， 又因为，所以④ 将④代入③解得； （2）略 题型归纳 1.特征：单个角度无法单独求出，但多个角的和差为定值。 2.方法：设元后不单独求解每个角，将角的组合看成整体代换化简。 3.易错提醒：分清哪些角是整体，不要强行拆分单独计算，避免增加运算量。 变式训练1（22-23七年级上·贵州遵义·期末）【阅读材料】如何化简整式呢？数学教材第76页提示，可以把看成一个整体，进而．“看成一个整体”在数学中称为“整体思想”，它往往能把复杂问题简单化，在数学问题的解决中应用广泛．请参考阅读材料，解决以下问题： 【尝试应用】 （1）填空：已知，，则______； 【拓展探究】 （2）若关于的一元一次方程的解是，求关于的方程的解是多少； 【迁移提升】 （3）如图，分别为定角内的两条动射线，当运动到如图的位置时，，，求的度数． 【答案】（）；（）；（）． 【分析】（）首先由得，然后将，，代入之中进行计算即可得出答案； （）首先设则方程可转化为 ，进而得，然后结合已知可得出，进而得 ，由此解出即可； （）设，，，则，然后将代入之中得 ，继而由可得出答案； 此题考查了求代数式的值，解一元一次方程，角度的计算，理解题意，熟练掌握整体思想的应用是解题的关键． 【详解】（）∵， ∴，即， 又∵， ∴ ， 故答案为：； （）设， 则方程可转化为：， 即， ∵关于的一元一次方程的解是， ∴关于的一元一次方程的解是， ∴， 即， ∴， 即关于的方程的解是； （）设，，，则，， ∵，， ∴，，即， 将代入，得：， ∴， ∴， 将，，代入上式得：． 变式训练2（24-25七年级上·浙江杭州·期末）【问题提出】如图A，B，C是直线l上的三点，，点D是线段中点，点E是线段的中点，求线段的长． 【问题解决】圆圆运用整体思想，解决问题． ∵点D是线段中点，点E是线段的中点 ∴， ∴ 城城发现这一题困难的原因是已知条件太少，于是他运用方程思想，设线段， 则  ∵点D是线段中点，∴ ∵点E是线段中点，∴  ∴ 【问题应用】请选择你喜欢的方法，解决下面两个问题 如图，在的外部，平分，平分． (1)若，求的度数； (2)若，用含x的代数式表示的度数； (3)若与互余，与互补．求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了几何图形中角度计算问题，角平分线的有关计算，余角和补角有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据角平分线的定义得，运用角的和差关系先表示，，再列式，然后代入化简，即可作答． （2）与（1）同理，把换成，进行列式化简，即可作答． （3）先得，结合与互余，与互补列式，再化简得，算出，即可作答． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：∵平分，平分， ∴， ∵与互余，与互补， ∴，， ∴， ∴， 与（2）同理，设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 类型四、与角度计算问题有关的多结论问题 典例精讲4（25-26七年级上·安徽六安·期末）若与互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④．正确的是（   ） A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了余角和补角的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 根据余角、补角的定义，结合与互补的关系，分别推导每个式子是否等于的余角，进而判断正确性，即可求解． 【详解】解：∵余角的定义为：若两个角的和为，则这两个角互余， ∴的余角为，故①正确； ∵与互补， ∴，即， ∴，故②正确； ∵，而，不一定等于它的余角，故③错误； ∵，故④正确； 综上，正确的是①②④， 故选：B． 题型归纳 1.特征：题干给出几何图形，附带多条结论，判断正确结论个数。 2.方法：逐个推导验证，可选取特殊位置代入快速排除错误选项。 3.易错提醒：不要凭直观图形下结论，结论必须严格推理，注意特殊位置与一般情况的区别。 变式训练1（25-26七年级上·黑龙江七台河·期末）如图，已知A，O，B三点在同一条直线上，过点O作射线，且平分平分，则下列结论：①与互补；②；③；④；其中正确结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线的定义，角的互补等知识点，解题的关键是掌握以上性质． 由图形知道，再根据条件中的角平线可以推出，再结合图形推出角之间的和差倍数的关系． 【详解】解：∵A，O，B三点在同一条直线上，过点O作射线，且平分平分， ∴，即， ∴， ， ∴，即①正确， ，即②正确， ∵，而非，故③错误， ，即④正确． 故选：B． 变式训练2（25-26七年级上·山东临沂·期末）如图，点为直线AB上一点，平分，，下列结论正确的是（     ） ①与互为余角；②；③；④若，则． A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①④ 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，几何图形中角度计算问题，与余角、补角有关的计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 由平角的定义与，即可求得与互为余角，由此可判断①； 根据题干条件无法得出，由此可判断②； 先根据角平分线的意义得出，利用邻补角的意义得出，再结合，，得出，代入，得出结论，从而可判断③； 先利用邻补角的意义求得，再结合角平分线的意义求得，由此可判断④． 【详解】解：∵，， ∴， ∴与互为余角， 故①正确； 根据题干条件无法得出， 故②错误； ∵平分， ∴； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故③正确， ∵，且， ∴， ∵平分， ∴． 故④正确． 综上所述，正确的有①③④， 故选：A． 变式训练3（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图：已知直线、直线相交于点，，则下列结论：①；②的补角是；③若，则；④若平分，则；⑤若，则．其中正确结论有___________． 【答案】①③④⑤ 【分析】本题考查了对顶角性质、角平分线定义、垂线定义、余角和补角的知识，解题关键是熟练掌握相关概念和性质，准确分析角之间的关系．利用对顶角相等、角平分线的定义、垂线定义以及余角、补角的概念，对每个结论逐一进行分析判断即可． 【详解】解：①∵， ∴，故①正确，符合题意； ②∵， ∴的补角不是，故②错误，不符合题意； ③∵， ∴，故③正确，符合题意； ④∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确，符合题意； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有①③④⑤． 故答案为：①③④⑤． 变式训练4（20-21七年级下·陕西西安·期末）如图，已知，点O为垂足，是内任意一条射线，，分别平分，下列结论： ①； ②与互补； ③； ④与互余， 其中正确的有_______．（只填写正确结论的序号） 【答案】/④① 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，与余角，补角有关的计算，几何图形的角度运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合角平分线的定义得，即可得；因为，，得，故，则与不一定互补，结合，，故与不一定相等，整理得，结合，故与互余，即可作答． 【详解】解：①∵，分别平分， ∴， 设， ∴，， ∴， 故①正确； ②∵，， ∴， ∴， ∵ 与不一定相等 ∴与不一定互补， 故②不正确； ③∵，， ∴， ∵且与不一定相等 ∴与不一定相等， 故③不正确； ④∵， ∴， ∵， ∴ ∴与互余， 故④正确， 故答案为：①④． 类型五、角n等分线的相关计算 典例精讲5（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）已知，在内部有四条射线，这四条射线、、、将五等分，在其中任选两条射线，并计算能用射线、和这两条射线表示的所有的角之和s，计算并写出所有可能的s的值__________． 【答案】/80度 【分析】本题考查了角的n等分线，先根据五等分线求出，然后分三种情况讨论：选择相邻的两条射线；选择间隔一条射线的两条射线；选择间隔两条射线的两条射线，然后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：∵、、、将五等分，， ∴， 若选择相邻的两条射线，如、， 则射线、、、表示的角有，，，， ∴， 同理，选择其他相邻两条直线，s的值为； 若选择间隔一条射线的两条射线，如、， 则射线、、、表示的角有，，，， ∴， 同理，选择其他间隔一条射线的两条射线，s的值为； 若选择间隔两条射线的两条射线，如、， 则射线、、、表示的角有，，，， ∴， 综上，s的值为， 故答案为：． 题型归纳 1.特征：出现角的 2 等分、3 等分、n 等分射线，求解相关角度。 2.方法：根据等分比例写出角之间倍数关系，常结合方程、整体思想解题。 3.易错提醒：看清等分线的数量，区分 “n 等分线” 与 “分成 n 份”，避免倍数搞错。 变式训练1（24-25七年级上·广东佛山·阶段检测）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，设，则用含的代数式表示为______． 【答案】或 【分析】本题考查角的计算．解题关键是做出图形，注意分类讨论． 分情况讨论，即或时，分别讨论即可． 【详解】解：根据射线是的三等分线，可分情况讨论， 如图，当时， ， ， 如图，当时， ， ， 故答案为：或． 变式训练2（26-27七年级上·全国·课后作业）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则OB是的一条三分线．    （1）如图1，若，则_______； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且． ①则_______； ②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为________． 【答案】 /度 /度 或 【分析】本题属于新定义类型的问题，主要考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线的定义，解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏． （1）根据三分线的定义计算即可； （2）①根据三分线的定义计算即可；②根据三分线的定义可得，由旋转得，然后分两种情况：当是的三分线，且时；当是的三分线，且时，分别求出和的值即可． 【详解】解：（1）解：∵， ∴, 故答案为：； （2）①∵，是的两条三分线，， ∴， 故答案为：； ②∵，，是的两条三分线， ∴， 由旋转得：， 分两种情况： 当是的三分线，且时，可得， ∴， ∴，即； 当是的三分线，且时，可得， ∴，即； 故答案为：或． 变式训练3（25-26七年级上·江苏无锡·期末）我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线．显然，一个角的三分线、四分线都有两条．例如：如图1，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线． (1)如图2，是的三分线，，若，则 ； (2)如图3，，是的四分线，，过点O作射线，当刚好为的三分线时，求的度数； (3)如图4，，射线是的两条三分线，将射线同时绕点O沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】本题主要考查了角的计算、角平分线的定义等知识点，掌握角的三分线、四分线的定义以及分类讨论思想是解题的关键． （1）根据三分线的定义求解即可； （2）根据题意画出图形，根据三分线的定义分两种情况求解即可； （3）根据四分线的定义分四种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵是的三分线，，若， ∴． 故答案为：． （2）解：∵，是的四分线，， ， ∵是三分线， ∴①如图：当时，， ； ②如图：当时，， ． 综上，的度数为或． （3）解：∵，射线、是的两条三分线 ∴， ①如图，当是的四分线时，， ∴，解得：， ∴， ∴； ②如图，当是的四分线且时， ∴， ∴； ③如图，当是的四分线且时， ∴， ∴； ④如图，当是的四分线时，， ∴，解得：， ∴． ∴的值为或或或． 类型六、代数式与角度计算问题 典例精讲6（25-26七年级上·河南周口·期末）已知点O是直线上的一点，是直角，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含的代数式表示）； (3)若，将绕点O顺时针旋转，使射线在的上方，射线在的下方，其他条件不变，求的度数（用含的代数式表示） ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查角平分线的计算，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据邻补角得出，再由角平分线确定，结合图形即可求解； （2）方法同（1）求解； （3）根据题意画出图形求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∵平分 ， ， ； （2）， ， ∵平分 ， ； （3）如图所示： ， ， ∵平分 ， ， ． 题型归纳 1.特征：角度用含字母代数式表示，探究角度关系式或者取值范围。 2.方法：用字母表示基础角，结合几何定理建立代数式，化简得到关系。 3.易错提醒：角度必须满足，求出代数式后，注意检验取值范围。 变式训练1（25-26七年级上·广东广州·期末）【综合与实践】 在数学研究中，特殊→一般→类比推广，是我们几何常用的探究方式． O是直线上的一定点，射线与射线都在直线的上方，且． 【特殊】 （1）如图，当平分，且时，求的度数； 【一般】 （2）当平分，且时，请用含的代数式表示，并证明你的结论； 【类比推广】 （3）当，且（且）时，请用含的代数式表示，直接写出你的结论． 【答案】（1）； （2），证明如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （3）当时，；当时， 【分析】本题主要考查了角平分线、几何图形中角度计算等知识，正确理解题意，理清各角关系是解题关键． （1）首先确定的度数，再根据角平分线的定义确定，然后由求解即可； （2）首先确定，再根据角平分线的定义可知，然后由求解即可； （3）首先确定当，即在同一直线上时，，此时不符合题意；然后分当时和时两种情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）略 （3）当时，；当时，，证明如下： 根据题意，，， ∴，， ∵， ∴， 当，即在同一直线上时， 可得，解得，此时不符合题意， 然后分两种情况讨论： ①当时，如下图所示， 此时； ②当时，如下图所示， 此时． 综上所述，当时，；当时，． 变式训练2（25-26七年级上·安徽滁州·期末）【定义理解】 如图1，已知，射线在其内部，，（，，且）平分，平分，记，若与互补或与互补，则称与为一对“分补角”． (1)如图2，，． ①______°； ②判断与是不是一对“分补角”？并简要说明理由． (2)已知，且与是一对“分补角”． ①若，求的值； ②若，求的值． (3)若，且与是一对“分补角”． ①用含的代数式表示； ②设与互补，试求与的关系（用含的代数式表示）． 【答案】(1)①90； ②由①可得：， ， 不满足定义中的互补条件，不是分补角． (2)①； ②； (3)①； ② 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算，“分补角”的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①先求出，再结合角平分线的定义计算即可得出结果；②由①可得，根据“分补角”的定义判断即可得出结果； （2）①由角平分线的定义并结合根据“分补角”的定义计算即可得出结果；②由角平分线的定义并结合根据“分补角”的定义计算即可得出结果； （3）①由角平分线的定义可得，，再结合，且，即可得出结果；②由与互补，得出，从而可得，进而得出，由“分补角”的定义得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：①，，， ． ∵平分，平分， ∴，， ∵，， ． ②略 （2）解：①，， ∴， ∵与是一对“分补角”， ∴， ∴， ∵， ∴， 当，时，代入可得， ∵， ∴； ②，， ∴， ∵与是一对“分补角”， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 当，时，代入可得， ∴； （3）解：①∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴； ②∵与互补， ∴， ∴， ， ∵与为一对“分补角”， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 变式训练3（24-25七年级上·北京昌平·期末）在一次数学实践探究活动中，某小组同学将三角板的直角顶点放置在直线上，且边，不与重合，作射线平分． (1)如图1，当时，则______________； (2)若． ①当三角板绕着点旋转至如图2的位置时，求的度数（用含的代数式表示） ②继续将三角板绕着点旋转可得到如图所示的三种位置，分别写出的度数（用含的代数式表示） 　　_____；         ____；         ____； 【答案】(1)30 (2)①；②；； 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角板中的角度运算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）利用平角的定义求出，再根据角平分线的定义可得，结合图形可知，利用角的和差即可求出的度数； （2）①由可得，再根据角平分线的定义可得，再利用平角的定义即可求出的度数；②仿照①中的方法，分别求出如图所示的三种位置中的度数即可． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， 又， ． 故答案为：30． （2）解：①，， ， 平分， ， ， ， 的度数为； ②位置1： ，， ， 平分， ， ， ； 位置2：同理位置1的方法可得：； 位置3：同理①的方法可得：． 故答案为：；；． 类型七、角度计算相关的旋转问题 典例精讲7（25-26七年级上·江西赣州·期末）已知，，和均可绕点进行旋转，点，，在同一条直线上，是的角平分线． (1)如图1，当点与点重合，点与点重合，且射线和射线在直线的同侧时，求的度数． (2)在（1）的基础上，若从处开始绕点顺时针方向旋转，转速为每秒，从处开始绕点逆时针方向旋转，同时转速为每秒 ①当旋转多少秒时，与第一次重合； ②直接写出与第一次从相遇到分开所经历的时间． (3)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，如图2所示，当旋转时，则的度数为多少？ 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，旋转的特点，根据角平分线的定义进行计算，是解题的关键． （1）根据平角的定义得到，根据角平分线的定义得到即可； （2）①根据旋转的特点和、旋转的速度，结合的度数，即可求得结果； ②根据、旋转的速度，结合、的度数，即可求出结果； （3）根据题意得到，，根据平角的定义得到，根据角平分线的定义，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 是的平分线， ； （2）解：∵从处开始绕点顺时针方向旋转，转速为每秒，从处开始绕点逆时针方向旋转，同时转速为每秒， ∵ 与第一次重合的时间为：； ②，， 与第一次从相遇到分开所经历的时间为：； （3）解：旋转时，，， ， ， ． ． 题型归纳 1.特征：射线或图形绕定点旋转，伴随角度动态变化。 2.方法：找准旋转中心、旋转角，利用旋转前后对应角相等，按临界位置分类列式。 3.易错提醒：注意旋转方向（顺时针 / 逆时针），在射线重合、相交等临界点分段讨论。 变式训练1（25-26七年级上·江苏泰州·期末）若射线在内部（不与，重合），射线把分成和，为了方便表示这两个角的比值，规定，（本题中所有角均大于且小于）． (1)如图，射线在内部，若，则_____． (2)如图，，，分别从同时出发，绕点顺时针方向旋转，绕点逆时针方向旋转，当到达时两者都停止运动，设旋转时间为秒（）． ①若旋转速度均为每秒，______； ______；（用含的代数式表示） _____． ②若射线的旋转速度为每秒，射线的旋转速度为每秒，且到达后立即以相同的速度绕点顺时针方向旋转，当为何值时，？ (3)如图，若，，初始时与重合，从图中的位置绕点顺时针旋转，即（且），在旋转过程中，分别作射线和，使，写出所有使成立的的值． 【答案】(1) (2)①，，1；②或 (3)的值为或． 【分析】本题主要考查了角的和差关系、新定义运算及分类讨论思想，通过建立方程求解角度，考查了几何与代数结合的综合应用能力． （）已知，先利用角的和差关系得出，再根据题目定义的比值公式代入角度关系计算得到比值为； （）①已知旋转速度均为每秒，旋转时间为秒，先得出，再根据，利用比值公式分别计算，；最后验证两者之和为；②分两种情况讨论：当时，未到达，直接代入角度关系列方程解得；当时，已过，重新表示角度后代入角度关系列方程解得； （）①当时，先根据得到，再结合已知角度和的定义，通过角的和差关系计算出，从而解得；②当时，先根据得到，再结合已知角度和的定义，通过角的和差关系计算出，从而解得． 【详解】（1）解：∵射线在内部，， ∴， 故答案为：， （2）解：①∵旋转速度均为每秒， ∴ ∴； ；（用含的代数式表示）， ， 故答案为：，，； ②当时， ，解得， 当时， ， 解得， 当或时，； （3）解：的值为或． ①当时，如图 ∵， ∴， ∴， ， ∴ ， ∴， ∴； ②当时，如图， ∵， ∴， ∴， ， ∴ ， ∴， ∴； 综上所述：的值为或． 变式训练2（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）小明在学习线段和角的知识时，发现它们之间有许多相似之处．例如，线段有中点，角有平分线；线段可以度量长度，角可以度量大小；线段之间可以进行和差倍分的运算，角之间也可以．他尝试运用“类比”的方法，将线段问题的解决方法迁移到角的问题中，解决了一系列有趣的问题． (1)问题类比 ①如图①，已知线段，点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向点运动，运动时间为秒，若点是的中点，则___________（用含的代数式表示）； ②如图②，已知，射线从位置开始绕点以每秒的速度顺时针向方向旋转，运动时间为秒，若射线平分，则___________（用含的代数式表示）； (2)问题解决 如图③，已知，平分．若射线从位置绕点以每秒的速度顺时针向方向旋转，同时射线从位置绕点以每秒的速度逆时针向方向旋转，当旋转至时，、均停止转动．设运动时间为秒． ①在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． ②若在旋转过程中，到达后立即以原速度逆时针向方向旋转，到达后立即以原速度顺时针向方向旋转，当旋转至时，、均停止转动．是否存在某一时刻，使得？若存在，请直接写出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)①； (2)①；②或或 【分析】本题考查线段和差，几何图形中的角度计算，一元一次方程； （1）①根据题意得，，，再结合中点得到，即可求出； ②根据题意得，，，由角平分线得到，即可求出； （2）①由角平分线得，根据题意得，，当射线与重合时，，根据列方程求解；再根据与不重合时，根据列方程求解即可； ②先求出与两次次相遇时间，当到达时间，以原速度逆时针向方向旋转，旋转至时间；当到达时间，以原速度逆时针向方向旋转，旋转至时间；再根据这些时间段分别画出图形，表示出，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：①根据题意得，，， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； ②根据题意得，，， ∵射线平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵，平分， ∴， 根据题意得，，          当射线与重合时，，此时，即，解得； 当在内部，在内部时，此时，，若，则，不合题意； 当在内部，在内部时，此时，，若，则，不合题意； 综上所述，当时，； ②由①得当时，与第一次相遇； 当射线到达时，，以原速度逆时针向方向旋转，旋转至时，； 当射线到达时，，以原速度逆时针向方向旋转，旋转至时，； 当和第二次相遇时，，解得； 当时，与第一次相遇之前， ， 由得， 解得； 当时，与第一次相遇之后，到达之前， ， 由得， 解得； 当时，到达之后原速返回，到达之前，此时，，   ， 由得， 解得； 当时，到达之后原速返回，到达之后原速返回，第二次相遇之前，此时，，   ， 由得， 解得； 当时，到达之后原速返回，到达之后原速返回，第二次相遇之后，直到旋转至时，、均停止转动．此时，，   ， 由得， 解得，不合题意， 综上所述，存在某一时刻，使得，此时或或． 变式训练3（25-26七年级上·重庆·期末）已知，现将绕点O逆时针旋转．      (1)如图1，，当射线平分时，则______； (2)如图2，射线在内部，且满足，将的边从的位置开始旋转（当的边与射线重合时，停止运动），在旋转过程中，当时，请直接写出与的比值，并写出其中一种情况的求解过程； (3)如图3，，，将的边从的位置以每秒的速度开始旋转，旋转时间t秒（），在旋转过程中，射线平分，射线平分，射线平分，直线与直线交于点Q，当时，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1) (2)或，过程： 当射线在的内部时，如图，    ∴，，，， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴； 当射线在的外部时，如图，    ∴，，，， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴； (3)或 【分析】本题主要考查角的和差关系、平行线的性质、角平分线的定义及一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意易得，则有，然后问题可求解； （2）由可设，则，，设，由题意可分：当射线在的内部时，当射线在的外部时，进而分类进行求解即可； （3）由题意易得，，，，由题意可分：当射线在的内部时，当射线在的外部且射线在内部时，当射线在外部时，当射线在射线下面时，进而分类进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴； 故答案为； （2）略 （3）解：∵，， ∴， 由将的边从的位置以每秒的速度开始旋转，旋转时间t秒（），可知：， ∵射线平分，射线平分，射线平分， ∴，，， 由题意可分： 当射线在的内部时，则有，即，如图，    ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 当射线在的外部且射线在内部时，即，如图，    ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 当射线在外部时，即，如图，    ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或； 当射线在射线下面时，即，如图，    ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述：当时，或． 类型八、三角板的相关旋转问题 典例精讲8（25-26七年级上·江苏扬州·期末）【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中与直线重合，，． （1）在上述所拼图形中，的度数为 °． 【问题探究】 （2）在上述所拼图形基础上，让三角板固定不动，将三角板绕着点O以每秒的速度顺时针方向旋转，且两块三角板均在直线的上方．设三角板的旋转时间为t秒，在旋转过程中，请求出当时，旋转时间t的值； 【拓展延伸】 （3）在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为．在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出t的值． 【答案】【操作拼图】；【问题探究】或；【拓展延伸】，， 【分析】本题主要考查了平行线的性质，正确判断角的数量关系是本题解题的关键． （1）根据平角的定义求解即可； （2）根据，的位置分类讨论，列出等式求解即可； （3）根据与边平行的边不同分类讨论，根据平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：（1）∵与直线重合， ∴， ∵， ∴ 故答案为：75； （2）三角板以每秒的速度顺时针旋转t秒后， ，， ， ； ∵， ∴当时，， 解得； 当时，， 解得， 综上，t的值为9或17； （3）∵三角板顺时针旋转，三角板逆时针旋转， ∴，， 当时， ∵，， 又， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， 解得， 综上，t的值为5，10或20． 题型归纳 1.特征：一副或两块三角板绕顶点旋转，依托30°、45°、60°、90°特殊角求角度。 2.方法：利用三角板固有特殊角，分析旋转角，按重叠、相交等临界位置分类讨论。 3.易错提醒：区分两块三角板各自固定角度，旋转过程要考虑多解，不要遗漏情况。 变式训练1（25-26七年级上·内蒙古包头·期末）（1）如图1，把一副三角尺拼接在一起，其中与直线重合，，，则的度数为_____； （2）如图，三角尺固定不动，将三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转．在旋转过程中，两个三角尺都在直线的上方．设三角尺的旋转时间为秒，在旋转过程中，当平分时，求出时间的值； （3）如图3，若三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺同时也绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转，在旋转过程中，两个三角尺都在直线的上方．当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为秒，在旋转过程中，是否存在某一时刻使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．    【答案】（1）；（2）；（3）存在，的值为21或25 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的变化，角平分线的定义，角的计算，利用三角尺的特殊角，分清运动的情形是解题的关键． （1）根据平角的定义求解即可； （2）先求出旋转角，再除以转动速度即可； （3）分当在左侧和当在右侧两种情形，结合图形分别求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴； 故答案为：； （2）当边平分时， ， ， 旋转角为：， ； （3）存在，    理由是：当在左侧时， 根据旋转可知：， ， ， ， 解得：； 当在右侧时，   ， ， ， ， ； 综上：的值为21或25． 变式训练2（24-25七年级上·江苏南京·期末）【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中与直线重合，． (1)在上述所拼图形中，的度数为 °． (2)【问题探究】在上述所拼图形基础上，让三角尺固定不动，将三角尺绕着点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，且两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为，在旋转过程中，请求出当时t的值． (3)【拓展延伸】在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为．在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出的值． 【答案】(1)75 (2)12或 (3)或15 【分析】（1）根据平角的定义求解即可； （2）根据的位置分类讨论，列出等式求解即可； （3）根据与边平行的边不同分类讨论，根据平行线的性质进行求解即可． 本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质，平角的定义，熟练掌握旋转性质，平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ， ∴； 故答案为：75． （2）解：当和重合时，，则， 当和重合时，，则， 当和重合时，，则， ①当时，，， ∴， 解得：； ②当时，， ∴， 解得：； ③当时，， ∴，t无解； 综上所述，或． （3）解：当和重合时，，则， ∴转动过程中，， ①当时，， ∴， ∴， 即， 解得：； ②当时，， ∴， ∴， 即， 解得：； ③当时，， ∴和重合， ∴， 即， 解得：； 当时，，且位于下面，不符合题意，舍去； 综上所述，或15． 变式训练3（25-26七年级上·福建福州·期末）如图1，点在直线上，过点引一条射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点处，直角边在射线上，另一边在直线的下方． 【操作一】：将图1中的三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为秒． (1)的度数是__________． (2)三角尺的边旋转的度数可表示为__________（用含的代数式表示）；当__________时，． 【操作二】：如图2，射线与射线重合．如图3，在三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，射线绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当三角尺完成旋转一周时停止，射线也停止旋转，设旋转的时间为秒． (3)当为何值时，，并说明理由？ (4)试探索：在三角尺与射线旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出所有满足题意的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)；或 (3)或 理由如下：根据题意，得，， ， ， 解得； 根据题意，得，， ， 解得； (4)存在；或 【分析】（1）根据，解答即可． （2）分且在的上方， 且在的下方，两种情况求解． （3）根据题意，得，或，求解即可； （4）当在的左侧时，此时，根据题意，得，当在的右侧时，此时，根据题意，得，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，且， 故; （2）解：三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转，旋转的时间为秒， 故旋转角． 当且在的上方时， 根据题意，得，， ， ， 解得； 当且在的下方时， 根据题意，得，， ， ， 解得； （3）略 （4）解：根据题意，当在的左侧时， 此时， 根据题意，得， 整理，得， 解得； 当在的右侧时， 此时， 根据题意，得， 整理，得， 解得； 故当t为或时，; 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）如图1，一副含和角的三角板和叠合在一起，边与重合，，分别是，的平分线，现将三角板绕点按逆时针方向旋转（如图2），且． (1)当时， ①若，求的度数． ②在运动过程中，试猜想与的数量关系，并说明理由． (2)如图3，平分，若，求的度数． 【答案】(1)①； ②；理由如下： ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； (2)或 【分析】本题考查与三角板有关的计算，与角平分线有关的计算： （1）①根据角平分线的定义结合角的和差关系进行求解即可；②根据角平分线的定义结合角的和差关系进行求解即可； （2）分在的内部和在的外部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：①由题意，可知：， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②略 （2）解：①当在的内部时， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴，则， ∴此时重合， ∵是的平分线， ∴； 如图， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ； ②当在的外部时， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 综上：或． 2．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，射线是钝角内部的一条射线，射线平分． (1)若和互余，，求的大小； (2)射线在的内部，且满足， ①若，探究与的数量关系； ②若，射线在的内部，且，判断是哪个角的平分线？并说明理由． 【答案】(1) (2)①或； ②解：是的平分线．理由如下： ∵， ∴在左侧，如图所示： 设，则， ， 是的平分线， ， ， ∵， ∴， ， ， ， 是的平分线． 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握角平分线定义，是解题的关键． （1）根据角平分线定义求出，根据余角定义得出，再求出结果即可； （2）①分两种情况：当在左侧时，当在右侧时，分别画出图形，求出结果即可； ②设，则，根据角平分线的定义求得，推出，根据，得出，求出， 据此求解即可判断． 【详解】（1）解：∵射线平分，， ∴， ∵和互余， ∴， ∴； （2）解：①或； 当在左侧时，如图所示： ∵射线平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在右侧时，如图所示： ∵射线平分， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，或； ②略 3．（25-26七年级上·四川成都·期末）如图，直线上有一点，过点在直线上方作射线，．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一条直角边在射线上方且，另一边在直线上方．将直角三角板绕着点按每秒的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒（）． (1)当时（如图），分别求出与的度数； (2)在直角三角板旋转的过程中，若射线保持位置不变，当边与射线相交时（如图），求的值； (3)在直角三角板旋转的过程中，将射线绕着点按每秒的速度顺时针旋转（随三角板旋转停止而停止），当时，求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】本题考查三角板的运算、几何的角度计算、一元一次方程的应用，能够根据线段的运动算出对应的角度是解题的关键． （1）通过，即可求解； （2）先根据旋转的规律，求出，在进行计算即可； （3）分类讨论：情形一：当时，在上方，情形二：当时，在下方，分别计算出，再根据即可求解． 【详解】（1）解：当时， ∵，， ∴，     ∵，，     ∴， （2）解：∵秒后，，，，          ∴； （3）情形一：当时，在上方， ，， ①时，， ∵， ∴，解得（符合题意），     ②时，， ∵， ∴，解得（符合题意） ，     情形二：当时，在下方， ，， ∴，解得（舍去），     综上所述，符合条件的的值为或． 4．（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，为直线上一点，，是内部的一条射线，平分．已知，． (1)求的值． (2)求的度数． (3)从点作一条射线，使与的和等于，求的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)的度数为或． 【分析】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算． （1）由题目条件直接求得答案； （2）根据（1）中的值，求出和的度数，再根据角平分线求得结果； （3）根据射线的位置不同，分情况讨论，进而求出的度数． 【详解】（1）解：∵为直线上一点，且， ∴， 又∵，， ∴，解得：； （2）∵，； 又∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． （3）∵，且， 设，则． ①在内部，此时， ∴(矛盾，舍去)； ②在内部此时， ∴，解得：． ∴； ③在内部，此时， ∴，解得：， ∴． ④在内部，此时， ∴，解得：， ∴(矛盾，舍去)． 综上，的度数为或． 5．（25-26七年级上·浙江台州·期末）如果两个角x，y满足，则称x是y的绝配角．例如，与满足，所以是的绝配角． (1)若一个角与它本身构成绝配角，则这个角为______． (2)如图，将射线顺时针旋转得到射线OC（），是的角平分线，将射线顺时针旋转得到射线． ①当时，请你找出图1中的一对角，使得无论（）为何值，其中一个角都是另一个角的绝配角，并证明． ②若，如图2，当，中其中一个角是另一个角的绝配角时，求的值． 【答案】(1) (2) ①（或或或）， 证明如下：因为，，， 所以， 因为是的角平分线， 所以， 所以， 所以； ②或 【分析】（1）根据绝配角的定义，即可求解； （2）①根据角之间的关系，易得，再根据角平分线的定义和角之间的关系，可得，，则，根据绝配角的定义，即可求解； ②根据射线和的位置关系，分两种情况讨论，分别表示出和，再根据绝配角的定义，得或，列出关于的方程，求解即可． 【详解】（1）解：设这个角为x，则它的绝配角也是x， 由题可列，，解得， 故答案为：； （2）①略 ②当在内部时，即， 此时，， （Ⅰ）若，则，无解； （Ⅱ）若，则，解得； 当在外部时，即， 此时，， （Ⅲ）若，则，解得； （Ⅳ）若，则，解得（舍去）； 综上所述：或． 【点睛】本题考查新定义“绝配角”，角平分线的定义，角的运算等知识，理解“绝配角”的定义是解题的关键． 6．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角尺的一个顶点放在处，边与直线重合，． (1)如图，求的度数． (2)将直角三角尺绕点以度/秒的速度顺时针旋转一周，同时射线绕点以度/秒的速度先顺时针旋转到与射线重合，再绕点以相同的速度逆时针旋转，随直角三角尺的停止而停止，记旋转时间为秒． ①如图，当直角三角尺旋转到直线上方，且平分时，求的度数． ②探究：在旋转过程中，当时，求的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平角的性质、角的和差运算以及动态几何中的分类讨论思想，熟练掌握角的和差关系、根据旋转位置进行分类讨论并建立方程是解题的关键． （）利用平角为的性质，结合已知、，通过角度和差关系直接计算的度数． （2）①先根据角平分线的定义，由平分且，得出；再结合旋转中角度的动态变化关系，建立关于时间的方程，进而求出的度数．②根据三角尺的旋转位置分三种情况讨论：当未与重合时，结合的关系表示出，再由列方程求解．当与重合后、未到下方时，分析角度关系列出方程，检验解是否符合区间范围．当在下方时，用含的式子表示和，再根据角度倍数关系列方程求解，最终综合所有情况得到的值． 【详解】（1）解：， ； （2）解：①如图2， 平分，， ， 当旋转时间为秒时，， 则，解得， ， ②（）当顺时针旋转未与重合，即当时，如图 ， 由，得， 解得； （）当与重合后开始逆时针旋转，即当时，如图， ， 则， 由，得， 解得，此情况不符合题意，舍去， （）当在下方，即当时，如图， ， 由，得， 解得， 综上所述，或． 7．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）元旦期间，吴兴区某校七年级同学在观看太湖古镇灯光秀表演后，以“灯光里的数学美”为主题展开项目式学习．同学们类比角平分线的定义，给出角的倍分角线的定义，在探究中感受数学之美． 新定义：如果的内部有一条射线将分成两个角，其中是所分角中较小角的倍，那么我们称射线为的倍分角线．如图1，若，则射线为的3倍分角线． 【特例感知】 (1)若， ①射线为的2倍分角线，则________； ②射线为的3倍分角线，则________； 【类比探究】 (2)如图2，点，，在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若射线，分别为和的4倍分角线（，），当时，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，若射线从射线处绕点顺时针旋转，速度为度/秒，同时射线从射线处绕点顺时针旋转，速度为度/秒．在旋转的过程中，当射线是的倍分角线时（），恰好射线也是的倍分角线（），请直接写出与的数量关系________． 【答案】(1) 或 (2) (3) 【分析】（1）根据定义，计算即可求解； （2）设，则，根据“4倍分角线”，可求出和， 再根据，列出方程，求解即可； （3）设旋转时间为秒，则，，则根据“倍分角线”，可得，，从而，同理可得，进而得到，整理可得． 【详解】（1）解：①射线为的2倍分角线，， ，即； 故答案为：； ②射线为的3倍分角线，， 当，即； 当，即， ， 故答案为：或； （2）解：设， 点，，在同一条直线上， ，即， 射线，分别为和的4倍分角线（，）， ，， 则， ，， ，即，解得， ； （3）由（2）可知，，，，， 设旋转时间为秒，则，， 射线是的倍分角线时（）， ， ， ， 射线也是的倍分角线（）， ， ， ，即， ， ． 【点睛】本题考查角的运算，角的倍分角线的定义，动角问题，正确掌握角的运算和角的倍分角线的定义是解题的关键． 8．（25-26七年级上·天津河北·期末）（1）如图1，，，，在内部，在外部，平分，平分． ①直接写出的大小是_____，的大小是_____； ②直接写出的值是_____； （2）如图2，，，在内部，在外部，平分，平分，问（1）中的②结论是否仍然成立，请说明理由； （3）如图3，，，在绕着点旋转一周的过程中，平分，平分，当时，直接写出的大小． 【答案】（1）①，；②； （2）（1）中的②结论仍然成立，理由如下： 设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故（1）中的②结论仍然成立； （3）或或 【分析】（1）①先求出，再由角平分线的定义可得，求出，再由角平分线的定义可得，最后再由计算即可得出结果；②根据①中得出的结果，计算即可； （2）设，由角平分线的定义可得，再求出，即可得出结果； （3）分三种情况，分别画出图形，根据角平分线的定义，结合图形，列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：（1）①∵，， ∴， ∵平分， ∴； ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②∵，， ∴； 故答案为：①，；②． （2）略 （3）情况一：如图， 设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 情况二：如图， ， 设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 情况三：如图： ， 设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 综上所述，的大小为或或． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、几何图中角度的计算、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $