四川省泸州市泸县第一中学2025届高三一诊模拟数学试题（3）

**基本信息** 泸县一中高2022级一诊数学模拟试题（3）覆盖集合、复数、函数、数列、三角、导数等核心知识，解答题如导数应用（19题）结合不等式证明，体现逻辑推理与数学建模，适配一模综合能力检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合运算、复数模、充分条件判断|7题以废气过滤为情境，考查指数函数应用，体现数学眼光| |多选题|3/18|函数奇偶性与单调性（9题）、数列前n项和（10题）|9题结合偶函数性质与值域分析，考查数学思维的严谨性| |填空题|3/15|解三角形（12题）、等差数列求和（13题）、导数极值点（14题）|14题通过分类讨论确定极值点条件，突出逻辑推理| |解答题|5/77|三角函数图像变换（15题）、导数单调性与零点（17题）、导数证明不等式（19题）|19题从切线方程到不等式证明，层层递进，考查数学语言表达与创新应用|

泸县一中高2022级一诊数学模拟试题（3） 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则（    ） A． B． C．3 D．5 3．“”，是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．如图所示，在中，．若，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，则的最小值为（   ） A．8 B．9 C．12 D．16 6．已知为第一象限角，且，则（   ） A．9 B．3 C． D． 7．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为（e是自然对数的底数，，k为正的常数）．如果前9h消除了20%的污染物，那么消除60%的污染物需要的时间约为（   ）（参考数据：） A．33h B．35h C．37h D．39h 8．已知函数，若关于x的不等式的整数解有且仅有2个，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知函数为定义在上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．在上单调递减 D．的值域为 10．已知数列的前n项和为，且，则（   ） A． B． C．是等比数列 D．存在大于1的整数n，k，使得 11．已知函数在上有且仅有4个零点，则（   ） A． B．令，存在，使得为偶函数 C．函数在上可能有3个或4个极值点 D．函数在上单调递增 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．已知a，b，c分别为锐角内角A，B，C的对边，，，，则 ． 13．已知数列为等差数列，其前项和为，且，，则 ． 14．已知是函数的极大值点，则的取值范围是 . 四．解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．已知函数，函数图象上相邻两条对称轴的距离为，且函数图象的一个最低点的坐标为 （1）求的解析式； （2）把的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的值域. 16．已知数列是等比数列，满足，且是与的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和，记，求的取值范围. 17．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有唯一零点，求实数a的取值范围． 18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，且， (1)求的面积； (2)若，求A． 19．已知 (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)求证：，其中，． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A C A B C A ABD AB 题号 11 答案 ABD 1．B 【详解】由，可得，所以， 所以. 故选：B 2．B 【详解】由题意知，， 所以. 故选：B 3．A 【详解】若，则，因此， 当，时，， 所以“”，是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．C 【详解】因为．且，， 所以， ， ， . 故选：C 5．A 【详解】 当且仅当，，即时等号成立； 故选：A 6．B 【详解】由题意知为第一象限角，且， 故，解得或（舍去）， 则， 故选：B 7．C 【详解】依题意，，解得，即， 当时，，即， 解得， 所以污消除60%的污染物需要的时间约为37h. 故选：C 8．A 【详解】令，则， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 令，则其图象为开口向下，对称轴为的抛物线； 由关于x的不等式， 可知，当时，，即有； 当时，，即有； 作出函数图象如图： 要使关于x的不等式的整数解有且仅有2个， 显然不能满足题意，故需满足，即， 解得，即的取值范围为， 故选：A 9．ABD 【详解】对于A，因为是定义在上的偶函数，所以，解得，故A正确； 对于B，由，， ，故B正确； 对于C，，，则， 所以函数在上不满足单调递减，故C错误； 对于D，由，，令，则，且， ，， ，即， 由偶函数对称性可知，的值域为.故D正确. 故选：ABD. 10．AB 【详解】由，可得 两式相减可得：， 又， 所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列， 所以，， 所以，A正确； ，所以，B正确； 由，可得，显然，可判断不是等比数列，C错误； 若，即， 也即，显然不存在大于1的整数，使得等式成立，D错误； 故选：AB 11．ABD 【详解】 对于A， ，， 因为在上有且仅有4个零点， 所以，解得，∴，故A正确； 对于B，， 为偶函数，则，即， ∵∴取，为偶函数,满足题意，故B正确； 对于C，，， ∵，， ∴函数在上可能有4个或5个极值点， 故C不正确； 对于D，若，则， ∵，∴， ∴函数在上单调递增. 故D正确； 故选：ABD. 12．/ 【详解】由正弦定理可得, 即，解得， 由锐角三角形知，所以. 故答案为： 13．135 【详解】设等差数列的公差为， 因为数列为等差数列，所以，即， 则， 故答案为：135． 14． 【详解】由函数，可得， ①若时，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 此时时，函数取得极小值，不符合题意； ②若时，令，可得，此时， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 此时时，函数取得极小值，不符合题意； ③若时，令，单调递增，没有极值点，不符合题意； ④若时，令，可得，此时， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 此时时，函数取得极大值，符合题意， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 15．(1) 因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以， 因为，所以，因为函数图象的一个最低点的坐标为， 所以，所以， 所以即， 因为，所以，所以函数的解析式为； （2）把的图象向右平移个单位得到， 再将向上平移1个单位得到， 即，由得， 所以， 所以，所以值域为 16．(1) (2) 【详解】（1）设公比为，依题意得，得， 解得或， 当时，，，，不合题意， 当时，，，满足， 故. （2）由（1）得，则，所以， 所以 由于，得，所以， 故的取值范围是. 17．(1)详见解析 (2) 【详解】（1）， 当时，，所以函数在上单调递增； 当时，，所以或时，，单调递增， 当时，，单调递减； 当时，，所以或时，，单调递增， 当时，，单调递减； 综上，时，在上单调递增，无递减区间；当时，在和上单调递增， 在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减. （2）当时，，函数仅有1个零点1； 当时，由（2）知，的极大值为，且当时，， 若有唯一零点，则，解得，故， 当时，由（2）知，的极大值为，同理， 若有唯一零点，则，解得，故， 综上，实数a的取值范围 18．(1)； (2)或. 【详解】（1）在中，由余弦定理及，得， 整理得，而，所以的面积. （2）由（1）及正弦定理得，即， 于是，即， 整理得，即， 因此，即，由，得，解得或， 所以或. 19．(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，，切点为. 所以，， 切线方程为．即. （2），，， 则在区间单调递增，又， 所以当时，，在上单调递增， 所以，即， 在上单调递增，，所以，符合题意． 当时，令，解得， 当时，，在上单调递减， ， 在上单调递减， 所以时，，不符合题意， 所以a的取值范围是． （3）由（2）可知时，当时，，即， 所以当时，有， ， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $