2.1 等式性质与不等式性质（第1课时：不等关系与不等式、作差法比较大小） 同步练习题- 2026-2027学年第一学期高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学人教A版必修第一册“不等关系与不等式、作差法比较大小”新授课同步练习，通过“例题精练+基础夯实”分层设计，构建从情境建模到方法应用的知识巩固路径，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |例题精练|不等关系表示、作差法比较大小（基础到综合）|以火车购票等现实情境引入，从具体到抽象，例1-4梯度为情境建模→代数式比较→含参比较→正数关系综合应用| |基础夯实|不等关系应用、作差法运算、不等式性质|单选（8题）聚焦概念辨析与基础运算，多选（3题）强化性质理解，填空（3题）结合利润问题等实际应用，难度从单一知识点到简单综合|

2.1 等式性质与不等式性质 （第1课时：不等关系与不等式、作差法比较大小） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高一数学人教A版必修第一册 【例题精练】 【例1】你有过乘坐火车的经历吗？火车站售票处有规定：儿童身高不足1.2m的免票，身高1.2m~1.5m的儿童火车票为半价，身高超过1.5m的儿童买全价票.你能用不等式表示这些规定吗？ 【答案】设身高为h m， 文字表述 身高不足1.2m 身高在1.2m~1.5m间 身高超过1.5m 符号表示 票价 免票 半价票 全价票 【分析】应用表格形式，根据题意用不等式表示不同身高区间并写出对应票价即可. 【详解】略 【例2】比较下列各组中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 【分析】（1）采用作差法可直接得到结果； （2）采用作差法，讨论大小关系即可得到结果. 【详解】（1），. （2）， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 【例3】已知，试比较的大小. 【答案】 【详解】因为， 所以. 【例4】设，是两个正数．已知，比较与的值的大小． 【答案】 【分析】利用作差比较即可判断． 【详解】∵， ∴， ∴． 【基础夯实】 一、单选题 1．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元.现有工人工资预算2 000元，设请木工人，瓦工人，则工人数需满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，可知，其中， 化简得 2．铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（   ） A．a + b + c ≤M B．a +b +c >M C．a + b + c ≥M D．a + b+ c <M 【答案】A 【分析】根据长、宽、高的和不超过Mcm可直接得到关系式. 【详解】长、宽、高之和不超过Mcm， . 故选：A. 3．某高中高三（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A、B可供选择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生人数，经过统计，选辩题A的人数多于选辩题B的人数，则（   ） A．选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数 B．选辩题A的男生人数多于选辩题B的男生人数 C．选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数 D．选辩题A的男生人数多于选辩题B的女生人数 【答案】A 【分析】根据不等式的性质以及简单的逻辑推理，找出正确的选项即可. 【详解】设选辩题A的男生有x人，选辩题A的女生有y人，选辩题B的男生有m人，选辩题B的女生有n人. 已知该班女生人数多于男生人数，即；又知选辩题A的人数多于选辩题B的人数，即. 将这两个不等式相加得到：，两边同时消去得到，即. 这就意味着选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数. 故选：A. 4．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是（    ） A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0 【答案】B 【分析】由a2＋1－2a＝(a－1)2可得结果. 【详解】a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，∴ a＝1时，等号成立． 故选：B. 5．已知，则与大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用作差法比较大小即可. 【详解】因为，所以. 故选：C 6．已知，，则（    ） A． B． C． D．P，Q的大小关系不确定 【答案】A 【分析】根据给定条件作出与的差，变形判断符号即得. 【详解】因，，则， 所以. 故选：A 7．已知命题：，命题：，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，， 所以，所以， 即由能够推出，所以充分性成立； 当，，时，，满足， 但是不成立， 所以由推不出，即必要性不成立； 所以是的充分不必要条件. 故选：A 8．已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】C 【详解】由， 因为，所以，， 所以，即. 二、多选题 9．（多选）下列说法正确的是（    ） A．某人月收入（单位：元）不高于2000元可表示为“” B．小明的体重为kg，小华的体重为 kg，则小明比小华重表示为“” C．某变量至少为可表示为“” D．某变量不超过可表示为“” 【答案】BCD 【分析】根据实际问题中的不等关系的不等式表达判断可得. 【详解】某人月收入（单位：元）不高于2000元可表示为“”，故A错误； 小明的体重为kg，小华的体重为 kg，则小明比小华重表示为“”，故B正确； 某变量至少为可表示为“”，故C正确； 某变量不超过可表示为“”，故D正确. 故选：BCD 10．(多选)下列不等式中正确的是（    ） A． B． C．当时， D． 【答案】ABD 【分析】利用作差法，比较大小，判断选项. 【详解】A.，所以，故A正确； B. ，所以，故B正确； C. 当时，，即，故C错误； D. ，则，故D正确. 故选：ABD 11．已知，且，则下列不等式恒成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用作差法比较大小判断ABD，举反例判断C. 【详解】对于A，，正确； 对于B，， 所以，正确； 对于C，满足，且，此时，错误； 对于D，，当且仅当时等号成立， 又，故不同时为0，所以， 即成立，所以成立，正确. 故选：ABD 三、填空题 12．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______. 【答案】 【详解】提价后商品的售价为元，则提高了元，销售量减少了件， 则利润为元（）， 则，化简得. 销售量为非负，结合提价要求得， 故. 13．设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 14．若，则与的大小关系为________.与1的大小关系为________　. 【答案】 ≤ <1 【详解】，当且仅当 时等号成立， 所以 ，所以 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 等式性质与不等式性质 （第1课时：不等关系与不等式、作差法比较大小） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高一数学人教A版必修第一册 【例题精练】 【例1】你有过乘坐火车的经历吗？火车站售票处有规定：儿童身高不足1.2m的免票，身高1.2m~1.5m的儿童火车票为半价，身高超过1.5m的儿童买全价票.你能用不等式表示这些规定吗？ 【例2】比较下列各组中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 【例3】已知，试比较的大小. 【例4】设，是两个正数．已知，比较与的值的大小． 【基础夯实】 一、单选题 1．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元.现有工人工资预算2 000元，设请木工人，瓦工人，则工人数需满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 2．铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（   ） A．a + b + c ≤M B．a +b +c >M C．a + b + c ≥M D．a + b+ c <M 3．某高中高三（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A、B可供选择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生人数，经过统计，选辩题A的人数多于选辩题B的人数，则（   ） A．选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数 B．选辩题A的男生人数多于选辩题B的男生人数 C．选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数 D．选辩题A的男生人数多于选辩题B的女生人数 4．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是（    ） A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0 5．已知，则与大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．已知，，则（    ） A． B． C． D．P，Q的大小关系不确定 7．已知命题：，命题：，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 二、多选题 9．（多选）下列说法正确的是（    ） A．某人月收入（单位：元）不高于2000元可表示为“” B．小明的体重为kg，小华的体重为 kg，则小明比小华重表示为“” C．某变量至少为可表示为“” D．某变量不超过可表示为“” 10．(多选)下列不等式中正确的是（    ） A． B． C．当时， D． 11．已知，且，则下列不等式恒成立的有（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______. 13．设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 14．若，则与的大小关系为________.与1的大小关系为________　. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $