第5讲 一元二次方程、不等式课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“一元二次方程、不等式”专题，依据课标要求梳理了不等式解法、恒成立能成立问题、实际应用及“三个二次”关系四大核心考点，通过真题分析明确含参数不等式解法、恒成立问题等高频考点分布，归纳了定义辨析、分类讨论等典型题型，体现高考备考的针对性。 课件亮点在于“真题训练+技巧指导+素养培养”，如以2025年全国二卷分式不等式题为例，详解“移项通分→等价转化”步骤，结合例2含参数不等式分类讨论培养学生推理能力，通过实际应用问题强化数学建模意识。特设易错陷阱警示和解题模板，帮助学生掌握答题技巧，教师可精准把握学情实现高效复习。

第1章 集合、常用逻辑用语与不等式 第5讲 一元二次方程、不等式 2027届高考一轮复习 数学 1 【课标要求】 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义. 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 3.掌握一元二次不等式的解法，会求解简单的分式不等式和简单的绝对值不等式. 名师导学第一轮总复习 高三数学 2 【知识要点】 1.一元二次不等式的定义 只含____个未知数，并且未知数的最高次数是___的不等式叫做一元二次不等式. 一 2 名师导学第一轮总复习 高三数学 3 2.一元二次不等式 （1）一元二次不等式<m></m>或<m></m>的解集的各 种情况如下表： 判别式 二次函数 的图象 _________________________________________________ ______________________________________________ _____________________ 名师导学第一轮总复习 高三数学 4 判别式 一元二次方程 的根 有两相异实根 ， 有两相等实根 无实根 的解集 __________________ ___ 的解集 _______________ _ ______ 或 续表 名师导学第一轮总复习 高三数学 5 （2）常用结论 或 型不等式的解法 不等式 解集 或 或 口诀：大于两边跑，小于中间找. 名师导学第一轮总复习 高三数学 6 3.分式不等式与整式不等式 （1） __________________； （2） ____________________________. 4.简单的绝对值不等式 的解集为___________________， 的解集为________. 且 名师导学第一轮总复习 高三数学 7 【基础检测】 概念辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若方程ax2+bx+c=0无实数根，则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.(　　) (2)若不等式ax2+bx+c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(　　) (3)若ax2+bx+c>0恒成立，则a>0且Δ<0.(　　) (4)不等式≥0等价于(x-a)(x-b)≥0.(　　) (5)若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，则不等式ax2+bx+c<0的解集一定不是空集.(　　) [解析] (3)可以是a=b=0，c>0. × √ × × √ 名师导学第一轮总复习 高三数学 8 教材改编 2.[必修1p52例3]不等式(x+5)(3-2x)≥6的解集是(　　) A.{Px|x≤-1或x≥} B.{x|-1≤x≤} C.{x|x≤-或x≥1} D.{x|-≤x≤1} D [解析] 将不等式变形为:2x2+7x-9≤0，解得-≤x≤1. 所以解集为{x|-≤x≤1}. 名师导学第一轮总复习 高三数学 9 3.[必修1p57T4]不等式<0的解集为(　　) A.⌀ 　　 B.(2，3) C.(-∞，2)∪(3，+∞) 　　 D.(-∞，+∞) B [解析] <0等价于(x-3)(x-2)<0， 解得2<x<3. 名师导学第一轮总复习 高三数学 10 4.[必修1p57T6]设一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为，则ab的值为(　　) A.-12 B.-7 C.12 D.7 C [解析] 由题设-1，是ax2+bx+1=0的两个根，且a<0， 所以⇒ 故ab=12. 名师导学第一轮总复习 高三数学 11 5.[必修1p58T6]若关于x的不等式x2-2ax+18>0恒成立，则实数a的取值范围为　　　　　　　.  (-3，3) [解析] 由题意有4a2-4×18<0，可得-3<a<3. 名师导学第一轮总复习 高三数学 12 考点1 一元二次不等式的解法 角度1.不含参数的一元二次不等式的解法 例1　(1)不等式6-x-2x2<0的解集是(　　) A. B. C. D. D [解析] 不等式变形为2x2+x-6>0， 又方程2x2+x-6=(x+2)(2x-3)=0的两根为x1=，x2=-2， 所以不等式的解集为，故选D. 名师导学第一轮总复习 高三数学 13 (2)已知集合M={x|x2-7x+12<0}，N={x||x-1|<4}，则M∩N=(　　) A.(-∞，5) B.[-3，4] C.(6，8) D.(3，4) D [解析] 不等式x2-7x+12<0解得3<x<4，不等式|x-1|<4，即-4<x-1<4，解得-3<x<5，可得M=(3，4)，N=(-3，5)，M∩N=(3，4). 名师导学第一轮总复习 高三数学 14 [小结]解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形,使二次项系数大于零; (2)计算对应方程的判别式; (3)求出相应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程没有实根; (4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集. 名师导学第一轮总复习 高三数学 15 角度2.含参数的一元二次不等式的解法 例2　解关于x的不等式:ax2-(a+2)x+2≥0(a∈R). [解析] 当a=0时，原不等式可化为-2x+2≥0⇒x≤1. 当a>0时，ax2-(a+2)x+2≥0⇒(ax-2)(x-1)≥0⇒(x-1)≥0. 若>1，即0<a<2时，原不等式的解为x≤1或x≥; 若=1，即a=2时，原不等式的解为x∈R; 若<1，即a>2时，原不等式的解为x≤或x≥1. 名师导学第一轮总复习 高三数学 16 当a<0时，ax2-(a+2)x+2≥0⇒(ax-2)(x-1)≥0⇒(x-1)≤0. 因为<0<1，所以≤x≤1. 综上可知:当a<0时，原不等式的解集为; 当a=0时，原不等式的解集为(-∞，1]; 当0<a<2时，原不等式的解集为(-∞，1]∪; 当a=2时，原不等式的解集为R; 当a>2时，原不等式的解集为∪[1，+∞). 名师导学第一轮总复习 高三数学 17 [小结]对含参的不等式,应对参数进行分类讨论,常见的分类有: (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类. (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数. (3)有两个根时,有时还需对两根的大小进行讨论. 名师导学第一轮总复习 高三数学 18 1.若集合A={x|x>3}，B=，则A∩B=(　　) A.{x|x>3} 　　 B.{x|x<-2} C.{x|x>3或x<-2} 　　 D.{x|x>4} D [解析] 因为集合B=={x|(x-4)·(x+2)>0}，解得B={x|x>4或x<-2}，所以A∩B={x|x>4}.故选D. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 19 2.已知集合A={x|2x2-3x-5≥0}，B=，则(∁RA)∩B=(　　) A. B.{x|-2≤x≤4} C.{0，1，2} D.{1，2} C [解析] 由2x2-3x-5≥0，得(2x-5)(x+1)≥0，解得x≥或x≤-1，则A=，所以∁RA=.由x2-2x-8≤0，得(x-4)(x+2)≤0，解得-2≤x≤4， 则B=={0，1，2，3，4}. 所以(∁RA)∩B={0，1，2}. 名师导学第一轮总复习 高三数学 20 考点2 一元二次不等式的实际应用 例3　某地区上年度电价为0.8元/(kW·h)，年用电量为a kW·h，本年度计划将电价下降到0.55元/(kW·h)至0.7元/(kW·h)之间，而用户期望电价为0.4元/(kW·h).经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区的电力成本价为0.3元/(kW·h). (1)写出本年度电价下调后电力部门的收益y(单价:元)关于实际电价x(单位:元/(kW·h))的函数解析式;(收益=实际电量×(实际电价-成本价)) (2)设k=0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%? 名师导学第一轮总复习 高三数学 21 [解析] (1)设下调电价后新增用电量为u kW·h， 因为下调电价后新增用电量和实际电价与用户期望电价的差成反比(比例系数为k)， 则u=，所以本年度的用电量为+a， 所以本年度电力部门的收益y关于实际电价x的函数解析式为: y=(x-0.3)，0.55≤x≤0.7. 名师导学第一轮总复习 高三数学 22 (2)依题意有: 整理得:解得:0.6≤x≤0.7， 所以当电价最低定为0.6元/(kW·h)时，可保证电力部门的收益比上年至少增长20%. 名师导学第一轮总复习 高三数学 23 [小结]解不等式应用题的步骤 名师导学第一轮总复习 高三数学 24 3.数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术;在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t(单位:万元)由两部分构成:①固定成本:1000万元;②材料成本:万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元? 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 25 (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元?附:利润=售价×销量-成本. [解析] (1)设平均每个人形机器人的成本为y万元，根据题意有 y==++10≥2+10=30， 当且仅当=，即x=100时取等号. 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元. 名师导学第一轮总复习 高三数学 26 (2)设月利润为W万元，则有W=x-1000-10x-=+13x-1000， 由题知+13x-1000≥400，整理得x2+130x-14000≥0，解得x≥70. 所以该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元. 名师导学第一轮总复习 高三数学 27 考点3 一元二次不等式恒成立、能成立问题 角度1.在实数集R上恒成立 例4　已知二次函数y=ax2+(b-8)x-a-ab，若y>0的解集为{x|-3<x<2}.且关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为R时，则c的取值范围为　　　　.  c≤- [解析] 因为y>0的解集为{x|-3<x<2}，所以-3，2是方程ax2+(b-8)x-a-ab=0的两根，所以解得 所以y=-3x2-3x+18. 名师导学第一轮总复习 高三数学 28 因为a=-3<0，所以二次函数y=-3x2+5x+c的图象开口向下， 要使-3x2+5x+c≤0的解集为R，只需Δ≤0，即25+12c≤0，所以c≤-. 所以当c≤-时，-3x2+5x+c≤0的解集为R. 名师导学第一轮总复习 高三数学 29 [小结]一元二次不等式在R上恒成立问题一般要结合二次函数图象,用判别式解决. (1)一元二次不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇒ (2)一元二次不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇒ 注意:题目中是否有“一元二次”几个字,也就是判断是否要考虑二次项系数为0的情况. 名师导学第一轮总复习 高三数学 30 角度2.在给定区间上恒成立 例5　(2025·高三·河南许昌·期中)∀x∈(-2，+∞)，x2+(4-a)x+7-2a≥0恒成立，则实数a的最大值为(　　) A. B.3 C.2 D.6 C [解析] ∀x∈(-2，+∞)，x2+(4-a)x+7-2a≥0恒成立， 即x2+4x+7≥a(x+2)在(-2，+∞)上恒成立， 所以a≤==(x+2)+在(-2，+∞)上恒成立， 又(x+2)+≥2=2，当且仅当x+2=，即x=-2时取等号， 所以a≤2，则实数a的最大值为2.故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 31 [小结]一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的求解方法 (1)若f(x)>0在集合A中恒成立,则集合A是不等式f(x)>0的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含义求解参数的值(或取值范围). (2)转化为函数值域问题,即已知函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a,即n≤a. 名师导学第一轮总复习 高三数学 32 角度3.给定参数范围的恒成立问题 例6　若不等式x2+px>4x+p-3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　) A.[-1，3] B.(-∞，-1] C.[3，+∞) D.(-∞，-1)∪(3，+∞) D [解析] 不等式x2+px>4x+p-3可化为(x-1)·p+x2-4x+3>0， 则[(x-1)p+x2-4x+3]min>0(0≤p≤4)，令f(p)=(x-1)p+x2-4x+3(0≤p≤4)， 则解得x<-1或x>3. 名师导学第一轮总复习 高三数学 33 [小结]解给定参数范围的不等式恒成立问题，可考虑变换思维角度，即把变量与参数交换位置(变换主元)，构造以参数为变量的函数，再根据原参数的范围求解. 名师导学第一轮总复习 高三数学 34 角度4.不等式能成立或有解问题 例7　若关于x的不等式2x2-5x-1-m>0在上有解，则实数m的取值范围为　　　　.  (-∞，2) [解析] 由题意，2x2-5x-1-m>0在[1，3]上有解，∴m<2x2-5x-1在[1，3]上有解， 即m<(2x2-5x-1)max，其中x∈[1，3]， 在y=2x2-5x-1中，x∈[1，3]，对称轴为直线x=-=， ∵2>0，二次函数开口向上， ∴函数在上单调递减，在上单调递增， ∴函数在x=3上取最大值，ymax=2×32-5×3-1=2，∴m<2. 名师导学第一轮总复习 高三数学 35 [小结]能成立或有解问题与恒成立问题处理方法类似,一般也是转化为函数的最值问题,一是直接研究原函数的最值;二是参数分离后研究最值,常用到以下两个结论: (1)a≥f(x)能成立⇒a≥f(x)min; (2)a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max. 名师导学第一轮总复习 高三数学 36 4.若关于x的不等式x2-(m+1)x+9≤0在区间[1，4]上有解，则实数m的最小值为(　　) A.9 B.6 C. D.5 D [解析] 关于x的不等式x2-(m+1)x+9≤0在区间[1，4]上有解， 等价于(m+1)x≥x2+9在区间[1，4]上有解， 即m+1≥x+在区间[1，4]上有解， 又x+≥6，当且仅当x=3时，x+取最小值6.故m+1≥6，可得m≥5.故选D. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 37 5.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A. (-∞，2] B.[-2，2] C.(-2，2] D.(-∞，-2) C [解析] 当a-2=0，即a=2时，不等式为-4<0对一切x∈R恒成立. 当a≠2时，需满足 即解得-2<a<2. 综上可知，实数a的取值范围是(-2，2]. 名师导学第一轮总复习 高三数学 38 6.∀x∈(-2，5)，x2-(5+2k)x+10k<0恒成立，则实数k的取值范围为　　　　.  k≤-1 [解析] 不等式x2-x+10k<0，即<0， 因为x∈(-2，5)，所以x-5<0，故x-2k>0在(-2，5)上恒成立， 所以2k≤-2，k≤-1. 名师导学第一轮总复习 高三数学 39 7.若不等式2x-1>m(x2-1)对任意m∈[-1，1]恒成立，则实数x的取值范围是　　　　　　.  [解析] 2x-1>m(x2-1)可转化为m(x2-1)-2x+1<0. 设f(m)=m(x2-1)-2x+1，则f(m)是关于m的一次型函数. 要使f(m)<0恒成立，只需 解得-1<x<2. 名师导学第一轮总复习 高三数学 40 考点4 “三个二次”之间的关系 例8 (多选)已知关于x的不等式(x+2)(x-4)+a<0(a<0)的解集是(x1，x2)(x1<x2)，则(　　 ) A.x1+x2=2 B.x1x2<-8 C.-2<x1<x2<4 D.x2-x1>6 ABD [解析] 因为关于x的不等式(x+2)·(x-4)+a<0(a<0)的解集是(x1，x2)(x1<x2)， 所以x1，x2是一元二次方程x2-2x-8+a=0的两个根，所以x1+x2=2，故A正确; x1x2=a-8<-8，故B正确; x2-x1==2>6，故D正确; 由x2-x1>6，x1+x2=2，可得x1<-2，x2>4， 故-2<x1<x2<4是错误的，故C错误. 名师导学第一轮总复习 高三数学 41 [小结]1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值. 2.给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点,可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数. 名师导学第一轮总复习 高三数学 42 8.(多选)已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(-∞，1)∪(5，+∞)，则(　 　) A.a<0 B.a+b+c>0 C.bx+c>0的解集是 D.cx2-bx+a<0的解集是{x|x>-或x<-1} ACD [解析] 由题意可得1和5是方程ax2+bx+c=0的两根，且a<0， 由根与系数的关系可得1+5=-，1×5=，得b=-6a，c=5a， 对于A，由上述分析知a<0，故A正确; 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 43 对于B，a+b+c=a-6a+5a=0，故B错误; 对于C，不等式bx+c>0，即-6ax+5a>0，即6x-5>0，得x>， ∴不等式bx+c>0的解集是，故C正确; 对于D，由不等式cx2-bx+a<0，得a(5x2+6x+1)<0，即5x2+6x+1>0， 则(5x+1)(x+1)>0，得x>-或x<-1，即解集为，故D正确. 故选ACD. 名师导学第一轮总复习 高三数学 44 走进高考 1.(2025·全国二卷)不等式≥2的解集是(　　) A.{x|-2≤x≤1} B.{x|x≤-2} C.{x|-2≤x<1} D.{x|x>1} C [解析] ≥2，即为≤0，即故-2≤x<1， 故解集为[-2，1)，故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 45 $