2.2直线的方程 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本练习通过基础选择、概念辨析、综合计算与应用解答的分层设计，覆盖直线方程多种形式及综合应用，强化从单一公式到复杂问题的解决路径，适配新授课知识巩固与能力提升，体现数学思维的推理与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|直线方程基本形式（点斜式、斜截式等）|单选题直接考查公式应用（如第1题由倾斜角求方程）| |概念深化|直线方程概念辨析、平行条件|多选题辨析易错点（如第8题直线方程表示范围）| |综合应用|三角形中直线方程（中线、垂直平分线等）|解答题结合几何情境（如第11题求多种直线方程）|

《直线的方程》同步练习 一、单选题 1．经过点（2，﹣1），且倾斜角是150°的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【分析】由及直线的点斜式方程求解即可． 【解答】解：由经过点（2，﹣1），且倾斜角是150°， 可得，所以． 故选：D． 【点评】本题考查直线的点斜式方程，是基础题． 2．若直线l经过点（3，5），倾斜角为135°，则（　　） A．l的一般式方程为x﹣y+2＝0 B．l的斜截式方程为y＝﹣x+8 C．l的点斜式方程为y+5＝﹣（x+3） D．l的截距式方程为 【分析】结合直线方程的各种形式检验各选项即可求解． 【解答】解：若直线l经过点（3，5），倾斜角为135°，即斜率为﹣1， 则直线的点斜式方程为y﹣5＝﹣（x﹣3），C错误； 化简为y＝﹣x+8，即x+y﹣8＝0，B正确，A错误； 截距式为1，D错误． 故选：B． 【点评】本题主要考查了直线方程的求解，属于基础题． 3．过点P（2，3）并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（　　） A．2x﹣3y＝0 B．3x﹣2y＝0或x+y﹣5＝0 C．x+y﹣5＝0 D．2x﹣3y＝0或x+y﹣5＝0 【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为x+y＝a，把已知点坐标代入即可求出a的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y＝kx，把已知点的坐标代入即可求出k的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程． 【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y＝a， 把（2，3）代入所设的方程得：a＝5，则所求直线的方程为x+y＝5即x+y﹣5＝0； ②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y＝kx， 把（2，3）代入所求的方程得：k，则所求直线的方程为yx即3x﹣2y＝0． 综上，所求直线的方程为：3x﹣2y＝0或x+y﹣5＝0． 故选：B． 【点评】此题考查学生会根据条件设出直线的截距式方程和点斜式方程，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题． 4．过点P（2，3），且与x轴的正半轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于12的直线的方程是（　　） A．3x﹣2y+12＝0 B．3x+2y﹣12＝0 C．2x+3y﹣13＝0 D．2x﹣3y+13＝0 【分析】设出直线l的截距式方程，再根据条件，列出方程组，即可求解． 【解答】解：由题意，可设直线l的方程为1（a＞0，b＞0）， ∵直线l过点P（2，3）， ∴1①， ∵直线l与x轴，y轴正半轴围成的三角形的面积等于6， ∴ab＝12②， 联立①②，解得a＝4，b＝6， 故l的方程为1，即3x+2y﹣12＝0． 故选：B． 【点评】本题主要考查直线的截距式方程，属于基础题． 5．直线l：kx﹣y+1＝2k，当k变动时，则直线l恒过定点坐标为（　　） A．（0，0） B．（2，1） C．（1，2） D．（0，1） 【分析】将直线l的方程化简为y﹣1＝k（x﹣2），运用直线的点斜式方程进行求解，即可得到本题的答案． 【解答】解：根据题意，直线l的方程可化为y﹣1＝k（x﹣2）， 所以直线l表示经过点（2，1），斜率为k的直线， 可知直线l必定经过定点（2，1），B项符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查直线的点斜式方程及其应用，考查了概念的理解力，属于基础题． 6．已知直线l1：（2a+1）x+ay+1＝0，l2：（a+2）x+ay+2＝0，则“a＝1”是“l1∥l2”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】先求两直线平行时a的取值，再判断a＝1和a＝0时两直线是否平行，从而确定条件类型． 【解答】解：由题意直线l1：（2a+1）x+ay+1＝0，l2：（a+2）x+ay+2＝0， 直线l1，l2平行或重合的充要条件是（2a+1）a＝（a+2）a，所以a＝0或a＝1． 将a＝1代入直线l1，l2的方程，得l1：3x+y+1＝0，l2：3x+y+2＝0，易知l1∥l2； 将a＝0代入直线l1，l2的方程，得l1：x+1＝0，l2：2x+2＝0，直线l1，l2重合，故a＝0舍去． 综上所述，“a＝1”是“l1∥l2”的充要条件． 故选：C． 【点评】本题考查了两直线平行，充要条件的判断，是基础题． 二、多选题 7．下列说法正确的有（　　） A．若直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，则（k，b）在第二象限 B．直线kx﹣y﹣2k+3＝0必过定点 C．过点（2，﹣1），且斜率为的直线的点斜式方程为y+1（x﹣2） D．斜率为﹣2，且在y轴上的截距为3的直线方程为y＝﹣2x±3 【分析】利用直线的斜截式方程可判断选项A，D，由直线的点斜式方程可判断选项B，C． 【解答】解：因为直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，所以k＜0且b＞0， 则（k，b）在第二象限，故选项A正确； 直线kx﹣y﹣2k+3＝0可变形为y﹣3＝k（x﹣2）， 所以直线必过定点（2，3），故选项B正确； 过点（2，﹣1），且斜率为的直线的点斜式方程为y+1（x﹣2），故选项C正确； 斜率为﹣2，且在y轴上的截距为3的直线方程为y＝﹣2x+3，故选项D错误． 故选：ABC． 【点评】本题考查了直线方程的斜截式以及点斜式，考查了逻辑推理能力，属于基础题． 8．在下列四个命题中，不正确的是（　　） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率越大 B．过点P（x0，y0）的直线方程都可以表示为：y﹣y0＝k（x﹣x0） C．经过两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线方程都可以表示为：（y﹣y1）（x2﹣x1）＝（x﹣x1）（y2﹣y1） D．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系，以及点斜式、两点式、截距式方程的适用范围，对每个选项进行逐一分析，即可做出判断． 【解答】解：对于选项A，当直线的倾斜角时，倾斜角越大，斜率越大；当时，斜率不存在；当时，倾斜角越大，斜率越大且斜率小于零；故选项A不正确； 对于选项B，当直线斜率不存在时，不可以用y﹣y0＝k（x﹣x0）表示，故选项B不正确； 对于选项C，经过两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线， 当斜率等于零时，y1＝y2，x1≠x2，方程为y＝y1，能用方程（y﹣y1）（x2﹣x1）＝（x﹣x1）（y2﹣y1）表示； 当直线的斜率不存在时，y1≠y2，x1＝x2，方程为x＝x1，能用方程（y﹣y1）（x2﹣x1）＝（x﹣x1）（y2﹣y1）表示；故选项C正确； 对于选项D，经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0或x﹣y＝0，故选项D不正确． 故选：ABD． 【点评】本题主要考查直线方程、直线的倾斜角，属于基础题． 三、填空题 9．已知△ABC的顶点A为（3，﹣1），AB边上的中线所在直线方程为6x+10y﹣59＝0，∠B的平分线所在直线方程为x﹣4y+10＝0，则BC边所在直线的方程为：　2x+9y﹣65＝0　 ． 【分析】设点B坐标为（m，n），根据点B在直线x﹣4y+10＝0上建立关于m、n的方程，解出n（m+10），得到B的坐标关于m的形式，代入AB中线方程算出B的坐标为（10，5）．再利用直线的到角公式，算出BC的斜率，利用直线方程的点斜式列式，化简即可得到BC边所在直线的方程． 【解答】解：设点B坐标为（m，n）， ∵B在∠B的平分线BD所在直线上，∴n（m+10） 解得：B（m，（m+10）） 从而AB中点（（m+3），（m+6）） ∵AB的中点在中线 6x+10y﹣59＝0 上 ∴3（m+3）（m+6）﹣59＝0，解之得m＝10 由此可得：B的坐标为（10，5） ∴AB斜率kAB 由， 得，解之得kBC ∴直线BC方程的方程为：y﹣5（x﹣10），化简得2x+9y﹣65＝0． 【点评】本题给出三角形的一个顶点坐标，在已知一条角平分线和中线的情况下求直线BC的方程．着重考查了直线的基本量与基本形式和直线的位置关系等知识，属于中档题． 10．在直线l：2x﹣y+1＝0上有一点P，点A（﹣3，0），B（1，4），则|PA|+|PB|的最小值是　6　 ． 【分析】根据题意，求出点A关于直线2x﹣y+1＝0的对称点，结合轴对称的性质、两点之间的距离公式求解，即可得到本题的答案． 【解答】解：设A点关于直线2x﹣y+1＝0的对称点为A1（m，n），连接PA1， 可得|PA|+|PB|＝|PA1|+|PB|≥|A1B|，当且仅当A1、P、B三点共线时，等号成立． 由轴对称的性质，可得，解得， 故A1（1，﹣2），可得直线A1B：x＝1， 所以|A1B|＝4﹣（﹣2）＝6，即|PA|+|PB|的最小值为6． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了轴对称的性质、两条直线垂直的条件等知识，属于基础题． 四、解答题 11．已知△ABC的三个顶点分别为A（0，4），B（﹣2，6），C（﹣8，0），求： （1）边AB和AC所在直线的方程； （2）AC边上的中线所在直线的方程； （3）AC边上的垂直平分线的方程； （4）AC边上的高所在直线的方程． 【分析】（1）解法1：利用两点式和截距式将点坐标代入即可求解；解法2：先利用斜率公式求出直线斜率，再利用点斜式求解即可； （2）先利用中点坐标公式求出D点坐标，再利用两点式或利用斜率公式和点斜式求解即可； （3）由垂直平分线的定义，利用斜率公式和点斜式求解即可； （4）由高的定义求得高所在直线的斜率，利用点斜式求解即可． 【解答】解：（1）解法1：由题意△ABC的三个顶点分别为A（0，4），B（﹣2，6），C（﹣8，0）， 由两点式得边AB所在直线方程为，即x+y﹣4＝0． 由截距式得边AC所在直线方程为，即x﹣2y+8＝0； 解法2：由题意△ABC的三个顶点分别为A（0，4），B（﹣2，6），C（﹣8，0）， 可得，所以边AB所在直线方程为y＝﹣x+4，即x+y﹣4＝0． 因为，所以边AC所在直线方程为，即x﹣2y+8＝0； （2）解法1：设AC的中点为D（x，y），由中点坐标公式可得D（﹣4，2）， 由两点式得BD所在直线方程为，即2x﹣y+10＝0． 解法2：设AC的中点为D（x，y），由中点坐标公式可得D（﹣4，2）， 则， 所以BD所在直线方程为y﹣6＝2（x+2），即2x﹣y+10＝0； （3）因为，AC的中点D（﹣4，2）， 所以AC边上的垂直平分线方程为y﹣2＝﹣2（x+4），即2x+y+6＝0； （4）因为，B（﹣2，6）， 所以AC边上的高所在直线方程为y﹣6＝﹣2（x+2），即2x+y﹣2＝0． 【点评】本题考查了直线的方程，是基础题． 12．在△ABC中，顶点A的坐标为（3，3），∠C的平分线所在直线的方程为l1：2x﹣y+1＝0，且边AC上的中线所在直线的方程为l2：5x+y﹣6＝0． （1）求点C的坐标； （2）求边BC所在直线的一般式方程． 【分析】（1）设点C（m，2m+1），可得线段AC的中点D的坐标，再把点D的坐标代入边AC上中线方程，求得m的值，可得结论． （2）由题意利用角平分线的性质，以及一条直线到另一条直线的角的公式，求得BC的斜率，用点斜式求出BC的方程． 【解答】解：（1）△ABC中，已知点A（3，3），∠C平分线方程为：2x﹣y+1＝0， 可设点C（m，2m+1），故线段AC的中点D（，m+2）， ∵边AC上中线方程为：5x+y﹣6＝0， ∴5（m+2）﹣6＝0，求得m＝﹣1，故点C（﹣1，﹣1）． （2）设直线BC的斜率为k，则由题意可得， 直线AC到∠C平分线的角，等于∠C平分线到直线BC的角， ∵直线AC的斜率为1，∠C平分线的斜率为2， ∴，求得k＝7， 故直线BC的方程为 y+1＝7×（x+1），即 7x﹣y+6＝0． 【点评】本题主要考查用待定系数法、用点斜式求直线的方程，角平分线的性质，属于中档题． 学科网（北京）股份有限公司 $ 《直线的方程》同步练习 一、单选题 1．经过点（2，﹣1），且倾斜角是150°的直线方程是（　　） A． B． C． D． 2．若直线l经过点（3，5），倾斜角为135°，则（　　） A．l的一般式方程为x﹣y+2＝0 B．l的斜截式方程为y＝﹣x+8 C．l的点斜式方程为y+5＝﹣（x+3） D．l的截距式方程为 3．过点P（2，3）并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（　　） A．2x﹣3y＝0 B．3x﹣2y＝0或x+y﹣5＝0 C．x+y﹣5＝0 D．2x﹣3y＝0或x+y﹣5＝0 4．过点P（2，3），且与x轴的正半轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于12的直线的方程是（　　） A．3x﹣2y+12＝0 B．3x+2y﹣12＝0 C．2x+3y﹣13＝0 D．2x﹣3y+13＝0 5．直线l：kx﹣y+1＝2k，当k变动时，则直线l恒过定点坐标为（　　） A．（0，0） B．（2，1） C．（1，2） D．（0，1） 6．已知直线l1：（2a+1）x+ay+1＝0，l2：（a+2）x+ay+2＝0，则“a＝1”是“l1∥l2”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 7．下列说法正确的有（　　） A．若直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，则（k，b）在第二象限 B．直线kx﹣y﹣2k+3＝0必过定点 C．过点（2，﹣1），且斜率为的直线的点斜式方程为y+1（x﹣2） D．斜率为﹣2，且在y轴上的截距为3的直线方程为y＝﹣2x±3 8．在下列四个命题中，不正确的是（　　） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率越大 B．过点P（x0，y0）的直线方程都可以表示为：y﹣y0＝k（x﹣x0） C．经过两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线方程都可以表示为：（y﹣y1）（x2﹣x1）＝（x﹣x1）（y2﹣y1） D．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0 三、填空题 9．已知△ABC的顶点A为（3，﹣1），AB边上的中线所在直线方程为6x+10y﹣59＝0，∠B的平分线所在直线方程为x﹣4y+10＝0，则BC边所在直线的方程为：　 　 ． 10． 在直线l：2x﹣y+1＝0上有一点P，点A（﹣3，0），B（1，4），则|PA|+|PB|的最小值是　 　 ． 四、解答题 11．已知△ABC的三个顶点分别为A（0，4），B（﹣2，6），C（﹣8，0），求： （1）边AB和AC所在直线的方程； （2）AC边上的中线所在直线的方程； （3）AC边上的垂直平分线的方程； （4）AC边上的高所在直线的方程． 12．在△ABC中，顶点A的坐标为（3，3），∠C的平分线所在直线的方程为l1：2x﹣y+1＝0，且边AC上的中线所在直线的方程为l2：5x+y﹣6＝0． （1）求点C的坐标； （2）求边BC所在直线的一般式方程． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $