5.1.1任意角课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“任意角”核心内容，涵盖定义、分类、象限角、终边相同的角等知识点。课堂从初中静态角定义切入，通过前空翻540度、钟表校准等生活实例引出超范围角，搭建新旧知识过渡支架。 其亮点在于以表格梳理概念、实例归纳规律，如用-30°、330°等角归纳终边相同角的集合表示，培养数学眼光与思维。方法总结环节结构化呈现解题步骤，助力学生形成系统认知，教师可借助此资料提升教学效率，学生能通过直观实例理解抽象概念。

第五章 三角函数 5.1 任意角和弧度制 课时1 任意角 1 “前空翻转体 540 度” “后空翻转体 720 度” OA绕点O旋转所成的角与O'B 绕点O'旋转所成的角就会有不同的方向. 钟表慢了 2 小时，校准后分针转过的角度 复习引入：初中所学的角是如何定义？角的范围是什么？ 现实生活中，随处可见超出范围的角。如： （静态定义）平面内有公共端点的两条射线组成的图形叫做角， 范围为0°～360°. 返回至目录 1.任意角的定义、图示、记法 有关概念 描述 定义 角可以看成平面内__________绕着______从一个位置旋转到另一个位置 所形成的______ 图示 ____________________________________ 其中为______,为______, 为______ 记法 角 或 ,或简记为 一条射线 端点 图形 顶点 始边 终边 返回至目录 3 2.角的分类 逆时针 顺时针 没有 注意：1.零角的始边和终边重合，但始边和终边重合的角未必都是零角，如360度角、720度角等。 2.正常情况下，钟表的指针走动时形成的都是负角；调整时间逆时针回拨时才会出现正角。 任意角 正角 按 方向旋转 负角 零角 相等角 相反角 按______方向旋转 不做任何旋转 旋转方向相同，旋转量相等 旋转方向相反，旋转量相等 3、相等角与相反角 逆时针 顺时针 返回至目录 4 练习1：:分别作出750°、210°、-150°、-660°. 返回至目录 新知生成 1.象限角：在直角坐标系中讨论角，使角的顶点与_______重合，角的始边与____轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就把这个角叫作第几象限角. 2.轴线角：使角的顶点与原点重合，角的始边与 <m></m> 轴的非负半轴重合,角的终边在坐标轴上. 原点 <m></m> 角的终边可能落在哪些位置？ 思考：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合. 4、象限角与轴线角 返回至目录 6 课本P171 练习2.已知角的顶点与原点重合, 角的始边与x轴的非负半轴重合, 请作出下列各角，并指出它们各是哪个象限的角？ (1)420º, (2)－75º, (3)855º, (4) －510º. 返回至目录 7 练习2.已知角的顶点与原点重合, 角的始边与x轴的非负半轴重合, 请作出下列各角，并指出它们各是哪个象限的角？ (1)420º, (2)－75º, (3)855º, (4) －510º. 第一象限角 420º -75º 第四象限角 855º 第二象限角 -510º 第三象限角 解: 角的加减法 角的加法： 设是任意两个角．我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是． 角的减法 α - β = α + (-β) 练习3．求下列各式的值，并作图说明运算的几何意义 （1）90°+(60°) （2）60°180° 60° 90° x O x O 60° 180° 解：(1)90°+(60°)=30° (2)60°180°=120° 巩固训练 例1 若射线绕端点逆时针旋转 到达的位置,由顺时针旋转 到达 的位置,则 ( ) . B A. B. C. D. 返回至目录 11 . 巩固训练1 若手表时针走过4小时,则时针转过的角度为( ) . B A. B. C. D. [解析] 由于时针是顺时针旋转,故时针转过的角度为负数,即为 . 返回至目录 12 探究新知 4.终边相同的角 练习2：在同一个直角坐标系中画出-30°,330°,-390° 330°=-30°+360° -390°=-30°+（-1）×360° －32° -390° x y o 330° ｛β︱β= -30°＋ k·360°,k∈Z｝ 归纳: 与 -30°角终边相同的角 相差360°的整数倍 返回至目录 13 所有与角 终边相同的角,连同角 在内,可构成一个集合 ,},即任一与角 终边相同的角,都可以表示成角 与整 数个周角的和. 特别提醒:对终边相同的角的理解. （1） 为任意角,“ ”这一条件不能漏. （2） 与 中间用“”连接, 可理解成 . （3）当角的始边相同时,相等的角的终边一定相同,而终边相同的角不一定相等.终 边相同的角有无数个,它们相差 的整数倍.若终边不同,则表示的角一定不同. 返回至目录 14 一、求与已知角终边相同的角 例2 在与 角终边相同的角中，求满足下列条件的角. （1）最大的负角； （2）最小的正角； （3） 内的角. 返回至目录 15 [解析] 与 角终边相同的角的一般形式为 . （1）由 ，得 ，解得 ，故所求的最大负角为 . （2）由 ，得 ，解得 ，故所求的最小正角为 . （3）由 ，得 ，解得 ，故所求的角为 . 返回至目录 16 练习4.在范围中，找出与下列各角终边相同的角。 （1）—54（2）395（3）—1190 返回至目录 4.在范围中，找出与下列各角终边相同的角。 （1）—54（2）395（3）—1190 解.(1)—54=—54.3 (2)395= (3)—1190= 返回至目录 轴线角集合 终边落在x轴非负半轴上 _________________________ 终边落在x轴非正半轴上 _______________________________ 终边落在y轴非负半轴上 _____________________________ 终边落在y轴非正半轴上 _______________________________ 终边落在x轴上 _______________________ 终边落在y轴上 ____________________________ 终边落在坐标轴上 _______________________ ｛α|α=k·360°，k∈Z｝ ｛α|α=180°+k·360°，k∈Z｝ ｛α|α=90°+k·360°，k∈Z｝ ｛α|α=270°+k·360°，k∈Z｝ ｛α|α=k·180°，k∈Z｝ ｛α|α=90°+k·180°，k∈Z｝ ｛α|α=k·90°，k∈Z｝ 完成下表. 巩固训练1 若角 与 角的终边相同,则 ( ) . B A. , B. , C. , D. , [解析] 因为角 与 角的终边相同,所以, ,解得 , .故选B. 返回至目录 20 终边落在第一象限 _________________________ 终边落在第二象限 _______________________________ 终边落在第三象限 _____________________________ 终边落在第四象限 _______________________________ ｛α|k·360°<α<k·360°+90°，k∈Z｝ ｛α|k·360°+90°<α<k·360°+180°，k∈Z｝ ｛α|k·360°+180°<α<k·360°+270°，k∈Z｝ ｛α|k·360°+270°<α<k·360°+360°，k∈Z｝ 象限角集合 返回至目录 方法总结 1.求终边落在直线上的角的集合的步骤 （1）写出在 范围内相应的角. （2）由终边相同的角的表示方法写出角的集合. （3）根据条件能合并一定合并,使结果简洁. 2.终边相同的角常用的三个结论 （1）终边相同的角之间相差 的整数倍. （2）终边在同一直线上的角之间相差 的整数倍. （3）终边在相互垂直的两条直线上的角之间相差 的整数倍. 返回至目录 22 二、求终边在给定直线上的角的集合 例3 写出终边在直线 上的角的集合. 返回至目录 23 二、求终边在给定直线上的角的集合 例3 写出终边在直线 上的角的集合. [解析] 终边在射线上的角的集合是 ， }； 终边在射线上的角的集合是 ， }. 因此，终边在直线上的角的集合是 ， ， ， 即 ， ， ， }. 故终边在直线上的角的集合是 ， }. 返回至目录 24 一、象限角 例4（1） 已知 是第二象限角,则 是( ) . A A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 返回至目录 25 方法总结 1.给定一个角,判断它是第几象限角的思路 判断角 是第几象限角的常用方法为将 写成 （其中, 在 范围内）的形式,观察角 的终边所在的象限即可. 2.已知 所在象限，确定 或 所在象限的思路 （1）先用不等式表示 的范围，再确定 或 的范围，最后判断角所在象限； （2）数形结合法，等分象限，确定角所在象限. 返回至目录 26 巩固训练1 已知 是锐角,那么 是( ) . A.第一象限角 B.第二象限角 C.小于 的正角 D.第一或第二象限角 C 返回至目录 二、区域角 例5 已知角 的终边在图中阴影部分内,试写出角 的取值范围. 返回至目录 28 方法总结 表示区域角的三个步骤 第一步:先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界; 第二步:分别标出起始和终止边界对应的 范围内的角 和 ,写出最 简区间 ; 第三步:起始、终止边界对应角 , 再加上 的整数倍,即得区域角的集合. 返回至目录 29 巩固训练2 如图所示,写出顶点在原点,始边与 轴的非负半轴重合,终边落在阴影部分的 角的集合. （1） （2） 返回至目录 30 [解析] 如题图（1）所示,以为终边的角有 角,可看成是 , 以,为终边的角的集合分别是 , , , }, 终边落在阴影部分的角的集合为 , }. 如题图（2）所示,以为终边的角有 角,可看成是 , 终边落在阴影部分的角的集合为 , }. 返回至目录 31 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1） 小于 的角都是锐角.( ) × （2） 终边与始边重合的角为零角.( ) × （3） 第二象限角是钝角.( ) × （4） 是第三象限角.( ) √ 2.下列说法正确的是( ) . D A.最大的角是 B.最大的角是 C.角不可以是负的 D.角可以是任意大小 返回至目录 32 3.与 角终边相同的角表示为( ) . B A. , B. , C. , D. , 4.在与 角终边相同的角的集合中,最小的正角是______,最大的负角是_______. [解析] 与 角终边相同的角的集合为 ,},当 时, 取得最小的正角,为 ;当时,取得最大的负角,为 . 返回至目录 33 1. 是( ) . B A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 2.已知集合 为锐角, 为小于 的角, 为第一象限角 , 为小于 的正角},则下列等式成立的是( ) . D A. B. C. D. 返回至目录 34 3.把 化为的形式:___________________ 返回至目录 35 4.如图所示，（1）写出终边落在射线， 上的角的集合； （2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合. [解析] （1）终边落在射线上的角的集合是 ， }. 终边落在射线上的角的集合是 ， }. （2）终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是 ， }. 返回至目录 36 $