微突破(四) 抛物线的焦点弦 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（苏教版）

本高中数学讲义聚焦抛物线焦点弦这一核心知识点，系统梳理焦半径公式、弦长与倾斜角关系、面积计算及几何性质（如交点坐标关系、以弦为直径的圆与准线相切等），构建从基础公式到综合应用的学习支架。 该资料以问题驱动设计例题与变式题，引导学生用数学眼光发现焦点弦的数量关系与空间形式，通过推理性质应用培养数学思维。课中助力教师高效授课，课后学生可通过变式练习巩固知识，弥补薄弱环节。

微突破(四)　抛物线的焦点弦 一、抛物线的焦点弦与焦半径 已知倾斜角为θ的直线l经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线交于A,B两点(A在x轴上方),则 (1)AF=xA+,BF=xB+,AB=xA+xB+p. (2)AF=,BF=,+=. (3)AB=,当θ≠时,设k=tan θ,则AB=2p. 例1 (1)已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,过F且斜率为1的直线交C于A,B两点,若FA·FB=32,则p= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.1 B.2 C.3 D.4 (2)已知抛物线C:x2=8y的焦点为F,过F的直线l与抛物线C交于A,B两点(B在第一象限),若=4,则直线l的斜率为　　　　.  变式 过抛物线y2=4x焦点F的直线交抛物线于A,B两点,若AF=3,则BF的值为 (　 ) A. B.2 C. D. 二、抛物线焦点弦与面积问题 (1)已知倾斜角为θ的直线l经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线交于A,B两点,O为原点,则S△OAB=,=. (2)过抛物线焦点的两条相互垂直的弦的长度之和及以弦端点为顶点的四边形面积的最小值. ①已知AB,CD是抛物线E:y2=2px(p>0)的过焦点F的两条相互垂直的弦,则AB+CD存在最小值,且最小值为8p. ②已知AB,CD是抛物线E:y2=2px(p>0)的过焦点F的两条相互垂直的弦,则四边形ACBD的面积的最小值为8p2. 例2 (1)已知斜率为k(k>0)的直线过抛物线C:y2=4x的焦点F且与抛物线C相交于A,B两点,过A,B分别作该抛物线准线的垂线,垂足分别为A1,B1,若△ABB1与△ABA1的面积之比为2,则k的值为 (　 ) A. B. C. D.2 (2)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则当AB+DE取得最小值时,四边形ADBE的面积为 (　 ) A.32 B.16 C.24 D.8 变式 经过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于两点A,B,若S△AOB=2(其中O为坐标原点),则直线l的斜率为　　　　.  三、抛物线焦点弦与几何问题 (1)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2)是过F的直线与抛物线的两个交点,则x1x2=,y1y2=-p2. (2)抛物线y2=2px(p>0)与直线l交于A,B两点,若直线l恒过定点M(m,0),则xAxB=m2,yAyB=-2pm. (3)已知A,B两点在抛物线y2=2px(p>0)上,O为坐标原点,若OA⊥OB,则直线AB恒过定点(2p,0). (4)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条弦AB,记准线与x轴的交点为E,则射线EF平分∠AEB,即kAE+kBE=0. (5)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线与抛物线交于A,B两点. ①以线段AB为直径的圆M与准线相切(以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切); ②以线段AF为直径的圆C与y轴相切; ③以线段BF为直径的圆D与y轴相切; ④分别以线段AB,AF,BF为直径的圆M、圆C、圆D之间的关系:圆C与圆D外切,圆C、圆D既与y轴相切,又与圆M相内切. 例3 (多选题)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过F的直线交抛物线于A,B两点,线段AB的中点为M,A,B,M在l上的射影分别为P,Q,N,下列结论正确的为 (　 ) A.NA⊥NB B.NF⊥AB C.FP⊥FQ D.MP⊥MQ 变式 倾斜角为的直线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且与该抛物线交于点A,B,以AB为直径的圆与直线x=-1相切,则AB= (　 ) A.4 B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 微突破(四)　抛物线的焦点弦 例1　(1)D　(2)-　[解析] (1)由题意知F,AB的方程为y=x-,代入C的方程,得x2-3px+=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p,x1x2=.因为FA=+x1,FB=+x2,且FA·FB=32,所以=32,整理得+(x1+x2)+x1x2=32,所以+·3p+=32,结合p>0,解得p=4.故选D. (2)方法一:设直线l的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),x2>0,由已知得x1=-4x2,由得x2-8kx-16=0,则结合x1=-4x2(x2>0),得 方法二:设直线l与y轴的夹角为θ,由题得直线l的斜率k<0,抛物线的准线方程为y=-2,设准线与y轴交于点T,过点B作BM⊥准线,垂足为M,BM交x轴于点N,作BE⊥y轴于点E,如图,则ET=BM,由抛物线定义可得BF=BM=ET=FT-EF,其中FT=4,EF=BF·cos θ,故BF=4-BF·cos θ,解得BF=,同理可得AF=,因为=4,所以=4×⇒cos θ=,则直线l与x轴夹角的正弦值为,正切值为,又k<0,所以k=-. 变式　C　[解析] 如图所示,设∠AFx=θ,θ∈(0,π),BF=m,因为AF=3,所以点A到准线l:x=-1的距离为3,所以3=2+3cos θ,得cos θ=,因为m=2+mcos(π-θ),所以m=2-mcos θ,所以m=2-m,得m=,所以BF的值为,故选C. 例2　(1)D　(2)A [解析] (1)如图所示,由抛物线C:y2=4x,得F(1,0),设直线AB:y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以x1x2=1,x1+x2=.由已知和抛物线定义知====2,则有x2+1=2(x1+1),即x2=2x1+1.由可得故选D. (2)方法一:由题知直线DE的斜率存在且不为0,如图,不妨设直线DE的斜率为k(k>0),因为直线DE过抛物线的焦点(1,0),所以直线DE的方程为y=k(x-1),由可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=2+,所以DE=x1+x2+p=2++2=4+,同理可得AB=4+4k2,则AB+DE=8++4k2≥16,当且仅当k=1时取等号, 此时S四边形ADBE=DE·AB=×8×8=32.故选A. 方法二:由题知p=2,因为AB⊥DE,所以当AB+DE取得最小值时,四边形ADBE的面积为8p2=8×2×2=32. 变式　±　[解析] 方法一:由已知得F(1,0),设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以x1+x2=,x1x2=1,则AB=|x1-x2|=·=,又O到直线AB的距离d=,所以S△AOB=AB·d=··=2,解得k=±. 方法二:由题知p=2,设直线l的倾斜角为θ,由S△AOB=2,S△AOB=得 sin θ===,则cos θ=±=±,所以直线l的斜率k=tan θ==±. 例3　ABC　[解析] 如图,对于A,由抛物线定义可知AP=AF,BQ=BF,∵M为AB中点,∴MN=(AP+BQ)=(AF+BF)=AB,∴NA⊥NB,A正确;对于B,∵MN=AB=AM,∴∠MNA=∠MAN,∵AP∥MN,∴∠MNA=∠PAN,则∠PAN=∠MAN,又AF=AP,AN=AN,∴△ANP≌△ANF,∴∠AFN=∠APN=,即NF⊥AB,B正确;对于C,∵BF=BQ,AF=AP,∴∠BQF=∠BFQ,∠APF=∠AFP,∵AP∥OF∥BQ,∴∠APF=∠PFO,∠BQF=∠QFO,∴∠QFO=∠BFQ,∠PFO=∠AFP,∵∠AFO+∠BFO=2∠QFO+2∠PFO=π,∴∠QFO+∠PFO=,即FP⊥FQ,C正确;对于D,易知N为线段PQ的中点,若MP⊥MQ,则由FP⊥FQ知M,F在以N为圆心,NP为半径的圆上,∴MN=NF,又NF⊥AB,∴点M,F重合,∴点M,F不一定重合,∴MP⊥MQ不恒成立,D错误.故选ABC. 变式　B　[解析] 设抛物线y2=2px(p>0)的准线为l,则l:x=-,过点A,B分别作l的垂线,垂足分别为C,D,设AB的中点为M,过M作MN⊥l,垂足为N,如图,则MN=(AC+BD)=(AF+BF)=AB,即以AB为直径的圆与l:x=-相切,又以AB为直径的圆与直线x=-1相切,故直线x=-1即为抛物线的准线,∴p=2,∴抛物线方程为y2=4x.由题知直线AB的方程为y=(x-1),代入y2=4x中,∴3(x-1)2=4x,即3x2-10x+3=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1+x2=,∴AB=AF+BF=x1+x2+p=+2=,故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $