2.1.1 倾斜角与斜率课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件围绕直线的倾斜角与斜率展开，涵盖倾斜角定义及范围、斜率定义与求法、斜率与倾斜角及方向向量的关系等核心知识点。通过“高架桥中的直线”情景导入，引导学生观察直线方向差异，以探究活动为支架，从确定直线的几何要素逐步过渡到倾斜角、斜率概念的构建。 其亮点在于以问题链驱动探究，如通过两点坐标实例推导斜率公式，体现数学思维的推理能力。结合生活坡度实例，用“练一练”巩固不同倾斜角下的斜率计算，培养数学语言表达能力。帮助学生建立数形联系，教师可借助结构化探究活动提升教学效率。

2.1.1 倾斜角与斜率 32100 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念. 3. 掌握求直线斜率的两种方法，并理解推导过程. 学习目标 32100 说一说：观察如图所示的高架桥，你发现其中有哪些直线？这些直线有什么区别？ 情景导入 32100 1.你认为确定一条直线的需要哪些条件? 直线的确定 两点确定一条直线； 一个点和一个方向确定一条直线. 归结 探究1 直线的倾斜角 活动1：解答下列问题，了解确定直线位置关系的几何要素. 2.经过一点P可以画多少条直线？你与同学的画法相同吗? O y x l1 B . A . 经过一点P有无数条直线 新知探究 32100 这些直线的区别: 直线方向不同 直线的倾斜程度不同 也就是直线与x轴所成的角不同 思考：怎样描述这种“倾斜程度”的不同? l1 O P x y l2 l3 经过一点P有无数条直线 32100 1.直线的倾斜角 当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. x y O α l 图中直线l1的倾斜角α1为锐角 直线l′的倾斜角α′为钝角 直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0°. 要点归纳 32100 1. 在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线(平行或重合)，其倾斜程度相同，倾斜角相等； O y x l1 α1 l2 l3 α2 α3 2. 方向不同的直线(相交)，其倾斜程度不同，倾斜角不相等. O P x y l1 l2 l3 直线 倾斜角 方向相同的直线 倾斜程度相同 倾斜角相同 注意： 32100 1.下列图中表示直线倾斜角为(　　) C 2.直线x=1的倾斜角α= . 90° 练一练 32100 活动2：与同学交流，解答下列问题，探究刻画直线倾斜程度的方法——斜率. 问题：在平面直角坐标系中，设直线的倾斜角为 . （1）已知直线l经过点O(0，0)，P( ，1)，α与点O，P的坐标有什么关系? 探究2 直线的斜率 O y x α 新知探究 32100 (2) 如果直线l经过P1(-1, 1), P2( , 0), α与P1, P2的坐标又有什么关系? x y O 32100 (3) 一般地，如果直线l经过两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), x1≠x2, 那么α与P1, P2的坐标有怎样的关系? O x y P1 P2 O x y P2 P1 P P 32100 追问1 当直线平行于x轴，或与x轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？ 追问2 当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？ 追问3 已知直线P1P2的位置顺序互换时，上述公式会发生变化吗？ 32100 追问2 当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？ 中分母为0 倾斜角为90°的直线是没有斜率的， 倾斜角不是90°的直线都有斜率. 结论：所有的直线都有倾斜角；但不是所有直线都有斜率. 32100 追问3 已知直线P1P2的位置顺序互换时，上述公式会发生变化吗？ 直线的斜率与P1和P2的顺序无关 但应用公式求斜率时要注意上下坐标的对应 32100 我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率，用小写字母k表示，即 注意：x1≠x2，当x1=x2时，直线l倾斜角为90°，上式无意义. 直线l的倾斜角α与直线l上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1，x2)的坐标有如下关系： 要点归纳 32100 铅 直 高 度 水平宽度 32100 （1）当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时, 其斜率k如何变化? 为什么? ① 当0°≤<90°时, k≥0, 且k随的增大而增大. k由0变化到+∞ ② 当90°<<180°时, k<0, 且k随的增大而增大. k由-∞变化到0 ④ 刻画直线倾斜程度： 从形的角度：倾斜角不同，倾斜程度不同 从数的角度：斜率不同，倾斜程度不同， ③ 倾斜角不同，斜率不同，从而斜率可以表示不 等于90°的直线的倾斜程度。 活动3：解答下列问题，探究斜率与倾斜角的对应关系. 32100 90° 0 (0，＋∞) (－∞，0) 斜率与倾斜角的对应关系 要点归纳 32100 特殊角的正切值： 倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k 0 1 ______ －1 － 要点归纳 32100 练一练 3. 32100 活动4：如图示, 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.(说说你的求解思路) O y x A(3,2) B(-4,1) C(0,-1) 1 -1 -2 探究3 求直线斜率的方法、直线的方向向量与斜率的关系 32100 4.已知经过点A(1，2)，B(m，4)的直线l的斜率为2，则m的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解：由题可得m≠1，且＝2，解得m＝2． 练一练 D 32100 5.已知a, b, c是两两不等的实数，求经过下列两点的直线的倾斜角: (1) A(a, c), B(b, c); (2) C(a, b), D(a, c); (3) P(b, b+c), Q(a, c+a). 练一练 32100 问题1：如图所示，如何用P1、P2的坐标表示该直线的方向向量？ 问题2：该直线的方向向量与其斜率k有什么关系？ x y O l 活动5 了解直线的方向向量与斜率的关系 32100 x y O l ①若直线l的斜率为k，它的一个方向向量坐标为（x,y），则k= ②若直线l的斜率为k，则它的一个方向向量为（1,k） 32100 6.（1）经过A(0, 2), B(-1, 0)两点的直线的方向向量为(2, k)，求k的值. （2）已知直线l的一个方向向量为 求直线l的倾斜角和斜率. 解: 是直线l的一个方向向量, 即 又 ∴直线l的倾斜角为 ，斜率为 练一练 32100 1.直线的倾斜角定义及其范围： 2.直线的斜率定义： 3.斜率的定义、求法： 4.直线的方向向量与斜率之间的关系： 根据以下关键词，回顾本节课所学知识： 课堂总结 32100 直线斜率的基本求法： (1)利用两点坐标求直线的斜率，即k＝(x1≠x2)，用此法时要注意两点的横坐标不能相等，同时要注意横、纵坐标必须对应． (2)利用倾斜角求斜率，即k＝tan α，用此法时一定注意倾斜角为90°时，直线的斜率不存在． 注意：利用斜率公式求直线的斜率时，如果点的坐标中含有参数，需要先对直线斜率是否存在作出判断，即对参数进行分类讨论． 32100 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°＜α＜90° α＝_____ 90°＜α＜180° 斜率(范围) _____ _________ 不存在 _________ $