精品解析：陕西西安市西航一中2026-2027学年高三年级开学摸底考试数学试题

西安市西航一中2026-2027学年高三年级开学摸底考试 高三年级数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，解得，则， 由，得，解得，则， 所以. 2. 已知平面内三点，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先表示出、的坐标，即可求出及，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为， 所以，，所以，， 所以向量在上的投影向量为. 故选：A 3. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析各选项中函数的定义域、零点、奇偶性以及函数值符号，结合题中图象可得答案. 【详解】对于A选项，对于函数，由可得， 即函数的定义域为，与题中图象不符； 对于B选项，令，可得，即函数只有一个零点，与题中图象不符； 对于C选项，函数的定义域为， ，函数为偶函数，与题中图象不符； 对于D选项，函数的定义域为， ，函数为奇函数， 令得，可得， 当时，，则，与题中图象相符. 4. 若需要刻画预报变量和解释变量的相关关系，且从已知数据中知道预报变量随着解释变量的增大而减小，并且随着解释变量的增大，预报变量大致趋于一个确定的值，为拟合和之间的关系，应使用以下回归方程中的（为自然对数的底数）（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解析 对于A：因为在定义域内单调递增且，所以随着的增大而增大，不合题意，故A错误； 对于B：因为在定义域内单调递增且，所以随着的增大而减小，当解释变量，，不合题意，故B错误； 对于C：因为在定义域内单调递增且，所以随着的增大而减小，当解释变量，，不合题意，故C错误； 对于D：因为在定义域内单调递减且，所以随着的增大而减小，当解释变量，，故D正确；故选D. 5. 设有下面四个命题： ：若复数z满足，则 ：若复数z满足，则； ：若复数，，满足，则 ：若复数，则 其中的真命题为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】 根据复数的分类和复数的性质，逐一分析四个选项所给定命题的真假即可. 【详解】对于命题，设，由，得，则成立，故命题正确； 对于命题，设，由；得，则或，复数可能为实数或纯虚数，故命题错误； 对于命题，设，， 由，得，满足该等式的不一定有且，故不一定有，故命题错误； 对于命题，设，则由，得，所以成立，故命题，正确. 故选：C. 【点睛】本题考查命题及其关系，考查复数的概念和性质，属于基础题. 6. 已知的展开式中的常数项为20，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式定理写出通项公式，通过令的指数为0确定的值，结合常数项为20即可求解. 【详解】由题意得， 则有， 令，即，则常数项为， 解得. 7. 已知，设函数在上是增函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数在上单调递增的三个条件：两段分别单调递增、左段在分段点处的函数值不大于右段在分段点处的函数值，列不等式求解的取值范围. 【详解】分段函数在上为增函数，需同时满足以下三个条件： 当时，二次函数单调递增： 该二次函数开口向下，对称轴为， 需对称轴位于区间的右侧，即，解得； 当时，单调递增： 对求导得，需对任意恒成立， 即对恒成立，故； 分段点处，左段的极限函数值不大于右段的函数值： 左段在时的函数值为， 右段在处的函数值为， 故，解得； 综上：实数的取值范围是. 8. 定义在上的奇函数满足：函数的图象关于轴对称，当时，．则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的最小正周期为2 C. 当时， D. 在上单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件函数的图象关于轴对称，可得关于对称，选项A错误；根据关于对称，可得，令，结合奇函数的性质，再令，可得最小正周期为4，选项B错误；当时，则，可推出，选项C正确；当时，易推出，则在上单调递增，选项D错误. 【详解】因为函数的图象关于轴对称，所以关于对称，选项A错误； 由选项A知关于对称，则， 令，则，又为奇函数，所以， 再令，则，所以的最小正周期为4，选项B错误； 当时，，所以，当时，则，则， 因此，，选项C正确； 当时，，所以，当时，则，则， 因此，，根据二次函数性质易知，在上单调递增，选项D错误. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知，，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断ABD选项；利用二次函数的基本性质可判断C选项. 【详解】因为，，满足， 对于A选项，由基本不等式可得，所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，A错； 对于B选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立，B错； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，C对； 对于D选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立，D对. 故选：CD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量服从正态分布，则 B. 若随机变量服从二项分布，则 C. 若事件和相互独立，则 D. 若事件和互斥，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正态分布的性质即可判断选项A，根据二项分布的性质即可判断选项B，根据独立事件，仅能得到，不一定得到，C错误，根据互斥事件的定义即可判断选项D. 【详解】若随机变量服从正态分布，所以， 则，A正确； 若随机变量服从二项分布， 则，B正确； 若事件和相互独立，则， 且，C错误； 若事件和互斥，则，，D正确. 故选：ABD 11. 定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列1，4进行“美好成长”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4；……，设第次“美好成长”后得到的数列为，，，…，，，记，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 数列的通项公式为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给出的新定义数列变化形式，找出数列中k与n之间的变化关系，列出变化等式，进而判断选项即可． 【详解】初始数列：1，4； 第一次成长：1，4，4，乘积,； 第二次成长：1，4，4，16，4，乘积：， ；故A正确 记次“美好成长”后的数列有项，则，即， 又，所以数列是以2为首项和公比的等比数列， 故，， 所以，故B正确 因为每次插入的新项为原数列中相邻两项的乘积， 故 ； 故， 则，故C错误， 由此， 因此数列为等比数列，首项为，公比为3； 故，解得，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. __________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据指数幂运算与对数运算法则直接求解即可. 【详解】， 故答案为：. 13. 已知，，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， 又，所以，则， 由同角三角函数关系可得，， 所以. 14. 现有n（，）个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（，2，3，…，n）个袋中有k个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出四个球（每个取后不放回），若第四次取出的球为白球的概率是，则______. 【答案】9 【解析】 【分析】根据古典概型性质，先计算出某一情况下取球方法数的总数，在列举出第三次取球为白球的情形以及对应的取法数，根据古典概型计算概率，最后逐一将所有情况累加即可得出总概率，最后即可得到答案. 【详解】设选出的是第k个袋，连续四次取球的方法数为， 第四次取出的是白球的取法有如下四种情形： 4白，取法数为：， 1红3白，取法数为：， 2红2白，取法数为：， 3红1白：取法数为：， 所以第四次取出的是白球的总情形数为： ， 则在第k个袋子中取出的是白球的概率为：， 因为选取第k个袋的概率为，故任选袋子取第四个球是白球的概率为： ， 当时，. 故答案为：． 【点睛】思路点睛：本题为无放回型概率问题，根据题意首先分类讨论不同k值情况下的抽取总数(可直接用k值表示一般情况)，再列出符合题意得情况(此处涉及排列组合中先分类再分组得思想)，最后即可计算得出含k的概率一般式，累加即可，累加过程中注意式中n与k的关系可简化累加步骤. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在直三棱柱中，，为的中点，为的中点. （1）证明：平面； （2）若，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）证明：取的中点，连接，， 因为为的中点，为的中点，所以且， 又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，即可证明四边形为平行四边形，从而得到，即可得证； （2）取的中点，连接、，则（或其补角）为异面直线与所成角，再由余弦定理计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接、，则， 则（或其补角）为异面直线与所成角， 在直三棱柱中，， 平面，平面，所以，， 在中，，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【点睛】 16. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【小问1详解】 由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 17. 为了落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划，现对某高中学生每天的运动时间进行调查，随机抽取了100名学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生每天平均运动时间（单位：分钟）的频率分布直方图，将每天平均运动时间不低于80分钟的学生称为“运动爱好者”． （1）试求频率分布直方图中的值； （2）用样本估计总体，已知某学生每天平均运动时间不低于60分钟，求该学生是“运动爱好者”的概率； （3）从样本里的“运动爱好者”学生中随机选取两位同学，用随机变量表示每天平均运动时间在分钟之间的学生数，求的分布列及期望． 【答案】（1） （2） （3） 0 1 2 ，数学期望为. 【解析】 【分析】（1）应用频率分布直方图频率和为1计算求参； （2）应用条件概率公式计算求解； （3）先写出对应概率，再得出随机变量的分布列，进而计算数学期望即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知， ， 解得． 【小问2详解】 设“该学生每天平均运动时间不低于60分钟”为事件A， “该学生是‘运动爱好者’”为事件B， 则， ， 所以在该学生每天平均运动时间不低于60分钟的条件下是“运动爱好者”的概率为 . 【小问3详解】 由题意可知，样本中共有“运动爱好者”学生25人，运动时间在分钟之间的学生有5人， 所以． ，，． 则的分布列为 0 1 2 则． 18. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）若，求函数的值域． （3）若函数在上有且仅有两个零点，则求的取值范围 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得； （2）由的范围，求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得； （3）首先求出的解析式，由的范围，求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得； 【小问1详解】 ， 所以函数的最小正周期. 【小问2详解】 当时，， 所以，，则， 因比，函数在上的值域为． 【小问3详解】 因为， ，则， 若函数在上有且仅有两个零点， 则，解得， 即. 19. 已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前n项和； （3）记，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）由（1）知，利用等差数列的求和公式，求得，得到，结合等比数列的求和公式，即可求解； （3）由（1）知，得到，分类讨论，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为， 由，可得，所以， 因为成等比数列，可得，即， 即，即，所以， 联立方程组，解得，所以， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知：数列的通项公式为， 则， 所以，所以， 则，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以数列的前项和为. 【小问3详解】 由（1）知：，可得， 设，可得的前项和为 当时，可得，则； 当时，， 可得 ， 综上可得，数列的前n项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市西航一中2026-2027学年高三年级开学摸底考试 高三年级数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面内三点，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 4. 若需要刻画预报变量和解释变量的相关关系，且从已知数据中知道预报变量随着解释变量的增大而减小，并且随着解释变量的增大，预报变量大致趋于一个确定的值，为拟合和之间的关系，应使用以下回归方程中的（为自然对数的底数）（ ） A. B. C. D. 5. 设有下面四个命题： ：若复数z满足，则 ：若复数z满足，则； ：若复数，，满足，则 ：若复数，则 其中的真命题为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知的展开式中的常数项为20，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 7. 已知，设函数在上是增函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的奇函数满足：函数的图象关于轴对称，当时，．则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的最小正周期为2 C. 当时， D. 在上单调递减 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知，，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量服从正态分布，则 B. 若随机变量服从二项分布，则 C. 若事件和相互独立，则 D. 若事件和互斥，则 11. 定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列1，4进行“美好成长”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4；……，设第次“美好成长”后得到的数列为，，，…，，，记，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 数列的通项公式为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. __________. 13. 已知，，则___________． 14. 现有n（，）个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（，2，3，…，n）个袋中有k个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出四个球（每个取后不放回），若第四次取出的球为白球的概率是，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在直三棱柱中，，为的中点，为的中点. （1）证明：平面； （2）若，求异面直线与所成角的余弦值. 16. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 17. 为了落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划，现对某高中学生每天的运动时间进行调查，随机抽取了100名学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生每天平均运动时间（单位：分钟）的频率分布直方图，将每天平均运动时间不低于80分钟的学生称为“运动爱好者”． （1）试求频率分布直方图中的值； （2）用样本估计总体，已知某学生每天平均运动时间不低于60分钟，求该学生是“运动爱好者”的概率； （3）从样本里的“运动爱好者”学生中随机选取两位同学，用随机变量表示每天平均运动时间在分钟之间的学生数，求的分布列及期望． 18. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）若，求函数的值域． （3）若函数在上有且仅有两个零点，则求的取值范围 19. 已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前n项和； （3）记，求数列的前n项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $