2.1 圆的方程 第1课时 圆的标准方程(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦圆的标准方程，涵盖定义、方程推导、点与圆位置关系及实际应用。通过课前预习梳理定义与方程、诊断分析巩固基础，课中探究以例题变式逐步深化，形成从概念到应用的学习支架，衔接平面几何与解析几何知识脉络。 其亮点在于以问题链驱动探究，如圆拱桥跨度与支柱高度问题，培养学生用数学眼光观察现实世界的几何直观与创新意识。例题变式训练发展数学思维的推理能力，素养小结提炼方法强化数学语言表达。学生能深化知识理解与应用能力，教师可依托系统资源提升教学效率。

2.1 圆的方程 1 第1课时 圆的标准方程 2 探究点一 圆的标准方程 探究点二 点与圆的位置关系 探究点三 圆的标准方程的实际应用 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.能描述确定圆的几何要素,能根据给定圆的几何要素推导出圆的标 准方程. 2.能分析圆的标准方程中相关量的几何意义. 3.能根据给定圆的几何要素求出圆的标准方程. 4 知识点一 圆的定义及标准方程 1.圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，其中定点就是圆 心，定长就是半径. 课 前 预 习 5 2.圆的标准方程 圆 圆心在原点 圆心不在原点 圆心 半径 标准方程 _____________ _______________________ 提示：（1）确定圆的标准方程的关键是确定方程中的三个常数,, ; （2）已知圆心与圆上任意一点可以求出该圆的半径. 课 前 预 习 6 知识点二 点与圆的位置关系 已知点，圆， . 位置关系 与 的大小 图示 , 满足的关系 点在圆外 ___ ________________________________ ___ 课 前 预 习 7 位置关系 与 的大小 图示 , 满足的关系 点在圆上 ___________________________ ___ 点在圆内 ___ _____________________________ ___ = 续表 课 前 预 习 8 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）圆的圆心坐标是 ,半径是4.( ) × （2）点在圆 的内部.( ) √ （3）已知为定点,点满足集合,则点 的 轨迹为圆.( ) √ （4）点在以 为圆心，5为半径的圆上.( ) × 课 前 预 习 9 2.方程表示圆心为，半径为 的 圆吗？ 解:不是.方程表示圆心为 ， 半径为 的圆. 课 前 预 习 10 探究点一 圆的标准方程 例1 根据下列条件,求圆的标准方程: （1）圆心为点,且经过点 ; 解:由题意得,圆的半径 ,所以圆 的标准方程为 . （2）, 为直径的两个端点; 解:由题易知，线段的中点为,所以圆心为 ,又半径 ,所以圆的标准方程为 . 课 中 探 究 11 （3）经过点和点 ,半径为2; 解:设圆的标准方程为,, , 因为圆经过点和点,所以 解得 或 所以圆的标准方程为 或 . 例1 根据下列条件,求圆的标准方程: 课 中 探 究 12 （4）过点，且圆心在直线 上. 解:方法一：设所求圆的标准方程为 ， 由已知条件得 可得故所求圆的标准方程为 . 例1 根据下列条件,求圆的标准方程: 课 中 探 究 13 方法二：设点为圆心，因为点在直线 上，所以可 设点的坐标为 . 又该圆经过, 两点， 所以 ， 则 ，解得 . 则圆心坐标为，半径 . 故所求圆的标准方程为 . 课 中 探 究 14 方法三：由已知可得线段的中点坐标为， ， 所以线段的垂直平分线的斜率，所以线段 的垂直平分线 的方程为 ，即. 则圆心是直线与 的交点， 由得 即圆心为，则圆的半径为 ， 故所求圆的标准方程为 . 课 中 探 究 15 变式 根据下列条件，求圆的标准方程： （1）圆心是，且过点 ； 解: 圆心为，且过点， 半径， 圆的标准方程为 . 课 中 探 究 16 （2）圆心在轴上，半径为5，且过点 ； 解:设圆心为 ， ， ，或，或 ， 圆的标准方程为或 . 变式 根据下列条件，求圆的标准方程： 课 中 探 究 17 （3）点和都在圆上，圆心在 轴上. 解:设圆心为， ， ，即 ， ，半径， 圆的标准方程为 . 变式 根据下列条件，求圆的标准方程： 课 中 探 究 18 ［素养小结］ 求圆的标准方程一般有两种方法:（1）直接法.通过研究圆的几何性 质,确定圆心坐标与半径,即得到圆的标准方程.（2） 待定系数法.设 圆的标准方程为<m></m>,先根据条件列出关 于<m></m>,<m></m>,<m></m>的方程组,然后解出<m></m>,<m></m>,<m></m>,最后代入标准方程. 课 中 探 究 19 探究点二 点与圆的位置关系 例2 已知点和圆 . （1）若点在圆的内部，求实数 的取值范围; 解: 点在圆的内部, , 即,解得 ， 故的取值范围是 . 课 中 探 究 20 （2）若点在圆上，求实数 的值; 解:将点的坐标代入圆的方程,得 , 即,解得 . （3）若点在圆的外部，求实数 的取值范围. 解: 点在圆的外部, , 即,解得 , 又,故的取值范围是 . 例2 已知点和圆 . 课 中 探 究 21 变式（1）写出圆心坐标为 ,半径为5的圆的标准方程,并分别判断 点, 与该圆的位置关系. 解:易知圆的标准方程为, 则点 到圆心的距离为, 点 到圆心的距离为, 所以点在圆上,点 在圆内. 课 中 探 究 22 （2）已知点在圆的内部,求实数 的取值范围. 解:由题意知 解得 , 因此的取值范围是 . 课 中 探 究 23 ［素养小结］ 判断点与圆的位置关系的方法：计算该点与圆心的距离，与半径比 较即可. 课 中 探 究 24 探究点三 圆的标准方程的实际应用 例3 已知某圆拱桥（如图）的跨度 米，拱 高 米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支 柱支撑，求与相距30米的支柱 的高度. 解:以为原点，所在直线为 轴，建立如图所 示的平面直角坐标系. 由题可知，, ， 所以, ， 课 中 探 究 25 设圆拱所在圆的圆心为 ，圆拱所在圆的方程为 ， 因为点, 在圆拱上， 所以解得 即圆拱所在圆的方程为. 将 代入圆的方程，得 ， 解得. 因为，所以 . 所以与相距30米的支柱的高度为 米. 课 中 探 究 [解析] 设半圆形隧道所在圆的圆心为，以 为坐 标原点，半圆的直径所在直线为 轴，建立如图所 示的平面直角坐标系， 设篷顶 距地面的高度为，则， ，半圆所在圆的方程为 变式 一辆卡车宽 ，要经过一个单向通行的半圆形隧道 （半径为 ），则这辆卡车的平顶车篷的篷顶距地面高度不得超 过（注： ）( ) A. B. C. D. ，把点的坐标代入上式可得， ，可 得 .故选B. √ 课 中 探 究 27 ［素养小结］ 圆的标准方程的简单应用问题的一般解法是建立坐标系，先求出圆 的标准方程，再按照实际问题的要求去求解. 课 中 探 究 28 课后习题 29 1.已知圆的圆心为，半径为 ,则( ) A., B., C., D., [解析] 因为圆的标准方程为 , 所以圆心为,半径 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 2.已知圆的圆心为,半径,则点与圆 的位置关 系是( ) A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.无法判断 [解析] 因为,所以点 在圆上,故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 3.以点为圆心，且经过点 的圆的方程为( ) A. B. C. D. [解析] 因为圆以点为圆心，且经过点 ， 所以圆的半径, 所以以点 为圆心，且经过点的圆的方程为 . 故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 4.若点不在圆的外部,则实数 的取值 范围为( ) A. B. C. D. [解析] 点不在圆的外部, 则点 在该圆的内部或圆上, 故,且 , 解得,故实数的取值范围为 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 5.过点，， 的圆的标准方程为( ) A. B. C. D. [解析] 连接，，由题可知，线段的垂直平分线为 ，线 段的垂直平分线为，故所求圆的圆心为 ， 又半径, 故所求圆的标准方程为 . 故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 6.（多选题）［2025·湖南长沙一中高二质检］ 已知圆上的点 关 于直线的对称点仍在圆上,且圆的半径为 ,则圆的标准方 程可能是( ) A. B. C. D. [解析] 圆上的点关于直线的对称点仍在圆上, 圆心在直线上. 设圆心坐标为 ,则由,解得或, 圆的标准方程为或.故选 . √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 7.［2025·江苏徐州一中高二期末］已知圆的圆心为 ,一条直 径的两个端点分别在轴和 轴上,则该圆的标准方程为____________ ____________. [解析] 由题意知原点在该圆上, 则该圆的半径 , 故该圆的标准方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 8.如图，某圆拱桥的水面跨度为12米，拱高为4米，现有一船宽8米， 则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为_____米. （精确到，参考数据 ） 2.63 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 [解析] 以圆拱桥的跨度所在直线为轴，过圆拱桥的最 高点且垂直于 轴的直线为 轴，建立如图所示的平面 直角坐标系，设图中的矩形 表 示船刚好能通过桥下的位置. 可得，， ，， ，设圆拱桥所在圆的 方程为， 因为点， 在该圆上，所以解得 所以圆 的方程为. 令 ,则 ,所以这条船能从桥下通过的水面以上 最大高度约为2.63米. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 9.（13分）根据下列条件，分别求圆的标准方程： （1）圆心在轴上，半径为5，且过点 ； 解:设圆的标准方程为 . 因为点在圆上，所以，解得 或 ， 所以所求圆的标准方程为或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 （2）经过点，，且以线段 为直径； 解:设圆的标准方程为 ，由题意得 ， . 又因为点在圆上，所以 ，所 以所求圆的标准方程为 . 9.（13分）根据下列条件，分别求圆的标准方程： 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 （3）圆心在直线上，且与直线相切于点 ； 解:设圆心为，因为圆与直线相切于点 ，所 以 ， 解得 ， 所以所求圆的圆心为，半径 . 所以所求圆的标准方程为 . 9.（13分）根据下列条件，分别求圆的标准方程： 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 （4）圆心在直线上，且过点， . 解:设点为圆心，因为点在直线上，所以可设点 的坐标为 . 又该圆经过，两点，所以 . 所以 ，解得 ，所以，半径 . 故所求圆的标准方程为 . 9.（13分）根据下列条件，分别求圆的标准方程： 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 10.［2025·江苏南京一中高二期中］已知集合 , ，，则集合 中含有的元素有 ( ) A.零个 B.一个 C.两个 D.无数个 [解析] 易知集合表示的是圆 及其内部所有的点，则 ,，所以集合 中含有的元素有两个.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 11.已知,是方程 的两个不相等的实数根,则点 与圆 的位置关系是( ) A.点在圆内 B.点在圆上 C.点 在圆外 D.无法确定 [解析] 因为,是方程 的两个不相等的实数根,所以 所以 ,由此可知, 点在圆 内.故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 12.（多选题）［2025·浙江温州二中高二期末］ 设有一组圆 ，则下列说法正确的是( ) A.圆心 在一条直线上 B.所有圆均不经过点 C.经过点的圆 有且只有一个 D.所有圆的面积均为 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 [解析] 根据题意，圆 的圆心为 ,半径为2. 对于A，圆心为,圆心在直线 上，故A正确； 对于B，将点的坐标代入圆的方程可得 , 化简得,可知 ,则方程无解， 所以所有圆均不经过点，故B正确； 对于C，将点 的坐标代入圆的方程可得, 解得 ,则经过点的圆 有两个，故C错误； 对于D,因为所有圆的半径均为2,所以所有圆的面积均为,故D正确. 故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 13.［2025·江苏盐城一中高二月考］在对某一个圆的方程的探究中， 有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆的半径为 ；乙：该圆 经过点；丙：该圆的圆心为；丁：该圆经过点 .如果只 有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是____. 丁 [解析] 设，，，则 , , . 假设甲错误，乙、丙、丁均正确，由乙、丙、丁正确得, ，则 ，与丙正确矛盾,假设不成立，所以甲正确. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 假设乙错误，甲、丙、丁均正确,由甲、丙正确可知圆的标准方程为 ，易知点 不在该圆上，与丁正确矛盾， 假设不成立，所以乙正确. 假设丙错误，甲、乙、丁均正确,由乙、丁正确得 ，与甲 正确矛盾,假设不成立，所以丙正确. 假设丁错误，甲、乙、丙均正确，由甲、丙正确可知圆的标准方程为 ，显然点 在该圆上，符合题意. 综上所述，结论错误的同学是丁. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.（15分）［2025·江苏南通中学高二月考］ 如图，矩形 的两条对角线交于点 ， 边所在直线的方程为 ，点在 边所在直线 上. （1）求 边所在的直线方程； 解:因为，所以.可求得关于 的对称点 为，且易知点在直线上，所以 边所在直线的方 程为，即 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 （2）求点的坐标以及矩形 外接圆的 标准方程. 解:由 解得即. 设矩形 外接圆的半径为, 则 . 所以矩形外接圆的标准方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 15.［2025·江苏苏州一中高二月考］由曲线 围成 的图形的面积是( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 [解析] ①当，时， 可 化成，即 . 同理，②当，时， 可化成 ; ③当，时， 可化成； ④当，时， 可化成 . 根据以上分析作出曲线 ，如图中实线所示， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 由图可知，所求图形的面积为在第一象限的曲线与坐标轴围成的面积的 4倍，结合①易知，点的坐标为， 点的坐标为 ，且为等腰直角三角形（其中 为坐标 原点），所以在第一象限的曲线与坐标轴围成的面 积 ， 从而曲线围成的图形的面积 . 故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（15分）， 两地均出售某种大型商品，且价格相同，某地居民 从两地之一购得商品运回来，地每千米的运费是 地每千米的运费 的两倍，，两地相距10千米，若要使顾客选择地或 地购买这种 商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择 购买此商品的地点？ 解:以所在直线为轴，线段的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系，如图所示. 设，则 . 在坐标平面内任取一点 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 设从地运货到地的运费为元/千米，则从地运货到 地的运费 为 元/千米. 若地居民选择在地或 地购买此商品的运费相同，则 ，整理得 ， 设，则圆上的居民可随意选择，两地之一购物，圆 内的居民应在地购物，圆外的居民应在 地购物. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 $