精品解析：广东湛江市博雅学校2025-2026学年度八年级第二学期期中考试试卷

湛江市博雅学校2025-2026学年第二学期期中考试 八年级数学试卷 一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分 1. 若有意义，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：，则的值可以是 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 2. 下列各组数据分别是线段a，b，c的长，能组成直角三角形的是（　　） A. 7，2，9 B. 4，5，6 C. 3，4，5 D. 5，10，13 【答案】C 【解析】 【分析】据勾股定理的逆定理，逐项判定即可． 【详解】解：A．，所以7、2、9不能组成直角三角形，故A不符合题意； B．，所以4、5、6不能组成直角三角形，故B不符合题意； C．，所以5可以组成直角三角形，故C符合题意； D．，所以5、10、13不能组成直角三角形，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握如果三角形的两边平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形是解题的关键． 3. 下列各图象中，不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数的定义．根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数． 【详解】解：由图象得A的图象不能有唯一的值与之对应，故A符合题意； B，C，D三个选项均符合函数的定义， 故选：A． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的加减运算．只有被开方数相同的同类二次根式才能合并，合并时系数相加减，根式部分保持不变． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意， B、和不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意， C、，故该选项符合题意， D、，故该选项不符合题意． 故选：C． 5. 如图，在中，对角线，交于点O，若，且的周长比的周长多2，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质，熟练掌握平行四边形性质是解答的关键．先根据平行四边形性质得到，再根据已知得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵的周长比的周长多2， ∴，即， ∴， 故选：B． 6. 过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形是（　　）． A. 六边形 B. 七边形 C. 八边形 D. 九边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查多边形对角线的性质，根据规律：从边形的一个顶点出发的所有对角线，会将多边形分成个三角形，据此列方程求解即可得到边数. 【详解】解：∵从边形一个顶点出发的所有对角线，将多边形分成个三角形，题目中分成个三角形， ∴， 解得， ∴这个多边形是八边形． 故选：． 7. 小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系，则小明在体育馆锻炼的时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数图像的解读，需结合横纵坐标含义(横坐标为时间，纵坐标为离家距离)，分析图像，第一段水平线段表示小明在体育馆锻炼，第二段水平线段表示小明在书店买书． 【详解】解：小明在体育馆锻炼时，离家距离不变，对应图像中第一段上升后的水平线段，锻炼时间为该水平线段的结束时间减去开始时间，水平线段起点为，终点为，锻炼时间为． 故选． 8. 如图，在中，点E，D，F分别在边上，且，．下列四个判断中，不正确的是（ ） A. 四边形是平行四边形 B. 若且，则四边形是正方形 C. 若，则四边形是菱形 D. 如果，则四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【详解】解：，，  四边形是平行四边形，故A选项正确，不符合题意； 若，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得四边形是菱形，故C选项正确，不符合题意； 如果，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得四边形是矩形，故D选项正确，不符合题意； 若且，根据等腰三角形三线合一性质可知平分， 平行四边形是菱形，但不能判定是正方形（除非），故B选项错误，符合题意． 9. 如图所示，圆柱的高为5米，底面圆的周长为4米．将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要（ ）米 A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查两点间线段最短和勾股定理在生活中的应用．将曲面问题变为平面问题，然后利用勾股定理计算出斜边长度，是解答本题的关键． 【详解】如解图，长方形是圆柱的侧面展开图，连接， 此时所需彩带最短，最短长度为， ，由题意得米. 米， 由勾股定理得，即 ， 解得米(负值已舍). 故选D. 10. 如图，E、F分别是正方形的边，上的点，且，，相交于点，下列结论：①；②；③；④中，正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 根据四边形是正方形及，可证出，则得到：①；可判断④；可以证出，则②一定成立；用反证法可证明，即可判断③． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， （故①正确）； ∴ ∵四边形是正方形， ∴ ∴（故④正确）； ∴ ∵四边形是正方形， ∴ ， ， ∴ 一定成立（故②正确）； 假设， ， （线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）， 在中，， ，这与正方形的边长相矛盾， 假设不成立，（故③错误）； ∴正确的有①②④共3个正确， 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分 11. “冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化，在这个变化过程中，因变量为_________．（填“冰的厚度”或“时间”） 【答案】冰的厚度 【解析】 【分析】根据因变量的概念，分析冰的厚度和时间在“冰冻三尺，非一日之寒”这个变化过程中的关系，从而确定因变量． 【详解】解：“冰冻三尺，非一日之寒”描述的是冰的厚度随着时间的推移而逐渐增加的过程，时间是主动变化的，冰的厚度会随着时间的变化而变化，即冰的厚度是随着时间这个变量的变化而变化的， ∴根据自变量和因变量的定义，在这个变化过程中，时间是自变量，冰的厚度是因变量． 12. 一个多边形的每一个外角都是，则这个多边形的边数_____． 【答案】 8 【解析】 【分析】任意多边形的外角和恒为，利用外角和除以单个外角的度数，即可得到多边形的边数． 【详解】解：根据多边形外角和定理可得，该多边形外角和为， 已知该多边形每一个外角都是，因此边数． 13. 如图所示，一棵大树在离地面3米处折断倒下，树的顶端落在地上，树的顶端到树根的距离为4米，则这棵大树在折断前的高度为________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先根据勾股定理计算出大树折断的部分，再根据大树的高度等于折断的部分的长与未断的部分的长的和，即可得出答案． 【详解】解：如图， ， 由题意可得：，米，米， 米， 大树的高度米， 故答案为：． 14. 如图，在中，，于点D，E是斜边的中点，若，则__________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 根据题意先求出，，利用直角三角形两锐角互余求得，再根据直角三角形斜边上中线性质得到，求得的度数，进而得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 又∵E是斜边的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，E，F分别是边上的动点，连接分别为的中点，连接．若，，则的最小值为_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 连接，利用三角形中位线定理，可知，当时，最小，求出最小值即可求出． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是菱形， ， ∵分别为的中点， ∴是的中位线， ， 当时，则最小，得到最小值， ， ∴是等腰直角三角形， ，即， ， ， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分 16. 已知，求的值； 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件可求得、，再将其代入变形后的式子计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 17. 如图，已知，在中，E、F是对角线AC上的两点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：连接交于， ∵在中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据四边形是平行四边形得，，再证明，得，，则邻补角相等，即可得到，即可得到结论； 【详解】略 18. 如图，小珍依据漏刻的基本原理做了一个底面积为，容积为的圆柱形漏刻（浮子体积忽略不计），观测并记录了水位（单位：）与时间（单位：）之间的数据如下： 0 1 2 3 4 5 … 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 … （1）请写出水位与时间之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． （2）当时，求对应的时间，并说明它表示的实际意义． 【答案】（1）； （2）当时，．实际意义：当计时时长为时，漏刻的水位高度为． 【解析】 【分析】（1）观察表格数据，判断水位与时间的函数类型（一次函数），利用待定系数法求解析式，再结合漏刻容积确定自变量取值范围； （2）将代入函数解析式求解t，并解释实际意义． 【小问1详解】 解：由表格可知，与是一次函数关系，设解析式为． 当时，，代入得； 当时，，代入得，解得． ∴函数关系式为． 漏刻容积为，底面积为，则最大水位． 令，则， 解得：． 自变量的取值范围为． 【小问2详解】 解：当时，，解得． 实际意义：当计时时长为时，漏刻的水位高度为． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，解题关键是通过表格判断函数类型，利用待定系数法求解析式，并结合实际场景确定自变量范围． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每题9分，共27分 19. 周末，小明和小亮去汉风公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： 测得水平距离的长为米； 根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； 牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米； （2）米． 【解析】 【分析】（）勾股定理求出的长，再加上小明的身高即可； （）勾股定理求出的长，此时缩短长度为，即可得出结果； 本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出直角三角形是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可知：米，，米， 在中，由勾股定理得，， ∴米， ∴（米）， 答：风筝的垂直高度为米； 【小问2详解】 解：∵风筝沿方向下降米，保持不变，如图， ∴此时的（米）， 即此时在中，米，有（米）， 相比下降之前，缩短长度为（米）， 答：他应该往回收线米． 20. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为．四边形的四个顶点都是格点，用无刻度的直尺画图过程用虚线，画图结果用实线． （1）四边形的周长为 ； （2）在图1中，先在上画点E，使； （3）在图2中的上画点G，使； （4）在图3中，H是上一点，在上画点M，使． 【答案】（1）18 （2）如图，点E即为所求； （3）解：如图，点G即为所求； （4）解：如图，即为所求； 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解； （2）利用格点构造等腰直角三角形，与交点即为所求； （3）利用格点构造等腰三角形，取中点H，连接并延长交于点G； （4）取的中点P，的中点Q，连接，交于点O，连接并延长，交于点M，连接，构造平行四边形，则即为所求． 【小问1详解】 解：由图可知，， 四边形的周长为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 21. 【教材呈现】下列材料是人教版八年级下册数学教材第65页数学活动的部分内容． 在一张矩形纸片的一端，利用如图所示的方法折出一个正方形。 【问题解决】如图①，在矩形中，E为上一点，将沿折叠得到，点恰好在上．求证：四边形是正方形． 【教材延伸】如图②，将图①中的矩形纸片沿过点D的直线折叠，使得点C恰好落在上的点处，为折痕．若，，求的长． 【答案】问题解决： 证明：∵折叠， ∴，，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 又， ∴四边形是正方形； 教材延伸： 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，折叠的性质，勾股定理等等： （1）根据折叠的性质，三角形内角和可证明，利用等边对等角可得，结合折叠性质得出，从而证明四边形是菱形，再结合正方形的判定即可证明； （2）先证明四边形是矩形，可求出，，利用折叠和勾股定理可求出，，然后在中，利用勾股定理构建方程求解即可； 【详解】问题解决：略 教材延伸：∵矩形中，，， ∴，，， 由（1）知：四边形是正方形， ∴，， ∴，四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， 在中，，，， ∴，即， 解得； 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分 22. 【知识运用】 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． （1）【经历体验】已知为正实数，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设， ①用含的代数式表示___________，___________，___________； ②据此写出的最小值是___________； （2）【类比应用】根据上述的方法，求代数式的最小值； 【答案】（1）①；；；②5 （2）20 【解析】 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，也考查了勾股定理和类比的方法．熟练掌握以上知识点是关键． （1）①利用线段和差求得，利用勾股定理可得和的长； ②利用三角形三边的关系得到（当且仅当、、共线时取等号），作交的延长线于，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出，从而得到结论； （2）利用（1）中的方法画出图形，设，，，，则，利用勾股定理得到，，；根据三角形三边的关系得到而（当且仅当、、共线时取等号），作交的延长线于，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出即可得到代数式的最小值． 【小问1详解】 解：①， 根据勾股定理可得， ， 故答案为：；；； ②由①得， 而（当且仅当、、共线时取等号）， 作交的延长线于，如图， ，， 则四边形为长方形， ，， ， 的最小值为5， 即的最小值是5； 故答案为：5； 【小问2详解】 解：如图， 设，，，，则， ， ； ， 而（当且仅当、、共线时取等号）， 作交的延长线于，则四边形为长方形， ，， ， ， 的最小值为20， 即的最小值为20． 23. 已知，四边形是菱形，对角线交于点，点是直线上一点． （1）如图1，若，，点是线段中点，连，直接写出的长（不需要说明理由）； （2）如图2，若为等边三角形，点为线段上任一点（异于点），点为边上一点，且，求的值； （3）如图3，若为等边三角形，点在的延长线上，点在的延长线上，，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 解：是等边三角形，理由如下： 由（2）可得，， ∴， ∴， 又∵， ∴； ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等待，熟知菱形的性质和等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）延长到T，使得，连接，根据菱形对角线互相垂直平分得到的长，，再由勾股定理求出的长，证明是的中位线，则有； （2）由菱形的性质可得，，，再由等边三角形的性质得到，，证明，得到；利用勾股定理推出，据此可得答案； （3）由（2）可得，则，据此可证明；再证明，得到，导角证明，即可得到是等边三角形． 【小问1详解】 解：如图所示，延长到T，使得，连接， ∵四边形是菱形，对角线交于点， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵点是线段中点，， ∴是的中位线， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，对角线交于点， ∴，，， ∵为等边三角形， ∴，， ∵在菱形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江市博雅学校2025-2026学年第二学期期中考试 八年级数学试卷 一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分 1. 若有意义，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数据分别是线段a，b，c的长，能组成直角三角形的是（　　） A. 7，2，9 B. 4，5，6 C. 3，4，5 D. 5，10，13 3. 下列各图象中，不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，对角线，交于点O，若，且的周长比的周长多2，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 2 6. 过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形是（　　）． A. 六边形 B. 七边形 C. 八边形 D. 九边形 7. 小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系，则小明在体育馆锻炼的时间为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点E，D，F分别在边上，且，．下列四个判断中，不正确的是（ ） A. 四边形是平行四边形 B. 若且，则四边形是正方形 C. 若，则四边形是菱形 D. 如果，则四边形是矩形 9. 如图所示，圆柱的高为5米，底面圆的周长为4米．将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要（ ）米 A. 3 B. 4 C. 5 D. 10. 如图，E、F分别是正方形的边，上的点，且，，相交于点，下列结论：①；②；③；④中，正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分 11. “冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化，在这个变化过程中，因变量为_________．（填“冰的厚度”或“时间”） 12. 一个多边形的每一个外角都是，则这个多边形的边数_____． 13. 如图所示，一棵大树在离地面3米处折断倒下，树的顶端落在地上，树的顶端到树根的距离为4米，则这棵大树在折断前的高度为________米． 14. 如图，在中，，于点D，E是斜边的中点，若，则__________． 15. 如图，在菱形中，E，F分别是边上的动点，连接分别为的中点，连接．若，，则的最小值为_____ 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分 16. 已知，求的值； 17. 如图，已知，在中，E、F是对角线AC上的两点，且．求证：四边形是平行四边形． 18. 如图，小珍依据漏刻的基本原理做了一个底面积为，容积为的圆柱形漏刻（浮子体积忽略不计），观测并记录了水位（单位：）与时间（单位：）之间的数据如下： 0 1 2 3 4 5 … 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 … （1）请写出水位与时间之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． （2）当时，求对应的时间，并说明它表示的实际意义． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每题9分，共27分 19. 周末，小明和小亮去汉风公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： 测得水平距离的长为米； 根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； 牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 20. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为．四边形的四个顶点都是格点，用无刻度的直尺画图过程用虚线，画图结果用实线． （1）四边形的周长为 ； （2）在图1中，先在上画点E，使； （3）在图2中的上画点G，使； （4）在图3中，H是上一点，在上画点M，使． 21. 【教材呈现】下列材料是人教版八年级下册数学教材第65页数学活动的部分内容． 在一张矩形纸片的一端，利用如图所示的方法折出一个正方形。 【问题解决】如图①，在矩形中，E为上一点，将沿折叠得到，点恰好在上．求证：四边形是正方形． 【教材延伸】如图②，将图①中的矩形纸片沿过点D的直线折叠，使得点C恰好落在上的点处，为折痕．若，，求的长． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分 22. 【知识运用】 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． （1）【经历体验】已知为正实数，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设， ①用含的代数式表示___________，___________，___________； ②据此写出的最小值是___________； （2）【类比应用】根据上述的方法，求代数式的最小值； 23. 已知，四边形是菱形，对角线交于点，点是直线上一点． （1）如图1，若，，点是线段中点，连，直接写出的长（不需要说明理由）； （2）如图2，若为等边三角形，点为线段上任一点（异于点），点为边上一点，且，求的值； （3）如图3，若为等边三角形，点在的延长线上，点在的延长线上，，判断的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $