专题4：制订节水方案（综合实践）（思维拓展）北师大版数学六年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题4：制订节水方案（综合实践） 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：滴水实验与漏水量测算 3 考点二：生活用水调查与统计分析 4 考点三：节水方案设计与优化 6 考点四：水资源量率综合应用 7 第三部分 易错避坑指南 9 易错点 1：单位换算错误 9 易错点 2：节水率计算基数错误 9 易错点 3：方案优化只看节水量 9 易错点 4：量率对应分率找错 9 易错点 5：使用天数取整错误 9 第四部分 分层进阶专题精练 10 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 10 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 10 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 12 一、能力进阶篇解析 12 二、思维拓展篇解析 13 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应北师大版六年级上册综合实践《制订节水方案》核心内容，以“实验测算→调查统计→方案优化→实践应用”为主线，系统覆盖滴水实验与漏水量测算、生活用水调查与统计分析、节水方案设计与优化、水资源量率综合应用四大核心模块，渗透建模思想、优化思想、推理思想、应用意识等核心数学素养。 专题遵循实践探究路径：从滴水实验入手，掌握单位时间漏水量的测算方法，能推算不同时长的总漏水量；通过调查家庭或校园的生活用水情况，掌握用水量的统计与分析方法；结合用水数据设计节水方案，对比不同方案的节水效果与成本，选择最优方案；运用量率对应、归一归总、鸡兔同笼等数学方法解决节水相关的实际问题；延伸漏水量差量推理、阶梯水价优化、节水方案性价比分析等奥数思维题型。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“综合与实践”领域要求，与 2024 版最新北师大版教材进度完全同步，提升实践探究能力，树立节约用水意识。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 滴水实验与漏水量测算 单位时间漏水量；不同时长总量推算；多状态漏水量差 归一测算法、假设法 单位换算错误；时间进率搞错 生活用水调查与统计分析 人均用水量；分项目占比；总量推算 统计求和法、量率对应法 人数遗漏；分率对应错误 节水方案设计与优化 节水率计算；方案效果对比；成本与回本分析 方案对比法、成本分析法 只看节水量忽略成本；节约率基数搞反 水资源量率综合应用 总量分配；使用时长推算；浪费量对比 归总法、去尾法 去尾进一用错；单位不统一 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 归一测算法 滴水漏水量计算 ①算单位时间量；②乘总时间；③换算单位 先归一，再归总，单位统一再计算 量率对应法 用水占比问题 ①找对应分率；②求总用量；③算部分量 找分率，对应量，除得总，乘得分 假设法 多状态漏水问题 ①全假设；②算总差；③除以单差得数量 设滴得流，设流得滴，总差除以单差 方案对比法 节水方案优化 ①算节水量；②算成本回；③比性价比 看节水，算成本，比年限，选最优 归总法 水资源分配问题 ①算总水量；②算单位用量；③求使用时长 总水量，除日耗，得时长，去尾算 三、数学思维提升 1. 建模思想 核心要点：建立单位时间漏水量、人均用水量等数学模型，用归一、归总方法解决同类问题，培养建模意识与迁移应用能力。 专题示例：滴水速度 × 时间 = 总漏水量，人均日用水量 × 人数 × 天数 = 总用水量，就是典型的数学模型。 2. 优化思想 核心要点：对比不同节水方案的效果、成本、回本周期，选择综合最优的方案，培养优化意识与决策能力。 专题示例：对比两种节水器具的性价比，选择回本更快的方案，就是优化思想的体现。 3. 推理思想 核心要点：根据部分数据推理整体用量，根据现有条件推理方案效果，培养逻辑推理与演绎论证能力。 专题示例：根据几分钟的滴水量推算一天的漏水量，根据用水占比推理总用水量，就是推理思想的应用。 4. 应用意识 核心要点：运用数学知识解决生活中的节水测算、方案设计、水资源分配等实际问题，体会数学的实用价值，培养实践应用能力与环保意识。 专题示例：设计家庭节水方案、测算校园节水总量，就是应用意识的典型体现。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 本部分例题严格对应两级难度梯度：能力进阶（★★★）聚焦考点综合应用与规范书写，对接教材重难点；思维拓展（★★★★）对接年级奥数题型，侧重思维方法。每个考点均覆盖两级难度，实现学练精准匹配。 考点一：滴水实验与漏水量测算 能力进阶（★★★）—— 归一法测算日漏水量 题目：小明做滴水实验，用量杯接一个滴水的水龙头，5 分钟接了 150 毫升水。照这个滴水速度，这个水龙头一天（24 小时）会漏掉多少升水？ 解题步骤： ① 先算出每分钟的滴水速度（单位时间漏水量）： （毫升 / 分钟） ② 统一时间单位，计算一天的总分钟数： （分钟） ③ 计算一天的总漏水量，再换算成升： （毫升） 毫升升 验证：每小时漏水毫升升，一天升，结果一致。 【答案】一天会漏掉 43.2 升水。 【知识点睛】本题考查滴水实验的基本测算方法，对应综合实践核心操作要点。 核心公式：总漏水量 = 单位时间漏水量 × 总时间。 解题关键：先通过样本数据算出单位时间的漏水量（归一），再乘总时间得到总量（归总）；计算前注意统一时间、体积单位。 易错警示：直接用 150 乘 24，忽略分钟和小时的单位换算。 思维拓展（★★★★）—— 鸡兔同笼变式：多状态漏水 题目：小区物业排查漏水情况，发现 20 个水龙头存在漏水问题，分为两种状态：滴水状态每天每个漏 24 升，线流状态每天每个漏 60 升。当天统计总漏水量为 768 升。滴水状态和线流状态的水龙头各有多少个？ 解题步骤： ① 假设 20 个水龙头全是滴水状态，总漏水量为： （升） ② 实际总漏水量比假设多：（升） 每个线流状态比滴水状态每天多漏：（升） 线流状态的水龙头数量：（个） ③ 滴水状态的水龙头数量：（个） 验证：升，与题目总漏水量一致。 【答案】滴水状态 12 个，线流状态 8 个。 【知识点睛】本题是鸡兔同笼思想在节水问题中的拓展应用，属于奥数经典变式题型。 解题方法：用假设法解题，总差量 ÷ 单差量 = 数量，设滴水得线流，设线流得滴水。 核心迁移：将两种漏水状态对应鸡和兔，漏水量对应脚数，总个数对应总头数，转化为标准鸡兔同笼模型求解。 易错警示：总差和单差对应错误，导致数量搞反。 考点二：生活用水调查与统计分析 能力进阶（★★★）—— 人均用水总量计算 题目：小明家有 3 口人，调查家庭用水情况：平均每人每天洗漱用水 12 升，做饭用水 9 升，清洁及其他用水 14 升。小明家一个月（按 30 天计算）的总用水量是多少升？ 解题步骤： ① 先计算每人每天的总用水量： （升） ② 计算全家每天的用水量： （升） ③ 计算一个月的总用水量： （升） 验证：每人每月用水升，全家升，结果一致。 【答案】3150 升 【知识点睛】本题考查生活用水的调查统计与总量计算，对应综合实践调查环节。 核心方法：人均日用水量 × 人数 × 天数 = 总用水量。 易错警示：只计算单人的月用水量，忘记乘家庭人数。 思维拓展（★★★★）—— 量率对应：用水占比问题 题目：某家庭调查月度用水结构：洗漱用水占总用水量的，做饭用水占总用水量的，其余为清洁用水，已知清洁用水每月 300 升。这个家庭每月总用水量是多少升？洗漱用水比做饭用水少多少升？ 解题步骤： ① 先算出清洁用水占总用水量的分率： ② 已知清洁用水量和对应分率，求总用水量（单位“1”），用除法： （升） ③ 计算洗漱比做饭少的水量： （升） 验证：洗漱升，做饭升，升，符合题意。 【答案】每月总用水量 1050 升；洗漱用水比做饭用水少 150 升。 【知识点睛】本题是分数量率对应在用水调查中的拓展应用，属于奥数题型。 解题关键：找准已知量对应的分率，对应量 ÷ 对应分率 = 单位“1”的量。 核心规律：部分量求总量，用除法；总量求部分量，用乘法。 易错警示：找错对应分率，用清洁用水量直接乘错误分率。 考点三：节水方案设计与优化 能力进阶（★★★）—— 节水率与节水量计算 题目：小明家更换节水型水龙头后，每天用水从原来的 120 升减少到 102 升。每天节水百分之几？按这个节水率，一个月（30 天）能节约多少升水？ 解题步骤： ① 先算每天节约的水量，再除以原来的用水量得到节水率： 每天节约：（升） 节水率：=15% ② 计算一个月的总节水量： （升） ③ 验证：原来一个月用水升，现在升，升，结果一致。 【答案】每天节水 15%；一个月能节约 540 升。 【知识点睛】本题考查节水方案的效果计算，对应方案设计的核心要点。 核心公式：节水率 =（原用水量 - 现用水量）÷ 原用水量 × 100%； 总节水量 = 每天节水量 × 天数。 易错警示：用现用水量除以原用水量当作节水率，搞错计算基数。 思维拓展（★★★★）—— 方案优化：性价比与回本分析 题目：学校浴室更换节水花洒，有两种型号可选：A 型每个售价 80 元，每次洗澡可节水 2 升；B 型每个售价 144 元，每次洗澡可节水 3 升。浴室平均每天使用 8 次，水价为每吨 3 元（1 吨 = 1000 升）。按一年 365 天计算，哪种花洒性价比更高？多久能收回成本？ 解题步骤： ① 先计算 A 型花洒的年节水量与年省水费： 年节水量：（升）吨 年省水费：（元） 回本时间：（年） ② 计算 B 型花洒的年节水量与年省水费： 年节水量：（升）吨 年省水费：（元） 回本时间：（年） ③ 对比：A 型回本时间更短，性价比更高。 验证：单位成本节水量：A 型升 / 元，B 型升 / 元，A 型单位成本节水更多，符合结论。 【答案】A 型花洒性价比更高；A 型约 4.6 年收回成本，B 型约 5.5 年收回成本。 【知识点睛】本题是节水方案优化的奥数拓展题型，考查成本与收益的对比分析。 解题方法：先计算每年节约的水费，再用购置成本除以年省水费得到回本年限，年限越短性价比越高。 核心思路：方案优化不能只看节水量，要结合成本综合判断，兼顾短期投入与长期收益。 易错警示：只比较节水量，忽略成本差异，得出 B 型更好的错误结论。 考点四：水资源量率综合应用 能力进阶（★★★）—— 水资源分配计算 题目：学校节水水箱储水 180 升，课间洗手平均每人每次用水 1.2 升。这箱水够全班 45 名同学每人洗手一次吗？ 解题步骤： ① 计算全班 45 人洗手一次的总用水量： （升） ② 对比总水量和用水量：，所以够。 ③ 验证：还剩升，确实够用。 【答案】够每人洗手一次。 【知识点睛】本题考查水资源分配的实际应用，对应综合实践的应用环节。 解题方法：先算出总需求量，再和总水量比较，小于等于就够用。 易错警示：用总水量除以每人用量，忘记和人数比较。 思维拓展（★★★★）—— 浪费量对比：漏水与生活用水 题目：一个漏水的老式马桶每天漏水 28.8 升。这个马桶一个月（按 30 天算）漏掉的水，够一个 3 口之家日常使用多少天？（人均每天生活用水 32 升） 解题步骤： ① 先计算马桶一个月的总漏水量： （升） ② 计算 3 口之家每天的总用水量： （升） ③ 计算够使用的天数： （天） 验证：9 天全家用水升，正好等于一个月的漏水量，符合题意。 【答案】够一个 3 口之家使用 9 天。 【知识点睛】本题是水资源对比的奥数拓展题型，通过量化对比感受漏水的浪费程度。 解题关键：先算出总漏水量，再除以每日总用水量得到使用天数。 教育意义：通过计算直观体会小漏水的大浪费，树立节水意识。 易错警示：人均用水量忘记乘人数，直接用 32 升计算，导致天数偏多。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：单位换算错误 错误示例：滴水速度 30 毫升 / 分钟，一天漏水毫升，忽略时间单位换算。 正确分析：一天是 1440 分钟，正确结果是毫升升。 修正方法：计算前先统一单位，时间统一成分钟 / 小时，体积统一成毫升 / 升。 易错点 2：节水率计算基数错误 错误示例：原来用水 100 升，现在 80 升，节水率%。 正确分析：节水率是节约的部分占原来的比例，正确节水率%。 修正方法：节约率、增长率，都除以原来的量作基数。 易错点 3：方案优化只看节水量 错误示例：B 型花洒节水更多，所以 B 型更好。 正确分析：要结合购置成本算回本周期，综合性价比判断，成本低、回本快的更优。 修正方法：比方案，看成本，算回本，比年限。 易错点 4：量率对应分率找错 错误示例：清洁用水 300 升，占 2/7，总水量。 正确分析：求单位“1”用除法，总水量。 修正方法：已知部分求整体，用除法，对应量 ÷ 对应分率。 易错点 5：使用天数取整错误 错误示例：100 升水，每天用 30 升，能用，进一法算 4 天。 正确分析：剩下的不够用一天，要用去尾法，只能用 3 天。 修正方法：物资分配问题，不够一份就舍去，用去尾法。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 1. 滴水实验中，3 分钟接水 96 毫升，这个水龙头每分钟滴水（ ）毫升。 2. 一个滴水水龙头每天漏水 32 升，一个月（30 天）一共漏水（ ）升。 3. 一家 4 口人，每人每天用水 28 升，全家每天用水（ ）升。 4. 原来每天用水 150 升，更换节水器具后每天节水 12%，现在每天用水（ ）升。 5. 2.4 升 =（ ）毫升。 6. 小明家每月用水 12 吨，更换节水马桶后每月节约 2.4 吨，节水率是（ ）%。 7. 一桶纯净水 18.9 升，每人每次喝水 0.2 升，够 10 个人喝（ ）次。 8. 做饭用水占家庭总用水的，总用水量是 270 升，做饭用水（ ）升。 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 9. 一个水龙头每秒滴 1 滴水，每滴水约 0.05 毫升。这个水龙头一天会漏掉多少升水？ 10. 某小区 120 户家庭，改造前平均每户每月用水 14 吨，改造后平均每户节水。改造后小区每月一共节水多少吨？ 11. 商店有两种节水水龙头，普通型每个 25 元，每月节水 2 吨；升级型每个 48 元，每月节水 4 吨。水价每吨 2.5 元，哪种水龙头回本更快？ 12. 一个漏水的热水器每小时漏水 180 毫升，一天漏的水可以供一个人刷牙多少次？（每次刷牙用水 0.6 升） 13. 15 个漏水点，一部分每分钟滴 20 毫升，一部分每分钟滴 50 毫升，一分钟总滴水量为 510 毫升。两种漏水点各有多少个？ 14. 一桶饮用水，用去后还剩 30 升。这桶水原来有多少升？如果每天饮用 2.5 升，剩下的水还能喝多少天？ 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】32 解题步骤： ① 每分钟滴水量 = 总水量 ÷ 时间：毫升。 【知识点睛】考查归一法算滴水速度。核心：总量 ÷ 时间 = 单位量。易错警示：288。 2. 【答案】960 解题步骤： ① 总漏水量 = 每天漏水量 × 天数：升。 【知识点睛】考查归总法算总漏水量。核心：日量 × 天数 = 总量。易错警示：320。 3. 【答案】112 解题步骤： ① 全家日用水量 = 人均日用量 × 人数：升。 【知识点睛】考查人均用水总量计算。核心：人均乘人数。易错警示：28。 4. 【答案】132 解题步骤： ① 现用水量 = 原用水量 ×(1 - 节水率)：%)=132升。 【知识点睛】考查节水率计算。核心：原量乘剩余占比。易错警示：138。 5. 【答案】2400 解题步骤： ① 1 升 = 1000 毫升，毫升。 【知识点睛】考查体积单位换算。核心：升转毫升乘 1000。易错警示：240。 6. 【答案】20 解题步骤： ① 节水率 = 节水量 ÷ 原用水量：。 【知识点睛】考查节水率计算。核心：节约量除以原量。易错警示：25。 7. 【答案】9 解题步骤： ① 10 人每次喝水总量：升； ② 可喝次数：次（去尾法取整）。 【知识点睛】考查水资源分配。核心：不够一次用去尾法。易错警示：10。 8. 【答案】90 解题步骤： ① 做饭用水量 = 总水量 × 对应分率：升。 【知识点睛】考查分数乘法应用。核心：总量乘分率得部分。易错警示：810。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】4.32 升。 解题步骤： ① 一天的总秒数：秒； ② 总漏水量：毫升升。 【知识点睛】考查秒级滴水的日总量测算。核心：统一时间单位再计算。易错警示：4320 升。 10. 【答案】240 吨。 解题步骤： ① 每户每月节水量：吨； ② 小区总节水量：吨。 【知识点睛】考查分数乘法的节水应用。核心：先算户均再乘总户数。易错警示：1440 吨。 11. 【答案】升级型回本更快。 解题步骤： ① 普通型：每月省水费元，回本时间个月； ② 升级型：每月省水费元，回本时间个月； ③ ，升级型回本时间更短。 【知识点睛】考查方案回本分析。核心：成本 ÷ 月省费用 = 回本时间。易错警示：认为普通型更快。 12. 【答案】够 7 次。 解题步骤： ① 一天总漏水量：毫升升； ② 可刷牙次数：，去尾法得 7 次。 【知识点睛】考查漏水量与生活用水对比。核心：先算总量再算次数。易错警示：算成 8 次。 13. 【答案】每分钟 20 毫升的有 8 个，每分钟 50 毫升的有 7 个。 解题步骤： ① 假设全是每分钟 20 毫升，总滴水量毫升； ② 总差量：毫升，单差量：毫升； 每分钟 50 毫升的数量：个； ③ 每分钟 20 毫升的数量：个。 【知识点睛】考查鸡兔同笼变式。核心：假设法，总差 ÷ 单差。易错警示：两个数量搞反。 14. 【答案】原来有 48 升；还能喝 12 天。 解题步骤： ① 剩余水的对应分率：，总水量：升； ② 剩余可饮用天数：天。 【知识点睛】考查量率对应与分配。核心：对应量 ÷ 对应分率 = 总量。易错警示：原来算成 18 升。 1 学科网（北京）股份有限公司 $