2.2 直线与圆的位置关系(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦“直线与圆的位置关系”，涵盖相交、相切、相离三种关系及几何法、代数法判定，通过课前预习诊断分析与基础问题衔接旧知，课中探究分判定、相交弦、相切三个探究点，以例题和变式构建学习支架。 其亮点在于对比几何法与代数法，通过素养小结提炼方法培养数学思维，课后习题分层设计并结合航海触礁等实际情境，提升数学眼光与应用意识，帮助学生系统掌握知识，助力教师高效教学。

2.2 直线与圆的位置关系 1 探究点一 直线与圆的位置关系的判定 探究点二 直线与圆的相交弦问题 探究点三 直线与圆相切 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 2 【学习目标】 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离. 2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系. 3.掌握直线与圆相切、相交有关量的计算. 3 知识点 直线与圆的位置关系 直线：，不同时为0 与圆： 的位置关系及判断如下表所示. 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 ___个 ___个 ___个 判定 方法 几何法：计算圆心到直线的距 离 ___ ___ ___ 2 1 0 课 前 预 习 4 位置关系 相交 相切 相离 判定 方法 代数法：由 消元得到一元二次方程，计算 方程的判别式 ___0 ___0 ___0 续表 课 前 预 习 5 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若直线与圆有公共点,则直线与圆相交.( ) × （2）若直线与圆相交,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次 方程必有解.( ) √ （3）若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆的方程联立消元后得 到的一元二次方程无解.( ) √ （4）直线与圆 的位置关系是相交.( ) × 课 前 预 习 6 2.过一点作圆的切线，能作几条？ 解：若点在圆上,则该点为切点，切线只有一条； 若点在圆外，则切线有两条； 若点在圆内，则切线有零条. 课 前 预 习 7 探究点一 直线与圆的位置关系的判定 例1 已知直线与圆 . （1）若直线与圆相交，求实数 的取值范围； （2）若直线与圆相切，求实数 的值； （3）若直线与圆相离，求实数 的取值范围. 课 中 探 究 8 解:方法一:由消去 ,整理得 , 则 . （1）当直线与圆相交时,,即 ,解得 . （2）当直线与圆相切时,,即 ，解得 或 （3）当直线与圆相离时, , 即，解得或 . 课 中 探 究 9 方法二:圆的圆心坐标为,半径 ,则圆心到直 线的距离 . （1）当直线与圆相交时, , 即,解得 . （2）当直线与圆相切时, , 即,解得或 . （3）当直线与圆相离时, , 即,解得或 . 课 中 探 究 变式 已知直线与圆，则当 分别为何值时，直 线与圆有两个公共点、只有一个公共点、没有公共点？ 解：方法一：由得 ，则 . 当时， ，直线与圆有两个公共点. 当或时， ，直线与圆只有一个公共点. 当或时， ，直线与圆没有公共点. 课 中 探 究 11 方法二：由题意得，圆的半径，圆心坐标为 ，圆心到直 线的距离 . 当，即 时，直线与圆相交，有两个公共点. 当，即或 时，直线与圆相切，只有一个公共点. 当，即或 时，直线与圆相离，无公共点. 课 中 探 究 ［素养小结］ 直线与圆的位置关系的判断方法: （1）几何法:由圆心到直线的距离<m></m>与圆的半径<m></m>的大小关系判断. （2）代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断. （3）直线系法:若直线恒过定点,则可通过判断定点与圆的位置关系来 判断直线与圆的位置关系,但有一定的局限性,必须是过定点的直线系. 课 中 探 究 13 探究点二 直线与圆的相交弦问题 例2 ［课本P67T7］ 已知圆内有一点,过点 且倾斜角为 的直线与圆相交于, 两点. （1）当时,求弦 的长; 解:方法一（几何法）:当时,直线的斜率 , 所以直线的方程为,即 ,可得圆心到直 线的距离 . 又半径,所以弦长 . 课 中 探 究 14 方法二（代数法）:当时,直线的斜率 , 所以直线的方程为,即 ,代入方程 中,得 . 设, , 则, , 所以 . 课 中 探 究 15 （2）当弦的长最短时,求直线 的方程. 解:连接,当弦的长最短时, . 因为,所以 , 所以直线的方程为,即 . 例2 ［课本P67T7］ 已知圆内有一点,过点 且倾斜角为 的直线与圆相交于, 两点. 课 中 探 究 16 变式 （1）直线被圆 截得的弦 长为( ) A.2 B.4 C.8 D.16 √ [解析] 由,得 ，则该圆 的圆心坐标为，圆心到直线 的距离 ，所以弦长为 . 课 中 探 究 17 （2）已知直线与圆相交于， 两点，且，则直线 的方程为_________________. 或 [解析] 由，得，可得圆心到直线 的距离 ，因为圆的半径 ，所以弦长 ， 由题意得 ,整理可得，解得或， 故直线的方程为 或 . 课 中 探 究 18 ［素养小结］ 求圆截直线所得的弦长的方法: （1）几何法:用弦心距、半径及弦长的一半构成直角三角形的三边 长,利用勾股定理求解. （2）代数法:设交点为<m></m>,<m></m>,直线斜率为<m></m>,用弦长公式 <m></m>求解. 课 中 探 究 19 探究点三 直线与圆相切 角度1 过圆上一点求圆的切线方程 例3 过点作圆的切线，求 的方程. 解:由，得 ， 则该圆的圆心为，由点的坐标为 ，且 ，得点在圆上，可得 ， 则切线的斜率，故所求切线的方程为 ，即 . 课 中 探 究 20 变式 已知圆与直线切于点，则直线 的 方程为( ) A. B. C. D. [解析] 由，可得 ，故圆的圆心坐 标为，所以点与圆心连线所在直线的斜率为 ， 则直线的斜率为，故的方程为 ，整理得 . √ 课 中 探 究 21 角度2 过圆外一点求圆的切线方程 例4 过点作圆的切线，求切线 的方程. 解:方法一：由题意知，切线的斜率存在，设为，则切线 的方程为 ，即 . 由圆心到切线的距离等于圆的半径，得，解得 或 . 因此，所求切线的方程为或 . 课 中 探 究 22 方法二：由题意知，切线的斜率存在，设为 ，则切线的方程为 . 因为直线与圆相切，所以方程组 只有一组解. 消元整理得 . 因为方程①只有一组解，所以 ， 解得或.因此，所求切线的方程为或 . 课 中 探 究 变式 过点作圆 的切线，求该切线的方程. 解:当切线的斜率不存在时，切线方程为 ，满足题意； 当切线的斜率存在时，设切线方程为 ，即 ， 则由题意得，得， 切线方程为 ，即 . 综上所述，过点的圆的切线方程为或 . 课 中 探 究 24 ［素养小结］ 过一点的圆的切线方程的求法 （1）当点在圆上时,圆心与该点的连线与切线垂直,从而求得切线的 斜率,用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程. （2）当点在圆外时,过该点的切线有两条,但在用设斜率的方法来解 题时可能求出的切线只有一条,这时另一条切线的斜率不存在. 课 中 探 究 25 拓展 （多选题）已知圆 ，则下列说法正 确的是( ) A.为过点的圆 的一条切线 B.为过点的圆 的一条切线 C.为过点的圆 的一条切线 D.为过点的圆 的一条切线 √ √ 课 中 探 究 26 [解析] 圆的圆心为，半径 . 因为点到直线的距离为1，所以为过点的圆 的 一条切线，A正确； 因为点到直线的距离为2,所以 不是过点的圆 的 一条切线，B错误； 当切线斜率存在时，设过点的切线的方程为 ， 则由圆心到切线的距离等于半径得，解得 ，所以所求 切线方程为，C正确，D错误， 故选 . 课 中 探 究 27 课后习题 28 1.［2025·广东湛江高二期中］直线 与圆 的位置关系为( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断 [解析] 由题知，圆的圆心为，半径，因为圆心 到 直线的距离，所以圆 与直线 相交.故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 2.直线被圆 截得的弦长为( ) A.1 B.2 C. D. [解析] 由题知圆心为,半径 ,可得圆心到直线的距离 ,则弦长 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 3.［2025·江苏徐州高二期中］已知直线 与以 为圆心的圆相交于，两点，且，则圆 的方程为 ( ) A. B. C. D. [解析] 易知到直线 的距离 ，所以圆的半径 ，故 圆的方程为 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 4.［2025·南京外国语学校高二期中］设 为实数，则直线 与圆 的交点个数 为( ) A.0 B.1 C.2 D.无法确定 [解析] 由，得直线恒过点. 圆 的标准方程为，因为 ，所以点在圆内，所以直线与圆相交，则直线与圆 恒 有2个交点. 故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 5.［2025·湖南衡阳一中高二月考］已知圆 ，过 直线上的动点作圆的一条切线，切点为 ，则 的最小值为( ) A.2 B.4 C. D.3 [解析] 连接，，则，所以当 最 小时，最小， 又圆的圆心为 ，半径为1， 所以，故的最小值为 . 故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 6.（多选题）［2025·江苏南通海门中学高二月考］ 已知直线 ，圆 ，则下列说 法正确的是( ) A.直线与圆 一定有公共点 B.当时，直线被圆 截得的弦最长 C.当直线与圆相切时， D.圆心到直线的距离的最大值为 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 [解析] 圆的标准方程为，则圆心 ， 半径为2. 由,得,则直线 过定点， 易知点在圆的外部，所以A错误； 当 时，直线的方程为，此时直线过圆心 ， 截得的弦恰为直径，即直线被圆截得的弦最长，故B正确； 当与圆 相切时，，解得，故C正确； 当与 垂直时，圆心到的距离取得最大值，最大值为， 故D正确. 故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 7.［2025·重庆杨家坪中学高二月考］直线 被圆 截得的弦长为，则 _______. 0或10 [解析] 由题意得圆心为，则圆心到直线 的距离为 . 因为圆的半径为，弦长为 ， 所以，解得或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 8.若过点作圆 的切线有且只有一条，则该切 线的一般式方程为_____________. [解析] 因为过点作圆 的切线有且只有一条， 所以点在圆上，则点为切点. 因为切点与圆心 所在直线的斜率， 所以切线的斜率 ， 则切线方程为，即 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 9.（13分）已知圆外有一点,过点 作直线 . （1）当直线与圆相切时,求直线 的方程; 解:由题意知,圆的圆心为,半径 . 当直线的斜率不存在时,直线的方程为,此时直线与圆 相切. 当直线的斜率存在时,设直线的方程为 ,即 ,因为直线与圆相切,所以 ,解得 , 此时直线的方程为 . 综上,直线的方程为或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 （2）当直线的倾斜角为 时,求直线被圆 所截得的弦长. 解:当直线的倾斜角为 时,直线的方程为 , 即,圆心到直线的距离 ,故所求弦长为 . 9.（13分）已知圆外有一点,过点 作直线 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 10.（13分）已知圆过点，， . （1）求圆 的一般方程； 解:设圆 的一般方程为 ，则由题意得 解得所以圆 的一般方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 （2）设直线过点,且与圆交于，两点，若 ,求 的方程. 解:由（1）知圆的标准方程为 ，因为 ，且圆的半径为5，所以圆心到直线的距离. ①当的斜率不存在时，的方程为，此时圆心到直线 的距离 为 ，符合题意. 10.（13分）已知圆过点，， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 ②当的斜率存在时，设的方程为 ，即 ， 所以圆心到直线的距离为，解得 ， 所以的方程为，即 . 综上，的方程为或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 11.［2025·安徽合肥一中高二期中］一条光线从点 射出，经 轴反射后与圆 相切，则反射光线所在直线 的斜率为( ) A.或 B.或 C.或 D.或 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 [解析] 由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点 ， 设反射光线所在直线的斜率为 ，则反射光线所在直线的方程为 ，即 . 又因为反射光线与圆相切， 所以 ,整理， 解得或 ,故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 12.［2025·江苏南通实验中学高二期末］经过原点且倾斜角为 的直 线被圆截得的弦长是，则圆在 轴 下方部分与 轴围成的图形的面积为( ) A. B. C. D. √ [解析] 由题可知，直线的方程为 ，圆 的圆心坐标为，半径为，可得圆心 到 直线的距离 ，则由题意得 ，解得. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 所以圆 的圆心坐标为，半径为4. 设圆与轴交于，两点， 为坐标原点， 如图，由图可知，， 则 ，同理，所以 ， 则 ，， 则圆 在轴下方部分与 轴围成的图形的面积为 .故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 13.［2025·江苏盐城实验中学高二月考］若过点的直线 与圆 有公共点，则直线 的倾斜角的最大值为( ) A. B. C. D. [解析] 易知当直线的倾斜角最大时，直线与圆相切，此时斜率存在， 圆的圆心为，半径 . 设直线方程为，即 ，则圆心到直线的距离 ，解得或，所以当 时，倾斜角取 得最大值 . √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 14.［2025·江苏南京金陵中学高二期末］若圆 上恰有2个点到直线 的距离为1，则实数 的取值范围为______. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 [解析] 设与直线平行且与直线 之间的距离为1的直线方程为 ,,则,解得或 . 由题可知圆的圆心为,则圆心到直线 的距离,圆心到直线 的距离 . 因为圆上恰有2个点到直线 的距离为1,所以圆与直线 相交，与直线 相离，所以,即 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 15.对于两条平行直线与圆的位置关系定义如下：若两平行直线中至 少有一条与圆相切，则称两平行直线与圆的位置关系为“平行相切”； 若两平行直线都与圆相离，则称两平行直线与圆的位置关系为“平行 相离”，否则称为“平行相交”.已知直线 ， ，和圆 的位置关系是“平行相交”，则 的取值范围为_ ___________________. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 [解析] 由题可知，圆的标准方程为 ，由两直线 平行可得，解得或， 当 时，直线与重合，舍去，故 , 此时两平行直线的方程分别为和. 由直线 与圆相切，得， 由直线 与圆相切，得. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 当两平行直线与圆都相离时， ，所以当两平行直线与圆的位置 关系为“平行相交”时，满足故 的 取值范围是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（15分）如图，某海面上有，， 三个小岛 （面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东 方向且距离岛千米处，岛在 岛的正东方 向且距离岛20千米处，以 为坐标原点，正东方 向为 轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直 角坐标系，圆经过，， 三点. （1）求圆 的标准方程. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 解:由题可知，，，设过，， 三 点的圆的一般方程为 ， , 则 解得所以圆 的一般方程为 ， 标准方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （2）若圆区域内有未知暗礁，现有一艘航海船 在 岛的南偏西 方向距离 岛40千米处，正沿着北 偏东 方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有 触礁的危险？ 解:由题可知， ， 且该船航线所在直线的斜率为 , 所以直线的方程为 ， 可求得圆心到直线的距离 ， 故该船没有触礁的危险. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 $