第5讲 一元二次方程、不等式课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“一元二次方程、不等式”专题，依据新课标要求梳理实根存在性判断、不等式解法、三个二次关系等核心考点，通过知识聚焦与常用结论构建体系，分析含参数不等式、根的分布、恒成立问题等常考题型，对接高考评价体系，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题训练+方法归纳+素养提升”，如以2025湖南邵阳期末题为例解析不含参数不等式，培养数学思维中的推理与运算能力，总结分式不等式转化、恒成立问题分类策略，帮助学生掌握解题技巧，教师可据此精准指导，助力高效复习。

第5讲 一元二次方程、不等式 1 【课标要求】 1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实 根的个数,了解函数的零点与方程根的关系. 2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不 等式的现实意义，能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用 集合表示一元二次不等式的解集. 3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程 的联系. 2 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.一元二次不等式 把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一 元二次不等式，其一般形式为 或________________ ，，均为常数， . 3 2.一元二次不等式的解法步骤 （1）将不等式化为右边为零，左边为二次项系数大于零的不等式 或 . （2）求出相应的一元二次方程的根. （3）利用二次函数的图象与 轴的交点确定一元二次不等式的解集. 4 3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 二次函数 的图象 一元二次方程 的根 有两个不相等 的实数根 ， 有两个相等的 实数根 没有实数根 5 判别式 的解集 _____________ _________ _ ___________ 的解集 _____________ __ 或 续表 6 4.一元二次方程根的分布 设函数<m></m>,且<m></m>的两实根分别为<m></m>,<m></m>. 7 分布 情况 两实根都在 内 两实根有且仅有 一根在 内 一根在 内,另一 根在内 大致 图象 及结论 ___ 或 8 分布 情况 两实根都在 内 两实根有且仅有 一根在 内 一根在 内,另一根 在内 大致 图象 及结论 ____________________________ ____________________________ ______________________________ 或 续表 9 常用结论 1.一元二次不等式恒成立问题 （1）不等式<m></m>，<m></m>恒成立<m></m>且 <m></m>； （2）不等式<m></m>，<m></m>恒成立<m></m>且 <m></m>. 10 2.简单分式不等式 （1） （2） . 3.能成立问题的转化：能成立 ； 能成立 . 11 ◆ 课前演练 ◆ 题组一 易错辨析 判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”） （1）关于的一元二次方程的两实根分别是0， .( ) √ [解析] 由题意得，，方程的两实根分别是0， ，故正确. 12 （2）若关于的方程没有实数根，则关于 的不等式的解集为 .( ) × [解析] 因为关于的方程 没有实数根， 且二次函数的图象开口向下， 所以 恒成立,则不等式的解集为 ,故错误. 13 （3）如果二次函数 的图象开口向上，那么不等式 的解集一定不是空集. ( ) √ [解析] 当二次函数的图象开口向上时, ， 则不等式 的解集不是空集，故正确. （4）关于的不等式的解集可能是 为常数 .( ) √ [解析] 由题意，当,时,原不等式变为 ， 解得，此时，若，则 ，故正确. 14 题组二 教材改编 1.不等式 的解集为( ) A. B. C.或 D.或 [解析] 原不等式可化为，解得 .故选B. √ 15 2.已知关于的不等式的解集是，则关于 的不 等式 的解集是_ ____________（用集合表示）. [解析] 关于的不等式的解集为， ，且1，2是关于的方程 的两个实数根， 解得 关于的不等式 可化为， 又, ,解得, 所求不等式的解集为 . 16 3.若不等式对任意恒成立，则实数 的取 值范围为________. [解析] 当时，恒成立,满足题意； 当 时，若不等式对任意 恒成立， 则解得. 综上可得，，则实数 的取值范围为 . 17 探究点一 一元二次不等式的解法 题型1 不含参数的不等式 例1（1）[2025·湖南邵阳期末]已知集合 , ,,,0,1,2,，则 ( ) A.,, B., C. D. [解析] 由不等式 ， 解得，即， 则或 ，所以,, .故选A. √ 18 （2）不等式 的解集是( ) A. B. C. D. [解析] 由，得，即 ， 即解得， 故不等式 的解集为 .故选C. √ 19 题型2 含参数的不等式 例2（1）[2025·广东汕头质检]对于给定实数，关于 的一元二次不 等式 的解集可能是( ) A. B. C. D. √ 20 [解析] 当时, ,此时所求解集为； 当时, ,此时所求解集为； 当时， ，此时所求解集为； 当时，不满足题意； 当时， ，此时所求解集为 ，故选A. 21 （2）当时，关于 的不等式 的解集为( ) A. B. C. D. √ 22 [解析] 由得或 . 因为，所以，所以 . 又因为， 所以 等价于， 可得 ， 所以的解集为 .故选B. 23 总结反思 （1）解含参数的一元二次不等式的 一般步骤 （2）在处理分式不等式过程中， 如果不能确定分母正负,则可先 进行移项,将分式不等式转化为整式不等式， 可避免去分母过程中产生的分类讨论. 24 【对点演练1】（1）不等式 的解集为( ) A. B. C. D. [解析] 不等式可化为 ， 则不等式的解集为 ，故选A. √ 25 （2）[2026·陕西安康期末]不等式 的解集是( ) A. B. C. D. [解析] 由题意可得，等价于 解得，故原不等式的解集为 .故选C. √ 26 （3）（多选题）已知关于的不等式 的解集为 ，则下列结论正确的是( ) A. 可能为空集 B. 中可能只有一个元素 C.若，则 中的元素为负数 D.若，则 √ √ √ 27 [解析] 对于A，由题意得 ， 则 不可能为空集，A错误； 对于B，由，得 ， 当，即时，，得 ， 此时，B正确； 对于C，当，即 时，，C正确； 对于D，当，即 时，， 因为，所以，得 ，D正确.故选 . 28 探究点二 三个二次间的关系 例3（1）若关于的不等式 的解集为 ，则 的解集为( ) A. B. C. D. √ 29 [解析] 由关于的不等式的解集为 ， 得即 所以不等式 可化为， 又，所以，解得 或. 所以不等式的解集为 .故选B. 30 （2）[2026·江苏南京期中] 关于的方程 的 一根在内，另一根在内，则实数 的取值范围是______. [解析] 设 ，其图象开口向上， 由题意得解不等式组得， 故实数 的取值范围是 . 31 总结反思 一元二次不等式的解集与相应一元二次方程的根或函数的零点之间 是相通的，这是构成三个二次之间关系的桥梁. 在求解根的分布问题时,要结合根与系数的关系或方程所对应的函数 的函数值大小,转化为代数问题进行求解. 32 【对点演练2】（1）已知关于 的一元二次方程 的一根比1大，另一根比1小，则实数 的 取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 记 ，其图象开口向上. 因为原方程的根一个大于1一个小于1， 所以当时, ,即,解得， 所以实数 的取值范围是 .故选C. √ 33 （2）（多选题）[2025·山东菏泽期中]已知为任意实数，关于 的 方程 ，则( ) A.当 时，方程有两个实数根 B.当 时，方程有两个异号的实数根 C.当时，方程有两个实数根，，且 D.若方程有两个实数根，，则 √ √ 34 [解析] . 对于A,当 时, ,此时方程有两个实数根，故A正确； 对于B,若方程有两个异号的实数根,则解得 , 即当时，方程有两个异号的实数根，故B正确； 对于C，当 时， ，方程无实数根，故C错误； 对于D，若方程有两个实数根，，则，即， 当 时，方程的两根，， 显然 无意义，故D错误.故选 . 35 探究点三 一元二次不等式恒（能）成立问题 题型1 在 上恒成立问题 例4（1）[2026·江西临川联考]当 时，一元二次不等式 恒成立，则 的取值范围是( ) A. B. C. D.或 [解析] 由一元二次不等式 恒成立， 可得解得 .故选A. √ 36 （2）[2026·辽宁辽阳期末]函数 的定义域 为，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 由题得恒成立. 当时， ，符合题意； 当时，需满足解得. 综上， 的取值范围是 .故选C. √ 37 题型2 在给定区间上的恒成立问题 例5（1）[2025·福建三明期末]已知 ，当 时，恒成立，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. √ 38 [解析] 依题意,. 令 ，当时，， 不等式 可化为， 则对任意的, 恒成立. 当时，恒成立，此时； 当 时,,函数在上单调递减， 当 时，，因此； 当 时，，而 ， 当且仅当时取等号，因此. 所以 的取值范围是 .故选B. （2）已知函数，且 的解集为 ，求函数在区间上的最小值 . 解：因为的解集为， 所以1，3为关于 的方程 的两根， 所以解得所以 . 因为图象的对称轴为直线， 所以 在区间上单调递减，在上单调递增. 41 当时， 在区间上单调递增， 此时 ； 当，即时，在区间 上单调递减， 在区间上单调递增，此时 ； 当，即时，在区间 上单调递减， 此时 . 综上所述， 题型3 给定参数范围的恒成立问题 例6 [2025·湖北武汉武钢三中检测]已知对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. √ 43 [解析] 对任意，不等式 恒成立， 即对任意， 恒成立， 所以对任意，恒成立， 所以对任意 ，， 所以 ，解得， 故实数的取值范围是 .故选D. 44 题型4 不等式能成立问题 例7 若存在,，则实数 的取值范围 为( ) A. B. C. D. √ 45 [解析] 当时，不等式为，即 ， 显然在上有解，符合题意； 当 时，抛物线开口向下， 显然 在上有解，符合题意； 当 时，抛物线开口向上， 若存在 , ， 则只需 ，解得或， 又，所以或 . 综上，实数的取值范围是 .故选D. 46 总结反思 1.一元二次不等式在 上恒成立的情况： 恒成立 恒成立 2.（1）一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题,其本质是将不等 式恒成立转化为最大（小）值问题,即若 的图象连续不断，则 恒成立等价于 , 恒成立等价于 . （2）用分离参数法可避免分类讨论,直接求出参数的取值范围. 47 【对点演练3】（1）[2026·重庆期末]若不等式 对一切恒成立，则实数 的取值 范围为( ) A. B. C. D. [解析] 当时，恒成立，则满足题意； 当 时，由题可得解得 . 综上，实数的取值范围为 .故选D. √ 48 （2）对任意，不等式恒成立，则实数 的 取值范围是( ) A. B. C. D. √ 49 [解析] 因为对任意，不等式 恒成立， 所以， ， 设，， 因为 ， 所以当时，函数， 取得最小值， 最小值为，所以 ，故选B. （3）“”是“在 上恒成立”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 51 [解析] 若在上恒成立， 则 在上恒成立. 由对勾函数的性质可知，函数在 上单调递增， 所以当时，，所以 ， 所以“在上恒成立”的充要条件是“ ”. 因为， 所以“”是“ 在 上恒成立”的充分不必要条件. 故选A. 52 （4）[2025· 河北廊坊期末]函数，则 在 上有解的一个充分不必要条件是( ) A. B. C. D. [解析] 在上有解，即在 上有解， 又当时，,当且仅当,即 时取等号， 所以. 因为， 所以在 上有解的一个充分不必要条件是 .故选B. √ 53 $