3.3 抛物线 3.3.2 抛物线的几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（苏教版）

本讲义聚焦抛物线的几何性质这一核心知识点，通过类比椭圆、双曲线几何性质的研究方法，系统梳理抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线、离心率及通径长等性质及其代数表达，搭建从已有知识到新知识的学习支架。 该资料设计亮点突出，通过诊断分析（判断正误、问题辨析）帮助学生自查基础，探究点结合实例（如多选题、解答题）培养数学思维与推理意识，素养小结提炼定性、定量、转化要点体现数形结合。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

3.3.2　抛物线的几何性质 第1课时　抛物线的简单几何性质 【学习目标】 　　能类比椭圆、双曲线几何性质的研究方法得到抛物线的范围、对称性、顶点等几何性质及其代数表达. ◆ 知识点　抛物线的几何性质 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 　　　  　　　  准线方程 x=- 　　　  y=- 　　　  顶点 O(0,0) 离心率 e=　　　  通径长 　　　  【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)抛物线关于原点对称. (　 ) (2)抛物线只有一个焦点、一条对称轴,无对称中心. (　 ) (3) P(x1,y1)是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线的焦点,则PF=x1+p. (　 ) (4)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p(p>0). (　 ) 2.“抛物线x2=4y,y2=4x 的焦点到准线的距离是相同的,离心率也相同”这种说法是否正确? ◆ 探究点一　抛物线的几何性质 例1 (多选题)[2025·江苏南京一中高二月考] 对于抛物线x2=y,下列描述正确的是 (　 ) A.开口向上,对称轴为y轴 B. 开口向上,焦点为 C.焦点到准线的距离为4 D. 准线方程为y=-4 变式 [2025·安徽黄山一中高二质检] 下列说法中正确的是 (　 ) A.抛物线C:y2=-4x的焦点坐标为(1,0) B.抛物线C:y2=-4x的准线方程为x=-1 C.抛物线E:y2=2px(p>0)关于x轴对称 D.抛物线E:y2=2px(p>0)关于 y 轴对称 [素养小结] 运用抛物线的几何性质时要把握三个要点: (1)定性:由抛物线的标准方程看抛物线的开口方向,关键是看准二次项是x还是y,一次项的系数是正还是负. (2)定量:确定焦点到准线的距离p(p>0). (3)转化:抛物线上的一点到焦点的距离与到准线的距离相等,解题时适时转化可起到事半功倍的效果. ◆ 探究点二　抛物线的几何性质的应用 例2 (1)[2025·湖南湘潭一中高二质检] 点M(5,3)到抛物线y=ax2(a≠0)的准线的距离为6,那么抛物线的标准方程是 (　 ) A.x2=y或x2=-36y B.x2=y或x2=-y C.x2=12y或x2=-y D.x2=12y或x2=-36y (2)[2025·江苏通州中学高二调研] A,B是抛物线x2=2y上的两点,O为坐标原点.若OA=OB,且△AOB的面积为12,则∠AOB= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.30° B.45° C.60° D.120° 变式 已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,准线为l,点P在C上,过点P作准线l的垂线,垂足为A,若∠FPA=,则PF= (　 ) A.1 B. C. D.2 [素养小结] 应用抛物线的几何性质解题时,常结合图形思考,通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征,体现了数形结合思想解题的优越性. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3.2　抛物线的几何性质 第1课时　抛物线的简单几何性质 【课前预习】 知识点 　　x=　y= 1　2p 诊断分析 1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2.解:这种说法正确.抛物线x2=4y,y2=4x 的焦点到准线的距离都是2,离心率都是1. 【课中探究】 探究点一 例1　AC　[解析] 由x2=y可化为x2=8y,可知抛物线的开口向上,对称轴为y轴,焦点坐标为(0,2),焦点到准线的距离为4,准线方程为y=-2.故选AC. 变式　C　[解析] 抛物线C:y2=-4x的焦点坐标为(-1,0),故A错误;抛物线C:y2=-4x的准线方程为x=1,故B错误;抛物线E:y2=2px(p>0)关于 x 轴对称,不关于y轴对称,故C正确,D错误.故选C. 探究点二 例2　(1)D　(2)C　[解析] (1)将y=ax2转化为x2=y,当a>0时,抛物线开口向上,准线方程为y=-,点M(5,3)到准线的距离为3+=6,解得a=,所以抛物线方程为y=x2,即x2=12y;当a<0时,抛物线开口向下,准线方程为y=-,点M(5,3)到准线的距离为=6,解得a=-或a=(舍去),所以抛物线方程为y=-x2,即x2=-36y.所以抛物线的标准方程为x2=12y或x2=-36y.故选D. (2)∵OA=OB,∴A,B两点关于y轴对称,设A,则B,∴S△AOB=×2a×=12,解得a=2,∴B(2,6),设∠BOF=θ,∴tan θ==,∴θ=30°,∴∠AOB=2θ=60°.故选C. 变式　D　[解析] 如图,因为PF=PA,所以∠PAF=∠PFA=,设准线l与x轴交于点Q,因为PA∥QF,所以∠AFQ=∠PAF=.因为QF=p=1,所以AF=2,所以在等边三角形PAF中,PF=2. 学科网（北京）股份有限公司 $