第3章 圆锥曲线与方程 本章总结提升(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（苏教版）

该高中数学讲义通过“题型分类+类型总述”系统构建圆锥曲线复习体系，以框架图呈现椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质等核心知识，清晰梳理各考点内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于真题与变式题结合，如2024新课标Ⅱ卷圆锥曲线方程题与“双曲狭缝”模型应用题，培养数学眼光与思维。分层设计满足不同学生需求，助力教师精准教学，提升复习效率。

本章总结提升 　　　　　 　　　　　 　　　　　 ◆ 题型一　圆锥曲线的标准方程与定义 [类型总述] (1)椭圆的定义与标准方程;(2)双曲线的定义与标准方程;(3)抛物线的定义与标准方程. 例1 (1)[2024·新课标Ⅱ卷] 已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.+=1(y>0) B.+=1(y>0) C.+=1(y>0) D.+=1(y>0) (2)[2023·天津卷] 双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.过F2作其中一条渐近线的垂线,垂足为P.已知|PF2|=2,直线PF1的斜率为,则双曲线的方程为 (　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 变式 (1)[2025·江苏盐城中学高二调研] 如图是一个“双曲狭缝”模型,直杆沿着与它不平行也不相交的轴旋转时形成双曲面,双曲面的顶端到底部沿变曲的边缘划出的线为双曲线.已知该模型左、右两侧的两段曲线(曲线AB与曲线CD)所在的双曲线离心率为2,曲线AB与曲线CD中间最窄处的距离为10 cm,点A与点C,点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称,且点A,B之间的距离为30 cm,则点A,D之间的距离为 (　 ) A.10 cm B.20 cm C.25 cm D.30 cm (2)(多选题)[2025·江苏南京一中高二质检] 已知曲线 C:x2+y2cos α=1(0<α<π),则下列结论正确的是 (　 ) A.曲线 C 可能是直线 B.曲线 C 可能是圆 C.曲线 C 可能是椭圆 D.曲线 C 可能是双曲线 (3)已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在y轴上,抛物线上一点M(a,-4)(a>0)到焦点F的距离为5,则该抛物线的标准方程为　　　　.  ◆ 题型二　圆锥曲线的几何性质 [类型总述] (1)已知基本量求离心率的值或取值范围;(2)已知圆锥曲线的方程求参数的值或取值范围;(3)已知曲线的某些性质求曲线方程或曲线的其他性质. 例2 (1)已知椭圆M:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在M上,Q为PF2的中点,且F1Q⊥PF2,F1Q=b,则M的离心率为 (　 ) A. B. C. D. (2)(多选题)[2024·新课标Ⅱ卷] 抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上动点,过P作☉A:x2+(y-4)2=1的一条切线, Q为切点,过P作l的垂线,垂足为B,则 (　 ) A.l与☉A相切 B.当P,A,B三点共线时,|PQ|= C.当|PB|=2时,PA⊥AB D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个 (3)[2024·新课标Ⅰ卷] 设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为　　　　.  变式 (1)(多选题)[2025·江苏宿迁中学高二调研] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,若AF1=BF2=2AF2,则 (　 ) A.∠AF1B=∠F1AB B.双曲线的离心率e= C.双曲线的渐近线方程为y=±x D.原点O在以F2为圆心,AF2为半径的圆上 (2)已知A,B,F分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的右顶点、上顶点和右焦点,若过A,B,F三点的圆恰与y轴相切,则C的离心率为　　　　.  ◆ 题型三　直线与圆锥曲线的综合应用 [类型总述] (1)焦点弦问题;(2)弦长的计算问题;(3)位置关系问题;(4)以直线与圆锥曲线相交为载体研究面积、最值、定点等核心问题. 例3 [2024·新课标Ⅰ卷] 已知点A(0,3)和点P分别为椭圆C:+=1(a>b>0)上的两点. (1)求C的离心率; (2)若过点P的直线l交C于另一点B,且△ABP的面积为9,求l的方程. 例4 [2023·全国乙卷] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点A(-2,0)在C上. (1)求C的方程; (2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:线段MN的中点为定点. 变式 [2025·江苏淮阴中学高二月考] 如图,设抛物线E:y2=2px(p>0),过焦点F的直线与抛物线E交于点A(x1,y1),B(x2,y2).当直线AB垂直于x轴时,AB=2. (1)求抛物线E的标准方程. (2)已知点P(1,0),直线AP,BP分别与抛物线E交于另一点C,D. ①求证:直线CD过定点; ②求△PAB与△PCD面积之和的最小值. ◆ 题型四　圆锥曲线的创新问题 [类型总述] 在新定义的背景下研究圆锥曲线的综合问题. 例5 对于椭圆+=1(a>b>0),令x'=,y'=,那么在平面直角坐标系x'Oy'中,椭圆经伸缩变换得到了单位圆x'2+y'2=1,在这样的伸缩变换中,有些几何关系保持不变,例如点、直线、曲线的位置关系以及点分线段的比等等,而有些几何量则等比例变化,例如任何封闭图形在变换后的面积变为原先的,由此我们可以借助圆的几何性质处理一些椭圆的问题. (1)在原平面直角坐标系中斜率为k的直线l经过x'=,y'=的伸缩变换后斜率变为k',求k与k'满足的关系式; (2)设动点P在椭圆Γ1:+y2=1(a>1)上,过点P作椭圆Γ1的切线,与椭圆Γ2:+y2=2(a>1)交于点Q,R,再过点Q,R分别作椭圆Γ2的切线交于点S,求点S的轨迹方程; (3)点A在椭圆+y2=1上,求椭圆上点B,C的坐标,使得△ABC的面积取得最大值,并求出该最大值. 变式 “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动,在我国源远流长,某些折纸活动蕴含丰富的数学知识,例如用一张圆形纸片,按如下步骤折纸(如图). 步骤1:设圆心是E,在圆内异于圆心处取一定点,记为F; 步骤2:把纸片折叠,使圆周正好通过点F(即折叠后图中的点A与点F重合); 步骤3:把纸片展开,并留下一道折痕,记折痕与AE的交点为P; 步骤4:不停重复步骤2和3,就能得到越来越多的折痕. 现取半径为4的圆形纸片,设点F到圆心E的距离为2,按上述方法折纸,以线段EF的中点为原点,线段EF所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,记动点P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程; (2)M(-2,0),N(2,0),过点D(1,0)作斜率不为0的直线l,直线l与曲线C交于G,Q两点,直线GM与直线NQ交于点B,求证点B在定直线上,并求出定直线的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $ 本章总结提升 【素养提升】 题型一 例1　(1)A　(2)D　[解析] (1)设M(x,y),则P'(x,0),P(x,2y),因为P在曲线C:x2+y2=16(y>0)上,所以x2+(2y)2=16(y>0),整理得点M的轨迹方程为+=1(y>0).故选A. (2)由题意,|PF2|=2,∵焦点到任一条渐近线的距离为b,∴b=2.在△POF2(O为原点)中,由等面积法易得点P的坐标为,故===,化简可得(a-)2=0,故a=,∴双曲线的方程为-=1. 变式　(1)B　(2)ACD　(3)x2=-4y [解析] (1)由题意得2a=10,解得a=5,因为离心率e==2,所以c=10,b==5,故双曲线方程为-=1.设A(m,n)(m>0,n>0),则B(m,-n),D(-m,n),连接AB,AD,因为AB=2n=30,所以n=15,则-=1,可得m=10,故AD=2m=20,即点A,D之间的距离为20 cm.故选B. (2)因为α∈(0,π),所以cos α∈(-1,1).对于A,当cos α=0时,曲线C:x=±1为两条直线,故A正确;对于B,假设曲线C是圆,则cos α=1,矛盾,故曲线C不可能是圆,故B错误;对于C,当 cos α∈(0,1)时,曲线C方程可化为x2+=1,且>1,表示焦点在y轴上的椭圆,故C正确;对于D,当cos α∈(-1,0)时,曲线C为焦点在x轴上的双曲线,故D正确.故选ACD. (3)根据题意,该抛物线开口向下,故设其方程为x2=-2py(p>0),因为抛物线上一点M(a,-4)(a>0)到焦点F的距离为5,所以M到准线y=的距离也为5,即+4=5,解得p=2,故抛物线方程为x2=-4y. 题型二 例2　(1)C　(2)ABD　(3) [解析] (1)Q为PF2的中点,且F1Q⊥PF2,则PF1=F1F2=2c,由椭圆的定义得PF1+PF2=2a,则PF2=2a-2c,又Q为PF2的中点,所以PQ=a-c,因为F1Q=b,所以由勾股定理可得F1Q2+PQ2=P,即b2+(a-c)2=(2c)2,又b2+c2=a2,所以2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0,解得e=或e=-1(舍).故选C. (2)点A(0,4)到准线l:x=-1的距离为1,圆A的半径为1,故l与☉A相切,选项A正确.当P,A,B三点共线时,A(0,4),P(4,4),|PA|=4,则|PQ|==,选项B正确.当|PB|=2时,xP=1,得yP=±2,当点P的坐标为(1,2)时,B(-1,2),|AB|=|AP|=,不满足PA⊥AB;当点P的坐标为(1,-2)时,B(-1,-2),|AB|=|AP|=,不满足PA⊥AB,选项C不正确.设抛物线的焦点为F,则F(1,0),连接PF,AF,由抛物线的定义可得|PB|=|PF|,则满足|PA|=|PB|=|PF|的点P在线段AF的垂直平分线上,易知线段AF的垂直平分线的方程为y=x+,由得y2-16y+30=0,因为Δ=(-16)2-4×30=136>0,所以满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个,选项D正确.故选ABD. (3)∵|AB|=10,∴|AF2|=5,又∵|AF1|=13,AF2⊥F1F2,∴|F1F2|==12,∴2c=12,∴c=6.∵2a=|AF1|-|AF2|=8,∴a=4,∴e==. 变式　(1)AB　(2)　[解析] (1)设AF1=BF2=2AF2=2m,则AB=AF2+BF2=3m,由双曲线的定义知,AF1-AF2=2m-m=2a,即m=2a,BF1-BF2=2a,即BF1-2m=2a,∴BF1=3m=AB,则∠AF1B=∠F1AB,故选项A正确;由余弦定理知,在△ABF1中,cos∠AF1B===,在△AF1F2中,cos∠F1AB=== cos∠AF1B=,化简整理得12c2=11m2=44a2,∴离心率e===,故选项B正确;双曲线的渐近线方程为y=±x,即y=±x,即y=±x,即y=±x,故选项C错误;假设原点O在以F2为圆心,AF2为半径的圆上,则c=m=2a,与=相矛盾,故选项D错误.故选AB. (2)由已知可得A(a,0),B(0,b),F(c,0),线段AF的垂直平分线方程为x=,过A,B,F三点的圆恰与y轴相切,所以该圆圆心坐标为,该圆的半径为,所以经过A,B,F三点的圆的方程为+(y-b)2=,因为A(a,0)在该圆上,所以+(0-b)2=,整理得b2=ac,所以a2-c2=ac,所以c2+ac-a2=0,又C的离心率e=,所以e2+e-1=0,由0<e<1,可得e=. 题型三 例3　解:(1)由已知得b=3,将点P的坐标代入椭圆C的方程,得+=1,解得a2=12,∴c2=a2-b2=3, ∴C的离心率e===. (2)方法一:设点B到直线AP的距离为d,由已知得S△ABP=|PA|·d=××d=9,解得d=. kAP==-,易得直线AP的方程为y=-x+3. 设过点B且与直线AP平行的直线为l',又l'与直线AP间的距离为,点B在椭圆C上,∴l':y=-x-3. 联立y=-x-3和+=1,解得x1=0,x2=-3, 所以B(0,-3)或B. 当点B的坐标为(0,-3)时,l的方程为y=x-3; 当点B的坐标为时,l的方程为y=x. ∴l的方程为y=x-3或y=x. 方法二:①当l的斜率不存在时,B,∴|BP|=3,点A到直线BP的距离为3, ∴S△ABP=×3×3=≠9,不满足题意. ②当l的斜率存在时,设斜率为k,则l的方程为y=k(x-3)+, 由得(3+4k2)x2+12k(1-2k)x+(3-6k)2-36=0, ∴Δ=36(2k+3)2>0,故k≠-,由根与系数的关系得3+xB=,∴xB=, ∴|BP|=·|3-xB|=·, 又点A到直线BP的距离d=,∴S△ABP=···=9, ∴|2k+3|·=3+4k2, ∴|2k+3|·|2k+1|=8k2+6, ∴4k2+8k+3=8k2+6或4k2+8k+3=-8k2-6, 即4k2-8k+3=0或12k2+8k+9=0,解得k=或, ∴l的方程为y=x-3或y=x. 例4　解:(1)由题意可得解得 所以椭圆C的方程为+=1. (2)证明:由题意可知,直线PQ的斜率存在,设直线PQ:y=k(x+2)+3,P(x1,y1),Q(x2,y2), 由消去y得(4k2+9)x2+8k(2k+3)x+16(k2+3k)=0, 则Δ=64k2(2k+3)2-64(4k2+9)(k2+3k)=-1728k>0,解得k<0,可得x1+x2=-,x1x2=. 因为A(-2,0),所以直线AP:y=(x+2),令x=0,解得y=,即M,同理可得N,则= += = = = =3, 所以线段MN的中点是定点(0,3). 变式　解:(1)由题意,当直线AB垂直于x轴时,x1=, 则=2px1得y1=±p, 则AB=2p,所以2p=2,即p=1,所以抛物线E的标准方程为y2=2x. (2)①证明:由题得点A,B,C,D均与原点O不重合,设C(x3,y3),D(x4,y4),直线AB:x=my+, 将直线AB的方程与抛物线E:y2=2x的方程联立,得y2-2my-1=0, 因此y1+y2=2m,y1y2=-1. 设直线AC:x=ny+1,将直线AC的方程与抛物线E:y2=2x的方程联立,得y2-2ny-2=0, 因此y1+y3=2n,y1y3=-2,则y3=.同理可得y4=, 所以kCD=====-=, 因此直线CD的方程为x=2m(y-y3)+x3,由x=2m(y-y3)+x3,得x=2my-2my3+x3=2my-2my3+=2my-2m·+=2my++=2my++=2my+2+2=2my+2+2·=2my+2,则CD:x=2my+2, 所以直线CD过定点(2,0). ②设Q(2,0),因为S△PAB=PF·|y1-y2|=|y1-y2|,S△PCD=PQ·|y3-y4|====|y1-y2|, 所以S△PAB+S△PCD=|y1-y2|==≥, 当且仅当m=0时S△PAB+S△PCD取到最小值. 题型四 例5　解:(1)设l上两点的坐标为(x1,y1),(x2,y2), 经伸缩变换后变为(x'1,y'1),(x'2,y'2), 则==b,==a,k=,k'=,则===. (2)作x'=,y'=y的伸缩变换,椭圆Γ1变换后得到了单位圆x'2+y'2=1, 椭圆Γ2变换后得到了以原点O为圆心的圆x'2+y'2=2, P,Q,R,S变换后得到P',Q',R',S', 则O,P',S'均在Q'R'中垂线上,如图. OP'=1,OQ'=,则∠Q'OP'=45°, 则S'Q'=,OS'=2, 则S'的轨迹方程为x'2+y'2=4, 代入x'=,y'=y,则S的轨迹方程为+y2=4. (3)作x'=,y'=y的伸缩变换,椭圆变换后得到了单位圆x'2+y'2=1, 点A变换后得到了A', 即A'(cos 45°,sin 45°),并设B,C变换后分别得到了B',C'. 易知在单位圆内接三角形中,面积最大为内接正三角形, 则,分别为绕O点按逆时针和顺时针方向旋转120°得到, 当B在第二象限内时,B',C'坐标分别为(cos(45°+120°),sin(45°+120°)),(cos(45°-120°),sin(45°-120°)), 即B',C'坐标分别为,, 则点B,C坐标分别为,;当B在第四象限内时,同理可得点B,C坐标分别为,. 单位圆内接正三角形面积为×××=,则△ABC的面积的最大值为×=. 综上,点B,C的坐标分别为,或,,△ABC面积的最大值为. 变式　解:(1)由题意可知,PE+PF=PA+PE=4>EF=2, 故点P的轨迹是以E,F为焦点,且长轴长2a=4的椭圆,焦距2c=EF=2,所以b2=a2-c2=1, 因此C的方程为+y2=1. (2)由题意可设直线l的方程为x=my+1,G(x1,y1),Q(x2,y2), 由消去x得(m2+4)y2+2my-3=0, 则Δ=4m2+12(m2+4)=16m2+48>0恒成立,y1+y2=-,y1y2=-. 如图,直线GM的方程为y=(x+2), 直线QN的方程为y=(x-2),由 可得x=-=-= -= = = =4,所以点B在定直线上,定直线方程为x=4. 学科网（北京）股份有限公司 $