大单元复习02 一元二次函数、方程和不等式讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学讲义以“知识梳理+考点分类”构建一元二次函数、方程和不等式的系统体系，通过表格呈现不等式性质（如对称性、传递性等7条性质对比）、二次函数与方程不等式关系（Δ>0/=0/<0时图象、根、解集对应表），用框架图串联从不等关系到综合应用的知识脉络，突出三者内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“热考题型分层设计”，单选夯实基础（如比较大小）、多选强化辨析（如不等式性质判断）、解答提升综合能力（如动轴定区间最值问题），结合基本不等式“一正二定三相等”方法指导，培养数学思维的推理与运算能力，支持学生自主复习查漏补缺，助力教师实施精准化分层教学。

大单元复习02 一元二次函数、方程和不等式（新高考人教A版专用） 目录 【知识梳理】 2 【热考题型】 2 【考点1】不等式的性质（比较大小，性质判断） 4 【考点2】一元二次不等式解法 6 【考点3】基本不等式（均值不等式） 7 【考点4】二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者关系 8 【考点5】二次函数在闭区间上的最值（动轴定区间、定轴动区间） 10 【考点6】恒成立问题（一元二次不等式恒成立） 11 【考点7】二次函数图象 13 知识梳理 一、不等关系与不等式 (1)在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，常用不等式来研究含有不等关系的问题. (2)用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示不等关系.“a≠b”应包含“a>b”或“a<b”. 常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号 语言 > < ≥ ≤ 二、两个实数的大小关系 两个实数大小的基本事实 依据 a>b⇔a－b>0 a＝b⇔a－b＝0 a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 三、不等式：∀a，b∈R，a2＋b2≥2ab 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立. 四、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 五、基本不等式 (1)基本不等式：如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立. (2)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 六、最值问题 已知x，y都为正数，则： (1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值S2，简记为：积定和最小，和定积最大. 七、满足三个条件：一正、二定、三相等，所谓“正”是指各项或各因式为正值，所谓“定”是指和或积为定值，所谓“相等”是指各项或各因式能相等，即等号能取到. 八、一元二次不等式 (1)一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. (2)一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. (3)一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点. 九、二次函数与一元二次不等式(方程)的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2}   十、简单的分式不等式的解法 十一、一元二次不等式恒成立问题 (1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔a>0且Δ<0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是a<0且Δ<0. (2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题. 热考题型 【考点1】不等式的性质（比较大小，性质判断） 一、单选题 1．设，且，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 3．设，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 二、多选题 4．已知为实数，下列命题中一定成立的是（   ） A．若，则   B．若，则   C．若 且  ，则   D．若，则   5．若，，则（   ） A． B． C． D． 6．(多选)下列命题正确的有(　　) A．若，则 B．若，则 C．对任意实数，都有 D．若，则 三、填空题 7．设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 8．下列不等式中成立的是________． ①若，则； ②若，则； ③若，，则； ④若，则． 9．设，，则p与的大小为　________　． 四、解答题 10．（1）比较与的大小； （2）已知，，求证：. 11．（1）若，，，试证：； （2）设、均为正实数，试比较和的大小； （3）实数，满足，，求的取值范围； 12．（1）已知，，，，比较p与q的大小，并说明理由； （2）已知，，比较与的大小，并说明理由． 【考点2】一元二次不等式解法 一、单选题 1．不等式的解集是（ ） A． B．或 C．或 D． 2．已知集合，集合．若，则实数的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 3．设，使得不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 5．若集合中仅有两个不同元素，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 6．若关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D．关于的不等式的解集为或 三、填空题 7．已知，，若，则实数的取值范围为________． 8．存在，使不等式成立.则实数的取值范围是____________． 9．不等式 的解集为__________． 四、解答题 10．解关于x的不等式. 11．（1）解不等式 ． （2）求关于x的不等式 的解集，其中a是常数． 12．已知函数. (1)若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围； (2)当时，解关于的不等式. 【考点3】基本不等式（均值不等式） 一、单选题 1．下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．已知正实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 3．已知正数a，b满足，的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．已知，，且，则（ ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为3 5．下列说法正确的有（    ） A．的最小值为 B．已知，则的最小值为 C．若正数、为实数，若，则的最大值为 D．设、为实数，若，则的最大值 6．已知，下列结论正确的是（   ） A．若，则的最小值为 B．若，则的最大值为 C．若，则的最小值为 D．若，则的最大值为 三、填空题 7．设，为正数，则，，，的大小关系是_________． 8．已知a为正数，比较大小：______4. 9．已知，且，则的最大值为________． 四、解答题 10．（1）若，求函数的最小值，并求此时的值； （2）设，求函数的最大值； （3）已知，求的最小值． 11．求最值 (1)已知正实数满足，求的最小值． (2)已知，求的最小值． (3)已知，求的最小值． 12．，求证：.（已知） 【考点4】二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者关系 一、单选题 1．若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（ ） A． B． C．1或-1 D．4 2．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 3．已知关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．已知关于的不等式的解集为. 则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式 的解集是 5．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 6．(多选)在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数可以为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 8．若不等式解集为，则不等式的解集为______． 9．若关于的不等式的非空解集为，则________． 四、解答题 10．已知关于的不等式． (1)当时，求此不等式的解集； (2)若该不等式的解集为，求的值； (3)若该不等式对于恒成立，求的取值范围． 11．已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求不等式的解集； (2)若，，不等式的解集为，求的值； (3)若恒成立且时，求的最小值． 12．已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 【考点5】二次函数在闭区间上的最值（动轴定区间、定轴动区间） 一、单选题 1．下列说法不正确的有（    ） A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围 2．不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．已知命题 命题 若和都是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 二、多选题 4．已知二次函数，满足则下列正确的是（   ） A． B．不等式的解集为 C．若在上的值域为，则 D．若在上恒成立，则实数的取值范围为 5．关于的不等式的解集为，关于的不等式的解集为或.则下列说法正确的是（    ） A． B．的解集为或 C．的解集为 D．若不等式对恒成立，则的取值范围为 6．下列说法正确的有（   ） A．，，若是的充分条件，则. B．是命题，成立的一个充分不必要条件. C．“”是“”的必要不充分条件. D．“关于的不等式对任意恒成立”的充要条件“”. 三、填空题 7．已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 __． 8．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是_______. 9．若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 四、解答题 10．设命题 对，不等式恒成立；命题，使得不等式成立． (1)若为真命题，求实数 的取值范围； (2)若命题，至少有一个是真命题，求实数的取值范围． 11．已知a为实数，函数． (1)若对任意，恒成立，求a的取值范围； (2)若对任意，总存在，使得成立，求a的取值范围． 12．设函数， (1)若命题：是假命题，求的取值范围； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【考点6】恒成立问题（一元二次不等式恒成立） 一、单选题 1．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 2．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 3．已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．下列命题正确的是（    ） A．若且，则 B．“”是“”的充要条件 C．若，则的最小值是5 D．不等式对一切实数恒成立，则 5．下列各结论中正确的是（ ） A．“”是“”的充要条件 B．函数的最小值为2 C．“”是“”的必要不充分条件 D．是假命题，则实数a的取值范围是或 6．下列命题正确的是（   ） A．在上恒成立，则实数的取值范围是 B．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是. C．若关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是 D．“集合中只有一个元素”是“”的必要不充分条件 三、填空题 7．若不等式 对一切实数恒成立，则的取值范围__________． 8．若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是______． 9．若，则实数取值范围是________. 四、解答题 10．已知函数. (1)若的解集为，求不等式的解集； (2)若且在上恒成立，求实数的取值范围. 11．设． (1)若不等式对恒成立，求实数的取值范围； (2)若，解关于的不等式． 12．已知函数 (1)求关于的不等式的解集. (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 【考点7】二次函数图象 一、单选题 1．二次函数的图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 2．设，二次函数的图象为下列之一，则的值为（   ） A．1 B．-1 C． D．0 3．不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 4．如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论正确的为（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的一段图像如图所示，则（   ） A． B． C． D． 6．已知函数的部分图象如图所示，函数的零点为-3和1，则（    ） A． B． C． D．关于的不等式的解集为 三、填空题 7．已知二次函数，则函数图象过定点______． 8．若二次函数图象关于对称，且，则实数的取值范围是__________. 9．已知二次函数图象如图所示，则不等式的解集为_________．    四、解答题 10．已知函数. (1)求的开口方向和对称轴； (2)若对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围； 11．已知函数 . (1)已知的图像恒过两个定点，求这两点的坐标； (2)已知函数 ，当 时，求函数 的最小值. 12．已知二次函数图象经过，， (1)求二次函数解析式 (2)若二次函数的顶点为D，P为线段CD上一点，若C，D到直线AP的距离分别为，，求的最大值 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 大单元复习02 一元二次函数、方程和不等式（新高考人教A版专用） 目录 【知识梳理】 2 【热考题型】 2 【考点1】不等式的性质（比较大小，性质判断） 4 【考点2】一元二次不等式解法 11 【考点3】基本不等式（均值不等式） 16 【考点4】二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者关系 23 【考点5】二次函数在闭区间上的最值（动轴定区间、定轴动区间） 30 【考点6】恒成立问题（一元二次不等式恒成立） 38 【考点7】二次函数图象 46 知识梳理 一、不等关系与不等式 (1)在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，常用不等式来研究含有不等关系的问题. (2)用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示不等关系.“a≠b”应包含“a>b”或“a<b”. 常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号 语言 > < ≥ ≤ 二、两个实数的大小关系 两个实数大小的基本事实 依据 a>b⇔a－b>0 a＝b⇔a－b＝0 a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 三、不等式：∀a，b∈R，a2＋b2≥2ab 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立. 四、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 五、基本不等式 (1)基本不等式：如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立. (2)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 六、最值问题 已知x，y都为正数，则： (1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值S2，简记为：积定和最小，和定积最大. 七、满足三个条件：一正、二定、三相等，所谓“正”是指各项或各因式为正值，所谓“定”是指和或积为定值，所谓“相等”是指各项或各因式能相等，即等号能取到. 八、一元二次不等式 (1)一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. (2)一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. (3)一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点. 九、二次函数与一元二次不等式(方程)的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2}   十、简单的分式不等式的解法 十一、一元二次不等式恒成立问题 (1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔a>0且Δ<0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是a<0且Δ<0. (2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题. 热考题型 【考点1】不等式的性质（比较大小，性质判断） 一、单选题 1．设，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过举特例可判断选项正误；对于C，由题设结合作差法可判断选项正误；对于D，先去掉绝对值，再由作差法可判断选项正误. 【详解】对于A，取，则，故A错误； 对于B，取，则，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，， 又，则，故D正确． 2．已知，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【详解】由于， 且， 而， 则，即， 所以，即. 3．设，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于选项A，取，，，，则，，所以，此时选项A不成立； 对于选项B，取，，，，则，，所以，此时选项B不成立； 对于选项C，取，，，，则，，所以，此时选项C不成立； 对于选项D，，其中由已知得，，，故恒成立. 二、多选题 4．已知为实数，下列命题中一定成立的是（   ） A．若，则   B．若，则   C．若 且  ，则   D．若，则   【答案】ACD 【详解】已知，不等式两边同时加上同一个实数，不等式方向不变，所以，正确； 已知，当时，，错误； 已知且，不等式两边同时乘同一个负数，不等式方向改变，即，正确； 已知，对于正数，分母越大，分数越小，即，正确. 5．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】本题考查不等式的基本性质、幂函数的单调性，可通过性质推导或特值法验证选项. 【详解】选项A：由，两边同乘得， 结合，根据不等式性质：若，，则， 可得，即，所以选项A正确. 选项B：取特值，，，，则，， 此时，所以选项B错误. 选项C：已知，，设幂函数， 因为，所以幂函数在上单调递减， 根据幂函数的单调性，可得，所以选项C错误. 选项D：对进行通分：. 因为，所以，，，则. 所以，即，所以，所以选项D正确. 6．(多选)下列命题正确的有(　　) A．若，则 B．若，则 C．对任意实数，都有 D．若，则 【答案】AD 【分析】利用不等式的性质，结合作差比较法与取反例逐一判断选项即得. 【详解】对于A，由两边同除以，即得，即，故A正确； 对于B，当时，若取满足条件，但，故B错误； 对于C，因，当时，有，即，故C错误； 对于D，由可得，将不等式两边同除以，可得，故D正确. 三、填空题 7．设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 8．下列不等式中成立的是________． ①若，则； ②若，则； ③若，，则； ④若，则． 【答案】 ②③ 【分析】由作差法，不等式性质结合题设可得答案. 【详解】对于①，因，则，当且仅当时取等号； 所以，故①不成立； 对于②，因，则；故②成立； 对于③，因，则，又， 则；故③成立； 对于④，，因为，所以， 则，故④不成立. 9．设，，则p与的大小为　________　． 【答案】p≥4q 【详解】因为， ， 则 , 故,当且仅当时取等号． 四、解答题 10．（1）比较与的大小； （2）已知，，求证：. 【答案】（1）； （2）因为，所以， 又，所以，得证. 【分析】（1）利用作差法比较大小； （2）根据，得到，再由，根据不等式的性质可得，从而得证. 【详解】（1）因为 ， 所以； （2）略 11．（1）若，，，试证：； （2）设、均为正实数，试比较和的大小； （3）实数，满足，，求的取值范围； 【答案】（1） 因为，， 所以，即，所以， 因为，所以； （2） 当时，； 当时，； 当时，； （3）. 【分析】（1）根据不等式性质判断即可得证； （2）根据作差法进行比较，先对代数式作差得出；再分类讨论即可得出结果. （3）求出，再利用不等式的性质得解. 【详解】（1）略 （2）． 因为，均为正实数，所以． 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，，此时． 综上可得：当时，； 当时，； 当时，； （3）设， 所以， 所以. 由， 由， 所以，即． 12．（1）已知，，，，比较p与q的大小，并说明理由； （2）已知，，比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1），理由： 由， ， 作差得 . 因 ，，故 ，又 ， 所以 ，即 ，当且仅当 时取等号. （2），理由： 作差得 . 因 ，，故 ，，又 ， 所以 ， 即 ，当且仅当 时取等号. 【分析】利用差比较法判断两者的大小关系. 【详解】（1）略 （2）略 【考点2】一元二次不等式解法 一、单选题 1．不等式的解集是（ ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【详解】，， 即不等式的解集为. 2．已知集合，集合．若，则实数的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的定义，利用交集为空集讨论参数的取值范围． 【详解】因为； 且； 因为，故． 3．设，使得不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式，再根据不必要条件的判断方法即可确定选项. 【详解】由解得，即不等式的解集为， 而在选项中，仅有C项中的范围是的真子集，故C正确. 二、多选题 4．对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据参数的符号，以及和的大小关系分类讨论即可. 【详解】当时，，此时解集为或， 当时，，此时解集为， 当时，，此时解集为或， 当时，不等式为，此时解集为， 当时，，此时解集为， 故A 、B正确， C、D错误. 5．若集合中仅有两个不同元素，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】集合有两个不同元素，对应一元二次方程有两个不相等实数根， 即解得. ABD选项取值均满足不等式，C选项不满足. 6．若关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D．关于的不等式的解集为或 【答案】ACD 【分析】利用给定的解集，结合韦达定理可得且，再逐项求解判断. 【详解】由关于的一元二次不等式的解集为， 得，且是方程的两个不等实根，即， 对于A，，A正确； 对于B，当时，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，不等式，即， 则，解得或，D正确. 故选：ACD 三、填空题 7．已知，，若，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】利用，分和两种情况讨论即可求解. 【详解】已知集合，集合且， 当时，，解得，符合题意； 当时，即或时，此时方程的两个根需满足小于等于， 则，得，所以； 综上所述，，即实数的取值范围为． 8．存在，使不等式成立.则实数的取值范围是____________． 【答案】 【分析】应用存在性条件结合一元二次不等式计算求解. 【详解】存在，使不等式成立， 则实数，即得， 所以，所以的取值范围是 9．不等式 的解集为__________． 【答案】 【详解】原不等式可化简为，即，得， 故不等式的解集为. 四、解答题 10．解关于x的不等式. 【答案】当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【分析】根据含参一元二次不等式的解法，分类讨论最高项系数以及根的大小即可得答案. 【详解】①当时，原不等式即为，解得； ②当时，原不等式化为，解得或； ③当时，原不等式化为， 若，即，不等式无解, 若，即时，解得, 若，即时，解得. 综上可知，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 11．（1）解不等式 ． （2）求关于x的不等式 的解集，其中a是常数． 【答案】（1）或 （2）当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是. 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）分类讨论，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）方程有两个不相等的实数根，． 函数的图象如图所示，与轴有两个交点，， 由图象得不等式 的解集为或． （2）原不等式 可化为 ， 方程的根为或. 当时，不等式的解是； 当时，不等式无解； 当时，不等式的解是 综上所述，当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是. 12．已知函数. (1)若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围； (2)当时，解关于的不等式. 【答案】(1) (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【分析】（1）先考虑的情况，再考虑的情况即可； （2）先进行因式分解，然后求出对应方程的两个根，再对分类讨论求出不同情况下的不等式的解集即可. 【详解】（1）的解集是实数集，则该不等式在上恒成立. 当时，，则，解集不是实数集，故排除. 当时，要使的解集为，必须满足抛物线开口向上且与 轴最多有一个交点，即： ，，即， 解得，综合，可得，即. （2）， 不等式两边同时除以，，. 这是一个开口向上的二次不等式，解集在两根之外， 当时，即，此时解集为； 当时，即，此时解集为； 当时，即，此时解集为. 【考点3】基本不等式（均值不等式） 一、单选题 1．下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由完全平方公式的非负性可知，对任意实数,有， 展开整理得，移项后可得， 由于该不等式对全体实数都成立，故A正确，B错误； 再由不等式成立的前提是均为非负数， 若都为负数，根号内有意义且不等式显然不成立，故C错误； 若都为正数，则可得，故D错误. 2．已知正实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用“1”的代换和基本不等式判断即可． 【详解】由a，b为正实数且. 根据基本不等式，当且仅当时等号成立，故A正确； ，当且仅当时等号成立，故B错误； ，当且仅当时等号成立，故C错误； 根据算术平均值小于等于平方平均值不等式，得， 当且仅当时等号成立，即，故D错误. 3．已知正数a，b满足，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，于是， 当且仅当，即，时，等号成立. 二、多选题 4．已知，，且，则（ ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为3 【答案】AC 【分析】对于A，利用基本不等式分析判断，对于B，对平方后利用基本不等式判断；对于C，由，再结合基本不等式分析判断；对于D，利用乘“1”法及基本不等式判断. 【详解】对于A：因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故A正确； 对于B：由 ，则， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B错误； 对于C：由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于D：由 ， 当且仅当，即，时取等号， 又，所以没有最小值，故D错误. 5．下列说法正确的有（    ） A．的最小值为 B．已知，则的最小值为 C．若正数、为实数，若，则的最大值为 D．设、为实数，若，则的最大值 【答案】BD 【分析】取，利用基本不等式可判断A选项；利用基本不等式可判断B选项；由已知等式变形得出，将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可判断C选项；由基本不等式可得出关于的不等式，可求出的最大值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数无最小值，A错； 对于B选项，当时，则， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，函数的最小值为，B对； 对于C选项，因为正数、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，C错； 对于D选项，因为、为实数，且， 则， 可得，解得， 当且仅当时，即当时，取最大值，D对. 故选：BD. 6．已知，下列结论正确的是（   ） A．若，则的最小值为 B．若，则的最大值为 C．若，则的最小值为 D．若，则的最大值为 【答案】AD 【分析】条件可化为，分别在，条件下求的范围，并结合基本不等式求的最值即可. 【详解】因为，所以，故. 当时，，， 所以，，， 解得或（舍去）， 所以的最小值为，A正确，B错误. 当时，，， 所以，，， 解得（舍去）或， 所以的最大值为，D正确，C错误. 三、填空题 7．设，为正数，则，，，的大小关系是_________． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可比较, 【详解】∵， ∴， ∴， 即， ∴， 当且仅当时等号成立， ∵， 当且仅当时等号成立， 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立 故答案为： 8．已知a为正数，比较大小：______4. 【答案】 【分析】利用基本不等式，可得答案. 【详解】由，则，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 9．已知，且，则的最大值为________． 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，且，可得，且， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 四、解答题 10．（1）若，求函数的最小值，并求此时的值； （2）设，求函数的最大值； （3）已知，求的最小值． 【答案】（1）最小值4，此时；（2）；（3） 【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可． （2）通过变形构造和定的情形，结合基本不等式求解即可． （3）通过变形构造积定的情形，结合基本不等式求解即可． 【详解】（1）因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 所以函数在时取得最小值4. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 因为，所以函数的最大值为. （3）因为，所以. 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为. 11．求最值 (1)已知正实数满足，求的最小值． (2)已知，求的最小值． (3)已知，求的最小值． 【答案】(1) (2)5 (3)7 【分析】（1）根据基本不等式“1”的代换，计算即可得答案. （2）对所求进行配凑变形可得，利用基本不等式，即可得答案. （3）对所求进行变形可得，利用基本不等式，即可得答案. 【详解】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. （2）由得， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为5 （3）当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为7 12．，求证：.（已知） 【答案】由题意，， 则， 累加可得：， 除以2可得：. 当且仅当时，等号成立. 【详解】略 【考点4】二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者关系 一、单选题 1．若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（ ） A． B． C．1或-1 D．4 【答案】B 【分析】根据不等式的解集为，利用根与系数的关系，结合题意，列出方程，即可求解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，且，解得， 因为，所以，解得或（舍去）. 所以实数的值为. 2．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【详解】当，即，方程为，解得，方程有实数根，符合题意； 当，即，∵此时一元二次方程有实数根，∴，解得且； 综上，的取值范围是． 3．已知关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为的解集为，所以，方程的两个根分别为， 所以，，即，， 所以不等式为， 因为，得，解得． 二、多选题 4．已知关于的不等式的解集为. 则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式 的解集是 【答案】BC 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理逐项分析判断即可. 【详解】由题意知，（A错误），且，是方程的两根， 所以，，即，. B：可化为，因为，， 所以不等式的解集是，B正确. C：因为，所以，C正确， D：可化为， 因为，所以，解得或，故D错误. 5．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】由不等式的解集的特征可得A；利用解集可得、、间关系，即可得B；利用、、间关系，计算可得C、D. 【详解】对A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对C：，由，故，即，故C正确； 对D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 6．(多选)在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】结合题设新定义，将原不等式转化为一个含参一元二次不等式在上恒成立的问题，实施参变分离，进而转化为求最值的问题，最后求解关于的一元二次不等式即可． 【详解】由定义知，不等式等价于， 所以对任意实数恒成立，即． 因为，所以，解得． 结合选项可知实数a可以为． 三、填空题 7．已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】构造对应二次函数，结合一元二次方程根的分布特征列不等式组，求解后取交集得到的取值范围. 【详解】令二次函数，其图象开口向上. 已知方程有两个根，则， 化简得，解得或. 因为两个实根都大于，所以对称轴位于直线右侧，且处的函数值大于0. 即对称轴，即，解得. 处的函数值大于： ，解得. 因此. 8．若不等式解集为，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】先由不等式的解集可得，进而可将所求不等式化为，从而可得不等式解集. 【详解】由二次不等式 的解集为. 所以方程的两个根为，且，因此， 即，代入所求不等式 ， 得，因为，所以不等式化为， 即，解得 或 . 因此所求不等式的解集为. 9．若关于的不等式的非空解集为，则________． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系即可求解． 【详解】由不等式的非空解集为， 则二次函数开口向上，且和是一元二次方程的两个不相等的实数根， 即，且，整理得， 解得，或， 当时，，不符合题意，所以． 四、解答题 10．已知关于的不等式． (1)当时，求此不等式的解集； (2)若该不等式的解集为，求的值； (3)若该不等式对于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入，直接解不等式； （2）根据方程与不等式的关系求解； （3）利用分离参数法求解. 【详解】（1）当时，不等式为，即， 解得或，所以此不等式的解集为； （2）因为该不等式的解集为， 所以a<0,和为方程的解， 将方程化成一般式 所以，所以； （3）因为对恒成立， 所以， 又在上单调递减，所以， 所以的取值范围为. 11．已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求不等式的解集； (2)若，，不等式的解集为，求的值； (3)若恒成立且时，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系结合韦达定理求出，，代入解不等式即可求出答案； （2）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系利用韦达定理即可求出答案； （3）根据不等式恒成立得到，进而得到，利用换元法借助于基本不等式求的最小值即可求出答案. 【详解】（1）由题意得的两根为和，且， 所以，， 即，， 则不等式可化为， 即，解得， 所以不等式的解集为. （2）由题意得， 因为不等式的解集为， 所以的两根为和， 所以，， 解得. （3）对于成立， 则，得， 设，因为，所以，则， 设，此时， 当且仅当，即，即时，等号成立， 由，即时，取最小值为3． 12．已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】1）根据三个二次的关系并结合二次函数图象可得不等式组，解不等式组可得； （2）先求方程无正根的情况，即方程无实根或所有实根非正，再用补集的思想方法可得. 【详解】（1）设二次函数，开口向上且对称轴. 则， 由方程有两个实根且都大于，所以， ，解得. 因此，实数的取值范围为. （2）若方程至少有一个正根，用补集法：即方程没有正根，也等价于方程无实根或所有实根非正. 若方程无根，则，解得； 若方程所有实根非正，则，，解得. 综上，方程无根或方程所有实根非正，则或，即. 因此，根据补集思想，方程至少有一个正根，则. 所以方程至少有一个正根，实数的取值范围 【考点5】二次函数在闭区间上的最值（动轴定区间、定轴动区间） 一、单选题 1．下列说法不正确的有（    ） A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围 【答案】D 【分析】利用判别式法来判断二次不等式恒成立，可判断A，利用二次式因式分解法，即可判断B，利用分离参变量再结合基本不等式求最值来判断二次不等式恒成立，即可判断CD． 【详解】对于A，当时，恒成立， 当时，由题意可知：，解得， 综上得，k的取值范围是，故A正确； 对于B，由得， 因该不等式在上恒成立，则需使，即在上恒成立， 故得，即实数k的取值范围是，故B正确； 对于C，由题意得，对恒成立，即 ， 因（当且仅当时取等号），则得，故C正确； 对于D，由题意得，对恒成立，即 ， 因（当且仅当时取等号），可知，故D错误. 2．不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化问题为对任意恒成立，再结合基本不等式求最值即可求解. 【详解】根据题意可得对任意恒成立， 而，当且仅当时等号成立， 则，所以，则的最小值为． 3．已知命题 命题 若和都是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】命题为真：，，则，即. 命题为真：方程有实根， 化简得得，解得或. 均为真，取交集得或. 二、多选题 4．已知二次函数，满足则下列正确的是（   ） A． B．不等式的解集为 C．若在上的值域为，则 D．若在上恒成立，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【分析】根据对称性可求解析式，利用解析式可判断B、C，分离参数，求解最值可判断D. 【详解】由，可得对称轴为，所以，A正确； 因为，所以，即，解得，B错误； 由在上的值域为，可知其最小值必为，故， 其最大值必为3，而，故须满足，解，得， 综上，，C正确； 因为在上不等式恒成立，所以， 因为，当且仅当时取得最小值，故，D正确. 故选：ACD 5．关于的不等式的解集为，关于的不等式的解集为或.则下列说法正确的是（    ） A． B．的解集为或 C．的解集为 D．若不等式对恒成立，则的取值范围为 【答案】AB 【分析】对A，由已知条件可得，结合二次函数的对称性求得；对BC，由A，，，代入求解一元二次不等式；对D，令，由题意可得，运算得解. 【详解】由不等式的解集为，则，且，即， 对于A，由的对称轴，则是的两根， 所以，得，且，故A正确； 对于BC，由A知即，所以不等式变为， 又，所以，解得或，故B正确，C错误； 对于D，令，由对恒成立， 由于表示开口向上的抛物线， 所以，解得， 又，所以，故D错误. 故选：AB. 6．下列说法正确的有（   ） A．，，若是的充分条件，则. B．是命题，成立的一个充分不必要条件. C．“”是“”的必要不充分条件. D．“关于的不等式对任意恒成立”的充要条件“”. 【答案】ABD 【分析】对于A：分析可知两集合的包含关系，列不等式求解即可；对于B：根据一元二次不等式的能成立问题运算求解即可判断；对于C：举反例结合充分、必要性即可判断；对于D：根据一元二次不等式的恒成立问题运算求解即可判断. 【详解】对于A：因为，， 若是的充分条件，可知集合是集合的子集， 则，解得，故A正确； 对于B：命题，成立等价于，即得或， 因集合是集合或的真子集， 所以是命题，成立的一个充分不必要条件，故B正确； 对于C：因为，取，，则不成立，即充分性不成立； 反之若，取，，则不成立，即必要性不成立； 所以”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D：若关于的不等式对任意恒成立， 当时，对于恒成立，符合题意； 当时，满足，解得； 综上，实数的取值范围为， 即关于的不等式对任意恒成立等价于，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 7．已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 __． 【答案】 【分析】分类讨论和两种情况下的范围，最后取交集. 【详解】当时，原式即为，恒成立. 当时，由可得恒成立，即. 而，当且仅当即时取等号，所以． 综上所述， 故答案为：． 8．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【详解】该全称命题“”为假命题， 则其否定“”为真命题，即方程在上有解， 的取值范围就是函数在上的值域. ，这是开口向上，对称轴为的二次函数，. 则最小值在处取得：；最大值在端点处取得：. 因此的值域为，即. 9．若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】使用分离参数的方法，将不等式转化为的形式，只需即可. 【详解】因为，所以. 又因为，所以，所以， 设，其中，则. 设，则转化为，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以存在，使不等式成立时，只需， 故的取值范围是， 故答案为：. 四、解答题 10．设命题 对，不等式恒成立；命题，使得不等式成立． (1)若为真命题，求实数 的取值范围； (2)若命题，至少有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或． 【详解】（1）若为真命题，则对恒成立， 又， 故当时，， ，即． （2）若为假命题，由（1）知， 若为假命题，则，为真命题， 即对恒成立， ，都为假命题时，． 至少有一个是真命题时，或． 11．已知a为实数，函数． (1)若对任意，恒成立，求a的取值范围； (2)若对任意，总存在，使得成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和两种情况，再结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据一次函数和二次函数的性质，分别求出两个函数在区间上的最值，进而结合条件即可求出a的取值范围． 【详解】（1）当时，，成立， 当时，有，解得． 故a的取值范围为． （2）当时，不等式为，成立； 当时，函数的对称轴为， 当时，函数在上单调递增，在上单调递增， 由题有，解得，则； 当时，函数在上单调递减，在上单调递减， 由题有，解得，则， 综上所述，实数a的取值范围为． 12．设函数， (1)若命题：是假命题，求的取值范围； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由命题为真命题，求出实数的范围，即可求出命题为假命题时参数范围； （2）由题意对于，使有解，分离参数得在上能成立，利用基本不等式求得，即得的取值范围. 【详解】（1）若命题：是真命题，则，不等式成立， 当时，，显然不成立； 当时，函数为二次函数， 若即，则抛物线开口向上，显然符合题意； 若即，需使，解得， 综上，或. 故命题：是假命题时，； （2）存在，使得成立， 即对于，使有解， 即在上能成立，所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以. 【考点6】恒成立问题（一元二次不等式恒成立） 一、单选题 1．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】条件可转化为命题“，”是真命题，结合二次函数性质可得结论. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 由题意可得，解得， 故实数的取值范围是. 2．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式恒成立问题，分，，三种情况讨论即可. 【详解】当时，显然有成立，符合题意； 当时，二次函数开口向上，故总存在，使得，故时不合题意； 当时，要使不等式对一切实数都成立，需使， 即，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 3．已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得和是关于的方程的两个实数根， 所以，解得， 所以， 由得， 当时，， 所以，则的取值范围是，故A正确. 二、多选题 4．下列命题正确的是（    ） A．若且，则 B．“”是“”的充要条件 C．若，则的最小值是5 D．不等式对一切实数恒成立，则 【答案】AC 【详解】对于A，， 因为，所以可知，即，故A正确； 对于B，充分性：若，则且，充分性成立， 必要性：若，当时，可得，即， 当时，可得，即， 综上解集为或，所以必要性不成立，故B错误； 对于C，令，则可变为， 等号当且仅当即，成立，所以原式最小值为5，故C正确； 对于D，当时，不等式为，恒成立， 当时，需满足，解得， 综上，，故D错误． 5．下列各结论中正确的是（ ） A．“”是“”的充要条件 B．函数的最小值为2 C．“”是“”的必要不充分条件 D．是假命题，则实数a的取值范围是或 【答案】AD 【详解】对于A,,故“”是“”的充要条件，A正确， 对于B, ,当且仅当取等号，但无实数根，故等号取不到，因此2不是的最小值，B错误， 对于C，是的真子集,故“”是“”的充分不必要条件，C错误， 对于D, 由于是假命题，故，则或，故D正确. 6．下列命题正确的是（   ） A．在上恒成立，则实数的取值范围是 B．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是. C．若关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是 D．“集合中只有一个元素”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【分析】对于A：令，则即可求得的范围；对于B：根据题意求出和的关系，化简即可求出解集；对于C：令，则即可求得的范围；对于D，求出集合中只有一个元素时参数的值，再由充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】对于A：在上恒成立，令， 则，即，解得，即实数的取值范围是，故A正确； 对于B：关于的不等式的解集是，， 则关于的不等式等价于，即，即，解得或， 所以关于的不等式的解集是，故B正确； 对于C：要使关于的方程的一根比大且另一根比小， 令，则，即， 解得，所以的取值范围为，故C错误； 对于D：若集合中只有一个元素， 当时，符合题意； 当时，则，解得； 综上可得或， 所以由“集合中只有一个元素”推不出“”，故充分性不成立； 由“”推得出“集合中只有一个元素”，故必要性成立； 所以“集合中只有一个元素”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 7．若不等式 对一切实数恒成立，则的取值范围__________． 【答案】 【分析】分二次项系数和两种情况讨论，当时结合一元二次不等式恒成立的条件求解参数范围. 【详解】若不等式对一切实数恒成立的问题，需分和两种情况讨论： 当时： 此时不等式变为：， 该式对所有实数恒成立，故符合条件； 当时： 此时不等式为二次不等式，需满足：， ， 令，即：， 结合，解得：， 综上，的取值范围是. 8．若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】对任意，不等式都成立， 所以，即， 解得，即k的取值范围是. 9．若，则实数取值范围是________. 【答案】 【分析】由题可得，对恒成立，据此可得. 【详解】因，则，对恒成立. 则，又，当且仅当，即时取等号. 则. 故答案为： 四、解答题 10．已知函数. (1)若的解集为，求不等式的解集； (2)若且在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据给定条件，利用不等式的解集，结合一元二次方程根与系数的关系列式求出，再代入求解不等式. （2）求出的关系，再由表示并利用一元二次不等式恒成立列式求解. 【详解】（1）不等式，由不等式的解集为， 得且的两根为，则，解得， 不等式为，即，即， 解得，所以不等式的解集为. （2）由，得，将代入， 得对任意的恒成立， （i）当，即时，不等式变为恒成立，满足题意； （ii）当，即时，则，解得； 综上所述，实数的取值范围是. 11．设． (1)若不等式对恒成立，求实数的取值范围； (2)若，解关于的不等式． 【答案】(1) (2)时解集为；时解集为． 【分析】（1）二次函数恒大于等于0，需同时满足开口向上且判别式，注意排除的一次函数情况； （2）含参数的一元二次不等式，先因式分解，再根据参数的前提，比较两根大小分类讨论. 【详解】（1）当时不满足题意，     当时，需使， 解得．         （2）由题设，则， 因为，不等式可化为，     当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 综上，时解集为；时解集为． 12．已知函数 (1)求关于的不等式的解集. (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. (2) 【分析】（1）由题意得，结合方程的两根即可求得答案； （2）法一：利用分离参数法得对于恒成立，恒成立，求 的最小值即可求解； 法二：对不等式转化可得，对于恒成立，令，分别讨论对称轴在区间的位置结合单调性即可求解. 【详解】（1）依题意可得：，即， 其对应方程的两根为， 当，即时，不等式的解集为或； 当，即时，解集为R； 当，即时，不等式的解集为或； 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. （2）（1）法一：因为，所以对于恒成立， 因为，所以，因此恒成立. 即. 令，则， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，时取等号. 故，所以. 即实数的取值范围为. 法二：因为，所以， 即对于恒成立， 令，对称轴， 当时，即时， 函数在上单调递增，所以，因此， 又因为，所以. 当时，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，因此， 又因为，所以， 当时，即时， 函数在上单调递减，所以， 因此，又因为，所以不存在. 综上：. 【考点7】二次函数图象 一、单选题 1．二次函数的图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点位置以及特殊点的函数值，逐一判断各选项的正误. 【详解】由二次函数的图象可知： 图象开口向下，故； 图象与轴交于负半轴，故. 所以，故选项A错误； 图象的对称轴在轴右侧，即. 因为，所以，从而. 所以，故选项B错误； 由上述分析知，所以. 又因为， 所以，所以C正确； 当时，. 由图象可知，当时，. 因为对称轴在轴右侧，抛物线在对称轴左侧单调递增， 所以当时，函数值小于时的函数值， 即，所以，所以D错误. 2．设，二次函数的图象为下列之一，则的值为（   ） A．1 B．-1 C． D．0 【答案】A 【分析】首先根据排除图1图2，然后由图3图4可得，利用二次函数的性质逐一验证即可得出答案. 【详解】因为，所以函数的对称轴不可能为轴，所以函数的图像不可能是图1和图2， 由图3和图4可知函数必过原点，所以，解得， 当时，，图像开口向上，另一个零点为，图4符合， 当时，，图像开口向下，另一个零点为，图3，4均不符合. 综上所述，符合题意的的值为1. 故选：A 3．不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三个二次的关系，求解间的数量关系，代入函数，分析即可判断函数图象. 【详解】因为的解集为， 所以方程的两根分别为和，且， 则，解得， 故函数的图象开口向下， 且与轴的交点坐标为和，故选项的图象符合. 故选：A. 二、多选题 4．如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由图象知，，对称轴为，由对称轴公式得， 解得， 抛物线与轴交于轴正半轴，则时，， 则，故A错误； 由可得，故B正确； 抛物线与轴有2个不同交点，故一元二次方程有两个不等实根， 则，故C正确； 当时，，即是时的函数值， 由图象可知，时，，且， 故，故D正确． 5．已知抛物线的一段图像如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据二次函数性质分析可知，，且，即可判断A；举反例判断B；结合不等式性质判断CD. 【详解】因为抛物线的图象开口向上，则， 且对称轴，则， 又因为抛物线的图象过点，， 则，可得，解得，故A正确； 例如，符合题意，但，故B错误. 因为，且，则， 所以，故CD正确； 6．已知函数的部分图象如图所示，函数的零点为-3和1，则（    ） A． B． C． D．关于的不等式的解集为 【答案】AD 【分析】根据图象得出参数，进而计算判断A，B，C选项，再代入化简计算一元二次不等式判断D. 【详解】函数的零点为和1，则， 又因为图象开口向下，所以， 对于A：，A选项正确； 对于B：，B选项错误； 对于C：，C选项错误； 对于D：关于的不等式的解集为，D选项正确； 故选：AD 三、填空题 7．已知二次函数，则函数图象过定点______． 【答案】， 【分析】将函数解析式变形，令求解即可. 【详解】， 令，得或， 所以函数图象过定点，. 故答案为：， 8．若二次函数图象关于对称，且，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据题意可判断二次函数的单调性，再结合对称性可解得的取值范围. 【详解】由题意得二次函数的对称轴为， 因为，所以函数在上单调递增， 因此函数开口向下，在上单调递增，在上单调递减； 因为，所以，即，，，解得或， 故答案为：. 9．已知二次函数图象如图所示，则不等式的解集为_________．    【答案】 【分析】利用图象计算再结合一元二次不等式的解法计算即可. 【详解】由题意可知，且， 所以不等式，计算可得不等式解集为. 故答案为：. 四、解答题 10．已知函数. (1)求的开口方向和对称轴； (2)若对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围； 【答案】(1)开口向上，对称轴为 (2)或 【分析】（1）根据二次函数图象的性质求解即可； （2）由已知可得恒成立，结合二次函数的性质可得，解不等式即可． 【详解】（1），对称轴为， 的开口向上，对称轴为； （2）由恒成立， 可得恒成立， ∴，即， 解得或， 实数a的取值范围为或． 11．已知函数 . (1)已知的图像恒过两个定点，求这两点的坐标； (2)已知函数 ，当 时，求函数 的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简得到，令，求得或，此时，即可得到答案； （2）解法一：根据题意，化简得到，令，得到，令，得到，结合二次函数的性质，即可求解； 解法二：根据题意，化简得到，根据与的最值一致，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 当时，可得或，此时与 的取值无关， 所以函数的图像恒过定点. （2）解法一：由函数， 当时，， 令，可得， 再令， 则， 所以的最小值为. 解法二：因为， 当时，， 因为函数图像左右平移不会改变函数的最值，所以与的最值是一致的， 又因为， 令， 则， 所以的最小值为. 12．已知二次函数图象经过，， (1)求二次函数解析式 (2)若二次函数的顶点为D，P为线段CD上一点，若C，D到直线AP的距离分别为，，求的最大值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，设出二次函数的两根式，再利用待定系数法求出解析式. （2）由（1）求出点的坐标，借助两点间距离公式确定形状，利用三角形面积求出最大值. 【详解】（1）由二次函数图象经过，设该二次函数解析式为， 又该函数图象过点，则，解得， 所以所求函数解析式为，即. （2）由（1）知，则点，， ，，为定值， 过分别作，垂足分别为，则， ， 因此当且仅当最小，即线段为斜边上的高时，最大， 所以. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $