复习专题07 等比数列及其前n项和6种常见考法归类-【寒假自学课】2024年高二数学寒假提升学与练（苏教版2019）

专题07 等比数列及其前n项和6种常见考法归类 思维导图 核心考点聚焦 考点一、等比数列及其前n项和基本量的运算 考点二、等比数列的性质及其应用 (一)等比中项的应用 (二)利用等比数列的性质计算 (三)等比数列的单调性和最值 考点三、等比数列前n项和性质的应用 (一)等比数列的片段和性质的应用 (二)等比数列奇偶项和的性质 (三)等比数列前n项和其他性质 考点四、等比数列的证明 考点五、等比数列中an与Sn的关系 考点六、等比数列的简单应用 知识点1 等比数列有关概念 1. 等比数列定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：. 注：(1)定义的符号表示：＝q(n∈N*且n≥2)或＝q(n∈N*)；(2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项；(3)比必须是同一个常数；(4)等比数列中任意一项都不能为0；(5)公比可以为正数、负数，但不能为0. 2．等比数列通项公式为：（an＝a1qn－1an＝am·qn－m），通项公式还可以写成，它与指数函数有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列． 注：（1）等比数列通项公式的推导 设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知＝q(n∈N*且n≥2)． 方法一　an＝××…×××a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1， 当n＝1时，上式也成立． 方法二　a2＝a1q， a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2， a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3， … 由此可得an＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立． （2） 由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列； （3）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则. 3．等比中项 如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项，即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab． 注：①只有当两个数同号时，这两数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数. ②在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项； ③与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列中， ． ④等比中项与等差中项的异同，对比如下表： 对比项 等差中项 等比中项 定义 若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项 若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项 定义式 A－a＝b－A ＝ 公式 A＝ G＝± 个数 a与b的等差中项唯一 a与b的等比中项有两个，且互为相反数 备注 任意两个数a与b都有等差中项 只有当ab＞0时，a与b才有等比中项 知识点2 等比数列的通项公式与指数型函数的关系 1．当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)． 2．任意指数型函数f(x)＝kax(k，a是常数，k≠0，a>0且a≠1)， 则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a. 注意点：(1)a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增等比数列；(2)a1>0,0<q<1时，数列{an}为正项的递减等比数列；(3)a1<0，q>1时，数列{an}为负项的递减等比数列；(4)a1<0,0<q<1时，数列{an}为负项的递增等比数列；(5)q＝1时，数列{an}为常数列；(6)q<0时，数列{an}为摆动数列；奇数项符号相同，偶数项符号相同． 知识点3 等比数列的判定与证明 证明等比数列的方法 1．定义法：＝q(n∈N*且n≥2，q为不为0的常数)； 2．等比中项法：a＝an－1an＋1(n∈N*且n≥2)； 3．通项公式法：an＝a1qn－1. 注：用定义法证明时，和中的n的范围不同 知识点4 等比数列的性质 （1） 在等比数列中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列， 如：，，，，……；，，，，……； 注：若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列． （2）在等比数列中，对任意，，； （3）在等比数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等比中项. 也就是：，如图所示：. 注：(1)性质的推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，有amanap＝axayaz； (2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同； (3)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a1·an＝a2·an－1＝…. (4)等比数列下标为奇数的项正负相同，下标为偶数的项正负相同； （4）若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．