1.4 两条直线的交点 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（苏教版）

本讲义聚焦“两条直线的交点”核心知识点，系统梳理从直线方程出发，通过解方程组求交点坐标，依据方程组解的个数判定相交、重合、平行位置关系，进而延伸至过交点的直线系方程，构建从概念到应用的学习支架。 资料通过诊断分析题强化基础认知，探究点例题及变式题引导学生用数学思维推理位置关系判定，用数学语言表达直线系方程。课中助力教师引导学生深度探究，课后学生可通过练习巩固方法，有效查漏补缺。

1.4　两条直线的交点 【学习目标】 　　1.能描述两条直线交点(坐标)的几何(代数)含义,能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 　　2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系. ◆ 知识点一　两条直线的交点 已知同一平面内的两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1,l2的公共点 一个 无数个 零个 直线l1,l2的位置关系 相交 重合 平行 ◆ 知识点二　直线系方程 已知直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0相交于点P,则过点P的直线(除l2外)可表示为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0. 【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若点M(a,b)在直线l:Ax+By+C=0上,则点M的坐标一定满足直线l的方程. (　 ) (2)若两直线相交,则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解. (　 ) (3) 若两条直线的斜率都存在且不相等,则两条直线相交. (　 ) 2.直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的位置关系如何? 若相交,能根据图形确定直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点坐标吗?有什么办法求得这两条直线的交点坐标? ◆ 探究点一　判断直线的交点及由交点求参数 例1 (1)(多选题)[2025·石嘴山三中高二月考] 下列说法中正确的有 (　 ) A.直线l1:x-2y+4=0和 l2:2x-4y+8=0相交 B.直线l1:x-y+2=0和 l2:2x+y-5=0的交点坐标为(1,3) C.直线l1:2x+y+2=0和 l2:y=-2x+3没有交点 D.直线l1:x-2y+1=0,l2:y=x,l3:2x+y-3=0两两相交 (2)若三条直线2x+3y+8=0,x+y+1=0,x+ky=0相交于一点,则实数k的值为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.-2 B. C.2 D. 变式 (1)若直线l1:y=kx+1与l2:x-y-1=0的交点在第一象限,则实数k的取值范围是 (　 ) A.(1,+∞) B.(-1,1) C.(0,1) D.(-∞,-1) (2)直线l1:2x-y=1与直线l2:-3x+2y=1的交点坐标为　　　　.  [素养小结] (1)求两相交直线交点坐标的一般方法是解两直线方程组成的二元一次方程组; (2)已知两条直线交点的情况,确定直线方程中的参数的值或取值范围,方法是先求出交点坐标,再根据题意列出关于参数的方程或不等式,从而求出参数的值或取值范围. ◆ 探究点二　过两直线交点的直线系方程 例2 求过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程. 变式 (1)过直线x+y-3=0与直线2x-y=0的交点,且与直线y=x平行的直线方程为　　　　　　.  (2)求过直线l1:x-2y+4=0和直线l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程. [素养小结] 求过两条直线交点的直线方程的两种方法: 方法一,先解方程组求出交点坐标,再结合其他条件写出直线方程;方法二,利用过两条直线交点的直线系方程,通过待定系数法求解. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4　两条直线的交点 【课前预习】 诊断分析 1.(1)√　(2)√　(3)√ 2.解:两直线相交,根据图形可确定两直线的交点坐标为(-2,2),可用解方程组的方法求两直线的交点坐标. 【课中探究】 探究点一 例1　(1)BCD　(2)B　[解析] (1)对于A,直线l1:y=x+2,l2:y=x+2,两直线重合,故A错误;对于B,由解得所以l1与l2的交点坐标为(1,3),故B正确;对于C,直线l1:y=-2x-2,l2:y=-2x+3,两直线的斜率相等且两直线不重合,故l1与l2平行,所以l1与l2没有交点,故C正确;对于D,直线l1:y=x+,l2:y=x,l3:y=-2x+3,可知直线l1,l2,l3的斜率分别为,1,-2,斜率都不相等,故三条直线两两相交,故D正确.故选BCD. (2)设三条直线相交于点P,则直线2x+3y+8=0,x+y+1=0交于点P,由解得即P(5,-6),∴直线x+ky=0过点P,可得5-6k=0,∴k=.故选B. 变式　(1)B　(2)(3,5)　[解析] (1)由题知k≠1.由解得 ∵两条直线的交点在第一象限,∴可得-1<k<1.故选B. (2)由解得所以直线l1与l2的交点坐标为(3,5). 探究点二 例2　解:方法一:由 得所以两直线的交点坐标为. 又所求直线与直线3x+y-1=0平行, 所以所求直线的斜率为-3. 故所求直线的方程为y+=-3,即15x+5y+16=0. 方法二:设所求直线的方程为(2x-3y-3)+λ(x+y+2)=0, 即(2+λ)x+(λ-3)y+(2λ-3)=0(*). 因为所求直线与直线3x+y-1=0平行, 所以 解得λ=. 代入(*)式,得x+y+=0, 即15x+5y+16=0. 变式　(1)x-3y+5=0　[解析] 由解得∴直线x+y-3=0与直线2x-y=0的交点坐标为(1,2).设所求直线的方程为y=x+k,将点(1,2)的坐标代入方程,得2=+k,∴k=,∴所求直线的方程为y=x+,即x-3y+5=0. (2)解:由解得 ∴P(0,2).∵直线l与直线l3垂直,且直线l3的斜率为, ∴直线l的斜率为-,∴直线l的方程为y-2=-(x-0), 即4x+3y-6=0. 学科网（北京）股份有限公司 $