1.5 平面上的距离 1.5.1 平面上两点间的距离(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦平面上的距离，核心内容包括两点间距离公式推导与应用、由距离求参数及坐标法证明几何问题。通过课前预习（含知识点梳理与诊断分析）搭建基础，课中设置三个探究点（求距离、求参数、坐标法应用），结合例题与变式形成递进式学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以数学思维为核心，通过一题多解（如例1用距离公式与斜率证等腰直角三角形）培养推理能力，坐标法应用（如例3证明几何等式）强化数学语言表达。诊断分析与分层习题帮助学生用数学眼光发现问题，教师可借助结构化资源实施高效教学，提升学生运算与探究能力。

1.5 平面上的距离 1 1.5.1 平面上两点间的距离 2 探究点一 求两点间的距离 探究点二 由两点间的距离求参数 探究点三 坐标法的应用 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.能推导两点间的距离公式,会分析公式中相关量的几何意义. 2.能根据给定的两点坐标熟练运用公式求两点间的距离. 3.会用坐标法证明简单的平面几何问题． 4 知识点 两点间的距离公式 平面上,两点间的距离公式为 _______________________. （1）当直线平行于轴时, _________; （2）当直线平行于轴时, _________; （3）特别地,原点与任一点间的距离 . 课 前 预 习 5 【诊断分析】 （1）已知点，，且，则 的值为1.( ) × （2）若，,则线段的中点坐标为 .( ) √ （3）点与点之间的距离为 .( ) × （4）当， 两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公 式不适用.( ) × 课 前 预 习 6 探究点一 求两点间的距离 例1 已知的三个顶点，， ，试判断 的形状． 解：方法一： ， ， ， ，且 ， 是等腰直角三角形． 课 中 探 究 7 方法二：， ， ， . 又 ， ，， 是等腰直角三角形． 课 中 探 究 8 变式 若点在轴上，点在轴上，线段的中点为，则 等 于( ) A.10 B.5 C.8 D.6 [解析] 由题意得， ，所以 .故选A. √ 课 中 探 究 9 ［素养小结］ 计算两点间距离的方法： （1）对于任意两点<m></m>和<m></m>，有 <m></m>； （2）对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式 的特殊情况求解． 课 中 探 究 10 探究点二 由两点间的距离求参数 例2 已知点，，当 取得最小值时，实 数 的值为__． [解析] 因为点， ，所以 ,故 当时， 取得最小值. 课 中 探 究 11 变式 已知点，，，且，则 的值是 ( ) A. B.2 C. D. [解析] 因为点，，，且 ，所以 ，解得 . √ 课 中 探 究 12 ［素养小结］ 已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出 所求点的坐标，利用两点间距离公式建立关于所求点的坐标的方程 或方程组求解． 课 中 探 究 13 探究点三 坐标法的应用 例3 用坐标法证明:若四边形是长方形,则对直线 上任意一点 ,等式 恒成立. 证明:以为坐标原点,边所在直线为轴, 边所在直 线为 轴,建立平面直角坐标系，如图所示, 设,,则,,, ,直线 的方程为 . 设,则 , ,所以 . 课 中 探 究 14 变式 如图,,,三点共线，和是在直线 同侧的两个 等边三角形.试用坐标法.证明: . 课 中 探 究 15 证明:如图所示,以点为坐标原点,所在直线为 轴 建立平面直角坐标系. 设和的边长分别为和 , 则,,, , 所以 ,,所以 . 课 中 探 究 16 ［素养小结］ 利用坐标法解决平面几何问题的一般步骤： （1）建立坐标系,用坐标表示有关的量; （2）进行有关代数运算; （3）把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 课 中 探 究 17 课后习题 18 1.［2025·湖南邵阳七中高二期中］已知，，则， 两 点间的距离为( ) A.5 B. C.3 D. [解析] 因为，，所以, 两点间的距离为 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 19 2.［2025·江苏扬州大学附中高二期中］已知 的顶点为 ，，，则 边上的中线长为( ) A.4 B.5 C. D. [解析] 设的中点为，因为，，所以 . 又，所以边上的中线长 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 20 3.已知点,线段的中点是，那么点到原点 的距离为 ( ) A.41 B. C. D.39 [解析] 设，由中点坐标公式得解得 所以点 ，则 . √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 21 4.若光线从点出发射到轴上，经轴反射后经过点 ， 则光线从到 经过的路程为( ) A. B. C. D. [解析] 易知点关于轴对称的点为，则光线从 到 的路程即的长，可得 ， 即光线从到经过的路程为 . √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 22 5.已知四边形的四个顶点为，，， ， 则四边形 的形状是( ) A.非平行四边形 B.正方形 C.直角梯形 D.等腰梯形 [解析] 依题意得， ， ， ， ，所以 ，所以四边形是菱形. 又直线 的斜率，直线的斜率，所以， 则 ，所以菱形 是正方形.故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 23 6.（多选题）已知等腰直角三角形的直角顶点为,若点 的 坐标为,则点 的坐标可能是( ) A. B. C. D. [解析] 设,根据题意可得 即 解得或所以或.故选 . √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 24 7.已知点,点在轴上,若,则点 的坐标为______ ________. 或 [解析] 设,因为点 ,所以 ,整理得,解得 或 ,所以点的坐标为或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 25 8.［2025·江苏徐州一中高二期末］若直线 过定点 ，直线过定点，则, 两点间的距离 是_____． [解析] 由得 所以.由,得 ， 由解得即 .所以 ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 26 9.（13分）在中，，，，求 的面积． 解:方法一： ， ， ， ，则是以 为直角顶点的直角三角形． ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 27 是以 为直角顶点的直角三角形． ， ， ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.（13分）用坐标法证明:平行四边形四条边长的平方和等于两条对 角线长的平方和. 证明:如图,建立平面直角坐标系,在平行四边形中,设点的坐标 为,点 的坐标为,点的坐标为 , 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 由平行四边形的性质得,点的坐标为 . 由两点间的距离公式得,, , , , 所以, , 所以 , 所以平行四边形四条边长的平方和等于两条对角线长的平方和. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.（多选题）［2025·江苏启东中学高二月考］ 在平面直角坐标系 中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于， 两点， 则线段 的长可以是( ) A.2 B.4 C.6 D.16 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 [解析] 不妨设点在第一象限，点 在第三象限，并设直线 ，由得，可得 , ,所以 ，当且仅当 ， 即时等号成立，所以长的最小值为4.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 12.［2025·江苏徐州高二期中］已知两定点，，动点 在直线上，则 的最小值为( ) A. B. C. D. [解析] 由题可知，点，在直线 同侧，设 点关于直线对称的点为 ，则 解得, 的最小值为 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 13.［2025·江苏苏州中学高二期末］如图所示， 将平面直角坐标系中的纵轴绕点 按顺时针方 向旋转 （坐标轴的单位长度不变）构成一 个斜坐标系，平面上任意一点 关于斜坐标 A. B. C. D. 系的坐标用如下方式定义：过作两坐标轴的平行线，交 轴于 点，交轴于点，则在轴上表示的数为点的横坐标，在 轴上表示的数为点的纵坐标.在斜坐标系中，若点， 的坐标分 别为，，则线段 的长为( ) √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 [解析] 记轴轴，垂足为，且与 轴有相同的单 位长度.如图，在斜坐标系中，，设 轴， 交轴于点，过作轴于点，则 ， ， ，，， 在平面直角坐标 系中，． 在斜坐标系中，，设轴，交 轴于点，过作轴， 垂足为点， ， ，，， 在平面直角坐标系 中，． .故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 14.［2025·福建宁德一中高二月考］在平面直角坐标系 中，已知 直线与点，若直线上存在点 满足 为坐标原点，则实数 的取值范围是_ ____________． [解析] 设，由 ，得 ， 整理得， 由，得 ， 解得，故的取值范围为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 15.［2025·江苏无锡一中高二质检］著名数学家华罗庚曾说“数缺形 时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．” 事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决．已知 ，，则 的最小值为_____. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 [解析] 表示满足， 的动点 到定点 ，，，的距离之和， 连接，，， ，则四边形为矩形，所以， ， 当 为矩形对角线的交点时，， ，且此时 取得最小值，为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 16.（15分）［2025·湖北黄冈中学高二质检］ 已知直线 ，相交于点，其中 . （1）求证，分别过定点，，并求点， 的坐标. 解:在直线的方程中，令，可得，则直线过定点 . 在直线的方程中，令，可得，则直线过定点 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 （2）当为何值时，的面积 取得最大值？并求出最大值. 解:由得即点 ，所以 ， . 因为 ，且 ，所以 ，所以当时，取得最大值，最大值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 $